Matière : Math. Année scolaire : Classe : S.V Exercice I (3,5points)

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1 Matère : Math. Année scolare : 00-0 Classe : S.V Eercce I (,5ponts) Dans le plan complee rapporté à un repère orthonormé O; u, v. On consdère les ponts A, et C d affes respectves : z A = ; z =+ et z C = + )a) Écrre z et z C sous forme eponentelle. b) Montrer que le trangle AC est rectangle en. ) Pour tout pont M () d affe z on assoce le pont M d affe z tel que z ' =z + -. z z a) Montrer que e z z b) En dédure la nature du trangle M M Eercce II (,5 ponts) L'espace est mun d'un repère orthonormé ( O;, j, k).soent les ponts A(;;)et (;;0) ) Démontrer que le trangle OA est rectangle en. ) Écrre une équaton cartésenne de P =(OA).. )a- Vérfer que le plan P d'équaton +y+z-=0 est le plan médateur du segment [OA]. b- Détermner une équaton du plan P, le plan médateur du segment [O]. ) a- Vérfer que la drote () de représentaton paramétrques : = -t +5/, y=t-/, z= -t+ est l'ntersecton de. (P ) et (P ). b- Quelle est la caractérstque géométrque des ponts de (). 5) On consdère le pont S( 9 5,,). a- Vérfer que S appartent à (). b- Détermner le volume du tétraèdre SOA. 6) a- Détermner les coordonnées de H, pont d'ntersecton des plans P,P et P. b- Quelle est la poston de H dans le trangle OA? Eercce III(,5 ponts) Sur son trajet quotden qu le condut de son domcle à son leu de traval, un automoblste rencontre deu feu trcolores. S le sgnal est vert, l passe, s le sgnal est orange ou rouge, l s arrête. On note : A l évènement : «l automoblste s arrête au premer feu». A l évènement : «l automoblste s arrête au deuème feu».

2 On note A et A les évènements contrares des évènements A et A.. Lorsque l automoblste se présente au premer feu, la probablté que le sgnal sot orange est 6 la probablté qu l sot rouge est a. Quelle est la probablté que l automoblste s arrête au premer feu? b. Quelle est la probablté qu l passe sans s arrêter au premer feu?. S l automoblste s est arrêté au premer feu, la probablté qu l s arrête également au deuème feu est ; s l ne s est pas arrêté au premer feu, la probablté qu l s arrête au deuème feu est a. Illustrer cette stuaton par un arbre pondéré. b. Démontrer que la probablté que l automoblste ne s arrête pas sur son trajet est c. Calculer P ( A A ) et P( A A ); en dédure P ( A ). d. L automoblste s est arrêté au deuème feu. Quelle est la probablté qu l se sot également arrêté au premer feu?. S l automoblste effectue le trajet sans s arrêter, celu-c dure neuf mnutes, s l s arrête une fos, douze mnutes, et s l s arrête deu fos, qunze mnutes. a. Détermner la lo de probablté de la durée du trajet. b. Détermner la durée moyenne du trajet. Eercce IV ( 7,5 ponts) Parte A Sot f la foncton défne sur IR par e f ( ) e, sa courbe représentatve dans un repère ortho normal est Notée C f. - Calculer lm f ( ) et lm f ( ), nterpréter graphquement. - Étuder la varaton de f. - Démontrer que f(-)+f()=0. Qu'en dédut-on pour C f?. - Détermner le sgne de f() selon les valeurs de. Parte On consdère la foncton g défne sur IR par g()=ln(e +)-. sa courbe représentatve dans un repère ortho

3 Notée C g. - Prouver que, pour tout, g()= ln( e ) ln( e e ). - Vérfer que g'()=f() pour tout, En dédure les varatons de g. - a)calculer lm g( ). b) Prouver qu'en + la drote (D) : y est asymptote à C g. c) Étuder la poston relatve de C g et (D). ) Démontrer que la foncton g est pare. Qu'en dédut-on pour C g? En dédure l'équaton de l'asymptote oblque à C g en -. 5) Tracer C g avec ses asymptotes.

4 Matère : Math. Année scolare : 00-0 Classe : S.V. Réponses Note I -a) z e z e C z z A b) e z z ( ) C donc AC trangle rectangle en z z z ( z ) a) e z z z z b- MM' trangle en / II - A ( ; ; ) A O 0 donc trangle rectangle en - P : OM ( OA O) 0 =-y+z=0 -a- I(/;/;) mleu de [OA] et I P et OA N P donc +y+z-=0 équaton du plan P ou IM OA=0 = +y+z-= 0 b- J(;;0) mleu de [O] et O donc JM O 0 =+y-=0 N P / / / / - a- P ss et P P vérfcaton par calcule / P b- Un pont de équdstant de O, A et donc est l'ae du cercle crconscrt au /

5 trangle OA 5 a- S ss les coordonnées de S vérfer l'équaton de P donc S OU S P et S base hauteur AOA h O A h b- VSOA 6 OA.( O OS) OU V SOA 6 6 a-{h} = P P = P P car P P (t=-) ce qu donne H( /;/;) / / y z 0 OU ben les coordonnées de H sont des solutons du système y z 0 y 0 b- H est le centre du cercle crconscrt au trangle OA donc H est le mleu de [OA] / III ) a- P(s'arrête au premer feu ) =P( rouge ou orange ) = p(rouge )+p(orange )=/6+/=/ / b- P(vert) = -/=/ / - a) arbre b) P ( A A ) / c) P ( A A ) et P ( A A ) 6 / P( A ) P ( A A ) P ( A A ) 5 d) P ( A P( A A ) / A ) P( A ) 5 / a- P(X=9)= P ( A A ), P(X=) = P( A ) 5 et P(X=5) = P ( A A ) 9 5 total p / 5/ /

6 b- E(X) = p =,75 mnutes / IV ) lm f ( ) et lm f ( ) donc y =- A.H et y = A.H / ) f ( ) e e >0 donc f strctement crossante / e ) f(-)+f()= 0 ce qu donne f(-)=-f() donc f mpare e e / O(0 ;0) centre de symétre ) f()=0 ss = 0, f() >0 ss >0, f( ) <0 ss <0 / ) g() = ln( e ) ln e ( e ) ln( e ) ln( e ) g()= ln( e ) ln e ( e e ) ln( e e ) ln( e e ) e ) g ( ) f ( ) e g'() g() + ln + / a) lm g( ) b) lm [ g ( ) ] lm ln( e ) ln 0 donc y =0,5 A.O c) [ g ( ) ] ln( e ) 0 car + e > donc la courbe au dessus de l'asymptote / / / g(-)=g() donc g est mpare y'oy ae de symétre y = -0,5 /

7 5 y