Acoustique non-linéaire - fondements. S.Ayrinhac

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1 Aousique non-linéire - fondemens S.Ayrinh

2 Aousique fiblemen non-linéire Que se sse--il lorsque l'mliude de ression de l'onde ousique ugmene? Lorsque l surression ' ugmene : En eroln l héorie linéire, enre 6 e 8 db on eu onser que : L iesse riulire m u deien du même ordre de grndeur que l iesse du son : u ~ m/s - dns l'ir : m = m u-delà l'onde n'es lus sinusoïdle érêge - dns l'eu : m = : formion de bulles, iion - lorsque '=.-. m : on sor de l'ousique linéire oir lire Chigne&Kergomrd.6 On enre dns le domine de l'ousique NL lorsque l'mliude de l'onde n'es lus onsidérée omme infiniésimle On elle es ondes des ondes d'mliude finie finie wes.

3 D'où ien l non-linérié? Les riions de ression ousique enrînen des riions de T, or l iesse du son lole déend de T e don de l iesse ousique. Anlogie e l ension de l orde : l ension déend de l'llongemen, or ee longueur hnge e l ibrion de l orde. Un erin nombre de hénonèmes son à rendre en ome : - oneion ou deion - erins ermes du e ordre ne son lus négligebles dns les équions - non linérié de l'équion d'é Conséquenes - l'onde se déforme u ours de l rogion réion d'ondes de ho - le rinie de suerosiion n'es lus lble inerion enre les ondes Nous llons riller dns un s simle : - ondes lnes - non dissiies - dns un fluide rfi non isqueu - ousique fiblemen non-linéire : effes lolemen négligebles mis umulifs M=/ << nombre de Mh ousique. En ousique foremen non-linéire : M ~ équions de Rnkine-Hugonio. - ondiions isenroiques dibiques - s de hos

4 Rels e noions / En résene d'une onde : fluuion uour de l'équilibre d'une grndeur hysique ' iesse riulire, iesse d'enrînemen du fluide - é d'équilibre = leur moyenne de l grndeur fluune m,. kg/m, T K, m/s il n'y s de iesse d'enrinemen fluide u reos - une iesse d'enrînemen non nulle hnge l iesse de rogion de l'onde Aousique linéire : les riions r ror à l'é d'équilibre son fibles on néglige les ermes du e ordre 4

5 5 Z,, S our une onde lne sinusoïdle Z imédne ousique rérisique es l iesse du son Relion ression-densié linéire Nombre de Mh ousique M ondension M Rels e noions /

6 Origines de l non-linérié Equion d'euler FD liqué u fluide non-linéire, Conserion de l qunié de mouemen équion lole : D D dériée riulire grd di erme de oneion grd Equion d'euler D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Coneion : les ondes délen le milieu u ours de leur rogion Quesion : our quels yes d'ondes n'y --il s de oneion? 6

7 Origines de l non-linérié Equion d'euler FD liqué u fluide non-linéire, Conserion de l qunié de mouemen équion lole : D D dériée riulire grd di erme de oneion grd Equion d'euler D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Coneion : les ondes délen le milieu u ours de leur rogion Quesion : our quels yes d'ondes n'y --il s de oneion? les ondes éleromgnéiques 7

8 Equion de oninuié rinie de onserion de l msse - L qunié de fluide se onsere, il n'y ni soure réion ni uis disriion de liquide débi mssique renrn S V n ds di di Théorème de Green-Osrogrdsky V V ugmenion du olume dv dv équion lole, D, non-linéire : Equion de oninuié relion inégrle relion lole n ds di surfe S fermée : emrisonne le olume V D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : 8

9 L'équion d'é du fluide - our un fluide ou un gz, l'équion d'é renseigne sur l'é d'équilibre hermodynmique. - Equion d'é : relion enre les grndeurs V ou, e T en nglis equion of se - EoS - L'équion d'é eu s'erimer en fonion de différenes ribles, r eemle l'équion d'é isenroique :,S où S es l'enroie oir nnee - Cee équion d é es inéressne r l iesse du son es isenroique oir nnee - C'es une relion à riori non-linéire Déeloemen limié uour de l'é d'équilibre de l'eos isenroique en fonion de e S onsn uour de ' '' '''...!! ' '' '''...!! Rel : déeloemen de Tylor de l fonion f u oin f ' f '' f ''' f f!!!... 9

10 Ce son des oeffiiens onsns, uniques our hque oule,. Ils déenden don des ondiions eérieures. Ce son des grndeurs hermodynmiques, dériées de l'équion d'é.... 6,,, S S S A B C... 6 C B A En ériure lus ondensée : Eerie : monrons que A es l'inerse de l omressibilié dibique S Inroduisons les oeffiiens A, B e C :

11 Ce son des oeffiiens onsns, uniques our hque oule,. Ils déenden don des ondiions eérieures. Ce son des grndeurs hermodynmiques, dériées de l'équion d'é.... 6,,, S S S A B C... 6 C B A En ériure lus ondensée :, A S S S A, Eerie : monrons que A es l'inerse de l omressibilié dibique S Inroduisons les oeffiiens A, B e C :

12 ... 6 C B A... C B A... C B... A B S linéire non-linéire Equion d'é du fluide , A B A B A B S... A B e Relion enre e

13 Inerréion grhique : - L ene de l fonion n'es ure que ², l iesse u rré lulée à l'équilibre, 'es une relion linéire oir figure i-dessous - C'es l'ér à ee loi linéire qui es resonsble de l non-linérié de l'équion d'é Soure : Ben Co, Aousis of Ulrsound Imging, ge h://www.ul..uk/medhys/sff/eole/bo/bens_leure_noes

14 4 milieu B/A ir.4 eu C 5 éhnol C,5 merure liquide C 7,8 liquide e bulles oeffiien B/A dns quelques fluides,,, S S S C B A - B/A es le rmère de non-linérié elé ussi rmère de Beyer, sns unié - les ermes C e suérieurs son négligebles, S A B rmère de non-linérié B/A

15 Clul de B/A our un gz rfi - Trnsformion isenroique d'un gz rfi : loi de Lle oir nnee où es le oeffiien dibique =C /C V k TV k k V...!! n n n n n n n... 6 On idenifie les oeffiiens A e B A B Aliion à l'ir onsidéré omme un gz rfi - L'ir es omosé de moléules diomiques dizoe N, dioygène O, e don =.4 - Don B/A=.4 A B 5 Formulions équilenes de l loi de Lle les k i son des onsnes Rel : série binomile déeloée en =

16 Viesse du son iesse de rogion de l erurbion r ror u mouemen du fluide B... erme orreif dû à l non-linérié du fluide gz ou liquide A iesse de rogion de l erurbion r ror à un reère fie ' erme sulémenire dû à l oneion d ' ' es l dériée de l osiion de l'onde r ror u ems d Combinons les deu : B ' A On inrodui un noueu oeffiien : ' 6

17 Coeffiien de non-linérié B A oeffiien de non-linérié sns unié - our un gz : =. - our un liquide : 6 - Même si le milieu es linéire B=, n'es s égl à à use du erme de oneion - Aenion à l erminologie : B/A es le rmère de NL lors que be es le oeffiien de NL ' - relons que es l iesse insnnée elle déend du ems. L'onde se roge oujours en moyenne à, mis des orions loles se rogen à ', don lus ie our les rêes que our les reu. - eu rier enre m e m, m es l'mliude de l'onde. Conséquenes : Il y déformion/disorion rogressie de l'onde ridissemen seeening du fron d'onde 7

18 Biln des équions Equion d'euler D, onde lne, linéire D, onde lne, non-linéire Equion de oninuié D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Equion d'é du fluide linéire non-linéire e B A... L ombinison de es équions nous erme d'éblir l'équion de rogion d'une onde linéire ou non-linéire. 8

19 9 Eblissemen de l'équion de rogion linéire Eerie : rerouer l'équion des ondes linéire à rir de es équions

20 On lique les dériées roisées our fire rire un erme idenique On sousri les équions our obenir l'équion de rogion linéire en. Soluion : Eblissemen de l'équion de rogion linéire Eerie : rerouer l'équion des ondes linéire à rir de es équions

21 Ce sysème dme une soluion si le déerminn es nul, uis on dédui Eblissemen de l'équion de rogion non-linéire On éri les équions uiles. L soluion déillée es donnée dns le lire de Chigne & Kergomrd, ges On donne ii le rinie du lul. On éri un sysème de équions uis on le rééri en fonion de / e /. On uilise l relion our érire On injee d/d dns l remière équion e on mulilie r our rouer l soluion.

22 Equion de rogion non-linéire : iesse de rogion de l erurbion / u mouemen du fluide : iesse riulire ' = + : iesse de rogion de l erurbion / à un reère fie : ' dns le s linéire fibles mliudes - on eu monrer que ' = + où =+B/A - es elé le oeffiien de NL, il onien ermes issus de l NL du milieu e de l oneion - lorsque =, on reroue l'équion de rogion linéire

23 Soluions de l'équion de rogion non-linéire Deu yes de soluion, g ;, f ;, g ', f ' - Quelle forme es l lus filemen essible eérimenlemen? C'es l forme. Il suffi d'éloigner un mirohone de l soure > qui enregisre le signl en fonion du ems. - Quelle es l forme de our une onde sinusoïdle simle? Il suffi de rendre u=usin[omeg-/]. - On onse que l fonion déend d'elle-même : ommen luler? Il fu regrder les inerseions enre l ourbe f=u e g=fu our hque oule,. Lorsqu'il y lusieurs inerseions, el signifie que l ourbe u es muliluée. - L qunié es-elle simle à mesurer? L ression es lus simle à mesurer. Dns le s d'une onde lne, e u son roorionnels.

24 Soluions de l'équion de rogion non-linéire Deu yes de soluion, g ;, f ;, g ', f ' - Quelle forme es l lus filemen essible eérimenlemen? C'es l forme. Il suffi d'éloigner un mirohone de l soure > qui enregisre le signl en fonion du ems. - Quelle es l forme de our une onde sinusoïdle simle? Il suffi de rendre = m sin[-/]. - On onse que l fonion déend d'elle-même : ommen luler? Il fu regrder les inerseions enre l ourbe f= e g=f our hque oule,. Lorsqu'il y lusieurs inerseions, el signifie que l ourbe u es muliluée. - L qunié es-elle simle à mesurer? L ression es lus simle à mesurer. Dns le s d'une onde lne, e son roorionnels. 4 4

25 Formion d'un ho / Soure sinusoïdle de fréquene On dessine les fluuions de iesse riulire en fonion du ems, our lusieurs osiions m m L rêe oyge lus ie que : elle rre rogressiemen le reu qui oyge moins ie que à noer : l'onde se enhe dns l direion des déroissns Ariion d'un ho lorsque l'onde résene un rofil eril à l disne = limie de lidié de nore héorie Disne de formion d'un ho : lul omle dns l'nnee m 5

26 Formion d'un ho / L grndeur deien muliluée en un erin nombre de oins : à un ems donné, il eise lusieurs leurs de l iesse ossibles ; e n'es s hysique! our rouer le rofil "réel" de l'onde, il fu uiliser l loi des ires égles on enre dns l héorie des hos, --d le domine de l'ousique foremen non-linéire dns les hos se roduisen des roessus irréersibles : les roessus ne son lus dibiques on roue un rofil yique en dens de sie swooh L déformion rès grnde de l forme d'onde enrîne une diminuion sulémenire de l'mliude : er-énuion non linéire l dissiion rrondir les ngles u finl on reroue une onde sinusoïdle de lus fible mliude 6

27 Aenion : l'onde se déforme de mnière oosée lorsqu'on l regrde en osiion ou en ems. 7

28 Cs riulier : l'onde en N L'onde en N s'éle u ours du ems, r l rêe oyge lus ridemen que le reu. Dns le s des ondes en den de sie, e hénomène d'élemen es onrrié r l ériodiié du hénomène. Deu eemles : Ce ye d'onde es renonré dns le s du boom sonique en éronuique lorsqu'un ion ein Mh. Un bllon goflble qui éle rodui une onde en N rérisique D.T.Deihl, Amerin Journl of hysis,

29 Soure : hèse X.Job 5.6 Générion d'hrmoniques Le sere de l'onde qui se déforme n'es s quelonque : il y riion d'hrmoniques e diminuion du fondmenl. Ces hrmoniques son les omosnes d'une série de Fourier. fondmenl f hrmoniques f=n*f Il y rnsfer de l'énergie du fondmenl ers les hrmoniques. Or l'énuion ugmene lorsque l fréquene ugmene don l'onde s'énuer lus ie. 9

30 Soure : hèse X.Job 5.6 Vriion de l'mliude serle des omosnes en fonion de l disne normlisée / Déroissne du fondmenl : er-énuion non linéire : disne d'riion d'un ho Ariion e roissne des hrmoniques e

31 Le rinie de suerosiion n'es lus lble : deu ondes qui s'ddiionnen on une ion muuelle l'une sur l'ure. Inerion à ondes : l'inerion NL de ondes de fréquenes f e f rée des ondes u fréquenes somme e différene f f Générion d'hrmoniques os os E E h h f,,,,,, h h h reue : soi l somme de ondes noées e : fonion h soi le résul de l rnsformion fonion f rnsformion linéire : fréq. idenique en sorie rnsformion non-linéire : riion de fréq.nouelles... h h h f

32 Soure : A.Bouyssy hysique our les sienes de l ie. les ondes BELIN 988 ges 8-9 Non-linérié d'un sysème enrée-sorie Signl de sorie, sns e e disorsion Signl d'enrée de fible mliude Signl d'enrée de fore mliude L rnsformion roorionnelle à guhe n'es que l'roimion linéire sur un fible domine de riion de l rnsformion lus générle à droie

33 Anglis Frnçis Bibliogrhie Aousique : rogion dns un fluide D. Royer e E. Dieulesin Tehniques de l'ingénieur AF8 Aousique des insrumens de musique A. Chigne e J. Kergomrd ISBN hire 8. Non-linériés, ges Frédéri Elie, mi 9 : h://fred.elie.free.fr/ousique_nonlineire.hm Cours générlise sur les non-linériés en hysique: h://le.nrs-orlens.fr/~ddwi/enseignemen/ours-nonl.df Sringer hndbook of ousis ISBN : hire 8. Nonliner Aousis in Fluids ges Nonliner Aousis: Theory nd Aliions Mrk F. Hmilon e Did T. Blksok

34 Annee : iesse du son dibique L rogion du son es un roessus dibique ou isenroique, on noe ee iesse S. Cel signifie que l hleur ne se roge s des ries de l'onde où l T es l lus hue ers les ries de l'onde où l T es l lus bsse, u ours de l rogion de l'onde. Newon, qui i suosé un roessus isoherme, s'es romé du feur en luln l iesse du son dns l'ir =8m/s. Lle roué l bonne leur en onsidérn une rogion dibique = m/s. Fleher [] monre que l fréquene f de l'onde se rogen à une iesse doi êre rès inférieure à leur limie f lim our que l rogion uisse êre onsidérée omme dibique es l onduiié hermique : C f V lim Une ure démonsrion, lus omliquée, éé roosée r Coens e l []. [] N.H.Fleher, Amerin Journl of hysis, [] Coens, Beyer, Bllou, JASA

35 5 Annee : disne de formion d'un ho f on eu rouer l disne our lquelle le fron es ride, --d l dériée es infinie : u f ' / ' ' f f Lorsque le dénomineur es égl à, = : ' f - on suose ii << ousique fiblemen non-linéire - es miniml lorsque f' es miml

36 Lorsque l soure f es sinusoïdle f f m sin f ' m os m sin f ' m m m k M k - = signifie formion d'un ho - les équions d'ousique fiblemen non-linéire ne son lus lbles u-delà de - deien fible on oi lus filemen l NL lorsque l'mliude m de l'onde es grnde réisible! le oeffiien de non-linérié es grnd ouf! l fréquene de l'onde es grnde 6

37 Annee : rels de hermodynmique Toue l'informion hermodynmique d'un fluide es onenue dns l fonion rérisique qui eu rendre lusieurs formes : SU,V, FT,V, GT, ou HS, S:enroie, F:énergie libre, G:enhlie libre, H:enhlie. De ee fonion on dédui l'équion d'é V,T [ou V,S], insi que les oeffiiens lorimériques C, C V e les oeffiiens hermoélsiques, T. Eemles d'équions d'é du gz rfi : V, T V, S V nrt V S e / C V our une rnsformion isoherme, dt=, don V=onsne. our une rnsformion dibique e réersible don isenroique, ds= e on reroue l loi de Lle V =onsne. Référene : Thermodynmique C-SI Niols Choime 7

pouvant être utilisé pour représenter les nombres. Par convention, la base dans laquelle le nombre est exprimé se

pouvant être utilisé pour représenter les nombres. Par convention, la base dans laquelle le nombre est exprimé se psi--a-uomiquesysèmes ominoires- J.Kuhler V4.- CIENCE INDUTRIEE POUR INGÉNIEUR CI-8 pge /8. Auomique A. ysèmes ominoires PCII oopp ioonn II Codge de l informion. Opéreurs logiques fondmenux. Fonions logiques.

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