n 1 entier f (x) x 2 R f '(x) 2x R f (x) x n R f '(x) nx n 1 R f (x) 1 x f (x) 1 x n f (x) x 0; f '(x) n x n 1 Chapitre III : Convexité

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1 Chapitre III : Convexité Extrait du programme : I. Rappels sur la dérivation 1. Formules de dérivation des fonctions usuelles Fonction f Ensemble de définition Dérivée f ' Ensemble de définition de f de f ' f (x) a, a R R f '(x) 0 R f (x) ax, a R R f '(x) a R f (x) x 2 R f '(x) 2x R f (x) x n n 1 entier R f '(x) nx n1 R f (x) 1 x R\{0} f '(x) 1 x 2 R\{0} f (x) 1 x n n 1 entier R\{0} f '(x) n x n1 R\{0} f (x) x 0; f '(x) 1 0; 2 x

2 2. Opérations sur les fonctions dérivées u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I u(x)+ v(x) est dérivable sur I ku(x) est dérivable sur I, où k est une constante u(x) v(x) est dérivable sur I 1 u(x) pas sur I u(x) v(x) est dérivable sur I, où u ne s'annule est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I [u(x)+ v(x) ] = u (x) + v (x) [ku(x) ] = k u (x) [u(x) v(x) ] = u (x)v(x) + v (x) u(x) [ u(x) v(x) ] = [ 1 u(x) ] u (x) = [u(x)]² u (x)v(x) v (x) u(x) [v(x)]² II. Convexité concavité 1. Définition Définition : Soient I un intervalle de R et f une fonction définie et dérivable sur I. On dit que f est convexe sur I si sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. On dit que f est concave sur I si sa courbe représentative est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.

3 2. Propriétés graphiques Propriété : (admise) Soient I un intervalle de R et f une fonction définie et dérivable sur I de courbe représentative C f. f est convexe si et seulement si pour tous point A et B de C f, le segment [AB] est au-dessus de la courbe C f. f est concave si et seulement si pour tous points A et B de C f, le segment [AB] est en-dessous de la courbe C f. III. Convexité et dérivation 1. Propriétés Propriété : (admise) Soient I un intervalle de R et f une fonction définie et dérivable sur I. f est convexe si et seulement si sa dérivée f est croissante sur I. f est concave si et seulement si sa dérivée f est décroissante sur I. Conséquence : Soient I un intervalle de R et f une fonction définie telle que f existe sur I. f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f est positive (ou nulle) sur I. f est concave si et seulement si sa dérivée seconde f est négative (ou nulle) sur I. Point-méthode 7 : Etudier la convexité à l aide des variations de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur R etc est la courbe représentative de f, fonction dérivée de f. A l aide de C, dire sur quels intervalles la fonction f est convexe.

4 Solution : La convexité d une fonction f dépend du sens de variation de la fonction f. Il faut donc étudier le sens de variation de la fonction f et le résumer dans un tableau de variation. Les images n ont aucune importance, seules les abscisses doivent être mentionnées. x f '(x) f Convexe Concave Convexe Propriété : 2. Fonctions de référence La fonction xx² est convexe sur R La fonction x x est concave sur R La fonction x x est concave sur R et convexe sur R Démonstration : Soit f la fonction définie sur R par fx x Alors f 'x x et f ''x Ainsi f '' est positive sur et donc f est convexe sur R Soit g la fonction définie sur par gx x Alors g'x x et g''x x x Or le dénominateur de g est toujours positive sur R par conséquent, g est positive sur R et donc g est concave sur R. Soit h la fonction définie sur R par hx x Alors h'x x et h''x x Or le numérateur de h est toujours positif sur R tandis que son dénominateur est négative sur R et positif sur R. Ainsi la fonction h est concave sur R et convexe sur R CQFD

5 IV. Point d inflexion Définition : Soit I un intervalle de R et f une fonction définie et dérivable sur I de courbe représentative C f. S il existe un point A de C f tel que la tangente en A traverse la courbe C f en A, on dit que A est un point d inflexion. Propriété : Soit I un intervalle de R, f une fonction telle que f existe sur I de courbe représentative C f et a un réel de I. Si f s annule en a en changeant de signe, alors la courbe C f admet un point d inflexion au point A(a, fa) Exemple : Soit f la fonction définie sur R par : fx x f 'x x et f ''x x x f ''xx 0 En 0, la dérivée seconde s annule en changeant de signe, donc le point (0 ;0) est un point d inflexion de la courbe représentative de f. Point-méthode 8 : Dérivée seconde, convexité et point d inflexion Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = x 4 6x² + 8x 3. Etudier la convexité de cette fonction, puis en donner les points d inflexions s ils existent. Solution : Pour étudier algébriquement la convexité d une fonction, on doit étudier le signe de sa dérivée seconde. f ( x ) = x 4 6x² + 8x 3 donc f (x) = 4x 3 12x + 8 et donc f (x) = 12x² 12 = 12(x 2 1) = 12(x 1)(x + 1) On trace un tableau avec autant de lignes que nécessaires pour étudier (1) le signe de la dérivée seconde, puis une ligne pour le (2) sens de variation de la dérivée, puis une ligne pour (3) la convexité de la fonction.

6 x (1) Signe de f (2) Variation de f (3) Convexité de f Convexe sur ]- ;-1] Concave sur [-1 ;1] Convexe sur [1 ;+ [ Il n est pas nécessaire de calculer les images de f dans la 2 ème ligne. Il est nécessaire de préciser les intervalles de la convexité dans la 3 ème ligne. En -1 et en 1 la dérivée seconde s annule en changeant de signe, donc elle admet 2 points d inflexions dont les coordonnées sont : (-1 ; f( 1)) et (1 ;f(1)) C est-à-dire : ( 1; 16) et (1; 0) (ni f, ni f ) On fera attention de bien remplacer -1 et 1 dans la fonction f