BACCALAURÉAT BLANC 2017 DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S OBLIGATOIRE

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1 Lycée l Oiselet Mardi 31 janvier 2017 BACCALAURÉAT BLANC 2017 DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices sont AUTORISÉES Coefficient : 7 OBLIGATOIRE Le candidat doit traiter les cinq exercices. Vous commencerez par le QCM qui sera ramassé 40 minutes après le début de l épreuve. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le barème est approximatif. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : Sciences Physiques, SVT, ISN ou Sciences de l Ingénieur. votre classe : Terminale S1 ou Terminale S2 ou... Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 6 pages, le QCM étant sur une feuille supplémentaire, distribuée séparément. 1

2 Exercice 1 Le QCM! 3 points Exercice 2 4,5 points Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : D l évènement : «le lecteur MP3 est défectueux» ; R l évènement : «l unité de contrôle rejette le lecteur MP3». 1 Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2 a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. b. On dit qu il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu il n est pas défectueux, ou qu il n est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait une erreur de contrôle. 3 Montrer que la probabilité qu un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0, Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : commercialisé avec le logo de l entreprise s il subit avec succès les quatre contrôles successifs, détruit s il est rejeté au moins deux fois, commercialisé sans le logo sinon. Le coût de fabrication d un lecteur MP3 s élève à 50 e. Son prix de vente est de 120 e pour un lecteur avec logo et 60 e pour un lecteur sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l entreprise. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G. b. Calculer à 10 2 près l espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat. 2

3 Exercice 3 On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par 5,5 points f (x) = x x e x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé Partie A 1 Soit g la fonction définie et dérivable sur l ensemble R par g(x) = 1 x + e x. ( O; ı, j Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de g(x). 2 Déterminer la limite de f en puis la limite de f en +. 3 On appelle f la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel x, f (x) = e x g(x). 4 En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R. 5 Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une unique solution réelle α sur R. Démontrer que 1 < α < 0. 6 a. Démontrer que la droite T d équation y = 2x + 1 est tangente à la courbe C au point d abscisse 0. b. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T. ). 3

4 Exercice 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par 5 points f (x) = 5 4 x + 2. On admettra que f est dérivable sur l intervalle [0 ; + [. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f ainsi que la droite D d équation y = x. 1 Démontrer que f est croissante sur l intervalle [0 ; + [. 2 Résoudre l équation f (x) = x sur l intervalle [0 ; + [. On note α la solution. On donnera la valeur exacte de α puis on en donnera une valeur approchée à 10 2 près. 3 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ). Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points M 0,M 1 et M 2 d ordonnée nulle et d abscisses respectives u 0, u 1 et u 2. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (u n )? 4 a. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, où α est le réel défini dans la question 2. 0 u n u n+1 α b. Peut-on affirmer que la suite (u n ) est convergente? On justifiera la réponse. 5 Pour tout entier naturel n, on définit la suite (S n ) par S n = n u k = u 0 + u u n. k=0 a. Calculer S 0, S 1 et S 2. Donner une valeur approchée des résultats à 10 2 près. b. Compléter l algorithme donné en annexe 2 pour qu il affiche la somme S n pour la valeur de l entier n demandée à l utilisateur. c. Montrer que la suite (S n ) diverge vers +. 4

5 Exercice 5 2 points Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f (x) = e x2. La courbe représentative C f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d origine O ci-dessous : 1. Q M O P f (x) = e x À tout point M appartenant à C f on associe le point P projeté orthogonal de M sur l axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l axe des ordonnées. L aire du rectangle OP MQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur C f? L aire du rectangle OP MQ peut-elle être maximale? Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant. Justifier les réponses. 5

6 NOM prénom et Classe : Annexe 1 de l exercice 2 à rendre avec la copie réservé aux candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 4. f (x) = 5 4 x j O 0 i Annexe 2 de l exercice 2 à rendre avec la copie Entrée : Variables : n un entier naturel u et s sont des variables réelles n et i sont des variables entières Initialisation : u prend la valeur 1 s prend la valeur u i prend la valeur 0 Demander la valeur de n Traitement : Tant que... Affecter à i la valeur i + 1 Affecter à u la valeur... Affecter à s la valeur... Fin Tant que Sortie : Afficher s. 6