1 Quelques rappels fondamentaux de géométrie

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1 Partie D A propos des angles droits 1 Quelques rappels fondamentaux de géométrie 1.1 Médiatrice d'un segment Définition 1: la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à celui-ci passant par son milieu. Propriété caractéristique de la médiatrice : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance des deux extrémités de celui-ci. 1.2 Cercle circonscrit d'un triangle Définition 2 (rappel) Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets (il existe toujours et il est unique) 1.3 Périmètre et aire d'une figure Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Exemple : Le périmètre d'un cercle de diamètre 10km est π 10 31,416 km. Le périmètre d'un triangle équilatéral de côté 4mm est 4+4+4=12 mm (ou 3 4 ) L'aire d'une figure est une grandeur qui représente la taille de sa surface. L'aire se calcule en multipliant deux longueurs de même unité : son unité se note avec cette même unité et un ². Exemple : L'aire d'un rectangle de largeur 2m et de longueur 3m vaut 6m². L'aire d'un disque de rayon R=5cm vaut π R R= π ,54 cm² D1

2 1.4 Droites particulières du triangle Dans un triangle, on distingue trois familles de droites particulières. Les médiatrices Les hauteurs Les médianes Droites perpendiculaires aux côtés en leurs milieux Droites issues d'un sommet et coupant le côté opposé perpendiculairement Droites issues d'un sommet et coupant le côté opposé en son milieu Remarque : il existe aussi les bissectrices, que nous verrons en détail cette année. Propriété : Les trois médiatrices sont concourantes. Les trois hauteurs aussi : le point de concours s'appelle l'orthocentre. Les trois médianes aussi : le point de concours s'appelle le centre de gravité. (2016 : ajouter page pour pliage/collage) 1.5 Triangles rectangles Définition 3 Un triangle est dit rectangle s'il possède un angle droit (c'est à dire mesurant 90 ). Le côté en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Exemple : ABC est rectangle en A. Remarques : Un triangle peut être rectangle et isocèle Exemple : MNP est rectangle et isocèle en M. Deux des hauteurs du triangle sont confondues avec les côtés, ce qui permet un calcul simple de l'aire. Exemple : dans le triangle ABC ci-dessus, le côté [AB] est aussi la hauteur issue de B. Avec par exemple AB=5m et AC=3m, l'aire de ABC est égale à =7,5m2 D2

3 2 Le théorème de Pythagore 2.1 Le théorème Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Démonstration : voir annexes Autres énoncés possibles du même théorème : Si ABC est rectangle en A, alors BC 2 =AB 2 +AC 2 ou Si ABC est rectangle en A, alors BC BC=AB AB+AC AC Exemple : calculer la longueur BC dans le triangle ci-dessus. Rédaction : Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on peut conclure que BC 2 = =25, et ainsi BC=5 car BC est une distance. Important : Il existe deux nombres BC tels que BC 2 =25 : 5 car 5 5=25 et (-5) car ( 5) ( 5)=25. Mais une seule solution est valable pour notre question, car on sait que BC est une distance donc c'est un nombre positif. Pour être rigoureux, il est important de rédiger : «car BC est une distance» pour justifier que l'on ne retient que la solution positive. Méthode MD1. Lorsque l'on obtient une égalité du type : x 2 = un nombre, la touche ( ) de la calculatrice donne la seule solution positive pour x. Cette touche est très pratique pour calculer des longueurs (souvent approchées) grâce au théorème de Pythagore. D3

4 Collage : preuve géométrique du théorème D4

5 2.2 Contraposée du théorème Contraposée du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. Démonstration : la contraposée d'un théorème est toujours vraie. 2.3 Réciproque du théorème Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Preuve : voir annexes. Exemple1 : MNP est-il rectangle? Exemple 2 : même question. Exemple1 : Si le triangle était rectangle, ce serait en M (car PN est le plus long côté). On calcule PM 2 +MN 2 = =1+4=5 et on calcule aussi PN 2 =4 2 =16. On constate que PM 2 +MN 2 PN 2. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, MNP n'est pas rectangle. Exemple 2 : Si le triangle était rectangle, ce serait en M (car PN est le plus long côté). On calcule PM 2 +MN 2 =1, =6,25 et aussi PN 2 =2,5 2 =6,25 On sait donc que PM 2 +MN 2 =PN 2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, MNP est rectangle en M. Important : bien rédiger deux calculs séparés avant de conclure si le triangle est rectangle ou non. D5

6 3 Triangle rectangle et cercle circonscrit 3.1 Outils utilisables quand on sait qu'un triangle est rectangle Théorème D1 Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un des diamètres du cercle circonscrit. Démonstration : admise. Conséquence 1 : Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. Preuve : le centre d'un cercle est le milieu de tous les diamètres, et donc en particulier de l'hypoténuse dans notre cas. Conséquence 2 : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Preuve : la médiane issue de l'angle droit mesure le rayon du cercle circonscrit, donc la moitié du diamètre qui est l'hypoténuse. Exemple : calculer le rayon du cercle circonscrit à MNP, triangle rectangle en M, avec MN=3 m et MP=4m. Faire un croquis pour ne passe tromper Avant d'appliquer le théorème (théorème D1) il faut calculer NP. Rédaction : 1. Dans MNP rectangle en M, d'après le théorème de Pythagore : NP 2 =MN 2 +MP 2 =9+16=25, donc NP= 25 =5 car NP est une distance. 2. On sait que MNP est rectangle en M, or, si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un des diamètres du cercle circonscrit (théorème D1), donc [NP] est un diamètre du cercle circonscrit. Conclusion : le rayon du cercle est donc NP 2=2,5m. D6

7 3.2 Outil pour démontrer qu'un triangle est rectangle Théorème D2 Si un triangle a pour sommets deux extrémités d'un diamètre d'un cercle et un troisième point du même cercle, alors il est rectangle en ce point. Démonstration : admise. Figure (un cercle et son centre) à compléter en cours. Exemple : Question : malgré les apparences de cette figure déformée, montrer que ABC est rectangle en A. Rédaction (une étape de démonstration) : On sait que : [BC] est un diamètre du cercle, A appartient aussi à ce cercle. Or, si un triangle a pour sommets deux extrémités d'un diamètre d'un cercle et un troisième point du même cercle, alors il est rectangle en ce point. (théorème D2) On peut donc conclure que ABC est rectangle en A. D7

8 4 Distance d'un point à une droite Rappel : la distance entre deux points est un nombre positif. Définition 4 La distance entre un point A et une droite (d) est la plus petite des distances que l'on peut trouver entre les points de (d) et A. Figure ci-contre à compléter en cours : tracer la distance de A à (d) Propriété D3 La distance entre un point A et une droite (d) est la distance entre A et le point d'intersection de (d) avec la perpendiculaire à (d) passant par A. Preuve : voir annexes. Vocabulaire : on dit que H est le projeté orthogonal de A sur (d). Exemple (figure pas à l'échelle) 1. Tracer la distance de B à la droite (DE) en rouge 2. Tracer la distance de A à la droite (BD) en bleu 3. Tracer la distance de E à la droite (BD) en vert 4. On sait que BC=7cm. Quel théorème permet de déterminer la distance de A à la droite (DE)? D8

9 Conséquence : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus long des trois côtés. Démonstration Soit un triangle ABC rectangle en A. La distance de B à (AC) est AB qui est donc inférieure à BC par définition. De même, la distance de C à (AB) est AC qui est donc inférieure à BC par définition. Remarque : beaucoup le savaient déjà, mais on vient de le démontrer avec les définitions et propriétés du cours. D9

10 5 Tangente à un cercle Définition 5 Soit C un cercle de centre O et A un point de C. La tangente à C au point A est la droite perpendiculaire à (OA) passant par A. Propriété D4 Si une droite est la tangente à un cercle en un point, alors ce point est le seul point commun du cercle et de cette droite. Preuve : voir annexes. Zoom autour de A Le cercle et sa tangente ne se coupent qu'en A. Propriété réciproque D5 Si une droite a un seul point commun avec un cercle, alors c'est la tangente au cercle en ce point. Preuve : admise. Exemples : J est le centre du cercle. (d1) : la tangente au cercle en K (d2) : la tangente au cercle en L (d3) : la tangente au cercle en M (d4) : la tangente au cercle en N D10

11 6 Bissectrices et cercle inscrit 6.1 Définition Définition 6 (rappel) La bissectrice d'un angle AOB est la droite passant par O coupant l'angle en deux angles adjacents de même mesure. M est sur la bissectrice de AOB Propriété D6 Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Vocabulaire : concourantes signifie qu'elles se coupent toutes les trois en un même point. Preuve : admise. Méthode MD2 : pour tracer une bissectrice au compas, on peut dessiner un losange (en reportant une même longueur quatre fois), car les diagonales d'un losange sont aussi les bissectrices de ses angles. Exemples : construire la bissectrice de ABC, celle de FED puis celle de GHI D11

12 Collages bissectrices et médiatrices par pliage D12

13 6.2 Cercle inscrit Propriété D7 : cercle inscrit et bissectrices Dans un triangle, le cercle inscrit est tangent aux trois côtés, et son centre est le point de concours des bissectrices. Preuve : admise. Méthode MD3 : pour tracer le cercle inscrit d'un triangle, on peut : 1. Tracer deux bissectrices et marquer leur point d'intersection pour obtenir le centre (compas) 2. Projeter ce centre perpendiculairement sur un des côtés pour tracer un point du cercle (équerre) 3. Tracer le cercle (compas) Exemple : construire le cercle inscrit au compas et à l'équerre avec précision (sans rapporteur). D13

14 6.3 Bissectrices et distances On sait que M est sur la bissectrice Propriété D8 Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle. On sait que MH=MK Preuve : voir annexes. On conclut que M est sur la bissectrice Propriété réciproque D9 Si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Preuve : voir annexes. On conclut que MH=MK D14

15 7 Pyramides et cônes de révolution 7.1 Pyramides Définition 7 Une pyramide est un solide dont : Une face est un polygone (la base) Les autres faces sont des triangles ayant un sommet commun (le sommet de la pyramide) Vocabulaire : voir figure Propriété et définition (admise) Il existe une droite passant par le sommet et qui est orthogonale au plan de base. On la nomme hauteur de la pyramide (ici (SP)). On appelle aussi hauteur la distance SP. Preuve : admise Définition 8 Une pyramide est dite régulière lorsque ses faces latérales sont des triangles isocèles ayant les mêmes dimensions. Collage : patrons de pyramides (régulière et non régulière) D15

16 7.2 Cônes de révolution Définition 9 Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés adjacents à l'angle droit. Vocabulaire : voir figures ci-contre. Définition 10 La hauteur d'un cône est la distance entre le centre de la base (O) et le sommet (S). Illustrations : Phare 4ème - Hachette Propriété D10 L'axe du cône (ici (OS)) est perpendiculaire à toute droite prolongeant un rayon de la base (par exemple (OR)) Preuve : admise. Vocabulaire : on dit que l'axe est orthogonal au plan de la base, et on l'appelle parfois la hauteur du cône aussi. Collage : patron d'un cône D16

17 7.3 Calculs de volumes Propriété D11 Le volume d'un cône ou d'une pyramide se calcule avec la formule suivante : V= 1 3 S H où S est la surface de la base et H est la hauteur du solide. Preuve : admise. Exemple : Le volume d'un cône dont le rayon est 4cm et la hauteur est 5cm est V= 1 3 (π 42 ) 5= 80 π 3 (valeur exacte) 83,8 cm 3 (valeur approchée) Important : les unités de S et de H doivent être cohérentes (m et m², cm et cm², km et km² par exemple). L'unité du volume se note avec un 3. D17

18 Page vide D18

19 8 Cosinus dans les triangles rectangles 8.1 Définition du cosinus d'un angle aigu Dans les triangles rectangles, le rapport de la mesure du côté adjacent à un angle et celle de l'hypoténuse ne dépend que de l'angle (admis). On peut donc donner un nom à ce coefficient qui n'est lié qu'à l'angle : Définition 11: cosinus d'un angle Dans un triangle rectangle on appelle cosinus d'un angle le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par celle de l'hypoténuse. Remarque : le cosinus n'a pas d'unité puisque l'on divise une longueur par une autre. Adjacent : Dans le voisinage immédiat de quelque chose ; attenant, voisin. (Larousse en ligne) Attention : bien comprendre que l'hypoténuse est toujours le même côté, mais que le côté adjacent dépend de l'angle où on se place. Exemple : calculer le cosinus de ABC puis celui de BCA Rédaction : Dans le triangle ABC rectangle en A, on peut calculer (en se plaçant en B) cos ( ABC )= AB BC = 8 10 =0,8 On peut aussi calculer (en se plaçant en C) cos ( BCA )= AC BC = 6 10 =0,6 D19

20 8.2 Utilisation de la calculatrice Propriété (qu'il n'est pas nécessaire d'apprendre : ouf!) Pour une mesure d'angle x, on peut calculer une valeur approchée du cosinus de x par la formule : ( x π 180 ) 2 cos x=1 + (x π 180 ) 4 (x π 180 ) 6 + (x π 180 ) Preuve : admise. On peut démontrer cela en études de mathématiques après le bac. Rassurez vous : on n'utilise jamais cette formule directement! Un programme dans votre calculatrice permet d'obtenir le résultat : touche. Méthode MD4 : A propos du cosinus d'un angle, on peut utiliser sa calculatrice de deux façons : dans le but de trouver une mesure d'un côté ou la mesure d'un angle. Cliquer sur ce lien ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier. D20

21 9 Annexes : démonstrations 9.1 Distance d'un point à une droite Preuve de la propriété 3 Soit A un point et (d) une droite. On définit B, symétrique de A par rapport à (d), et H, intersection de (AB) et (d) (voir figure). Pour n'importe quel point P de (d) : On sait que AB<AP+PB (inégalité triangulaire). En effet, le plus court chemin entre A et B et le segment [AB]. Passer par P est forcément plus long. Or AB=2 AH et AP=PB (propriété de la symétrie par rapport à (d)) On a donc 2 AH<2PA, qui équivaut à AH<PA Conclusion : quelle que soit la position de P sur (d), on a montré que AH<AP. La plus petite distance que l'on peut trouver entre A et les points de (d) est bien AH. 9.2 Tangente à un cercle Preuve de la propriété 4 (preuve un peu difficile) On note T A la tangente à C en A. Supposons qu'il existe un autre point commun à C et T A : B On aurait alors OA=OB=R car A et B sont sur le cercle C. Donc OAB serait isocèle, et ÔAB = ABO. Or par définition, ÔAB =90 puisque l'angle entre les tangentes et leur rayon est droit. On aurait donc d'après la propriété de somme des angles dans un triangle : AOB = =0 Au final, OA=OB et l'angle entre (OA) et (OB) étant nul, on aurait nécessairement A=B. A est donc le seul point commun de T A et C D21

22 9.3 Bissectrices Preuve de la propriété D8 : Soient trois points A, O, B. Soit aussi M tel que (OM) est la bissectrice de l'angle en O. Dans les triangles OMH et OMK, on a deux angles égaux : celui en O car (OM) est la bissectrice, et celui en H et M qui est droit. Le troisième angle est donc aussi égal dans les deux triangles. Puisque l'on a aussi un côté commun, les deux triangles ont les mêmes mesures. On a donc en particulier MH=MK. Preuve de la propriété D9 Soient trois points A, O, B. Soit aussi M à égale distance de (OA) et (OB) On définit K et H, projetés orthogonaux de M sur (OA) et (OB) (voir figure). Dans les triangles OMH et OMK, on a deux côtés de même mesure : [OM] commun [MK] et [MH] car MK=MH. On a aussi un angle droit dans chaque. Les deux triangles ont donc les mêmes mesures, et en particulier les angles ĤOM et MOK. (OM) est donc bien la bissectrice. 9.4 Théorème de Pythagore Voir Réciproque du théorème de Pythagore Soit ABC tel que BC 2 =AB 2 +AC 2 On construit D sur la perpendiculaire à (AB) passant par A tel que AD=AC et D C (voir figure) ABD rectangle est en A donc BD 2 =AB 2 +AD 2 AC=AD donc BD 2 =AB 2 +AC 2 (Pythagore) On peut affirmer que BD 2 =BC 2 car les deux sont égaux à AB 2 +AC 2 Or BC>0 ainsi que BD>0 car ce sont des distances, donc BD=BC. Au final, puisque AC=AD et BC=BD, (AB) est la médiatrice de [CD] Conclusion : (AB) (AC) D22

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