QUELQUES OBSERVATIONS STATISTIQUES SUR LA VARIABLE,,NOMBRE DE SINISTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBILE. P. THYRION J3ruxelles

Transcription

1 QUELQUES OBSERVATONS STATSTQUES SUR LA VARABLE,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE P. THYRON Jruxelles R~su.~1~ Cette note ne risque pas de le fllc ~ une critique souvent adresse ASTN, l'excs de spculations athatiques. Elle s'expose plutst au reproche contraire, car elle a t, autant que possible, d1ibrnlent dpouil- 1e de considrations thoriques, pour s'en tenir ~. quelques constatations arithtiques fort siples sur la variable,,nobre de sinistres". Ces constatations sont orientes vers la pratique, particulireent vers n raise ell oeuvre d'un systhnle de bonus-alus.. NTRODUCTON Les observations prsentes dans cette note prolongent celles qui ont t donnfes dalas une note antdrieure rj 1) et qui couvraient un enseble de 1.1o polices d'assurance pendant les annes 19 k 198. Un sous-enseble de 1.o9 polices a pu ~tre observ jusqu'en 191 inclus, dans les conditions que nous rappelons ci-aprs. Chaque police concerne un seul vdhicule de la catgorie,,luxe" (quivalente k,,tourislne et affaires"). Toutes ces polices ont t souscrites ou renouveles dans le courant de l'annde 19 et les vhicules correspondants ont done t observds tous pendant les sept anndes civiles 19 ~ Si un preneur d'assurance a changd de vdhicule pendant la pdriode considdrfe, l'observation a t continude sur le nouveau vhicule. L'accent a donc t ntis principaleent sur le ou les conducteurs couverts par une police. Les sinistres pris en considration sont uniqueent ceux qui ont donn lieu k un ddcaisseent de la copagnie pore le risque de responsaoilit civile du preneur d'assurance; les sinistres,,sans suite" ont donc t exclus. 1) Les nunlros entre crochets renvoient aux rdfrences indiques in fine.

2 0,,NOlVBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOiOBLE. RESULTATS STATSTQUES PRNCPAUX 1) a) Les hobres de vhicules Vn ayant eu n sinistres respectiveent pendant,... ann&s conscutives sont donns par le tableau suivant. TABLEAU i 1 19 n 19. " i o 191 Vn O 8 9 O ii i r O o b) Les nobres de vhicules ayant eu respectiveent o,,... sinistres en 191 se ventilent coe suit en fonction du hobre de sinistres qu'ils ont eu, respectiveent, au coups de l'anne antrieure, des deux anndes ant&ieures... des six annes ant&ieures. TABLEAU i9~o 9 O lo 1 i) Je reercie viveent M. Georges Martin, PrsidenbDtrecteur Gnral de la Royale Beige, qui 'a autoris A faire tabhr et i exploiter ces statistiques.

3 ,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE o TABLEAU i[ q 18 ii 8 ] lo 9 O ' TABLEAU V ~[9198 o ~ ' TABLEAU V,~919 o ~

4 0,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE 9 TABLEAU V i919 o t ' iio io TABLEAU V 19 9' \. ' o i T i O 8 9 O! ' --! i ] X Des ventilations analogues pour chacun des exercices de 19o. 19 par rapport aux prcddents ont galeent t tablies. Nous n'en donnons pas le detail pour ne pas allonger la note.. ANALYSE DE; CES STATSTQUES De nobreux essais de copensation de la loi de probabilitd du nobre de sinistres par une loi de Poisson coposde ont djk t effectus. Notre objectif West pas d'en refaire sur la base des

5 ,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE 0 statistiques indiqudes ci-dessus Nous nous proposons plutt de tester par des voies indirectes la validit d'un tel scha, ell exploitant le fait que ces statistiques portent sur une assez longue p~riode. er test Si la loi de probabilit du hobre de sinistres N(t) est on a De ~e P(n; t) = f e -xpt (Xbt)n nt du(x) 0 E[N(t)~ = ~ n e -xvt (~pt)n du(x) n! tt,,t O f +, (xpt)n_l = pt xdu(x) e -zv~ _~ (n-- ~)! = pt E(A) E[N~(t)] = pt E(A) + pt E(A :) E[N(t)] =- pt E(A) + pt E(A ) + pt (A ) Coe Seal l'a observ [], si la fonction de structure U(X) est invariable darts le teps, on doit avoir quel que soit t E[N(t)] -- E[/V(t) E(A ) = - - = constante () E[N(t)] E(A) Prolongeant cette idde, on peut ajouter que l'on a galeent, entre autres, E[N(t)]- E[/V~(t)] + E[N(/)] E(A ) ---- = constante () E[N(t)] E(A) Rearquons que si le taux instantan de sinistre p n'~tait pas t constant, on replacerait pt par fp(u) duet les relations () et () se aintiendraient. o

6 - 1,91 08,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE L'application de ces forules aux observations statistiques du tableau conduit aux r~sultats suivants: /t 19 a [ k t o 191 (),1,0 1,9 1,8 1,91 1,8 1,8 () [,,09,,1,9,8,90 On ne pouvait videent esprer une constance parfaite de rdsultats portant sur des nobres de sinistres faibles et faisant intervenir en outre des oents du e et du e ordre. Ndartoias, algrd les irr~gularitds il nous seble que les rsultats ci-dessus n'infirent pas la vraiseblance d'un schfia basd sur l'invariabilitd dans le teps de la fonction de structure. Si l'on se rapporte ~ la ~diane de chaque sfirie soit E(A - ) E(A) - ) --- =. E(A) on volt que la fonction de structure U(X) est du type hypoexponentiel, c'est-fi:dire plus concentr~e que la loi exponentielle pour laquelle E(A ) E(A ) ~O(Ai= ete(a ) -- Ce pourrait donc ~tre une loi avec un seul ode situ pros de l'origine. ~e test Si la loi de probabilitfi du aobre de sinistres est du type Poisson copos~, l'h~tfirog~n~it~ de l'enseble des risques consid~r~s doit apparaitre si l'on subdivise cet enseble en sous-ensebles d~finis par le nobre de sinistres observds pendant une pfiriode antrieure. Sur la base des tableaux k V et analogues, nous avons donc calculfi le rapport entre la valeur oyenne du nobre de sinistres par vfihjcule-annde pour ces sous-ensebles et la valeur oyenne du

7 ~,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE 09 ee nobre pour l'enseble des risques, et ce pour chacune des annes de 19 ~ 191 analyse en fonction du nobre n de sinistres pendant les pdriodes prdcddentes de k ans selon les cas. Voici les rsultats groups -- pour la facilitd des coparaisons -- selon le nobre d'anndes prcddentes dfinissant les sous-ensebles considdrds. pendant i' anne prcdente o o o,8 o,8 0,8 0,88 o,91 o,81 1 1, 1, 1, 1,1 1, 1,99,,8 1,8,,,,,o [, o,o, pendant les o aries prcdentes o o, o,9 o,8 o,9 o,8 1, 1, 1, 1, 1,19, 1,99,, 1, >~,, ' i,99, pendant les 91 19o annes prcdentes o 0, 0, o,9 0, 1, [,0, 1, ~,o 1,,8 1, >~,8,,o, h i pendant les annes pr~cdentes o 199 o 0, 1,O1 1,, >/, 0,0 0,9 1,0,0,98 o,1 1,1 1,1 1,,81

8 10,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE n pendant les annes prcdentes ~z pendant les anncs prcdentes i9l o i /> 0,,O 1,, 1,98 0, 0,89 1,1,09,81 o o,9 i 0,9 1,8 1,8 >~,o L'chelonneent des valeurs de ce rapport rpond assez bien aux prdvisions thoriques qui seraient bases sur une loi de Poisson coposde et ce quelle que soit l'anne considre. Cela apparalt encore ieux si, pour niveler les anoalies que le faible volue de certains sous-ensebles ne peut anquer de provoquer, on ne retient que la n%d_iane (ou ventuelleent la oyenne des dianes) de chaque ligne, ce qui conduit au tableau suivant. l'anne prcdente Valeurs n%dlanes du rapport s'fl y a eu n sinistres pendant les ann~es prc~dentes les annes prcdentes les annes prcdentes les annes ] les anndes prcdentes pr~cdentes o ~ ~ 0,8 1,8,1,1 o,9 1,,, o,1 1,1 1,9, 0, 1,01 1,1,0,98 0, 0,9 0,9 0,9 1,8 ] 1,8, 1,8 '9,0 ' CONCLUSONS Le seul ~rite des statistiques utilises -- si elles en ont un -- est la relative longueur de la priode d'observation qui copense, clans une certaine esure, le trop petit nobre d'unit~s observ~es. A dfaut de pouvoir y appliquer des tests statistiques precis, oll a pu suivre le ph~uo~ne dans le teps et s'assurer notaent d'une stabilit approxiative de la fonction de structure U(;~). On peut en conclure, avec une vraiseblance suffisante pour la pratique nous seble-t-il, que l'hypoth~se de l'ht~rog~n~it des classes de risque se ontre apte ~ prdvoir l'influence du coporteent pass d'une sous-classe de risques sur son coporteent futur en ce qui concerne le hobre de sinistres.

9 ,,NOMBRE DE SNSTRES" EN ASSURANCE AUTOMOBLE La esure de cette influence est une des bases pratiques d'un syst~e de bonus-alus qui introduirait a posteriori dans les tarifs l'effet du facteur huain sur l'intensitd du risque, sous rdserve de pouvoir adettre l'inddpendance stochastique des variables,,nobre de sinistres" et,,coflt d'un sinistre". BBLOGRAPHE [] H. L. SEAL: Stochastic Theory of a lq.isk Business (p. ). [] P. THYRON: Etude de la loi de probabilitd de la variable,,nonlbre de sinistre,q" dans l'assurance autoobile -- XVe Congr~s nternational d'actuaires 19o.