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1 Présentation du sujet : Les déménageurs distraits sont repartis en laissant la commode d une pauvre dame à la bonne place, mais face au mur! Elle ne peut pas la soulever ni la faire glisser, juste la faire basculer d une face sur l autre par un mouvement de pivot autour d une de ses arêtes, une culbute. Peut-elle la remettre en place par des culbutes successives? Sinon comment peut-elle la remettre à l endroit aussi près que possible de sa place initiale? La commode est une boite rectangulaire (on peut faire des expériences avec des boites d allumettes par exemple ). On pourra regarder sur le site de maths en jeans les travaux des années précédentes sur le sujet, qui concernent surtout le cas des polyèdres réguliers (tétraèdre, cube, octaèdre, ), à l adresse : Explication : Ici, Pour résoudre le problème, on simplifie le problème c'est-à-dire : en ne tenant pas compte des pieds et que l on assimile l armoire a un pavé. Ça signifie que nous modélisons la réalité, pour pouvoir traiter le problème CAS DU CUBE : On ne cherche pas de relation ici puisque dans le cas du cube la longueur la largeur et la profondeur sont égales. 1

2 I Ces relations doivent nous permettre de revenir à la place initiale. Commençons par remettre la commode dans le bon sens. Pour cette 1 ère étape la longueur et la largeur n ont aucune importance tant qu on est en présence d une base carrée. Ce schéma est une représentation de vue du dessus des différents déplacements. Chaque chiffre correspond au numéro de la position occupée par le polyèdre, le chiffre le plus petit étant la position initiale et le plus grand la position finale. Problème : les tiroirs s ouvrent à l envers il faut donc une deuxième étape. Dans cette deuxième étape nous revenons bien à la place initiale sans décalage et les tiroirs s ouvrent dans le bon sens. Conclusion : Après 12 mouvements on revient à notre place initiale, la commode ayant ses tiroirs s ouvrant vers le haut. 2

3 Cas Du Pavé à base carré : On cherche ici à reproduire le même modèle de réflexion c'est-à-dire par tâtonnement! C est au bout d un moment quand nous avions trouvé le bon mouvement on a du avoir recours aux mathématiques pour chercher des relations entre la longueur, la largeur et la profondeur! I Ces relations doivent nous permettre de revenir à la place initiale. Commençons par remettre la commode dans le bon sens. Pour cette 1 ère étape la longueur et la largeur n ont aucune importance tant qu on est en présence d une base carrée. (La représentation si dessus est une vision de dessus des différents mouvements) Problème : Comme pour le cube, les tiroirs s ouvrent à l envers il faut donc une deuxième étape. Dans cette 2ème étape pour que ce retour soit possible il suffit de respecter la relation y=5x. Quand on tourne dans le même sens 4 fois, la commode est déplacée, mais avec les tiroirs dans le même sens et dans la même direction. Dem : Y est la longueur qui fait 5 carreau sur le schéma si dessus et X la largeur qui fait 1 carreau sur le schéma si 3

4 dessous : Y=2x+y X=7x Y=X Si : 2x+y=7x y=7x-2x y=5x On cherche maintenant toutes les relations possibles. Après observation on remarque que pour tout y= 5x+4x on revient aussi à notre place initiale, donc pour un nombre k appartenant à N y=5x+k4x On a donc y= 5x+k(4*) Conclusion : Après 16 mouvements on revient à notre place initiale, la commode ayant donc ses tiroirs face à nous et s ouvrant dans le bon sens. Et si cette condition n est pas réalisée on cherche un autre mouvement CAS D Un PAVE QUELCONQUE On se demande comment faire si la condition y=5x+k4x n est pas réalisée. 4

5 I Commençons par remettre la commode dans le bon sens. Mais attention ici aucun rapport de proportionnalité entre les cotés! On cherche par tâtonnement des déplacements afin de remettre notre commode dans le bon sens et aussi proche que possible de sa place initiale. Après plusieurs essais successifs nous avons trouvé une succession de mouvements qui nous permet de redresser la commode mais qui ne nous permet pas d arriver exactement à la place initiale. Il nous est possible de chiffrer ce décalage ; il se trouve qu ici le décalage (noté F) est z-y On s aide de la figure pour notre raisonnement puisque tout notre raisonnement est fait à partir de cette figure! Et c est ce qui nous a permis d en déduire c est mouvements Décomposition de ce mouvement : Information sur les schéma si déçu ci-dessous!: Les hachures bleues sont le (mouvement) déplacement observé jusqu à la 7eme étape effectuée et les hachures rouges sont celles observées a partir de la 7eme étape Les hachures ici présente son pour rendre compte des mouvements même dans le cas d une superposition entre deux étape. Etape7 étant la même pour les deux dessins 5

6 6

7 Quelques autres informations : Nous avons donc ici une solution pour tout les cas du pavé à base carré et pas seulement ceux qui vérifie l équation précédente. 7

8 Autrement dit ce mouvement marche c est a dire permet de revenir a la place initiale et les tiroirs s ouvrant dans le bon sens! De plus se mouvement marche aussi pour le cas d un cube, car tout cube est un cas particulier de pavé à base carrée! Ou d un pavé a base carrée ayant des rapports de proportionnalité comme dans le deuxièmement Conjecture de résolution non testée mais fortement probable! : En combinant plusieurs fois ce même mouvement on peut espérer obtenir un décalage suffisant affin de faire culbuter la commode 4 fois ( ce qui revient a ne rien changer ), juste de façon a combler le décalage observé. Information commune(s) a chaque schéma de ce résumé : -Les numéro indiqué sur chaque illustration correspond a l étape effectuée a ce même instant. -Le numéro 0 étant toujours la position initiale. -Si Les numéros se chevauchent comme par exemple 6/12 c est qu une même place est occupée pour deux étapes distinctes comme la position initiale et la position finale. -Les numéros des étapes allant toujours dans un sens croissant. TOUTES CES ILLUSTRATION NE TIENNENT PAS COMPTE DE LA FORME REELLE D UNE COMMODE! LES PIEDs N ETANT PAS PRIS EN COMPTE! REMERCIEMENT : Professeurs encadrant : Mme GHESQUIERE, Mr PERRON, Mr BELTRAMI La chercheuse coordonnant cette activité et investigatrice des sujets : Anne Parreau Puis au lycée de Pontcharra et au lycée de Moirans nous permettant d exercer cette activité! 8

9 Sujet traité et rédigé par : QUANTIN MATHIEU ET AVEC L AIDE DE MONTVIGNIER MONNET LUCAS Document annexe : pour que toute la famille puisse s amuser avec! Différents patrons pour expérimenter les résolutions trouvées : Le cube Le pavé a base carrée La dernière figure étant quelconque à vous de choisir votre patron! 9

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