Vecteurs et droites. Colinéarité

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1 Vecteurs et droites Colinéarité Définition - Colinéarité Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Propriété Soit et deux vecteurs non nuls. et sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel non nul. et colinéaires il existe un réel non nul tel que. Remarque Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur car Théorème Caractérisation analytique de la colinéarité Dans un repère, on donne les vecteurs et de coordonnées respectives ( ) et ( ). On a alors : et colinéaires Preuve et colinéaires Il existe un réel non nul tel que ( ) ( ) ( ) Exemple Les vecteurs ( ) et ( ) sont colinéaires car Exercice Déterminer toutes les valeurs de tels que ( ) et ( ) soient colinéaires. Les vecteurs ( ) et ( ) sont colinéaires si et seulement si. Soit c est-à-dire ou. Page 1

2 Exercice Dans un repère du plan, les points et sont placés. est le point du segment d abscisse et celui d ordonnée. On se propose de calculer l ordonnée de et l abscisse de. a) Justifier que et sont colinéaires. Les points et appartiennent au segment. Les points et sont donc alignés et les vecteurs et colinéaires. b) Calculer en utilisant la condition de colinéarité ( ) ( ) et ( ) et colinéaires c) Calculer la valeur de. ( ) et colinéaires Propriété Parallélisme et alignement Soit et quatre points du plan. et sont colinéaires et sont alignés et sont colinéaires Exercice est un triangle. est un point du segment. et sont les points définis par et Démontrer que et sont parallèles. ( ). Les vecteurs et sont colinéaires. On en déduit que les droites et sont parallèles. Page 2

3 Décomposition d un vecteur dans une base Théorème Décomposition d un vecteur dans une base Soit et deux vecteurs non colinéaires du plan. Alors, pour tout vecteur du plan, il existe un couple de réels unique tel que. Le couple est appelé couple de coordonnées dans la base. Exemple Soit ( ), ( ) deux vecteurs non colinéaires et ( ). Déterminer par le calcul les coordonnées du vecteur dans la base Solution ( ) ( ) ( ) { On résout le système suivant et on obtient et. D où. Les coordonnées de dans la base Page 3

4 Exercice est un triangle rectangle en. est le milieu de. Les point et sont tels que et. La parallèle à menée par coupe en. On se propose de montrer que et sont alignés. On choisit le repère ( ;, ). a) Quelles sont les coordonnées de et dans ce repère? et Quelles sont les coordonnées de et? ( ) ( ) Quelle est l abscisse de? Par construction le point appartient à la parallèle à passant par J. Donc b) Justifier que et sont colinéaires puis en déduire le calcul de l ordonnée de. Par construction le point appartient au segment. Donc et sont colinéaires. ( ) et ( ). et sont colinéaires c) Démontrer que les points sont alignés. ( ) et ( ). ( ) ( ) ( ). On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires. Les points et sont donc alignés. Vecteur directeur d une droite Définition Vecteur directeur d une droite On dit qu un vecteur non nul est un vecteur directeur d une droite défini à l aide de deux points distincts de cette droite. s il est colinéaire à un vecteur Remarques Le vecteur nul n ayant pas de direction, il n est le vecteur directeur d aucune droite. Une droite a une infinité de vecteurs directeurs (ils sont tous colinéaires entre eux). Un vecteur non nul est vecteur directeur d une infinité de droites (elles sont toutes parallèles entre elles). Page 4

5 Définition Repère d une droite Soit une droite sur laquelle on a choisi une unité et un point de la droite. On choisit un vecteur directeur de de norme égale à 1 (vecteur unitaire). Alors le couple est appelé repère de la droite Le vecteur a la même direction que la droite. C est un vecteur directeur de. Sur la droite on a choisi une origine et un représentant de. On pose comme unité Le couple est un repère de la droite. Propriété caractéristique Soit une droite de repère. Un point Le réel est l abscisse du point dans le repère. La droite est l ensemble de tous les points du plan tels que, variant dans. Exemple d application On donne la droite passant par le point et de vecteur directeur ( ). Le point appartient-il à? ( ) n est pas colinéaire à ( ). Donc. Théorème Soit une droite du plan. Si n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, alors il existe un unique couple de réels tel que l'équation soit une équation de. Cette équation est appelée équation réduite de. Si est parallèle à l'axe des ordonnées, alors il existe un unique réel tel que l'équation soit une équation de. Page 5

6 Propriété - Vecteur directeur Le vecteur de coordonnées ( ) est un vecteur directeur de toute droite d équation où est un nombre réel quelconque. Tout vecteur de coordonnées ( ), où est un réel quelconque est un vecteur directeur de la droite d équation est un nombre réel). Exemples La droite d équation a pour vecteur directeur ( ) La droite d équation a pour vecteur directeur ( ) Preuve de la propriété Soit la droite d équation réduite. Les points et appartiennent à la droite. ( ) est un vecteur directeur de la droite d équation réduite. Soit la droite d équation. Les points ( )et ( ) appartiennent à la droite d équation ( ) est donc un vecteur directeur de cette droite. Le plan est muni d'un repère (O ; ). Caractérisation analytique d une droite Théorème Équation cartésienne d une droite Toute droite du plan admet une équation de la forme où et sont trois réels à déterminer. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite. Preuve On se place dans le plan muni d un repère (O ; ). Soit un point de coordonnées. Il s agit de déterminer à quelles conditions le point appartient à la droite. La droite peut être déterminée par la donnée d un point de la droite et d un vecteur directeur ( ) non nul (c est-à-dire que et β ne peuvent être nuls en même temps). On pose. Page 6

7 Alors le point est un point de la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation. Remarque Une droite admet une infinité d équations cartésiennes. Il suffit de multiplier tous les termes de l équation par un réel non nul. Par exemple, avec et sont deux équations cartésiennes d une même droite. Exemple Calculer l équation cartésienne d une droite Dans un repère on considère les points et. 1) Donner une équation cartésienne de la droite parallèle à la droite et passant par le point. Le vecteur ( ) est un vecteur directeur de la droite parallèle à la droite et passant par le point. Soit un point de. ( ) sont colinéaires Donc a pour équation cartésienne 2) Déterminer la valeur de pour laquelle le point ( ) appartient à Le point appartient à si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation cartésienne de. Soit On en déduit que. 3) Le point ( ) appartient-il à? Le point appartient à si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation cartésienne de. ( ) donc. Théorème réciproque L ensemble des points vérifiant l équation (avec ) est une droite de vecteur directeur Preuve On suppose par exemple que. Notons l ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l équation. On a. Le point. Le vecteur a pour coordonnées ( ). Page 7

8 et ( ) sont colinéaires. En effet, ( ). Or d après l hypothèse. Donc les vecteurs et ( ) sont colinéaires. On en déduit que est la droite passant par et de vecteur directeur. Exemples La droite d équation a pour vecteur directeur ( ). Page 8