r INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

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1 'N d'ordre 1.1.C ~ - '...,.' r INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON pour obtenir LE DIPLOME DE DOCTEUR DE TROISIEME CYCLE Spécialité: GENIE CIVIL.,'par Féliêién MÈNDENE M'FKWA. j - \ Ma'&Et~-:Séeryc~s et Techniques / ' METHODE DES FORCES EN THEORIE DES POUTRES ET DES PLAQUES Soutenue le 2 Juillet 1979 devant la Commission d'examen Jury MM le Professeur J. C. CUBAUD J. F. JULLIEN M. LEMAIRE K.DYDUCH E. ABSI Président Examinateurs

2 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON DIRECTEUR R. HAMELIN CHEFS DE DEPARTEMENTS Premier Cycle Biochimie Génie Civil et Urbanisme Génie Electrique Génie Energétique Géniè Mécanique Construction Génie Mécanique Développement Génie Physique Matériaux Informatique C. GUILLAUD Professeur P. LAVIOLETTE Professeur M'. MONGEREAU Màître de Conférences H. KLEIMANN Maître de Conférences M. RICHARD Professeur J. BAHUAUD Professeur M. LALANNE Professeur P. GOBIN Professeur R. ARNAL Professeur. DIRECTEURS DE RECHERCHE - PROFESSEURS R. ARNAL J. BAHUAUD J. BOUSQUET E. BRARD M. CHEVRETON B. CLAUDEL L. CRONENBERGER J.C. CUBAUD,L. EYRAUD J. FAVREL Y. FETIVEAU R. GELIN Informatique Appliquée Mécanique des Solides Thermo-Chimie Minérale Physiologie et Pharmacodynamie Etude des Matériaux Cinétique et Génie Chimiques Chimie Biologique Génie Civil et Urbanisme (Bétons et structures) Génie Electrique et Ferroélectricité Informatique Appliquée Génie Electrique et Ferroélectricité Chimie Organique

3 ~ [ \ r 2. P. GOBIN M. GODET J. GOLE R. GOUTTE C. GUILLAUD J. LAPON M. LALANNE P. LAVIOLETTE G. MONNIER H. PACHECO PERACHON E. PERNOUX M. PEYRON P. PINARD R. REYNAUD M. RICHARD R. RIVIERE Groupe d'étude de métallurgie et de physique des matériaux Mécanique des Contacts Matériaux Macromoléculaires Optique Corpusculaire et Ultrasons Optique Corpusculaire et Ultrasons Spectroscopie Moléculaire Mécanique des Structures Biologie Physicochimie Industrielle Chimie Biologique Thermo-Chimie Groupe d'étude de métallurgie physique et de physique des matériaux Chimie Physique Physique Indus Physique de la Matière - trlelie Energétique et Automatique Energétique et Automatique Groupe d'étude de métallurgie physique et de physique des matériaux J. ROBIN M. ROLIN F. STOEBER M. THEOLIER A. ROUX Physico-Chimie Industrielle Physico-Chimie Industrielle Hicrobiologie Métallurgie et Traitements Thermiques Sciences de la Nature Bernard Lyon 1) (Université Claude Ch. EYRAUD Chimie Appliquée, Génie chimique et Electrochimie (Université Claude Bernard Lyon 1) MAITRES DE CONFERENCES ET CHARGES D'ENSEIGNEMENT D. BERTHE M. SOIVIN Mécanique des Contacts Mécanique des Solides J

4 i, 3., \ Gilbert FANTOZZI G.P.M. 1,, ' J FRENE Mécanique des Contacts J. GIELLY M. GERY C. GUITTARD J.F. JULLIEN Génie Civil et Urbanisme Génie Civil et Urbanisme de l'l\abitat) Electronique Appliquée Génie Civil et Urbanisme Structures) (Géotechnique) (Equipement (Bétons et Struc H. KLEIMANN P. LAREAL A. LAUGIER M. LEMAIRE Claude LESUEUR Y MARTINEZ C. MARTY P. MAY N. MONGE REAU, P. PREVOT J. PEREZ R. RIEUTORD Ph. TROMPETTE J. VERON C. MENGUY MAITRES DE RECHERCHE C.N.R.S. M. MURAT Génie Electrique et Ferroélectricité Génie Civil et Urbanisme Physique de la Matière Génie Civil et Urbanisme Structures) G.M.C. Informatique Appliquée (Géotechnique) (Bétons et Etude des Procédés de Fabrication Automatisation des Fabrications Mécaniques et Commande Numérique Génie Civil et Urbanisme Informatique Appliquée (Géotechnique) Groupe d'etude ~êtallurgie Physique et Physique des Matériaux Hydraulique et Dynamique des Gaz Mécanique des Structures Chimie Appliquée Physique Lyon 1) Chimie Appliquée (Université Claude Bernard MAITRES ASSISTANTS H. BOTTA Génie Civil et Urbanisme (Méthodes) A. JUT~ C. LESUEUR Mécanique des Solides Vibrations-Acoustique j

5 1 A V A N T - PRO P 0 S Nos recherches ont été effectuées au laboratoire du Groupe de Recherche Génie-Civil de l'université de Clermont Ferrand II. Qu'il nous soit permis d'exprimer notre resepctueuse gratitude à Monsieur le Professeur CUBAUD, Directeur de Recherche au laboratoire des Bétons et structures de l'institut National des Sciences Appliquées de Lyon, qui nous a fait le grand honneur de Présider notre Jury de thèse. Monsieur LEMAIRE, Maître de Conférence, Responsable du Groupe de Recherche Génie-Civil de l'université de Clermont Ferrand II nous a enseigné la théorie des éléments finis. Il nous a proposé ce sujet et en a assumé entièrement la direction. Son aide et ses encouragements tout au long de nos recherches nous ont été précieux. Nous lui adressons l'expression de notre très sincère gratitude. i l ' 1. 1 t! ~ t ' r Monsieur JULLIEN, Maître de Conférence à L'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon a bien voulu examiner notre travail et a accepté de faire partie de notre jury de thèse. Nous lui exprimons nos très vifs remerciements. l1 i 1 1 i J

6 Monsieur DYDUCH, ~!aître de Conférence à l'ecole Polytechnique de Cracovie en Pologne s'est intéressé à notre travail. Nous lui exprimons notre plus vive reconnaissance. Malgré ses nombreuses activités, Monsieur ABSI, Délégué Général Scientifique du Centre Expérimental des Recherches et d'etudes du Bâtiment et des Travaux Publics a examiné notre travail et nous fait le grand honneur d'être membre de notre jury. Nous le remercions très respectueusement. Nous avons beaucoup apprécié l'aide cordiale et l'esprit coopératif de notre camarade de laboratoire Bernard PEUCHOT. Il nous a fait profiter de ses connaissances dans le domaine de l'informatique. Nous tenons à le remercier sincèrement. Enfin, nous adressons nos remerciements les plus sincères à tous ceux qui ont apporté leur collaboration à notre travail.

7 1 i RES UME Ce travail est consacré à la méthode des forces en théorie des poutres et des plaques. Le principe variationnel des forces virtuelles est à la base de la formulation qui est appliquée aux éléments linéiques de poutres et aux éléments surfaciques de plaques. Il est divisé en quatre chapitres. Le premier rappelle les aspects classiques de la méthode des forces et présente une technique de sélection automatique des inconnues hyperstatiques qui est fondée sur l'algorithme de GAUSS-JORDAN. Le choix automatique d'un système isostatique de base permet l'application, dans un deuxième chapitre, de la méthode des forces à l'analyse limite. Le calcul de la vérification ou de dimensionnement plastique optimal par la méthode statique est alors entièrement automatisé. Le troisième chapitre décrit la construction d'un modèle équilibre pur dans le cas d'un élément triangulaire de plaque fléchie. La procédure utilisée en théorie des poutres est étendue au cas envisagé. Les applications numériques font l'objet du dernier

8 chapitre. Elles présentent les possibilités de la méthode des forces et ouvrent la voie à son application en théorie des plaques.

9 ABSTRACT This paper treats about the force method in the.' theory of beams and plates. The variational principle of virtual forces is on the basis of the formulation which is applied to the linear elements of beams and surface elements of plates. It is subdivised in four chapters. The first one reminds of the classical aspects of the force method and present an automatic selection technique of unknown hyperstatics which is founded on the GAUSS-JORDAN algorithm The automatic choice of a basic isostatic system permits to apply, in a second chapter, the force method to the limit analysis. The weight design and the minimum weight design by the static method is thus entirely automised. The third chapter describes the construction of a pure equilibrium model for a bent triangular plate elernent. The procedure used in theory of beams is extended ta this case which is going ta be studied. The subjet of the last chapter are the numerical applications. They show the possibilities of the force method and open the way for its application in theory of plates.

10 SOM MAI R E Pages INTRODUCTION CHAPITRE 1. - METHODE DES FORCES EN THEORIE DES POUTRES INTRODUCTION HYPOTHESES DE CALCUL METHODE DES FORCES SEMI-AUTOMATIQUE Introduction,~_ Définitions.',~ 0... : ;...-,-, Principe fon~mentar '~~<).,.améthode des forces r;'; \., Relati?ns fq~c ~~~~o~tre_~'déplacementsde poutre \ 0.0 /' \ ~ / s Relations fo~ées',ge ~û.:g.re"", forces aux noeuds Théo:èrne~ énebq~~~9g~~~for~ulat~o~ forc: Appllcatlon des~êbr~mes energetlques a la méthode des forces Méthodologie METHODE DES FORCES AUTOMATIQUE Il Introduction - Présentation de la méthode - Relations forces de pout r e-vforocs intérieures aux noeuds 27 - Construction des équations d'équilibre 31 - Etude de l'équilibre d'une structure 35 - Equations "canoniques" de la méthode des forces automatique Application de l'algorithme de Gauss-Jordan à la matrice élargie des équations d'équilibrt Méthodologie CONCLUSION 46 CHAPITRE 2. - APPLICATION DE LA METHODE DES FORCES A L'ANALYSE ET AU DIMENSIONNEMENT LIMITE INTRODUCTION 49

11 CALCUL DE LA CHARGE LIMITE PAR LA METHODE STATIQUE Domaine d'étude du calcul de la charge limite-définitions Formulation du problème Théorème statique Méthode statique Conclusion DIMENSIONNEMENT LIMITE Formulation du problème Détermination de la fonction à optimaliser Dimensionnement limite par la prograwmation linéaire Appréciation du dimensionnement limite CONCLUSION 72 CHAPITRE 3. - MODELE EQUILIBRE DE FLEXION DE PLAQUE INTRODUCTION THEORIE DES PLAQUES Hypothèses de calcul Equations différentielles d'équilibre Relations entre les efforts dans les systèmes d'axes x - y et n - t Détermination des conditions aux limites SOLUTION PAR ELEMENTS FINIS EQUILIBRE Construction d'un champ de moments Relations moments-forces intérieures inconnues Relation forces intérieures inconnues~forces verticales aux noeuds Matrice de connexion et conditions limites MATRICE DE SOUPLESSE ELEMENTAIRE METHODES DE RESOLUTION CHAPITRE 4. - APPLICATIONS NUMERIQUES THEORIE DES POUTRES , ț J

12 THEORIE DES PLAQUES III CONCLUSION ANNEXES ANNEXES 1. - CONVENTIONS DE SIGNE ANNEXES 2. - FOID1ULES DETAILLEES DES EQUATIONS D'EQUILIBRE ANNEXES 3. - NOTATIONS BIBLIOGRAPHIE 132

13 l. l N T R 0 DUC T ION Les théories et méthodes de calcul des structures s'appuient sur des procédés qui conduisent à des volumes de calcul plus ou moins importants selon leurs principes de base. A l'origine, la méthode des forces est apparue bien adaptée au traitement "manuel" des ossatures. Plus simple dans-sa logique, mais exigeant plus de calculs numériques, la méthode des déplacements a été facilement automatisée dans le cas des réseaux de poutres et elle a servi de modèle aux développements liés à la méthode des éléments finis dans sa formulation classique. Si de nombreuses recherches ont permis au modèle déplacement d'atteindre un haut niveau dans le calcul élastique, il n'en est pas de même pour le modèle équilibre, plus difficile à mettre à oeuvre, qui n'a pas fait l'objet de développements aussi poussés. Le présent travail se propose d'analyser les possibilités de la méthode de type "force" et de chercher une automatisation complète des processus en calcul élastique et plastique. Il vise également à transcrire au niveau d'un milieu continu; les résultats acquis en théorie des poutres. -~ \

14 2. Avant d'aborder le modèle équilibre de la méthode des éléments finis, nous consacrons le premier chapitre suivant les perspectives ouvertes par P.obinson (1) pour la résolutionautomatique des inconnues hyperstatiques. La résolution des problèmes de vérification et de dimensionnement des ossatures à l'état limite fait l'objet d'un deuxième chapitre. L'application de la programmation linéaire après la sélection automatique des inconnues hyperstatiques permet d'envisager l'analyse automatique aussi bien en régime élastique que plastique parfait. Dans un troisième chapitre, nous développons la construction d'un élément fini triangulaire de plaque fléchie en utilisant une formulation dérivée de celle de la théorie des poutres. Enfin, des applications numériques font l'objet du dernier chapitre. Elles présentent les possibilités de la méthode des forces et ouvrent la voie à son application en théorie des plaques. Les résultats obtenus sont comparés à des solutions proposées par d'autres m thodes.

15 ~ t 1 1 : CHAP ITRE 1. - HETHODE DES FORCES EN THEORIE DES POUTRES l ~ ~ 3.

16 INTRODUCTION Depuis 25 ans, les méthodes numériques ont été considérablement développées et c'est essentiellement la méthode des déplacements qui a été concernée par les recherches. La méthode des forces d'un emploi manuel fréquent, n'a fait l'objet que de peu de travaux d'automatisation. Ces deux méthodes, générales dans leur application peuvent être classées comme des méthodes algébriques (1), (2). La méthode des déplacements apparaît co~me étant la plus utilisée et le manque de popularité de la méthode des forces est dû au fait que les inconnues hyperstatiques sont sélectionnées manuellement. Le choix est fait par l'ingénieur sur les bases de son intuition et de son expérience. Par contre, la logique beaucoup plus élémentaire de la méthode des déplacements a permis la grande diffusion de celle-ci. Quoi qu'il en soit, la méthode des forces a été appliquée de préférence à la méthode des déplacements pour certaines structures. En effet, lorsqu'on a réussi à définir une structure isostatique de base et à déterminer les matrices de coefficients, le programme de calcul par la méthode à forces inconnues ne demande que l'inversion d'une matrice dont la dimension est égale au nombre d'inconnues hyperstatiques et l'exé-

17 5. cution de quelques produits matriciels. La méthode des déplacements par contre exige la résolution d'un système d'équations de dimension égale au nombre de degrés d'indétermination cinématique de la structure. Cet avantage de la méthode des forces demeure aussi longtemps que la détermination des systèmes de référence peut être réalisée manuellement et constitue une donnée du programme de calcul. Pour pallier cet inconvénient, la méthode des forces a été perfectionnée il est maintenant possible de transférer à l'ordinateur le choix des inconnues hyperstatiques.

18 HYPOTHESES DE CALCUL Dans ce paragraphe, nous définissons le domaine d'étude de notre travail (3). Les hypothèses de calcul sont celles de la théorie de l'élasticité linéaire et de la théorie des poutres. En particulier - Il existe une relation linéaire entre les déplacements et les déformations. - Il existe une relation linéaire entre les déformations et les contraintes. C'est la loi de Hooke. - Les déplacements et les déformations sont infiniment petits. - Les poutres possèdent une fibre moyenne et les sections restent droites après déformation. Nous supposons en outre que L'effet énergétique de l'effort tranchant est négligeable, les poutres ont une section constante et une ligne moyenne rectiligne et nous limitons notre étude au système plan.

19 7 Enfin, nous considérons que le système de forces extérieures est constitué par un ensemble de forces appliquées aux points nodaux choisis. Dans le cas où les forces sont appliquées en travée, il faut les remplacer par les actions de la poutre sur ses noeuds parfaitement encastrés METHODE DES FORCES SEMI-AUTO~ATIQUE Introduction Nous nous proposons ici de développer la méthode des forces "manuelle". Dans cette méthode, nous disposons d'un schéma unique de résolution : les inconnues du problème sont les forces généralisées localisées aux noeuds choisis - forces internes et réactions d'appuis Défirtitions Dans l'étude d'une structure hyperstatique, il faut utiliser en plus des équations d'équilibre, les équations de compatibilité des déplacements. Les équations d'équilibre traduisent d'une part que la structure est globalement en équilibre (autrement dit qu'elle ne se déplace pas) et d'autre part que chaque élément est également en' équilibre. Les conditions decanpatihilité des déplacements traduisent la continuité de la structure après déformation. Il ne doit exister ni fissure, ni recouvrement (3).

20 ;. Coupure simple On pratique une coupure simple chaque fois qu'il existe un effort intérieur inconnu. Les trois coupures simples sont: la coupure d'effort normal, la coupure d'effort tranchant et la coupure de moment. Elles doivent être telles que les diagrammes d'efforts que les inconnues libérées induisent, interfèrent le moins possible Degré d'hyperstaticité Le degré d'hyperstaticité est le nombre total de coupures simples à effectuer dans une structure pour la ramener à une structure isostatique. Il est égal à la différence entre le nombre d'inconnues et le nombre d'équations d'équilibre aux noeuds Système isostatique dé référence c'est le système isostatique obtenu par suppression des liaisons surabondantes~ leur action étant remplacée par des forces correspondantes. D'une façon générale, pour une structure hyperstatique donnée, on peut choisir plusieurs systèmes isostatiques de base. Il faut cependant remarquer qu'un système obtenu en supprimant arbitrairement un nombre suffisant de liaisons n'est pas forcément un système isostatique de base.

21 Pri"ncipe" fondamental de la méthode des forces Dans ce paragraphe, nous établissons les équations "canoniques" de la méthode des forces. Ce système d'équations linéaires aux inconnues hyperstatiques constitue l'élément de base de la méthode des forces. Etant donné une structure hyperstatique d'ordre n, soumis à m forces extérieures, n coupures simples sont alors nécessaires pour rendre le système isostatique. On note (3) : 1xl T = [Kl'. ' xnj Le vecteur des inconnues hyperstatiques. Les X. sont soit des forces, soit des l moments. Ip }T = [p p ] s l' " -n Le vecteur des forces extérieures appliquées. Dans le système isostatique de référence, nous désignons par lu xx 1, le vecteur des déplacements relatifs des lèvres des coupures sous l'action des forces inconnues IX}. De même, les déplacements relatifs des livres des coupures sous l'action des forces appliquées IPs} sont notés 1Uxol Les deux matrices qui lient respectivement les

22 10. forces inconnues et les forces appliquées aux déplacements dans les coupures sont telles que : (1 la) Cl - lb) ment dans la coupure j Dans la relation (1 - la), S " est le déplace- XJl - sous l'action d'une force unitaire placée dans la coupure i, ce coefficient peut par exemple être déterminé par application du théorème de la force unitaire. La symétrie de la matrice [sxj est d êmont.r.êecpe.r application du théorème de Maxwell-Betti. -, - -'-. - _..- En effet,. ':\ ".. -r :c '~., ". / -.. ; pour X.= X. = l l J s " ~ (X.) = S., (X.) XJl l X1J J et la matrice [SxJ est symétrique. On démontre de la même façon que le coe~ficient S.. est le déplacement dans la coupure j sous l'action d'une OJl force unité P = l dans la coupure i. Au paragraphe nous avons noté que pour une structure hyperstatique, il faut utiliser en plus des équations d'équilibre, les équations decompatibilitê des déplacements. Cette condition de compatibilité de déplacement se

23 Il. traduit par le fait que la structure initiale, statiquement indéterminée, est une entité (4), cela signifie qu'il n'y a aucun déplacement relatif des lèvres des coupures. Nous devons donc avoir toutes les extrémités sectionnées fermées. Il vient soit : uxx 1 + 1Uxo 1 = 10 1 [ SxJ1 X 1 + [S0] IP si = D'où Cl. 2. ) Ce système d'équations constitue la relation fondamentale de la méthode des forces. Il permet de calculer les inconnues hyperstatiques 1xl. Le problème est donc de déterminer les matrices [Sol, [sj Relation forces de poutre - "déplacements de poutre" Cette relation lie les efforts indépendants caractérisant l'état de contrainte aux déplacements correspondants. Il convient pour cela de préciser auoaravant les forces généralisées indépendantes sélectionnées. Considérons un élément de poutre, non chargé, en équilibre sous l'action des efforts aux noeuds.

24 12. T.. em.. M.. 1) 1) Ti! ))1 j N.. (n) N )1.. 1) w- 1.. i j - X y f- a -1 + Fig. 1-1 Elément de poutre non chargé, soumis aux forces nodales. Nous pouvons écrire les 3 équations de la statique avec les efforts aux noeuds i et j. Seuls (6-3) efforts sont indépendants, les 3 autres étant des combinaisons linéaires. Les efforts tranchants à chaque extrémité sont le résultat des moments de flexion, nous ne pouvons pas les considérer cowme des forces indépendants (4). Les efforts normaux sont tels que N ~ N.. == - N.. 1) )1. Nous pouvons dès lors définir le vecteur [Q 1 n des forces généralisées indépendantes appelé également vecteur de~ forces dé poutre. Ce vecteur caractérise l'état de contrainte de la poutre n. Aux efforts N, M.., M.. 1) )1 correspondent les quanti-

25 13. tés u, f3 i, f3;j qui représentent respectivement : la variation de la longueur de la poutre n sous l'effet de N, la rotation de la section i par rapport à la ligne moyenne ij, la rotation de la section j par rapport à la ligne moyenne ij. Les trois quantités u, f3i' f3j regroupées dans le vecteur [D n ) caractérisent l'état de déformation de la poutre ij. Soit Et la relation liant les forces de poutre aux déformations de poutre s'écrit: (1-3 ) où [Sn] est la matrice de souplesse de l'élément n, son expression est donnée en (1.3.6.) Relation forces de poutre - forces aux noeuds Considérons une structure composée de k éléments de poutre, soumise à n forces extérieures. La relation liant les forces de poutre aux forces aux noeuds est de la forme oü ~ (1-4) Qs1est le vecteur rassemblant les vecteurs forces de poutre LB~J tps ) est la matrice des coefficients d'influence est le vecteur des forces appliquées aux noeuds

26 14. Pour une structure isostatique, la force de poutre Qsj est égale à QSJ' = rb. L- B., sjl... SJl B sjm. J (1-5 ) P m Supposons la force appliquée au noeud i égale à l'unité et la force appliquée au noeud j nulle c'est-à-dire P = 1 si et P = 0 vj ~ i sj Qsj = B sji B " est la force de poutre j lorsqu'une force uni SJl té est appliquée au noeud i. Les coefficients B " sont appelés SJl coefficients d'influence. Chaque colonne de la matrice LBs] représente ainsi les efforts qui existent dans les poutres pour une force unité P = 1. Dans une structure hyperstatique, le vecteur des forces de poutre {Qs) est la somme de deux vecteurs: le vecteur des forces de poutre dans le système isostatique de base et le vecteur des forces de poutre dérivant des forces hyperstatiques inconnues. Les vecteurs [QsoJ et (Qsx) sont reliés aux forces aux noeuds par les matrices d'influence [B à ] et [B x] tqso\ = [Ba] tps ) tqsx) = [BxJ ~ X ~

27 15. d'où la relation entre les forces de poutre et les forces aux noeuds. (1-6 ) Remarque Il est bien évident que le calcul des réactions d'appuis peut être obtenu par un raisonnement analogue, la relation liant les réactions d'appuis aux forces extérieures s'écrit: (1-7) Théorèmes énergétiques L'importance des principes énergétiques utilisés en théorie des structures est considérable. Ils sont à la base des principales méthodes de calcul. Leur emploi en facilite la représentation. Les plus importants sont le principe des déplacements virtuels et le principe des forces virtuelles. En ce qui concerne notre travail, c'est le dernier qui nous sert de base pour développer la méthode des forces. Il constitue le fondement du principe du minimum de l'énergie complémentaire, qui à son tour est un moyen de formulation des équations de coœpatibilité des déplacements.

28 Travail complémentaire Dans le cas de l'élasticité linéaire le travail complémentaire d'une force appliquée Pi = ku i est égale à : l -2 Pv u. l. l. (1-8) Energie complémentaire de déformation L'énergie complémentaire de déformation J~ est égale En substituant respectivement au vectecc, contrainte [u~ et au vecteur déformation {E}, le vecteur efforts de poutre [Qn~ et le vecteur déformation [D n}, on obtient le long d'un élément de poutre n or il vient : J~ == i {.Qn l"t {D n ~ tdn) == [Snl tqnj J~ = i {Qn)T [sn] {Qn} L'énergie complémentaire de déformation pour un ~lément de poutre s'écrit: J1:: - 1 fa 1 T [sj fo} z:l: - 2 "ri J n l-n Et pour une structure de k éléments, l'énergie globale est la somme des énergies de ces k éléments.

29 Théorème des forces virtuelles virtuelles s'écrit: La relation qui traduit le théorème des forces Supposons que les forces extérieures appliquées dépendent du ~' potentiel complémentaire T <5T x '= _ <5T x tel que Le théorème des forces virtuelles s'écrit dans ce cas ss x = <5 T X' soit (1-10) La variation s'applique aux forces de poutre. La quantité E* = JX' est l'énergie potentielle totale complémentaire. Puisque la variation de cette énergie est nulle il est possible d'écrire : "parmi tous les champs de contrainte statiquement admissible, celui qui satisfait aux équations de éanpatibilité *" mentaire E rend stationnaire l' énergie complé Matrice de souplesse A partir de l'expression de l'énergie de déformation, il est possible de construire la matrice de souplesse [~J d'un élément de poutre. Cette matrice n'est pas unique pour un élément, elle dépend du choix opéré pour sélectionner

30 18. les forces indépendantes. Calculons l'énergie de déformation de l'effort normal et celle de flexion. On néglige l'effet énergétique de l'effort tranchant. Pour un élément de poutre n de longueur a, le potentiel de l'effort normal est (3). l a J n = -2 J0 dx et celui de flexion est J n = l l,a M 2 (x) dx '2 '0 EI avec M(x) = M.. 1J M j i + M i j x M.. :M.~ a = 1J: J 1 [ 1 l - ~ a x a l'énergie de déformation totale est: l a J = - f n 2 0 { N2 ES a 0 0 N ES a a n 0 M.. 1J 3EI 6EI 1J a a 0-6EI M.. 3EI J1 soit J = ~ [N M.. Mj.iJ Et l'expression de la matrice de souplesse relative aux forces de poutres [N,M i j, M j.] est

31 19. [Sn] = 0 a ES 0 0 a a 3EI-6EI (1-11) 0 a 6EI a 3EI Application des théorèmes énergétiques àla méthode des forces Il est observé dans le paragraphe (1.3.2.) que dans une structure hyperstatique, les équations d'équilibre sont insuffisantes pour déterminer les inconnues hyperstatiques. Il convient de les compléter d'un nombre d'équations égal au nombre d'inconnues hyperstatiques. c'est le principe du minimum de l'énergie complémentaire qui va servir de base à la formulation de ces équations supplémentaires. En effet, on écrit que les inconnues hyperstatiques minimisent l'énergie potentielle totale complémentaire. Le processus à suivre est le suivant 1 - Développement de l'énergie complémentaire de déformation de toute la structure. 2 - Formation du système d'équations linéaires pour le calcul des inconnues hyperstatiques. 3 - Calcul des forces de poutre par la relation liant les forces de poutre aux forces au noeuds. 4 - Calcul des déplacements sous les forces appliquées par application du deuxième théorème de Castigliano.

32 Développement de l'énergie complémentaire de déformation de toute la structure L'expression de l'énergie complémentaire de déformation de toute la structure en fonction des forces de poutre s'écrit: J % s 1 = "2 Or 1Q 1 = s alors J% s =.![IP IT~ 2 s 1 On pose [S ] = 0 [ Sx.J = [s J = P Alors J% s = Calcul des inconnues hyperstatiques Pour cela, nous écrivons que les inconnues hyperstatiques x. 1 minimisent l'énergie potentielle totale complémen taire E%. Or dans l'expression de E%, le travail complémentai %' re T ne dépend pas des inconnues hyperstatiques, cela revient simplement à minimiser le terme J%. s Soit

33 21. àj X [S ] {P } + [s ] 1X} dx = a s x d'où l l1xi =-[Sxr1 [Sa] {.PsI U.13 ) 3 - Calcul des forces de poutre relation (1-6) Le vecteur des forces de poutre s'obtient par la 4 - Calcul des déplacements sous les forces appliquées Pour parvenir à la valeur stationnaire de E*, nous considérons cette fois-ci les variations par rapport aux forces extérieures appliquées. Ecrivons que la variation de E* par rapport aux forces appliquées est nulle soit àj* 8E*=dP~8Pi 1. ~ _._----"'I 1 ~Jx 1 los 1 1 -u 1 1 ~- i 1 1 api 1 '- 1 -bu. 8F. = 0 pour tout P. 1. ( 1-14)

34 22. Cette relation traduit le deuxième théorème de Castigliano. Le vecteur déplacement sous les forces est égal à : t u, = s =[S]T{XI+[S){Pl o p s d'où = [s ]T {X, + [S ] 1 P 1 o p s (1-15 ) Remarque Pour calculer les déplacements aux noeuds où n'agissent pas les forces appliquées, il suffit de placer en ces points des forces unitaires dans la direction du déplacement cherché Méthodologie Les différentes étapes de calcul sont les suivantes 1 - Choisir un système isostatique de base et définir le vecteur Ixl des inconnues hyperstatiques. 2 - Déterminer les charges équivalentes et le vecteur Ip J s des forces appliquées aux noeuds. 3 - Définir le vecteur des forces de poutre {Qs' = {Q }+IQ 1 so. sx

35 Calculer les matrices des coefficients [B o ] et [B x ] telles que = [Bo]{Psl = [B l{xi x 5 - Former la matrice de souplesse [ss] 6 - Calculer les expressions [ ~], = [B lt [ s s] [ B o] x [ sxl = [B lt [s ][B ] x s x 7 - Résoudre le système linéaire [S ]IXI = -[S ] IP 1 x 0 s 8 - Calculer le vecteur forces de poutre {Qs! = [ Ba: B x 1 t~êj 9 - Calculer les efforts réels tels que : Efforts réels du Effort calculé du Action de la = noeud sur la poutre noeud sur la poutre poutre sur le noeud bloqué 10 - Calculer les expressions {U s o 1 = [B o] T [ss] [B o] lp s \ {Usxl = [BoJT [Ss] [BxJ t X ' ) 11 - Calculer le vecteur déplacement t Us ~ tel que fus} = t U s o\ + ru \ l. sx