Mathématiques, Cours de Mathématiques, Troisième, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017 COURS À DISTANCE
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- Hugues Chartier
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1 COURS À DISTANCE Classe de 3 ème Rue Saint-Lazare Paris COURS EXERCICES DEVOIRS 1 er T R I M E S T R E Mathématiques
2 SÉRIE 1 SÉRIE 2 SÉRIE 3 SÉRIE 4 SÉRIE 5 SÉRIE 6 SOMMAIRE 3 ème MATHEMATIQUES 1 er TRIMESTRE 1 ère leçon Calculs algébriques (rappel) Règles générales de calcul 2 ème leçon Calculs en écriture fractionnaire (1) 3 ème leçon Calculs en écriture fractionnaire (2) 4 ème leçon Puissances de et écriture scientifique 1 ère leçon Puissances d un nombre relatif 2 ème leçon Équations du 1er degré à une inconnue 3 ème leçon Le théorème de Pythagore 4 ème leçon Triangle rectangle : cercle circonscrit et médiane 1 ère leçon Rappel des principales propriétés géométriques 2 ème leçon Développement, rappels 3 ème leçon Développement à l aide des identités remarquables 4 ème leçon Factorisation à l aide d un facteur commun 1 ère leçon Factorisation à l aide des identités remarquables 2 ème leçon Applications 3 ème leçon Réciproque du théorème de Thalès 4 ème leçon Équation produit nul 1 ère leçon Racine carrée d un nombre positif 2 ème leçon Règles de calcul sur les racines carrées 3 ème leçon Résolution de l équation x² = a 4 ème leçon Simplification d écritures 1 ère leçon Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle 2 ème leçon Calculer une longueur dans un triangle rectangle 3 ème leçon Calculer un angle dans un triangle rectangle 4 ème leçon Relations entre les fonctions trigonométriques
3 SÉRIE 7 SÉRIE 8 1 ère leçon Inéquations : opérations et inégalités 2 ème leçon Les inéquations du 1 er degré à une inconnue 3 ème leçon Représentations graphiques d un ensemble de solutions 1 ère leçon Probabilités : vocabulaire 2 ème leçon Évènements incompatibles. Évènements contraires 3 ème leçon Résolutions d exercices
4 Calculs algébriques (rappels) Règles générales de calcul Calculs en écriture fractionnaire (1) Calculs en écriture fractionnaire (2) MATHÉMATIQUES Classe de 3 ème 1 ère SÉRIE PREMIÈRE LEÇON DEUXIÈME LEÇON TROISIÈME LEÇON QUATRIÈME LEÇON Puissances de et écriture scientifique
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6 COURS PREMIÈRE LEÇON CALCUL ALGÉBRIQUE (RAPPELS) RÈGLES GÉNÉRALES DE CALCUL I - Règle algébrique des signes dans un produit Soient a et b, deux nombres quelconques ; alors : (-a) (b) = a (-b) = -ab (-a) (-b) = ab Exemples: (-4) 3 = 4 (-3) = -12 (-4) (-7) = 4 x 7 = 28 (-a) b (-c) = (-ab) (-c) = abc a (-b) (-c) (-d) = -abcd II - Règles de priorité a. Si une expression algébrique contient des parenthèses, on effectue d abord les calculs à l intérieur de celles-ci en respectant les règles de priorité suivantes : on effectue en premier lieu multiplications et divisions et ensuite seulement additions et soustractions. b. Si une expression ne contient pas (ou plus) de parenthèses, on effectue les calculs selon les règles de priorité vues précédemment. Exemples : A = (4 x (-1) 5 x (-3) + 2) 1 x 5 = ( ) 1 x 5 = x 13 5 = = 32 B = -4 x 3 (9 x (-2) 1) 3 x = -4 x 3 (-18 1) 3 x = - 4 x 3 (-19) 3 x = = - 9 Remarque importante : (-a) n est pas nécessairement un nombre négatif. - a est l opposé de a donc : si a > 0, alors a < 0 (ex. : si a = 2, alors a = -2) et si a < 0, alors a > 0 (ex. : si a = -3, alors a = 3) III - Signe d un produit de facteurs non nuls Un produit de facteurs non nuls est : - positif s il contient un nombre pair de facteurs négatifs, - négatif s il contient un nombre impair de facteurs négatifs. Exemples : A = (-2) (-3) 7 (-5) < 0 (3 facteurs négatifs et 3 est un nombre impair) B = 8 (-5) (-7) 6 9 > 0 (2 facteurs négatifs et 2 est un nombre pair)
7 COURS Exercice 1 Calculez les expressions suivantes : H = 6 x I = 56 9 x 4 3 x 1 J = 14,5 + 63, : 3 K = (15 7,5 x 2) x 399 Exercice 2 Effectuez les calculs suivants : 1. [48 (17 9)] [29 (20 2) 2] [150 (150 (150 1))] x (9 + 4 x 5) + 5 x {[12,5 (3,8 + 1,2)] (5,7 1,5)} Exercice 3 Parmi les expressions suivantes, quelles sont celles qui sont égales à 2a b + c + 1? -(-a + b + 1) + (1 + b + a) (b c - 1) ; (a - b) (1 c - b) + (1 + a) (b - 1); (a c + 1) (b c - a) (1- c) + 1; (2c a + b) (2b - 2a + 1) (c a - 2); (a + b - 1) (b a - c) ;
8 COURS DEUXIÈME LEÇON CALCULS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (1) I - Égalité de deux fractions 1. Propriété On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a a k b b k 2. Conséquences a a k avec b 0 et 0 b b k 4, Exemple : 4 1, a) Simplification d'une fraction k. Pour simplifier une fraction, il faut trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur. La simplification est terminée lorsque le numérateur et le dénominateur sont les plus petits entiers possibles, on dit alors que la fraction est irréductible. Exemples : = 5 x 9 11 x 9 = 5 11 b) Réduction de fractions au même dénominateur = 42 x 5 33 x 5 = = 14 x 3 11 x 3 = Pour réduire des fractions au même dénominateur, on cherche le plus petit dénominateur commun aux fractions, on écrit ensuite les fractions équivalentes. Exemples : 5 12 et 7 15 Le nombre 60 est à la fois multiple de 12 et multiple de 15 car : 60 = 12 x 5 et 60 = 15 x 4 Le dénominateur commun à 5 12 et 7 est le nombre = 5 x 5 5 x 12 = Les fractions et ont le même dénominateur et 7 15 = 7 x 4 15 x 4 = 28 60
9 COURS II - Addition et soustraction de fractions 1. Les fractions ont le même dénominateur a) Règle a, b et c sont des nombres relatifs (avec b 0) b) Remarque Exemples : = = On simplifie la fraction obtenue (si c'est possible) pour la rendre irréductible. 2. Les dénominateurs sont différents a) Règle Exemple : a c a c et b b b On cherche le dénominateur commun aux deux fractions : 12 est à la fois multiple de 4 et de 3 On cherche les fractions équivalentes : 3 4 = 9 12 et 5 3 = On effectue le calcul : = = On simplifie le résultat si c'est possible : ici est une fraction 12 irréductible a c a c b b b On fait la somme (ou la différence) des numérateurs et on garde le dénominateur. Il faut réduire les fractions au même dénominateur puis on effectue le calcul.
10 COURS Exercice 4 Complétez les égalités suivantes : 3 7 =? 42 = -5 3 =? 15 = = 23? = 11-7 =? 28 = Exercice 5 Calculez les sommes suivantes : A = = B = = C = = D = = E = = Exercice 6 Simplifiez les fractions suivantes : = = = = =
11 COURS I - Multiplication de fractions 1. Règle 2. Remarques Exemple : TROISIÈME LEÇON CALCULS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (2) 5 3 x 13 4 = 5 x 13 3 x 4 = On cherche d'abord le signe du produit grâce à la règle des signes puis on effectue le calcul x 3 (-) x (-) = (+). Le résultat est positif, donc x 3 5 = 7 x 3 2 x 5 = 21 On pense à simplifier avant d'effectuer le calcul : x 2 5 = - 3 x 5 x 2 4 x 2 x 5 = II. Inverse d'un nombre relatif non nul 1. Définition a, b, c et d sont des nombres relatifs (avec b 0 et d 0) : Exemples : l'inverse de 3 est 1 3 l'inverse de 1 3 est 3 l'inverse de 0,4 est a b x c d = a x c b x d On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. x est un nombre relatif non nul. On dit que x 1 est l'inverse de x si leur produit est égal à 1 : x x x 1 = 1 On dit aussi que x est l'inverse de x 1 ou que x et x 1 sont des nombres inverses. 1 0,4 = 4 = 2,5
12 COURS Calculatrice : C'est la touche 1 ou x -1 x 2. Inverse d une fraction Exemple : l'inverse de 3 4 est ; l'inverse de est (ou 8-5 ou 8 5 ) Remarque : le nombre 0 n'a pas d'inverse. III- Division avec des fractions 1. Règles Remarque : Exemples : a et b sont deux nombres relatifs non nuls. L'inverse de a b est b a car : a b x b a =1 Pour diviser par un nombre relatif non nul, on multiplie par son inverse. Pour diviser par c d (avec c et d non nuls) on multiplie par son inverse d c. a a b c d = b = a c b x d (avec b, c, d non nuls) c d = 2 9 x 1 11 = 2 x 1 9 x 11 = = x 3 8 = 4 x 3 15 x 8 = 4 x 3 x 1 5 x 3 x 2 x 4 = 1 3 Attention à la position du signe d'égalité, il doit être en face de la barre de la fraction principale.
13 COURS Exercice 7 a b Sachant que 2 calculez la valeur de chacune des expressions suivantes : 7 3 Exercice 8 On donne: a Calculez : Exercice 9 2 b 8 b 6 a 3 11 a ; 2b 2 3 a 5 a 5 ( b) b a 3 7 a b 2 : 3 b a ; b 2a 3b; -8 9 ; c -7 6 a ( b) ( c) Exprimez sous la forme la plus simple l inverse de : 1 A
14 COURS I. Les puissances de 1. Définition QUATRIÈME LEÇON PUISSANCES DE ET ÉCRITURE SCIENTIFIQUE Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1. On a n = n n facteurs n zéros se lit «puissance n» ou «exposant n» n désigne l inverse de n et on a -n =...0 En particulier, 1 = et 0 = 1. 0, n n zéros Exemples : 5 = et -5 = 0, Règles de calcul sur les puissances de. m et n désignent deux nombres relatifs non nuls. Règle. Exemples Produit m x n = m+n 7 x 3 = 7+3 = Quotient m n mn -5 x 8 = -5+8 = Puissance ( m ) n = m n (7 ) 3 = 7x3 = 21 II. Écriture scientifique d un nombre relatif. Définition : ( -5 ) 8 = -5x8 = -40 L écriture scientifique d un nombre relatif est l écriture de ce nombre sous la forme a p où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre différent de zéro avant la virgule et p un entier relatif. (1 a < ) Exemples : 3 567,89 = 3,56789 x 3 0,01462 = 1,462 x -2 25,4 x 3 = 2,54 x 1 x 3 = 2,54 x 1+3 = 2,54 x 4
15 COURS Exercice Complétez avec une puissance de : 5 3 = -2 6 = 3-3 = 2-8 = Exercice 11 Donnez l écriture décimale des nombres suivants : Exercice 12 Donnez l écriture scientifique des nombres suivants : A= = B= 0, = C= 0,000 2= D= = E= 54x -3 = F= 329x 6 = Exercice 13 Donnez l écriture scientifique des nombres suivants : A = = B = 48 (-5 ) 7 ( -9 ) =
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
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