Année Thèse. pour obtenir le titre de. présentée par Thomas-Samnang LIM. Directrice de thèse Pr. Marie-Claire QUENEZ

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1 Universié Paris Didero - Paris VII UFR de Mahémaiques Année 21 Thèse pour obenir le ire de Doceur de l Universié Paris 7 Spécialié : Mahémaiques Appliquées présenée par Thomas-Samnang LIM Quelques applicaions du conrôle sochasique aux risques de défau e de liquidié Direcrice de hèse Pr. Marie-Claire QUENEZ Souenue publiquemen le 7 Juille 21, devan le jury composé de : HU Ying, Professeur, Universié Rennes 1 JEANBLANC Monique, Professeur, Universié d Evry Val d Essonne MATOUSSI Anis, Professeur, Universié du Maine PHAM Huyên, Professeur, Universié Paris 7 QUENEZ Marie-Claire, Professeur, Universié Paris 7 SULEM Agnès, Direceur de recherche, INRIA TOUZI Nizar, Professeur, Ecole Polyechnique au vu des rappors de : JEANBLANC Monique, Professeur, Universié d Evry Val d Essonne ØKSENDAL Bern, Professeur, Universié d Oslo

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3 A mes parens, pour m avoir oujours souenu.

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5 Remerciemens Mes premiers remerciemens von naurellemen à ma direcrice de hèse, Marie-Claire Quenez, sans qui cee hèse n aurai pas pu voir le jour. Je la remercie de m avoir iniié à la recherche dans le domaine des mahémaiques financières e du conrôle sochasique. Je suis rès honoré que Monique Jeanblanc e Bern Øksendal aien accepé de rédiger les rappors sur ma hèse. Je remercie pariculièremen Monique pour sa sympahie e sa disponibilié. Je remercie égalemen Ying Hu, Anis Maoussi, Huyên Pham, Agnès Sulem e Nizar Touzi d avoir accepé de faire parie de mon jury. Mes remerciemens von aussi à ous les membres du LPMA, en pariculier Laure Elie e Ying Jiao. Je iens, de plus, à remercier mes coaueurs Idris Kharroubi, Vahana Ly Vah e Simone Scoi avec qui ravailler fu un réel plaisir noammen Idris, pour oues les discussions e les bons momens paragés avec lui duran ces années de hèse. J exprime égalemen ma reconnaissance envers Pascal Chieini, Michèle Wasse e sa remplaçane, Alice Dupouy, pour leur aide dans mes démarches adminisraives pendan ces rois années passées à Chevalere. Je remercie bien évidemmen les hésards e anciens hésards que j ai pu côoyer à Chevalere, en pariculier ceux de mon bureau (Caro e Tu, qui m on chaleureusemen accueilli, JB, Joseph, Marc, Mohamed, Myriana e Raquel) e des bureaux 5C6 e 3D1, les hésards d Évry (Armand, Behnaz e Girogia), qui m on oujours bien reçu, ainsi que les docorans renconrés lors de conférences ou séminaires. Mes pensées von à mes amis d enfance. Quand j évoque le bon vieux emps, je me rappelle des bons momens passés ensemble à raîner dans le quarier : les souvenirs me resen inacs. Ensemble, on n avai besoin de rien pour êre heureux. Je pense égalemen à mes amis de LLG e ous les aures. Je ne peux oublier ceux qui nous on quiés en cours de roue. J exprime oue ma reconnaissance à ma famille, e ou pariculièremen à mes parens, qui on oujours éé présens pour moi. Enfin, je ermine en remercian celle qui m a oujours souenu e encouragé duran ces rois années e qui a passé quelques nuis blanches à la fin de la rédacion de cee hèse : Cécile.

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7 TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION GÉNÉRALE 13.1 Maximisaion d uilié dans un modèle avec défaus Maximisaion de la foncion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un marché avec défau Opimisaion de porefeuille dans un marché avec défau sous informaion oale/parielle Grossissemen progressif de filraions e EDSR à saus Modélisaion du spread bid-ask I MAXIMIZATION OF UTILITY IN AN INCOMPLETE MARKET WITH DEFAULTS AND TOTAL/PARTIAL INFORMATION 41 1 Exponenial uiliy maximizaion Inroducion The marke model Sraegies valued in a compac se The non consrained case The se of admissible sraegies Characerizaion of he dynamic value funcion as he maximal subsoluion of a BSDE Approximaion of he value funcion Case of bounded coefficiens Coefficiens saisfying some inegrabiliy condiions Case of sraegies valued in a convex-compac se The non consrained case Indifference pricing Generalizaions Several defaul imes and several socks

8 1.9.2 Poisson jumps Appendix Essenial supremum A classical lemma of analysis Proof of he closedness by binding of A Proof of he exisence of a càd-làg modificaion of (J ) Proof of equaliy (1.5.2) Proof of opimaliy crierion (Proposiion 1.7.2) Characerizaion of he value funcion as he maximum soluion of BSDE (1.3.3) Opimizaion under Full/Parial Informaion Inroducion The model Logarihmic uiliy funcion Power uiliy Opimizaion over bounded sraegies General case Several defaul imes and several asses The parial informaion case Filering Opimizaion problem for he logarihmic and power uiliy funcions Opimizaion problem for he exponenial uiliy funcion and indifference pricing Appendix Proof of Proposiions and Proof of Theorem Proof of Theorem Proof of Lemma II PROGRESSIVE ENLARGEMENT OF FILTRATIONS AND BACK- WARD STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS BSDEs wih jumps Inroducion Progressive enlargemen of filraions Decomposiion of BSDEs wih jumps Exisence of a soluion

9 3.3.2 Applicaion o he pricing of a European opion in a complee marke wih defaul Uniqueness Decomposiion of Feynman-Kac formula for IPDE Uiliy maximizaion in a jump marke model III BID-ASK SPREAD MODELING Bid-Ask spread modeling Inroducion The model Theoreical analysis of pah sensiiviy and approximaion Bid-Ask model Opimal liquidaion porfolio problem The economic moivaions and he objecive funcions Theoreical soluion of he opimizaion problem Log-Normal and Consan Elasiciy of Variance Diffusions Numerical resuls Black-Scholes case CEV case Comparison on scenarios Appendix Proofs of Lemmas and Bibliography 191 9

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11 INTRODUCTION GÉNÉRALE Cee hèse se compose de rois paries indépendanes poran sur l applicaion du conrôle sochasique à la finance. Dans la première parie, nous éudions la maximisaion d uilié de la richesse erminale dans un modèle avec défaus (ou saus de ype poissonnien) dans le cadre d une informaion oale puis d une informaion parielle. Nous nous inéressons aux foncions d uilié classiques : exponenielle, logarihmique e puissance. Cee éude es faie dans le cas de sraégies à valeurs dans un ensemble compac puis dans le cas non conrain. Le cas compac es résolu simplemen grâce à un héorème de vérificaion. Dans le cas non conrain, grâce à des echniques de programmaion dynamique, la foncion valeur associée à ce problème peu êre caracérisée comme la soluion d une équaion différenielle sochasique rérograde (EDSR). Elle peu égalemen êre caracérisée comme la limie croissane (ou décroissane pour l uilié exponenielle) d une suie de soluions d EDSR lipschiziennes. Ce résula perme d approcher numériquemen la foncion valeur. En uilisan ces résulas, on obien une caracérisaion e une approximaion du prix d indifférence d un acif coningen non duplicable. Dans la deuxième parie, nous nous inéressons aux EDSR à saus e plus pariculièremen aux EDSR quadraiques. Celles-ci son généralemen uilisées en finance pour la résoluion du problème de maximisaion d uilié de la richesse erminale en prenan pour foncion d uilié la foncion exponenielle ou puissance. Nous uilisons la décomposiion des processus à saus liée au grossissemen progressif de filraions pour nous ramener à des EDSR browniennes enre les saus. Cee méhode nous perme d éablir un héorème d exisence ainsi qu un héorème d unicié. En uilisan ces echniques de décomposiion, nous donnons égalemen une décomposiion de la formule de Feynman-Kac pour les équaions inégro-différenielles, celle-ci s écrivan sous forme d un sysème récursif d équaions aux dérivées parielles. Ces résulas son appliqués à l évaluaion e à la couverure d une opion européenne dans un marché comple, e à la résoluion du problème de maximisaion d uilié exponenielle de la richesse erminale dans le cas de sraégies à valeurs dans un 11

12 12 INTRODUCTION GÉNÉRALE ensemble compac. La roisième parie es plus numérique e pore sur l éude de la liquidaion d un porefeuille dans un modèle de risque de liquidié. On enend par liquidié la liquidié du marché, qui correspond à la possibilié pour un invesisseur d effecuer une ransacion au prix affiché e pour un volume imporan sans affecer le cours du ire. Dans les modèles classiques, on fai l hypohèse d un marché financier parfaiemen liquide, ce qui ne correspond guère à la réalié du marché. En effe, dans la plupar des cas, le marché es peu liquide e représene donc un risque pour les invesisseurs concernés. On essaye d expliquer le phénomène de risque de liquidié à l aide de la héorie des erreurs. Ceci nous perme de modéliser la fourchee bid-ask. Ces résulas son appliqués au problème de liquidaion d un porefeuille en emps discre e déerminise dans le modèle obenu. Dans la suie de cee inroducion, nous allons exposer la problémaique de chaque chapire ainsi que les résulas imporans obenus..1 Première parie : maximisaion d uilié dans un modèle avec défaus Dans le conexe d un marché incomple, du fai de l absence de sraégie de réplicaion, on va chercher à redéfinir la noion de sraégie opimale. Ceci es l une des moivaions conduisan à s inéresser à des problèmes d opimisaion de la foncion d uilié. Le problème pariculier qui nous inéresse es celui de la maximisaion de la foncion d uilié de la richesse erminale d un porefeuille. Nous regardons dans le premier chapire la foncion d uilié exponenielle, e dans le deuxième chapire nous éudions les foncions d uilié logarihmique e puissance dans le cas d une informaion oale e d une informaion parielle. Rappelons qu on parle d une informaion parielle lorsque ceraines des variables apparaissan dans le modèle ne son pas observées. Ce problème de maximisaion d uilié es rès largemen éudié dans la liéraure. Dans l aricle de référence de Meron [98], l aueur examine un problème en emps coninu de consommaion-invesissemen d un agen sur le marché. Il souhaie déerminer la proporion opimale de richesse que l invesisseur doi déenir pour chaque acif en foncion de son prix. En uilisan des echniques d Hamilon-Jacobi-Bellman, l aueur obien une formule explicie de la foncion valeur associée au problème e la sraégie opimale correspondane. Dans la liéraure, on disingue deux approches pour résoudre ce problème de maximisaion : l approche duale, qui consise à inroduire le problème dual associé au problème d op-

13 .1. MAXIMISATION D UTILITÉ DANS UN MODÈLE AVEC DÉFAUTS 13 imisaion, lorsque ce dernier es formulé de manière saique. On cie comme références, dans le cadre d un marché comple, Karazas, Lehoczky e Shreve [77] ou Cox e Huang [41], e dans le cadre d un marché incomple, Karazas e al. [78], Kramkov e Schachermayer [84] ou Delbaen e al. [45] ; l approche par conrôle sochasique, qui es basée sur le principe de la programmaion dynamique (une formulaion en es donnée dans El Karoui, Peng e Quenez [56]). On peu cier Jeanblanc e Ponier [71] dans le cadre d un marché comple avec saus, Rouge e El Karoui [117] dans le cas d une filraion brownienne, Hu, Imkeller e Muller [67] dans le cas où les sraégies prennen leurs valeurs dans un ensemble fermé, Mania e Schweizer [97] pour des semimaringales générales ou Morlais [99] pour une filraion disconinue. Concernan l informaion parielle, la liéraure es moins abondane. On peu cier dans le cas comple Deemple [47], Dohan e Feldman [48] ou Gennoe [63], qui uilisen le principe de la programmaion dynamique dans un cadre gaussien, Lakner [86, 87], qui uilise l approche maringale égalemen dans un cadre gaussien, ou Karazas e Zhao [81], qui uilisen l approche duale dans un cadre bayesien. Dans un modèle incomple, on peu cier Frey e Runggaldier [61] ou Lasry e Lions [88], qui éudien des problèmes de couverure, Pham e Quenez [11], qui raien le cas de la volailié sochasique, Plaen e Runggaldier [113], qui s inéressen à l opimisaion, Saas e Haussmann [12], qui regarden le cas markovien ou Callegaro, Di Masi e Runggaldier [32] e Roland [116], qui éudien le cas à saus. On peu se référer à Runggaldier [119] pour un survey sur le filrage. Dans les deux chapires de cee première parie, nous éudions un modèle avec défaus : on considère un marché financier incomple consiué d un acif sans risque don le prix es supposé consan e égal à 1 e de n acifs risqués don les prix à l insan son noés (S i ) 1 i n. On suppose que, sur le marché, il exise p insans de défau (ou plus exacemen de choc) que l on noe (τ j ) 1 j p. A chaque insan τ j, j {1,..., p}, les acifs risqués peuven êre disconinus. Dans le rese de cee inroducion, on prend n = p = 1 pour simplifier les noaions. On suppose que le processus de prix sui la dynamique suivane : ds = S (µ d + σ dw + β dn ), avec W un mouvemen brownien e N le processus correspondan à l insan de défau (N = 1 τ ). Nous noons F = {F, T } la filraion engendrée par (W, N), M la F-maringale compensée de N e λ son F-compensaeur. Par la suie, nous considérons des sraégies π qui corresponden soi à la somme d argen invesie dans l acif risqué pour le cas de la foncion d uilié exponenielle, soi à la quanié d acifs déenue pour le cas des foncions d uilié logarihmique e puissance. On noe X x,π T la richesse erminale associée à une richesse iniiale x e à une sraégie π. Nous nous inéressons au problème de

14 14 INTRODUCTION GÉNÉRALE maximisaion de l espérance de la foncion d uilié de la richesse erminale X x,π T : V (x, ξ) = sup E [ U ( X x,π T + ξ )], π où ξ es un acif coningen non duplicable (ξ sera égal à pour les foncions d uilié logarihmique e puissance). Une fois caracérisée la foncion valeur, nous déerminons le prix d indifférence lorsque la foncion d uilié es la foncion exponenielle. Celui-ci correspond à la somme à payer à l insan iniial pour recevoir la valeur associée à l acif coningen à l insan erminal. On le défini comme la somme p à rerancher à la richesse iniiale x pour que le supremum de l espérance de l uilié de la richesse erminale soi le même enre un agen possédan l acif coningen e un agen ne le possédan pas : sup E [ U ( X x,π )] T = sup E [ U ( X x p,π T + ξ )]. π π.1.1 Maximisaion de la foncion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un marché avec défau Dans le premier chapire, nous nous inéressons au cas de la foncion d uilié exponenielle U(x) = exp( γx) où γ > es une consane représenan l aversion au risque de l invesisseur. Puisque l égalié V (x, ξ) = exp( γx)v (, ξ) es vérifiée, il es suffisan d éudier le cas où la richesse iniiale x es nulle. Pour simplifier les noaions nous écrivons X π à la place de X,π. Le gain réalisé enre e s, correspondan à une sraégie π, es noé Xs,π = s π u dsu S. A chaque insan, on défini la foncion valeur J(, ξ) par la variable u aléaoire : [ J(, ξ) = ess inf E exp ( γ ( X,π π T + ξ)) F ]. Nous éudions d abord le cas où les sraégies π son supposées à valeurs dans un ensemble compac C e les coefficiens µ, σ, β e λ son supposés bornés. En uilisan un principe de vérificaion (différen de celui de Hu e al. [67]) appliqué aux EDSR (dans l espri de celui d El Karoui e al. [56]), on obien facilemen une caracérisaion de la foncion valeur e de la sraégie opimale. Théorème.1.1. Soi (Y, Z, U) la soluion dans S +, L 2 (W ) L 2 (M) de l EDSR suivane : dy Y T = ess inf π C { γ 2 } 2 π2 σ 2 Y γπ (µ Y + σ Z ) λ (1 e γπβ )(Y + U ) d Z dw U dm, = exp( γξ). (.1.1) Alors, J(, ξ) = Y, P p.s., pour ou [, T ]. Il exise une unique sraégie opimale ˆπ à valeurs dans le compac C. Elle es caracérisée par le fai qu elle es l argumen minimum du généraeur de l EDSR.

15 .1. MAXIMISATION D UTILITÉ DANS UN MODÈLE AVEC DÉFAUTS 15 Noons qu en faisan le changemen de variable y = log(y ), on a que le processus y es soluion d une EDSR quadraique. On rerouve donc le résula éabli par Morlais [99] via des echniques d EDSR quadraiques. Dans le cas sans conraine, il n es pas possible d uiliser un héorème de vérificaion comme pour le cas compac. Dans un premier emps, nous nous aardons sur le choix d un ensemble approprié de sraégies admissibles. En effe, le principe de la programmaion dynamique (PPD) n es pas vérifié sur n impore quel ensemble : des propriéés de recollemen doiven êre saisfaies, mais égalemen des condiions d inégrabilié car il s agi d un esseniel infimum (e non un esseniel supremum de variables aléaoires posiives). Pour cela, on peu choisir par exemple l ensemble A des sraégies π elles qu il exise, pour chaque s, une consane K s,π elle que X s,π K s,π pour ou s T. Nous monrons que, sur ce ensemble, le PPD es saisfai : (J(, ξ)) T es le plus grand processus el que (exp( γx π )J(, ξ)) T es une sous-maringale pour ou π A avec comme condiion erminale J(T, ξ) = exp( γξ). A priori, on ne sai pas s il exise une sraégie opimale sur l ensemble A, mais on peu ou de même caracériser la foncion valeur à l aide d une EDSR (sans aucune hypohèse de borniude sur les coefficiens). Théorème.1.2. Soi (Y, Z, U, K) la plus grande des sous-soluions dans S +, L 2 (W ) L 2 (M) A 2 de l EDSR suivane : dy Y T = ess inf π A { γ 2 } 2 π2 σ 2 Y γπ (µ Y + σ Z ) λ (1 e γπβ )(Y + U ) d dk Z dw U dm, = exp( γξ). (.1.2) Alors, J(, ξ) = Y, P p.s., pour ou [, T ]. De plus, grâce à des echniques de conrôle, on monre (sans aucune hypohèse de borniude sur les coefficiens) que la foncion valeur J(, ξ) peu êre approchée par une suie de processus (J k (, ξ)) k N où J k (, ξ) es défini par : [ J k (, ξ) = ess inf E exp ( γ ( X,π π A k T + ξ)) F ], A k éan l ensemble des sraégies de A bornées par k. Théorème.1.3. lim k J k (, ξ) = J(, ξ). Dans le cas où les coefficiens son supposés bornés, grâce au héorème.1.1 appliqué à J k, on obien que J k (, ξ) es la soluion de l EDSR (.1.1) avec C = [ k, k] laquelle es lipschizienne. Ce résula peu êre uilisé pour approcher la foncion valeur grâce à des

16 16 INTRODUCTION GÉNÉRALE méhodes numériques. De plus, en uilisan un résula de convergence de Morlais [99] éabli grâce à des echniques d EDSR quadraiques appliqué à log(j(, ξ)) e log(j k (, ξ)), on en dédui que la suie de processus (J k (, ξ)) k N end vers une soluion de l EDSR (.1.2) avec K =. Il s en sui : Corollaire.1.1. Si les coefficiens son bornés, la foncion valeur J(, ξ) es la soluion maximale de l EDSR (.1.2) (K = ). Un paragraphe de ce chapire es consacré à l éude du cas où les coefficiens son non bornés mais saisfon une hypohèse d inégrabilié de ype exponeniel. Nous pouvons alors caracériser le prix d indifférence p d un acif coningen non duplicable ξ à l aide de soluions d EDSR : p = 1 ( J(, ) ) γ ln, J(, ξ) e l approcher par la suie (p k ) k N définie par : car nous avons : p k = 1 ( J k γ ln (, ) ) J k, (, ξ) p = lim k pk. Nous avons égalemen généralisé ces résulas au cas de saus de ype poissonnien..1.2 Opimisaion de porefeuille dans un marché avec défau sous informaion oale/parielle Dans le deuxième chapire, nous nous inéressons ou d abord au cas d une informaion oale e des foncions d uilié logarihmique U(x) = log(x) e puissance U(x) = x γ où < γ < 1 es une consane représenan l aversion au risque de l invesisseur. Pour ces foncions d uilié, l ensemble des sraégies admissibles A(x) es l ensemble des sraégies elles que la richesse es oujours posiive ; pour la foncion d uilié logarihmique, on rajouera des condiions d inégrabilié afin de pouvoir résoudre le problème en adopan une approche direce. Dans ou ce chapire, nous supposons les coefficiens bornés. Le cas de la foncion d uilié logarihmique peu êre résolu direcemen : Théorème.1.4. La soluion du problème d opimisaion es donnée par : [ T V (x) = log(x) + E (ˆπ µ ˆπ σ 2 ) ] + λ log(1 + ˆπ β ) d, 2

17 .1. MAXIMISATION D UTILITÉ DANS UN MODÈLE AVEC DÉFAUTS 17 avec ˆπ la sraégie opimale définie par : ˆπ = µ 2σ 2 µ σ 2 1 (µ β + σ 2 + )2 + 4λ β 2σ2 2β 2β σ 2 si < τ e β = ou τ. si < τ e β, On rappelle que, dans le cas d un modèle sans défau, la sraégie opimale es donnée par π = µ /σ 2. On remarque donc, dans le cas d un modèle avec défau, que la sraégie opimale peu s écrire : ˆπ = π ɛ, où ɛ es un erme addiionnel défini par : µ ɛ = 2σ (µ β + σ 2 )2 + 4λ β 2σ2 2β 2β σ 2 si < τ e β = ou τ. si < τ e β, On remarque que, si le coefficien β es négaif (respecivemen posiif), i.e. le prix de l acif diminue (resp. augmene) à l insan de défau, le erme addiionnel es posiif (resp. négaif), ce qui veu dire que l agen doi invesir une proporion de sa richesse plus peie (resp. grande) dans l acif risqué que si le marché ne présenai pas de défau. Concernan la foncion d uilié puissance, il suffi d éudier uniquemen le cas où la richesse iniiale x es égale à 1 puisqu on a l égalié V (x) = x γ V (1). On noe A à la place de A(1) e X π à la place de X 1,π. Comme dans le chapire 1, pour résoudre le problème de maximisaion, nous rendons dynamique le problème iniial en définissan pour chaque [, T ] la foncion valeur J() par la variable aléaoire : J() = ess sup π A E [( X,π ) γ ] T F. Mais, avan d éudier le cas général, nous éudions le cas où l ensemble admissible es l ensemble des sraégies de A bornées par k, que l on noe A k. On noe J k () la foncion valeur associée à ce ensemble. En appliquan un principe de vérificaion, on obien une caracérisaion de la foncion valeur J k () e de la sraégie opimale sur l ensemble A k : Théorème.1.5. Soi (Y, Z, U) la soluion dans S 2 L 2 (W ) L 2 (M) de l EDSR suivane : dy { γ(γ 1) = Z dw U dm + ess sup γπ (µ Y + σ Z ) + π 2 σ 2 Y π A k 2 } + λ ((1 + π β ) γ 1)(Y + U ) d, (.1.3) Y T = 1.

18 18 INTRODUCTION GÉNÉRALE Alors, J k () = Y, P p.s., pour ou [, T ]. Il exise une unique sraégie opimale ˆπ A k. Elle es caracérisée par le fai qu elle es l argumen maximum du généraeur de l EDSR. Dans le cas général, le PPD es vérifié pour nore problème avec l ensemble des sraégies admissibles classique A : (J()) T es le plus pei processus el que ((X π ) γ J()) T es une surmaringale pour ou π A avec comme condiion erminale J(T ) = 1. Noons que comme il s agi d un esseniel supremum de foncions posiives, le PPD ne nécessie pas d hypohèse d inégrabilié comme c éai le cas dans le chapire précéden. Par la suie, nous faisons l hypohèse classique : J() <. Nous savons, d après Kramkov e Schachermayer [84], que, sous cee hypohèse, il exise une sraégie opimale ˆπ A. De plus, sous cee même hypohèse, le crière d opimalié es vérifié, c es à dire : Proposiion.1.1. Les asserions suivanes son équivalenes : (i) ˆπ es une sraégie opimale. (ii) Le processus ((X ˆπ ) γ J()) T es une maringale. Nous obenons alors la caracérisaion suivane de la foncion valeur : Théorème.1.6. Soi (Y, Z, U) la plus peie des soluions dans L 1,+ L 2 loc (W ) L1 loc (M) de l EDSR suivane : dy = Z dw U dm + ess sup π A } + λ ((1 + π β ) γ 1)(Y + U ) d, Y T = 1. { γπ (µ Y + σ Z ) + γ(γ 1) π 2 σ 2 Y 2 (.1.4) Alors, J() = Y, P p.s., pour ou [, T ]. La sraégie opimale es un argumen maximum du généraeur de l EDSR. Noons que la démonsraion de ce héorème es plus coure que dans le cas de la foncion d uilié exponenielle car on a l exisence d une sraégie opimale. Grâce à des echniques de conrôle, on monre que la foncion valeur J peu êre approchée par la suie de processus (J k ()) k N : J() = lim k J k (), P p.s.

19 .1. MAXIMISATION D UTILITÉ DANS UN MODÈLE AVEC DÉFAUTS 19 Cela nous donne une méhode numérique pour approcher la foncion valeur J() puisque les foncions valeurs (J k ()) k N son soluions d EDSR lipschiziennes. Nous supposons ensuie que l agen sur le marché observe à chaque insan [, T ] uniquemen le prix de l acif S e le processus N. Par conséquen, les sraégies admissibles ne son plus F-prévisibles, mais G-prévisibles, avec G la filraion engendrée par les prix observés e le emps de défau. Nous supposons égalemen que les coefficiens σ e β son markoviens : σ = σ(, S, τ) e β = β(, S, τ). Afin d appliquer les résulas obenus, nous faisons ou d abord une opéraion de filrage. Pour cela on inrodui les processus µ = E[µ G ] e λ = E[λ G ], ainsi que les processus W = W + (µ s µ s )/σ s ds e M = N λ s ds. Nous avons alors : le processus ( W ) T es un G-mouvemen brownien, le processus ( M ) T es la G-maringale compensée du processus N e λ son G- compensaeur. Ceci nous perme alors d appliquer les résulas obenus dans le cadre d une informaion oale pour les foncions d uilié logarihmique, puissance e exponenielle, puisque le processus de prix sui la dynamique suivane : ds = S ( µ d + σ d W + β dn ). On obien alors, pour la foncion d uilié logarihmique : Théorème.1.7. La foncion valeur es donnée par : [ T V (x) = log(x) + E (ˆπ µ ˆπ σ λ ) ] log(1 + ˆπ β ) d, avec ˆπ la sraégie opimale définie par : µ ˆπ = 2σ 2 µ σ 2 1 2β + ( µ β + σ 2 )2 + 4 λ β 2 σ2 2β σ 2 si < τ e β = ou τ. si < τ e β, Pour la foncion d uilié puissance, nous avons : Théorème.1.8. Soi (Ȳ, Z, Ū) la soluion minimale dans L1,+ L 2 loc ( W ) L 1 loc ( M) de l EDSR (.1.4) avec (W, M, µ, λ) remplacé par ( W, M, µ, λ), alors Ȳ = ess sup π A E [( X,π ) γ ] T G, P p.s.

20 2 INTRODUCTION GÉNÉRALE De plus, le processus Ȳ es la limie croissane de la suie de processus (Ȳ k ) k N, où (Ȳ k, Z k, Ū k ) es la soluion dans S 2 L 2 ( W ) L 2 ( M) de l EDSR (.1.3) avec (W, M, µ, λ) remplacé par ( W, M, µ, λ). Pour la foncion d uilié exponenielle, nous avons : Théorème.1.9. Soi (Ȳ, Z, Ū) la soluion maximale dans S+, L 2 ( W ) L 2 ( M) de l EDSR (.1.2) avec (W, M, µ, λ) remplacé par ( W, M, µ, λ) e K =, alors Ȳ = J(, ξ), P p.s. De plus, le processus Ȳ es la limie décroissane de la suie de processus (Ȳ k ) k N, où (Ȳ k, Z k, Ū k ) es la soluion dans S 2 L 2 ( W ) L 2 ( M) de l EDSR (.1.1) avec (W, M, µ, λ) remplacé par ( W, M, µ, λ) e C = [ k, k]. Ce héorème nous perme égalemen de caracériser à l aide de soluions d EDSR le prix d indifférence dans le cas d une informaion parielle : p = 1 ( γ ln J(, ) ), J(, ξ) e égalemen le prix de l informaion, c es-à-dire la différence de prix enre un agen non informé (qui a accès uniquemen à l informaion G à l insan ) e un agen informé (qui a accès à l informaion F à l insan ) : d = p p..2 Grossissemen progressif de filraions e EDSR à saus Rappelons que les EDSR son des équaions de la forme suivane : T T Y = ξ + f(s, Y s, Z s )ds Z s dw s, T, où W es un mouvemen brownien sur un espace de probabilié (Ω, F, (F ) T, P) avec {F, T } la filraion engendrée par W, f es généralemen appelé le généraeur e ξ la condiion erminale. Une soluion es un couple (Y, Z) de processus F-adapé vérifian cee équaion, Y e Z on des propriéés d inégrabilié dépendan des hypohèses sur le généraeur f e sur la condiion erminale ξ. Les EDSR on éé inroduies par Bismu [18] pour le cas linéaire e par Pardoux e Peng [13] pour le cas général ; ils on monré que, si le généraeur f es lipschizien e la condiion erminale ξ es de carré inégrable, alors la soluion exise e elle es unique. Depuis ce ravail, la héorie des EDSR a connu un grand développemen grâce noammen à ses applicaions en conrôle sochasique, en

21 .2. GROSSISSEMENT PROGRESSIF DE FILTRATIONS ET EDSR À SAUTS 21 mahémaiques financières e aux équaions aux dérivées parielles. On peu cier en pariculier le ravail d El Karoui, Peng e Quenez [56]. D aures applicaions des EDSR pour le conrôle sochasique son éudiées dans Hamadène e Lepelier [64]. On peu égalemen cier le livre d El Karoui e Mazliak [55] pour les applicaions des EDSR. Il y a eu ensuie de nombreuses exensions poran sur le généraeur. Kobylanski [83] a monré l exisence de soluions bornées pour un généraeur à croissance quadraique en z, Lepelier e San Marin [9] on généralisé ces résulas au cas où f n es pas à croissance linéaire en y. On peu égalemen cier Briand e Hu [28] qui on relaxé la condiion ξ bornée. Le cas à croissance quadraique en z rouve de nombreuses applicaions en finance, en pariculier pour la résoluion du problème de maximisaion d uilié exponenielle avec acif coningen. Ce problème a éé largemen éudié dans le cas coninu, on peu cier sans êre exhausif Rouge e El Karoui [117], Sekine [124], Hu, Imkeller e Muller [67] e Mania e Schweizer [97]. Dans ce roisième chapire, nous nous inéressons aux EDSR à saus (EDSRS) du ype T T T Y = ξ + f(s, Y s, Z s, U s )ds Z s dw s U s (x)µ(ds, dx), T, où µ es une mesure aléaoire pariculière représenan des emps de défau aléaoires. Dans le cadre d une mesure aléaoire classique, ces EDSRS on éé inroduies par Tang e Li [126] qui prouven l exisence e l unicié d une soluion dans le cas où le généraeur es lipschizien. Puis Barles, Buckdahn e Pardoux [7] on éudié le cas markovien. Royer [118] donne un héorème de comparaison pour les soluions de ces EDSRS. Le cas des EDSRS quadraiques es peu éudié. On peu cier Morlais [99] e El Karoui e al. [58] pour ce genre d EDSR. Récemmen, ces EDSRS on éé généralisées au risque de défau, comme dans les chapires un e deux de cee hèse. On peu cier le ravail de Peng e Xu [19] qui donnen quelques applicaions des EDSRS au risque de défau. Le cas quadraique es éudié dans Ankirchner e al. [3] pour résoudre le problème de maximisaion d uilié exponenielle dans un modèle avec un défau, mais les aueurs fon des hypohèses fores sur le généraeur. E Dans cee parie, nous uilisons des echniques de grossissemen progressif de filraions afin de faire un lien enre les EDSR browniennes e les EDSRS. Le grossissemen de filraions rouve ses origines dans Jeulin [74], Jeulin e Yor [75] e Jacod [69]. Depuis quelques années, ces ravaux on rouvé de nombreuses applicaions dans le risque de crédi puisqu ils fournissen des ouils puissans pour modéliser le risque de défau. On peu rouver des applicaions, dans Bielecki, Jeanblanc e Rukowski [14], Bielecki e Rukowski [16] e Jiao e Pham [76] pour ne cier qu eux. Dans la suie, nous uilisons principalemen la décomposiion des processus prévisibles e opionnels donnée dans Pham [111], laquelle es une généralisaion de la décomposiion de Jeulin [74]. Nous nous plaçons dans un espace de probabilié (Ω, G, P) muni de la filraion {F, T } engendrée par W. Nous considérons une suie finie (τ k, ζ k ) 1 k n où :

22 22 INTRODUCTION GÉNÉRALE (τ k ) 1 k n es une suie de variables aléaoires, (ζ k ) 1 k n es une suie de marques aléaoires à valeurs dans un sous-ensemble borélien E de R m. Nous noons µ la mesure aléaoire associée à la suie (τ k, ζ k ) 1 k n : µ([, ] B) = n k=1 1 {τk, ζ k B}, Nous noons G = {G, T } la filraion engendrée par W, les emps de défau (τ k ) 1 k n e les marques (ζ k ) 1 k n. Nous remarquons dans un premier résula qu il es possible de prendre les emps de défau ordonnés grâce aux marques. Par la suie nous noerons τ (k) e ζ (k) à la place de (τ 1,..., τ k ) e (ζ 1,..., ζ k ). D après [111], nous obenons les décomposiions suivanes : Lemme.2.1. de la forme : Tou processus G-prévisible Y = (Y ) T adme une décomposiion n 1 Y = Y 1 τ1 + Y k (τ (k), ζ (k) )1 τk < τ k+1 + Y n (τ (n), ζ (n) )1 τn<, T, k=1 avec Y P F, e Y k P k F ( k, E k ), pour ou k = 1,..., n. Tou processus G-opionnel Y = (Y ) T adme une décomposiion de la forme : n 1 Y = Y 1 <τ1 + Y k (τ (k), ζ (k) )1 τk <τ k+1 + Y n (τ (n), ζ (n) )1 τn, T, k=1 avec Y O F, e Y k O k F ( k, E k ), pour ou k = 1,..., n. Nous noons dans la suie de l inroducion Y k e Y k (, e) au lieu de Y k (τ (k), ζ (k) ) e Y k (τ (k 1),, ζ (k 1), e). En uilisan les décomposiions de ξ e de f, nous obenons un résula d exisence de soluion aux EDSRS de la forme suivane : T T T Y = ξ + f(s, Y s, Z s, U s )ds Z s dw s U s (e)µ(de, ds). (.2.5) Théorème.2.1. Supposons que, pour ou (θ, e) n E n, l EDSR : Y n (θ, e) = ξ n (θ, e) + T admee une soluion (Y n (θ, e), Z n (θ, e)) S F 1, l EDSR : Y k (θ (k), e (k) ) = ξ k (θ (k), e (k) ) + f n (s, Y n s (θ, e), Z n s (θ, e),, θ, e)ds T E T Z n s (θ, e)dw s L2 F (W ), e que, pour chaque k =,..., n f k (s, Ys k (θ (k), e (k) ), Zs k (θ (k), e (k) ), Ys k+1 (θ (k), s, e (k),.) Ys k (θ (k), e (k) ))ds T Z k s (θ (k), e (k) )dw s

23 .2. GROSSISSEMENT PROGRESSIF DE FILTRATIONS ET EDSR À SAUTS 23 admee une soluion (Y k (θ (k), e (k) ), Z k (θ (k), e (k) )) S F L2 F (W ). Supposons de plus que chaque Y k (resp. Z k ) es O F B( k ) B(E k )-mesurable (resp. P F B( k ) B(E k )- mesurable). Si oues ces soluions saisfon : sup (k,θ,e) {,...,n} n E n Y k (θ (k), e (k) ) S F < e n E n E [ θ 1 T Zs 2 ds + n k=1 θk+1 T θ k T ] Zs k (θ (k), e (k) ) 2 ds γ(θ, e)dθ η(de) <, alors l EDSR (.2.5) adme une soluion (Y, Z, U) S G L2 G (W ) L2 (µ) donnée par : avec U (.) = Y 1 (,.) Y k = 1,..., n 1. Y = Y 1 <τ1 + Z = Z 1 τ1 + n k=1 Y k (τ (k), ζ (k) )1 τk <τ k+1, n Z k (τ (k), ζ (k) )1 τk < τ k+1, k=1 n 1 U (.) = U (.)1 τ1 + U k (τ (k), ζ (k),.)1 τk < τ k+1, k=1 e U k (τ (k), ζ (k),.) = Y k+1 (τ (k),, ζ (k),.) Y k (τ (k), ζ (k) ) pour chaque Nous donnons des exemples explicies pour lesquels le héorème précéden s appliquen. Corollaire.2.2. Supposons que la variable aléaoire ξ es bornée. Supposons égalemen que le généraeur f : Ω [, T ] R R d R E suivanes : R saisfai une des deux condiions (i) f es déerminise e lipschizien : il exise une consane C elle que f(, y, z, u(e) y) e E f(, y, z, u(e) y ) e E C( y y + z z ), pour ou (, y, y, z, z, u) [, T ] [R] 2 [R d ] 2 R E, (ii) f es quadraique en z : il exise une consane C elle que f(, y, z, u) C(1 + z 2 ), pour ou (, y, z, u) [, T ] R R d R E.

24 24 INTRODUCTION GÉNÉRALE Alors, l EDSR (.2.5) adme une soluion dans S G L2 G (W ) L2 (µ). Cee echnique de décomposiion des EDSRS nous perme égalemen d obenir un héorème d unicié, mais pour cela nous devons ajouer une hypohèse sur les emps d arrê (τ k ) 1 k n : Hypohèse.2.1. Les emps d arrê (τ k ) 1 k n son inaccessibles dans la filraion G. Nous pouvons alors éablir un héorème de comparaison pour les EDSRS. Soi deux EDSRS (f, ξ) e ( f, ξ), e (Y, Z, U) e (Ȳ, Z, Ū) leurs soluions respecives dans S G L 2 G (W ) L2 (µ). Nous considérons les décomposiions (ξ k ) k n (resp. ( ξ k ) k n, (f k ) k n, ( f k ) k n, (Y k ) k n, (Ȳ k ) k n, (Z k ) k n, ( Z k ) k n, (U k ) k n, (Ū k ) k n ) de ξ (resp. ξ, f, f, Y, Ȳ, Z, Z, U, Ū) (pour simplifier les noaions, nous ne noons pas la dépendance en (θ (k), e (k) )). E pour simplifier les noaions, nous écrivons F n (, y, z) e F n (, y, z) à la place de f n (, y, z, ) e f n (, y, z, ), F k (, y, z) e F k (, y, z) à la place de f k (, y, z, Y k+1 (,.) y) e f k (, y, z, Ȳ k+1 (,.) y) pour chaque k =,..., n 1. Nous obenons le héorème de comparaison suivan : Théorème Supposons que ξ ξ, P-p.s. Si pour chaque k =,..., n F k (, y, z) F k (, y, z), (, y, z) [, T ] R R d, P p.s., e que l un des généraeurs F k ou F k saisfai un héorème de comparaison pour les EDSR browniennes. Alors, si Ū = U = pour > τ n, on a Y Ȳ, [, T ], P p.s. En pariculier, pour les EDSRS quadraiques saisfaisan l hypohèse suivane : i) il exise une consane C elle que f(, y, z, u) C(1 + z 2 ), z f(, y, z, u) C(1 + z ), (.2.6) pour ou (, y, z, u) [, T ] R R d R E, P-p.s., ii) pour ou ε >, il exise une consane C ε elle que y f(, y, z, (u(e) y) e E ) C ε + ɛ z 2, pour ou (, y, z, u) [, T ] R R d R E, P-p.s.

25 .2. GROSSISSEMENT PROGRESSIF DE FILTRATIONS ET EDSR À SAUTS 25 Théorème Sous cee dernière hypohèse, l EDSR (.2.5) adme au plus une soluion. Cee echnique de décomposiion nous perme égalemen de considérer les équaions inégro-différenielles de la forme : u(, x) Lu(, x) h(x, u(, x), σdu(, x), pour (, x) [, T ] R d e u(t,.) = g(.), où L es l opéraeur local du second ordre : Lu(, x) = b(x)du(, x) Tr(σσT (x)d 2 u(, x)). Nous obenons alors le résula suivan : Théorème Soi v l unique soluion de l équaion inégro-différenielle précédene. E (u(, x + β(x, e)) u(, x))γ(x, e)λ(de) = Alors, nous avons : v(, x) = Y,,x, où la famille (Y k,,x (θ (k), e (k) )) k n es définie de manière récursive e chaque Y k,,x (θ (k), e (k) ) es soluion d une EDSR brownienne. De plus, nous avons la décomposiion suivane de v : v(, x) = v (, x), où la famille (v k (., θ (k), e (k) )) k n es définie de manière récursive e chaque v k (., θ (k), e (k) ) es soluion d une équaion aux dérivées parielles. Nous donnons deux exemples d uilisaion d EDSRS : évaluaion e couverure d une opion européenne dans un marché comple, déerminaion du prix d indifférence d un acif coningen non duplicable dans un marché incomple. On considère un marché financier consiué d un acif sans risque S e de deux acifs risqués S 1 e S 2. On suppose que sur ce marché, il exise un emps de défau τ. L acif sans risque sui l équaion : ds = r S d, e les acifs risqués suiven l équaion : { ds 1 = S 1 (µ d + σ dw + βdm ), ds 2 = S 2 ( µ d + σ dw ).

26 26 INTRODUCTION GÉNÉRALE On considère que chaque coefficien a une valeur consane avan l insan de défau τ e une valeur consane après l insan de défau. L évaluaion d une opion européenne ξ revien à résoudre l EDSRS suivane : [ r µ ( r µ dy = Z + + λ σ (r µ ) ) U r Y ]d Z dw U dn, σ β β σ Y T = ξ. En uilisan les echniques précédenes on donne une soluion explicie du prix de cee opion. Nous considérons un marché consiué d un acif sans risque consan e égal à 1, e d un acif risqué S. On suppose que le processus de prix sui la dynamique suivane : ds = S ( ) µ d + σ dw + β (e)µ(de, d), E où l on suppose, de plus, que les coefficiens son uniformémen bornés e que β (e) > 1. Une sraégie π = (π ) T correspond à la somme d argen invesie dans l acif risqué à la dae e on noe X x,π la richesse à l insan associée à une sraégie π e une richesse iniiale x. Nous cherchons à résoudre le problème de maximisaion d uilié exponenielle : V (x) = sup E [ exp ( α ( X x,π T B ))], π C où B es un acif coningen borné, e C un ensemble compac. Pour résoudre ce problème, nous uilisons un héorème de vérificaion qui perme alors de dire que : V (x) = exp( α(x Y )), avec Y la valeur iniiale de la soluion de l EDSRS suivane : où T T T Y = B + f(s, Z s, U s )ds Z s dw s U s (e)µ(de, ds), E { α f(, z, u) = inf π σ (z + θ π C 2 α ) 2 + E exp( α(π β (e) u(e))) 1 } n(de) θ z θ 2 α 2α. Grâce aux echniques précédenes, nous prouvons que cee équaion adme une unique soluion, ce qui perme de caracériser la foncion valeur ainsi que la sraégie opimale, celle-ci éan définie comme l argumen minimum du généraeur f. On peu alors déerminer le prix d indifférence comme dans le chapire un.

27 .3. MODÉLISATION DU SPREAD BID-ASK 27.3 Modélisaion du spread bid-ask : une approche perurbaive Généralemen, dans les modèles classiques en mahémaiques financières, les aueurs considèren une parfaie élasicié des acifs, en supposan que les ransacions n on aucun impac sur le prix de l acif. Cependan, la liéraure sur la microsrucure du marché a monré héoriquemen e empiriquemen que les grosses ransacions influencen significaivemen le prix de l acif sous-jacen, démonran ainsi l exisence du risque de liquidié. Par conséquen, comprendre le foncionnemen des marchés financiers es un enjeu fondamenal pour les praiciens de la finance. Une quesion imporane que se posen les agens sur le marché concerne la façon de liquider un porefeuille de N acifs, avec N relaivemen imporan. En effe un dilemme se pose : soi l agen décide de ou vendre en une seule opéraion, auquel cas il es soumis à des coûs élevés dus à l épuisemen du carne d ordre, soi il vend en plusieurs opéraions espacées d un cerain emps, mais, dans ce cas, l agen es soumis aux variaions du marché. Dans cee roisième parie, nous essayons d expliquer le phénomène de liquidié, en uilisan la héorie des erreurs, comme une propriéé inrinsèque du marché e nous éudions un problème de liquidaion opimale d un porefeuille en emps discre e déerminise. On rouve dans la liéraure rois approches pour modéliser le risque de liquidié. La première approche consise à uiliser des foncions d impac pour modéliser la dépendance du prix d un acif en foncion de la sraégie de rading. L impac de la sraégie de rading sur la dynamique du prix peu êre permanene, par exemple pour de gros invesisseurs on peu cier sans êre exhausif Frey [6], Plaen e Schweizer [112] e He e Mamaysky [65] ou emporaire pour de peis invesisseurs on peu cier Cein, Jarrow e Proer [34], Cein e Rogers [35] e Cein, Soner e Touzi [36]. La seconde approche consise à considérer la srucure du marché e de modéliser le carne d ordre (voir par exemple Alfonsi, Schied e Schulz [1] e Con, Soikov e Talreja [37]). La roisième approche consise non pas à modéliser le carne d ordre, mais uniquemen la fourchee Bid-Ask ; généralemen la modélisaion de la fourchee Bid-Ask es associée à des foncions d impac (on peu cier Kharroubi e Pham [82] e Schied e Schoneborn [122]). Dans cee roisième parie, nous essayons d expliquer le risque de liquidié de manière différene en uilisan la héorie des erreurs développée par Bouleau [25, 26, 27] e ses ravaux avec Hirsch sur les formes de Dirichle [24], ce qui nous perme d expliquer l exisence d une fourchee Bid-Ask comme une propriéé inhérene au marché. Une fois la modélisaion de la fourchee Bid-Ask réalisée, comme dans Bersimas e Lo [11], Almgren e Chriss [2], Obizhaeva e Wang [11] e Alfonsi e al. [1], nous éudions un problème de liquidaion opimale d un porefeuille en emps discre e déerminise. Afin de résoudre complèemen

28 28 INTRODUCTION GÉNÉRALE ce problème, nous ne prenons pas uniquemen en compe la fourchee Bid-Ask, mais égalemen la profondeur dans le carne d ordre en rajouan une foncion d impac. Nous considérons un marché financier comporan un acif risqué de processus de prix X suivan l équaion différenielle sochasique (EDS) : dx = rx d + σ(, X, ω)x dw, mais on suppose que ce acif n es pas échangeable (comme le CAC 4 par exemple). Par conre, il exise sur le marché un acif échangeable qui le réplique (un racker par exemple) don le processus de prix S sui l EDS suivane : ds = rs d + σ(, S, ω)s db, où B es un mouvemen brownien, qui n es pas ou à fai égal à W à cause d une inceriude : B = e ɛ W + 1 e ɛŵ, avec ɛ un pei paramère e Ŵ un mouvemen brownien indépendan de W e non observable. La héorie des erreurs nous perme de savoir commen l inceriude sur le mouvemen brownien B se répercue sur le processus de prix S. Pour chaque réalisaion ω du processus X au emps, S ( ω) es une variable aléaoire décrie par : S ( ω, ˆω) = X ( ω) + ɛa[s ]( ω) + ɛγ[s ]( ω)ñ (ˆω), où Ñ es une variable aléaoire gaussienne cenrée réduie indépendane de W, e Γ[S ] e A[S ] son donnés par : Γ[S ] = θm 2 A[S ] = M Xs 2 σ 2 (s, X s, ω) Ms 2 ds + Γ[S ]M 2, η(s, X s, ω)γ[s s ] θx s σ(s, X s, ω) [ dws ζ(s, X s, ω)ds ], 2M s { } M = E ζ(s, X s, ω)dw s + r, où E es l exponenielle de Doleans-Dade. Nous considérons que, sur le marché, il exise plusieurs agens ; ils son ous informés sur l évoluion du prix du benchmark, mais n on aucune informaion sur la perurbaion engendrée par Ŵ. Nous supposons que ous les agens son averses aux risques e peuven esimer la disribuion du prix S à ou insan avec la formule de S. Parmi ous les agens, il en exise un qui a une aversion au risque minimale par rappor aux aures. Ce agen accepe d acheer l acif à un prix S B plus élevé que les prix proposés par les aures agens, donc le prix proposé par ce agen es le prix Bid e es noé S B. Ce prix es caracérisé uniquemen par la loi de S e l aversion au risque de ce agen. On défini de

29 .3. MODÉLISATION DU SPREAD BID-ASK 29 la même manière le prix Ask noé S A. Nous supposons, par la suie, que l agen qui a l aversion au risque minimale es oujours le même, e qu il propose le meilleur prix d acha e de vene. Nous définissons les prix Bid e Ask de la manière suivane (χ A + χ B < 1) : S B = X + ɛa[s ] + ɛγ[s ]Ñ 1 (χ B ), S A = X + ɛa[s ] + ɛγ[s ]Ñ 1 (1 χ A ). Par la suie, on suppose que χ A = χ B = χ. Pour déerminer la fourchee Bid-Ask, il nous rese à choisir la dynamique de l aversion au risque de l agen ; pour cela, nous avons choisi de prendre Ñ 1 (χ) = exp(y ) avec Y un processus d Ornsein-Uhlenbeck. Ce modèle a éé choisi en pariculier parce qu il possède les propriéés suivanes : le prix Ask es oujours plus grand que le prix Bid, ous les ermes excepé X on une forme explicie, le prix Mid es différen du prix du benchmark, ce qui explique le biais sysémique, si le prix du benchmark es sable, la fourchee Bid-Ask a un comporemen de reour à la moyenne. Mainenan que nous avons défini les prix Bid e Ask, nous nous inéressons au problème de liquidaion d un porefeuille. Nous considérons un agen possédan N acifs don il souhaie se débarrasser, mais, pour cela, il ne peu vendre qu à des daes déerminées 1,..., n. On di qu une sraégie π = (π 1,..., π n ) es admissible si π es (F i ) 1 i n -adapé avec F la filraion engendrée par le prix X du benchmark, π i N e n i=1 π i = N. Nous supposons que, lorsque l agen vend x acifs à l insan, le prix moyen auquel il vend ses acifs es égal à S B (x) = g(x)s B, avec g une foncion vérifian ceraines hypohèses. L agen cherche alors à maximiser l espérance de ses gains fuurs [ n ] E e ρ i π i SB i (π i ). i=1 Pour résoudre ce problème, nous définissons à chaque insan i e pour chaque p, nombre d acifs resan à vendre à l insan i, l ensemble des sraégies admissibles A( i, p) par : A( i, p) = { π = { π i,..., π n }, πj j {i,..., n} e n j=i } π j = p. Pour un éa z de la variable Z i = (X i, A[S i ], Γ[S i ], Y i ) e un éa p de la variable P i, représenan le nombre d acifs resan à vendre à l insan i, on défini la foncion gain pour chaque sraégie π A( i, p) par : [ n ] J(i, z, p, π) = E e ρ( j i ) π j S B j g(π j ), j=i

30 3 INTRODUCTION GÉNÉRALE e nous définissons égalemen la foncion valeur par : v(i, z, p) = sup (J(i, z, p, π)). π A( i,p) Nous disons, pour un éa (i, z, p), que la sraégie ˆπ A( i, p) es opimale si : v(i, z, p) = J(i, z, p, ˆπ). En uilisan le principe de la programmaion dynamique, nous prouvons qu il exise une unique sraégie opimale à nore problème de liquidaion e celle-ci es donnée par l argumen maximum de : v(i, z, p) = ess sup π i p v(n, z, p) = ps B n g(p). { [ π i s B i g(π i ) + E e ρ( i+1 i ) v ( i + 1, Z i,z i+1, p π ) ]} i Fi, Puis, nous éudions numériquemen le cas des modèles Black-Scholes e consan elasiciy of variance (CEV). Dans le cas Black-Scholes, on voi que le nombre d acifs à vendre à chaque dae es indépendan de la valeur du sous-jacen (on rerouve le résula d Alfonsi e al. [1]), il es décroissan par rappor à la valeur de la fourchee Bid-Ask e es croissan par rappor au nombre d acifs resan à vendre. Dans le cas CEV, on voi que le nombre d acifs à vendre à chaque dae dépend de la valeur du sous-jacen, il es décroissan par rappor à la valeur de la fourchee Bid-Ask e es croissan par rappor au nombre d acifs resan à vendre. Nous comparons égalemen nos résulas à ceux obenus avec la sraégie 1/n, qui consise à vendre à chaque dae N/n acifs.

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33 Par I MAXIMIZATION OF UTILITY IN AN INCOMPLETE MARKET WITH DEFAULTS AND TOTAL/PARTIAL INFORMATION 33

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35 Chaper 1 Exponenial uiliy maximizaion and indifference pricing in an incomplee marke wih defauls Join paper wih Marie-Claire Quenez. Absrac: In his paper, we sudy he indifference pricing of a coningen claim via he maximizaion of exponenial uiliy over a se of admissible sraegies. We consider a financial marke wih a defaul ime inducing a disconinuiy in he price of socks. We firs consider he case of sraegies valued in a compac se. Using a verificaion heorem, we show ha, in he case of bounded coefficiens, he value funcion of he exponenial uiliy maximizaion problem can be characerized as he soluion of a Lipschiz BSDE (backward sochasic differenial equaion). Then, we consider he case of non consrained sraegies. By using dynamic programming echniques, we sae ha he value funcion is he maximal subsoluion of a BSDE. Moreover, he value funcion is he limi of a sequence of processes, which are he value funcions associaed wih some subses of bounded admissible sraegies. In he case of bounded coefficiens, hese approximaing processes are he soluions of Lipschiz BSDEs, which leads o possible numerical compuaions. These properies can be applied o he indifference pricing problem. They can be generalized o he case of several defaul imes or a Poisson process. Keywords: Indifference pricing, opimal invesmen, exponenial uiliy, defaul ime, defaul inensiy, dynamic programming principle, backward sochasic differenial equaion. 35

36 36 CHAPTER 1. EXPONENTIAL UTILITY MAXIMIZATION 1.1 Inroducion In his paper, we sudy he indifference pricing problem in a marke where he underlying raded asses are assumed o be local maringales driven by a Brownian moion and a defaul indicaing process. We denoe by S = (S i ) 1 i n for all [, T ] he price of hese asses where T < is he fixed ime horizon and n is he number of asses. The price process (S ) is defined on a filered space (Ω, G, (G ) T, P). Following Hodges and Neuberger [66], we define he (buying) indifference price p(ξ) of a coningen claim ξ, where ξ is a G T -measurable random variable, as he implici soluion of he equaion [ ( T sup E U x + π )] [ ( T )] π ds = sup E U x p(ξ) + π ds + ξ, (1.1.1) π where he suprema are aken over admissible porfolio sraegies π. x R is he iniial endowmen and U is a given uiliy funcion. In oher words, he price of he coningen claim is defined as he amoun of money p(ξ) o wihdraw o his iniial wealh x ha allows he invesor o achieve he same supremum of he expeced uiliy as he one he would have had wih iniial wealh x wihou buying he claim. A lo of papers sudy he indifference pricing problem. Among hem, we quoe Rouge and El Karoui [117] for a Brownian filraion, Biagini e al. [12] for he case of general semimaringales, Bielecki and Jeanblanc [17] for he case of a disconinuous filraion. An exensive survey of he recen lieraure on his opic can be found in Carmona [33]. Throughou his paper, he uiliy funcion U is assumed o be he exponenial uiliy. By (1.1.1), he sudy of he indifference pricing of a given coningen claim is clearly linked o he sudy of he uiliy maximizaion problem. Recall ha concerning he sudy of he maximizaion of he uiliy of erminal wealh, here are wo possible approaches: he firs one is he dual approach formulaed in a saic way. This dual approach has been largely sudied in he lieraure. Among hem, in a Brownian framework, we quoe Karazas e al. [77] in a complee marke and Karazas e al. [78] in an incomplee marke. In he case of general semimaringales, we quoe Kramkov and Schachermayer [84], Shachermayer [121] and Delbaen e al. [45] for he paricular case of an exponenial uiliy funcion. For he case wih a defaul in a markovian seing we refer o Lukas [94]. Using his approach, hese differen auhors solve he uiliy maximizaion problem in he sense of finding he opimal sraegy and also give a characerizaion of he opimal sraegy via he soluion of he dual problem; he second approach is he direc sudy of he primal problem(s) by using sochasic conrol echniques such as dynamic programming. Recall ha hese echniques had been used in finance bu only in a markovian seing for along ime. For example he