Chapitre VII Statistiques et échantillonnage : Partie I : Statistiques

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1 Chaptre VII Statstques et échantllonnage : Parte I : Statstques I. Vocabulare Populaton : c est l ensemble étudé. Indvdu : c est un élément de la populaton. Effectf total : c est le nombre total d ndvdus. Caractère : c est la proprété étudée. On dstngue les caractères dscrets qu ne peuvent prendre qu un nombre fn de valeurs (notes à un devor...) et les caractères contnus dont on regroupe les valeurs par ntervalles (talle, durée d écoute...) II. Séres statstques assocées à un caractère dscret 1. Classement des données Défnton : Sére statstque On appelle sére statstque la donnée smultanée (dans un tableau) des valeurs du caractère étudé (noté x ), rangées dans l ordre crossant, et des effectfs (notés n ) de ces valeurs. n Remarque : A la place des effectfs n on peut utlser les fréquences f N total. On ramène souvent ces fréquences en pourcentages en multplant le résultat obtenu par 100. où N représente l effectf Exemple : Les notes sur 20 obtenues lors d un devor de mathématques dans une classe de seconde sont les suvantes : {10 ; 8 ; 11 ; 9 ; 12 ; 10 ; 8 ; 10 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 10 ; 8 ; 9 ; 10 ; 9 ; 10 ; 11} La populaton étudée est la classe et les ndvdus sont les élèves. L effectf total N est égal à 20 et la note obtenue au devor est le caractère dscret que l on étude. La sére statstque défne par les effectfs est la suvante : du caractère (notes) Effectfs n (nb d élèves ayant la note) Effectf total N = 20 La sére statstque défne par les fréquences est la suvante : du caractère (notes) Fréquences f = 0,05 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 La sére statstque défne par les fréquences en pourcentage est la suvante : du caractère (notes) Fréquences f en % = % 15 % 20 % 35 % 15 % 10 % Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 1

2 2. Effectfs cumulés Défnton : Effectfs cumulés crossants ou décrossants L effectf cumulé crossant d une valeur x est la somme des effectfs des valeurs y tels que y L effectf cumulé décrossant d une valeur x est la somme des effectfs des valeurs y tels que y x. x. Exemple : Avec l exemple précédent des notes : du caractère (notes) Effectfs n (nb d élèves ayant la note) Effectfs cumulés crossant 1 4* Effectfs cumulés décrossants 20 19** * : nombre d élèves ayant eu une note 8 ; ** : nombre d élèves ayant eu une note 8 3. Représentaton graphque a. Dagramme en bâtons Pour les caractères quanttatfs dscrets, on utlse le dagramme en bâtons : Dans un repère orthogonal, pour chaque valeur de la sére statstque on trace un trat vertcal dont la hauteur est proportonnelle à l effectf (dans l unté chose). Exemple : Toujours avec l exemple des notes : Effectf Notes Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 2

3 b. Polygone des effectfs cumulés crossants ou décrossants. Avec l exemple des notes : du caractère (notes) Effectfs n (nb d élèves ayant la note) Effectfs cumulés crossant Effectfs cumulés décrossants Polygone des effectfs cumulés crossants (PECC) : Effectf cumulé Placer les ponts de coordonnées : En abscsse : La valeur du caractère. En ordonnée : L effectf cumulé crossant assocé à cette valeur. Reler ensute les ponts consécutfs obtenus par des segments. PECC Polygone des effectfs cumulés décrossants (PECD) : Placer les ponts de coordonnées : En abscsse : La valeur du caractère. En ordonnée : L effectf cumulé décrossant assocé à cette valeur. Reler ensute les ponts consécutfs obtenus par des segments. Il peut être ntéressant de tracer ces polygones en remplaçant les effectfs cumulés par des pourcentages. 4. Paramètres de poston a. Moyenne PECD Valeur (notes) Défnton : Moyenne d une sére statstque nx 1 1nx nkxk On appelle moyenne d une sére statstque d effectf total N, le réel X. N k représente le nombre de valeurs prses par le caractère, N n1 n2... nk est l effectf total de la sére statstque. Exemple : Toujours avec l exemple des notes, on a : du caractère (notes) Effectfs n (nb d élèves ayant la note) Effectf total N = X 9,7 20 Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 3

4 Défnton : Moyenne d une sére statstque avec des fréquences et moyenne coeffcentée En utlsant les fréquences, on a : X f1x1 f2x2 f3x3... fkxk Calculer une moyenne coeffcentée revent à attrbuer à chaque valeur du caractère un coeffcent et à calculer la moyenne en prenant pour effectf d une valeur par son coeffcent. Toujours avec l exemple des notes : du caractère (notes) Fréquences f = 0,05 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 X 0,0570,1580,290,35100,15110,112 9,7 Proprété : Lnéarté de la moyenne S on ajoute à toutes les valeurs d une sére statstque le même nombre b, on augmente la moyenne de cette sére par b. S toutes les valeurs d une sére statstque sont multplées ou dvsées par un même nombre a, la moyenne de cette sére est auss multplée ou dvsée par a. Proprété : Moyenne d une sére en foncton de la moyenne des sous-groupes S une populaton d effectf N et de moyenne X est composée en deux partes d effectfs respectfs N1X1N2 X2 N1 X1N2 X2 N 1 et N 2 et de moyennes respectves X1 et X 2 alors X N N N 1 2 Exemple : S dans une classe, les 15 garçons d une classe mesurent en moyenne 182 cm et s les 20 flles mesurent en moyenne 168 cm alors la talle moyenne d un élève de cette classe est égale à X 174 cm b. Médane d une sére statstque Défnton : Médane d une sére statstque dscrète L dée générale est que la médane est une valeur du caractère qu partage la populaton en deux partes de même effectf. On appelle médane d une sére statstque dscrète toute valeur notée Me du caractère telle que : Au mons 50% des ndvdus aent une valeur du caractère nféreure ou égale à Me Au mons 50% des ndvdus aent une valeur du caractère supéreure ou égale à Me Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 4

5 Recherche pratque de la médane : On range dans un tableau les valeurs du caractère dans l ordre crossant en fasant le calcul des effectfs de chaque valeur pus en calculant les effectfs cumulés crossants. S l effectf total N est mpar, la médane Me est la N1 2 statstque ordonnée. ème valeur du caractère de la sére S l effectf total N est par, la médane Me est la moyenne de la valeur du caractère de la sére statstque ordonnée. ème N et de la 2 N 1 2 ème Exemple :. du caractère Effectfs n Effectf total N = 20 Effectfs cumulés crossants L effectf total est N = 20 est par, la médane est donc la moyenne de la valeur de la sére statstque ordonnée. Par lecture des effectfs cumulés crossants : ème 11 ème valeur 10 valeur 7 15 Me ème 2 et de la ème 11. du caractère Effectfs n Effectf total N = 25 Effectfs cumulés crossants L effectf total est N = 25 est mpar, la médane est donc le ème 13 ordonnée. Par lecture des effectfs cumulés crossants : 2 13 ème valeur Me 7 de la sére statstque Remarque : L avantage de la médane par rapport à la moyenne est d être mons sensble aux valeurs extrêmes du caractère Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 5

6 5. Un paramètre de dsperson : l écart nterquartle Ce paramètre permet de mesurer la façon dont les valeurs du caractère sont répartes autour de la médane. Défnton : Quartles et ntervalle nterquartle L dée générale est de partager la populaton en quatre partes de même effectf. Le premer quartle d'une sére statstque rangée dans l'ordre crossant d effectf total N est le nombre défn de la façon suvante : - s N 4 est un enter, le premer quartle Q 1 est la ème N 4 valeur du caractère de la sére ordonnée - s N 4 n est pas un enter, on prend l enter N drectement supéreur à ce nombre et le premer quartle Q 1 est alors la ème N valeur du caractère de la sére ordonnée. Le trosème quartle d'une sére statstque rangée dans l'ordre crossant d effectf total N est le nombre défn de la façon suvante : - s 3N 4 est un enter, le trosème quartle Q 3 est la ordonnée ème 3N 4 valeur du caractère de la sére - s 3N 4 n est pas un enter, on prend l enter N drectement supéreur à ce nombre et le trosème quartle est alors la ème N valeur du caractère de la sére ordonnée. On appelle écart nterquartle le nombre E Q3 Q1 On appelle ntervalle nterquartle l ntervalle I Q ;Q 1 3 Proprété : Proprétés des quartles Envron 25% des valeurs du caractère d une sére statstque sont nféreures ou égales à et envron 75% des valeurs du caractère d une sére statstque sont supéreures ou égales à Envron 75% des valeurs du caractère d une sére statstque sont nféreures ou égales à et envron 25% des valeurs du caractère d une sére statstque sont supéreures ou égales à L ntervalle nterquartle I Q ;Q statstque content envron 50% des valeurs du caractère de la sére 1 3 Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 6

7 Exemple : Pour calculer les premers et trosèmes quartles, on range les valeurs de la sére statstque par ordre crossant dans un tableau et on calcule les effectfs cumulés crossants. du caractère Effectfs n Effectf total N = 25 Effectfs cumulés crossants Calcul de : N 25 6,25 n est pas enter, l enter drectement supéreur est est donc la 7 ème valeur du caractère de la sére ordonnée et donc 5 par lecture des effectfs cumulés crossants. Calcul de : 3N ,75 n est pas enter, l enter drectement supéreur est est donc la 19 ème valeur du caractère de la sére ordonnée et donc 15 par lecture des effectfs cumulés crossants. Ecart nterquartle : E Q3 Q Intervalle nterquartle : I Q;Q 5; Défnton : Dagramme en boîtes Le dagramme en boîtes d une sére statstque est un procédé de résumé graphque fasant apparatre sur un axe gradué : la valeur mnmale et la valeur maxmale du caractère les premers et trosèmes quartles ans que la médane de la sére statstque Exemple : En reprenant l exemple en haut de cette page : 5, 15, Mn = 1, Max = 18 L effectf total N = 25 est mpar, la médane est donc le 25 1 ème 13 terme de la sére ordonnée donc : 2 Me = 7 Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 7

8 III. Séres statstques assocées à un caractère contnu 1. Classement des données La seule dfférence par rapport aux caractères dscrets, c est que les valeurs du caractère sont regroupées dans des ntervalles appelés classes du caractère. Exemple : Temps passé devant la télévson par 34 élèves pendant une certane journée : Temps en mnutes [0, 15[ [15, 30[ [30, 60[ [60, 120[ [120, 180[ Nombre d élèves Représentaton graphque a. Hstogramme Dans un repère orthogonal on porte en abscsse les valeurs des bornes des ntervalles (selon l unté chose), pus pour chaque ntervalle on trace un rectangle dont l are est proportonnelle à l effectf (selon l unté chose). Remarque : En pratque, l est consellé de commencer par construre le tableau suvant donnant la largeur et l are de chaque rectangle (selon les untés choses). Par exemple : avec le tableau en haut de cette page (untés : en abscsse 1 cm représente 15 mn et 1 cm2 représente 1 élève) Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 8

9 b. Polygone des fréquences cumulées C est exactement le même prncpe de constructon que celu présenté dans le cas du polygone des effectfs cumulés d une sére dscrète en remplaçant : Les effectfs par les fréquences en pourcentages Pour les fréquences cumulées crossantes : La valeur du caractère par la valeur maxmale de la classe et rajouter le pont Mn classes ; 0 Pour les fréquences cumulées décrossantes : La valeur du caractère par la valeur mnmale de la classe et rajouter le pont Max classes ;100 Exemple : Temps en mnutes [0, 15[ [15, 30[ [30, 60[ [60, 120[ [120, 180[ Total = N Nombre d élèves n Fréquence en % = Max classe Fréquences cumulées crossantes Mn classe Fréquences cumulées décrossantes Pourcentages F.C.C. F.C.D. Temps en mnutes Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 9

10 c. Calcul des paramètres de poston et de dsperson Pour calculer les dfférents paramètres d une sére statstque assocé à un caractère contnu : On prend pour valeur du caractère le mleu de chaque classe pour le calcul de la moyenne a b (Le centre de la classe a; bou a; b ou a; b ou a; b est 2 On lt dans le polygone des fréquences cumulées : La valeur du caractère correspondant à 25 % ce qu donne Q La valeur du caractère correspondant à 50 % ce qu donne Me La valeur du caractère correspondant à 75% ce qu donne Q (Ne pas applquer cette méthode dans le cas dscret, elle ne fonctonne pas!) Exemple : Temps en mnutes [0, 15[ [15, 30[ [30, 60[ [60, 120[ [120, 180[ Total = N Centre de la classe 7,5 22, Nombre d élèves n Fréquence en % = Max classe Fréquences cumulées crossantes Moyenne = Q1 14 Me 35 Q3 90 7,55 22, Pourcentages 56,6 F.C.C. Q 1 Me Q 3 Temps en mnutes Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 10

11 Exercces sur les statstques Exercce 1 Répartton des salares dans une entreprse Le tableau suvant représente la répartton des salares journalers en Euros dans une entreprse. Salare journaler Nombre d'employés Calculer l arrond au centème de la moyenne des salares journalers dans l entreprse. 2. a. Tracer le dagramme en bâtons de la sére statstque précédente b. Tracer les polygones des effectfs cumulés crossants et décrossants de cette sére statstque. 3. Tracer le dagramme en boîte de la sére statstque précédente. 4. Le salare journaler de chaque employé est augmenté de 0,3 Euros. Que devent la moyenne des salares journalers? 5. On augmente cette fos le salare journaler de chaque employé de 5%. a. Montrer que cela revent à multpler le salare de chaque employé par 1,05. b. Quelle est la nouvelle moyenne des salares journalers? De quel pourcentage a-t-elle augmenté? Exercce 2 Une technque souvent utlsée Un professeur souhate augmenter de 2 ponts la moyenne de la classe, égale à 8/20, obtenue à un devor. 1. Il relève les notes d un même nombre de ponts. Quel est ce nombre? 2. Il relève chaque note d un même pourcentage. Quel est ce pourcentage? Exercce 3 Un devor en plus Marc a 12 de moyenne après 5 devors. Il obtent la note 18 au sxème. Quelle est sa nouvelle moyenne? Exercce 4 Nombre d enfants par foyers Dans un vllage, le nombre d enfants par foyer est répart de la manère suvante : Nombre d'enfants Nombre de foyers Comparer la moyenne et la médane de cette sére statstque. 2. Tracer le dagramme en boîte de cette sére statstque. 3. Tracer le polygone des effectfs cumulés crossants et décrossants de cette sére statstque. 4. a. Quel est le pourcentage de foyers ayants au mons 2 enfants? b. Quel est le pourcentage de foyers ayants au plus 5 enfants? Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 11

12 Exercce 5 Lecture d un dagramme en bâtons La répartton du chffre d affare annuel (en mllons d Euros) des magasns d une même ensegne est donné par le dagramme en bâtons suvant : Calculer l arrond au centème de la moyenne de ces chffres d affares. Exercce 6 Construre un dagramme en boîtes Voc vos notes à un devor survellé Dresser le dagramme en boîte de cette sére de notes Exercce 7 Paramètres nconnus... On sat que la moyenne de cette sére est 2,85. Calculer a et b. Valeur Total Effectf a 5 6 b 2 20 Exercce 8 Résultats à un examen Un canddat à un examen a passé les 4 premères épreuves c-dessous : Matère Mathématques Franças Hst-Géo Langues Coeffcent Sa moyenne est de 9,7. Il lu reste à passer l épreuve d éducaton physque qu est affectée du coeffcent 2. Quelle note dot-l obtenr pour que sa moyenne fnale sot supéreure à 10? Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 12

13 Exercce 9 Moyenne d une sére en foncton de la moyenne des sous-groupes Dans un groupe d adolescents, la talle moyenne des garçons est 1,74 m, celle des flles est 1,68 m. 1. Peut-on calculer avec ces seules données la talle moyenne du groupe? 2. Le groupe comporte 52 adolescents dont 31 flles. Calculer l arrond au centème de la talle moyenne du groupe. Exercce 10 Comparason moyenne / médane On consdère la sére statstque défne par le tableau : 1. Détermner la médane de cette sére. 2. Calculer la moyenne arronde au centème près. Valeur Effectf Explquer ce phénomène à l ade du dagramme en bâtons de la sére présenté c-dessous. Exercce 11 Lecture d un dagramme en boîtes Le dagramme en boîtes d une sére est le suvant : 1. Détermner la médane et l ntervalle nterquartle de la sére. 2. a. Quel est le pourcentage de valeurs du caractère comprs entre 40 et 80? b. Quel est le pourcentage de valeurs du caractère comprs entre 10 et 50? 3. Sachant que la populaton étudée est d un effectf total égal à 72, comben d ndvdus ont une valeur du caractère comprse entre 50 et 70? Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 13

14 Exercce 12 Lecture d un hstogramme Dans l hstogramme c-dessous, l effectf correspondant à l ntervalle 23 ; 25 est égal à 10. En dédure l effectf correspondant aux autres ntervalles. Exercce 13 Notes à un devor survellé On consdère la sére suvante composée des notes obtenues à un devor survellé : Notes [2; 8[ [8; 10[ [10; 12[ [12; 20[ effectf Calculer la moyenne de la sére. 2. Construre le polygone des fréquences cumulées crossantes et décrossantes de cette sére. 3. Calculer les premers et trosèmes quartles ans que la médane de cette sére. 4. Construre l hstogramme de la sére avec les untés suvantes : 1cm représente 2 untés en abscsse et 1cm 2 représente un ndvdu. Exercce 14 Comparason de deux élèves On donne c - dessous les notes en mathématques de deux élèves sur le premer semestre : Elève 1 : 9 ; 11 ; 11 ; 13 ; 11 ; 10 ; 12 ; 11 ; 11 ; 10 ; 12 ; 11 ; 11 Elève 2 : 4 ; 13 ; 7 ; 14 ; 17 ; 6 ; 14 ; 12 ; 9 ; 16 ; 8 ; 12 ; 11 ; 1 Tracer le dagramme en boîte de la sére de notes pour chacun de ces deux élèves et comparer leurs profls. Chaptre 7 Statstques et échantllonnage Parte I Statstques 2 nd 14