1 Grad Info Soir Langage C - Juin 2006

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1 1 Grad Info Soir Langage C - Juin Explications L'examen comprend 3 parties - un programme à réaliser à domicile - une partie écrite qui comprend un certain nombre de petits paragraphes de code dans lesquels il faudra détecter et corriger des erreurs de syntaxe ou des erreurs de logique - un petit programme à réaliser pendant l'examen Le programme à réaliser à domicile est énoncé ci-dessous. Il doit être rendu le jour de l'examen. 2. Projet Grands Nombres 2.1. Position du problème Quel que soit le langage de programmation considéré, la représentation standard des nombres est toujours limitée en précision - char ou unsigned char -128 à +127 ou 0 à int ou unsigned int à ou 0 à double 1.7 x à 1.7 x etc. Même le type long double codé sur 10 bytes ne donne que 19 chiffres exacts! Or, de nombreux problèmes exigent plus de précision - Les problèmes de cryptographie font appel à des nombres qui ont des dizaines de milliers de chiffres; - la comptabilité bancaire doit travailler avec au moins 6 décimales et au moins 13 chiffres avant la virgule (mille milliards); - les systèmes GPS ont besoin d'une précision considérable. Pour ces problèmes, les types prédéfinis ne conviennent plus La base Une manière (très) simple de contourner le problème consiste à remplacer les types définis ci-dessus par des tableaux. Ainsi, le nombre de 30 chiffres ne peut être stocké dans un int ni dans un long, mais bien dans un tableau de 30 bytes (ou signed char). 1

2 On peut définir par défaut des tableaux d'une taille maximale définie par l'utilisateur (p.ex 50 digits) variante On peut même imaginer un tableau qui s'agrandit automatiquement au fur et à mesure que l'on ajoute des chiffres Les opérations Le principe de base des opérations est de revenir à ce que nous faisions à l'école primaire quand nous réalisions des opérations "écrites" Addition L'addition de deux grands nombres se fait comme jadis, en utilisant un troisième grand nombre Dans une deuxième passe, on part de l'extrémité droite et on redistribue les reports de proche en proche etc jusqu'à Il faut évidemment signaler le cas d'un overflow Soustraction On peut régler le problème de la soustraction de deux manières - soit en raisonnant comme à l'école primaire quand on soustrait un petit nombre d'un grand - La première phase consiste à faire l'inverse de la redistribution des reports avec le premier nombre devient 2

3 etc jusqu'à On remarque qu'on a ajouté 9 à toutes les cellules sauf la première à laquelle on a retiré 1 et la dernière à laquelle on a ajouté 10. On peut ensuite procéder à la soustraction élément par élément on reprend les reports comme dans le cas de l'addition soit en se ramenant à une addition en considérant le complément à 10 du nombre que l'on soustrait Complément à 9 Ajouter Traiter comme une addition on reprend les reports comme dans le cas de l'addition Le dernier report éventuel est omis, comme dans le cas du calcul binaire vu en structure des ordinateurs Comparaison de deux nombres Le problème de la soustraction ci-dessus se simplifie quand on soustrait un petit nombre d'un plus grand car le résultat est positif. Si on doit soustraire un grand nombre d'un petit on a quand même intérêt à faire l'inverse à changer le signe du résultat. Note Il faut donc prévoir un byte de plus pour stocker le signe du nombre Comment savoir si un nombre est plus grand qu'un autre? 3

4 est plus grand que Partant du rang le plus fort, on saute tous les rangs tant que leurs valeurs sont identiques ([1]...[7]). Le nombre le plus grand est celui qui a la plus grande valeur dans le premier rang dont les valeurs sont différentes dans les deux nombres ([8] et [1]) Multiplication La multiplication s'effectue comme la multiplication écrite apprise à l'école primaire. X ???????????????????? On effectue d'abord la multiplication par le dernier chiffre X on reprend les reports (presque) comme dans le cas de l'addition On garde ce résultat partiel On multiplie le premier des deux chiffres par 10, ce qui signifie qu'on décale tous les chiffres d'un rang vers la gauche et qu'on ajoute un 0 final. On fait l'inverse avec l'autre opérande X On procède comme dans la première étape et on obtient un deuxième résultat partiel que l'on additionne au premier. Et ainsi de suite jusqu'à éement de tous les chiffres de la deuxième opérande. Note 1 On voit qu'on a intérêt à utiliser le plus court des deux nombres comme deuxième opérande. Il est sans doute intéressant de prévoir une cellule de plus pour stocker le nombre de chiffres significatifs de chaque nombre. Note 2 Attention au dépassement de capacité dans la multiplication le nombre de rangs du résultat est la somme des rangs des deux opérandes. P.Ex 99 x (2 rangs + 2 rangs 4 rangs); mais 10 x (un rang de moins que la somme) Division (facultatif) Il s'agit d'une division euclidienne c'est-à-dire une division qui ne produit pas de partie décimale (dividende diviseur x quotient + reste) 4

5 On décale de diviseur d'un ou plusieurs rangs vers la gauche tant qu'il reste inférieur au dividende. On retient le rang auquel sont arrivées les unités du diviseur On soustrait le diviseur du dividende et on place un 1 dans vecteur résultat Si le dividende est encore plus grand que le diviseur, on effectue une nouvelle soustraction et on incrémente la cellule correspondante du vecteur résultat Dans le cas contraire, on recule le diviseur d'un rang vers la droite et on reprend le processus ce qui donne On décale à nouveau le diviseur vers la droite et ainsi de suite jusqu'à revenir à la position initiale du diviseur. 5

6 A la fin de l'opération, le vecteur qui contenait le dividende contient à présent le reste Les fonctions, en résumé Le programme n'est pas très difficile à réaliser si on raisonne en termes de petites fonctions ou routines. Il faut - une routine qui crée et initialise un "tableau-nombre" d'une certaine longueur - une routine qui copie un nombre dans un autre - une routine qui convertit un tableau de chiffres "caractères" en chiffres "binaires" - une routine qui fait l'inverse, qui passe des chiffres aux caractères - une routine qui additionne les cellules deux à deux - une routine qui soustrait les cellules deux à deux - une routine qui collecte les reports (pour l'addition) - une routine qui distribue les reports (pour la soustraction) - une routine qui effectue le complément à 10 (éventuellement) - une routine qui détermine si un nombre est plus grand (+1), égal (0) ou inférieur (-1) à un autre - une routine qui détermine si un nombre est plus grand (+1), égal (0) ou inférieur (-1) à zéro - une routine qui multiplie un nombre par un simple digit (pour la multiplication) - une routine qui multiplie un nombre par 10 (décalage vers la gauche) - une routine qui divise un nombre par 10 (décalage vers la droite) - une routine qui saute les zéros non significatifs et qui donne la position du chiffre de poids le plus fort ou - une routine qui donne le nombre de chiffres significatifs d'un nombre - etc Toutes ces routines sont combinées pour faire - une routine d'addition Add (a, b, somme) - une routine de soustraction Substract (a, b, diff) - une routine de multiplication Multiply (a, b, produit) - une routine de division Divide (a, b, quotient, reste) Ces routines sont utilisées dans un "main" qui fait une calculatrice élémentaire - Saisir A, - Saisir B - Choix de l'opérateur - Affichage du résultat - Autre opération? Bon amusement. 6

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