Acoustique non-linéaire - fondements. S.Ayrinhac

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1 Aousique non-linéire - fondemens S.Ayrinh

2 Aousique fiblemen non-linéire Que se sse--il lorsque l'mliude de ression de l'onde ousique ugmene? Lorsque l surression ' ugmene : En eroln l héorie linéire, enre 6 e 8 db on eu onser que : L iesse riulire m u deien du même ordre de grndeur que l iesse du son : u ~ m/s - dns l'ir : m = m u-delà l'onde n'es lus sinusoïdle érêge - dns l'eu : m = : formion de bulles, iion - lorsque '=.-. m : on sor de l'ousique linéire oir lire Chigne&Kergomrd.6 On enre dns le domine de l'ousique NL lorsque l'mliude de l'onde n'es lus onsidérée omme infiniésimle On elle es ondes des ondes d'mliude finie finie wes.

3 D'où ien l non-linérié? Les riions de ression ousique enrînen des riions de T, or l iesse du son lole déend de T e don de l iesse ousique. Anlogie e l ension de l orde : l ension déend de l'llongemen, or ee longueur hnge e l ibrion de l orde. Un erin nombre de hénonèmes son à rendre en ome : - oneion ou deion - erins ermes du e ordre ne son lus négligebles dns les équions - non linérié de l'équion d'é Conséquenes - l'onde se déforme u ours de l rogion réion d'ondes de ho - le rinie de suerosiion n'es lus lble inerion enre les ondes Nous llons riller dns un s simle : - ondes lnes - non dissiies - dns un fluide rfi non isqueu - ousique fiblemen non-linéire : effes lolemen négligebles mis umulifs M=/ << nombre de Mh ousique. En ousique foremen non-linéire : M ~ équions de Rnkine-Hugonio. - ondiions isenroiques dibiques - s de hos

4 Rels e noions / En résene d'une onde : fluuion uour de l'équilibre d'une grndeur hysique ' iesse riulire, iesse d'enrînemen du fluide - é d'équilibre = leur moyenne de l grndeur fluune m,. kg/m, T K, m/s il n'y s de iesse d'enrinemen fluide u reos - une iesse d'enrînemen non nulle hnge l iesse de rogion de l'onde Aousique linéire : les riions r ror à l'é d'équilibre son fibles on néglige les ermes du e ordre 4

5 5 Z,, S our une onde lne sinusoïdle Z imédne ousique rérisique es l iesse du son Relion ression-densié linéire Nombre de Mh ousique M ondension M Rels e noions /

6 Origines de l non-linérié Equion d'euler FD liqué u fluide non-linéire, Conserion de l qunié de mouemen équion lole : D D dériée riulire grd di erme de oneion grd Equion d'euler D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Coneion : les ondes délen le milieu u ours de leur rogion Quesion : our quels yes d'ondes n'y --il s de oneion? 6

7 Origines de l non-linérié Equion d'euler FD liqué u fluide non-linéire, Conserion de l qunié de mouemen équion lole : D D dériée riulire grd di erme de oneion grd Equion d'euler D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Coneion : les ondes délen le milieu u ours de leur rogion Quesion : our quels yes d'ondes n'y --il s de oneion? les ondes éleromgnéiques 7

8 Equion de oninuié rinie de onserion de l msse - L qunié de fluide se onsere, il n'y ni soure réion ni uis disriion de liquide débi mssique renrn S V n ds di di Théorème de Green-Osrogrdsky V V ugmenion du olume dv dv équion lole, D, non-linéire : Equion de oninuié relion inégrle relion lole n ds di surfe S fermée : emrisonne le olume V D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : 8

9 L'équion d'é du fluide - our un fluide ou un gz, l'équion d'é renseigne sur l'é d'équilibre hermodynmique. - Equion d'é : relion enre les grndeurs V ou, e T en nglis equion of se - EoS - L'équion d'é eu s'erimer en fonion de différenes ribles, r eemle l'équion d'é isenroique :,S où S es l'enroie oir nnee - Cee équion d é es inéressne r l iesse du son es isenroique oir nnee - C'es une relion à riori non-linéire Déeloemen limié uour de l'é d'équilibre de l'eos isenroique en fonion de e S onsn uour de ' '' '''...!! ' '' '''...!! Rel : déeloemen de Tylor de l fonion f u oin f ' f '' f ''' f f!!!... 9

10 Ce son des oeffiiens onsns, uniques our hque oule,. Ils déenden don des ondiions eérieures. Ce son des grndeurs hermodynmiques, dériées de l'équion d'é.... 6,,, S S S A B C... 6 C B A En ériure lus ondensée : Eerie : monrons que A es l'inerse de l omressibilié dibique S Inroduisons les oeffiiens A, B e C :

11 Ce son des oeffiiens onsns, uniques our hque oule,. Ils déenden don des ondiions eérieures. Ce son des grndeurs hermodynmiques, dériées de l'équion d'é.... 6,,, S S S A B C... 6 C B A En ériure lus ondensée :, A S S S A, Eerie : monrons que A es l'inerse de l omressibilié dibique S Inroduisons les oeffiiens A, B e C :

12 ... 6 C B A... C B A... C B... A B S linéire non-linéire Equion d'é du fluide , A B A B A B S... A B e Relion enre e

13 Inerréion grhique : - L ene de l fonion n'es ure que ², l iesse u rré lulée à l'équilibre, 'es une relion linéire oir figure i-dessous - C'es l'ér à ee loi linéire qui es resonsble de l non-linérié de l'équion d'é Soure : Ben Co, Aousis of Ulrsound Imging, ge h://www.ul..uk/medhys/sff/eole/bo/bens_leure_noes

14 4 milieu B/A ir.4 eu C 5 éhnol C,5 merure liquide C 7,8 liquide e bulles oeffiien B/A dns quelques fluides,,, S S S C B A - B/A es le rmère de non-linérié elé ussi rmère de Beyer, sns unié - les ermes C e suérieurs son négligebles, S A B rmère de non-linérié B/A

15 Clul de B/A our un gz rfi - Trnsformion isenroique d'un gz rfi : loi de Lle oir nnee où es le oeffiien dibique =C /C V k TV k k V...!! n n n n n n n... 6 On idenifie les oeffiiens A e B A B Aliion à l'ir onsidéré omme un gz rfi - L'ir es omosé de moléules diomiques dizoe N, dioygène O, e don =.4 - Don B/A=.4 A B 5 Formulions équilenes de l loi de Lle les k i son des onsnes Rel : série binomile déeloée en =

16 Viesse du son iesse de rogion de l erurbion r ror u mouemen du fluide B... erme orreif dû à l non-linérié du fluide gz ou liquide A iesse de rogion de l erurbion r ror à un reère fie ' erme sulémenire dû à l oneion d ' ' es l dériée de l osiion de l'onde r ror u ems d Combinons les deu : B ' A On inrodui un noueu oeffiien : ' 6

17 Coeffiien de non-linérié B A oeffiien de non-linérié sns unié - our un gz : =. - our un liquide : 6 - Même si le milieu es linéire B=, n'es s égl à à use du erme de oneion - Aenion à l erminologie : B/A es le rmère de NL lors que be es le oeffiien de NL ' - relons que es l iesse insnnée elle déend du ems. L'onde se roge oujours en moyenne à, mis des orions loles se rogen à ', don lus ie our les rêes que our les reu. - eu rier enre m e m, m es l'mliude de l'onde. Conséquenes : Il y déformion/disorion rogressie de l'onde ridissemen seeening du fron d'onde 7

18 Biln des équions Equion d'euler D, onde lne, linéire D, onde lne, non-linéire Equion de oninuié D, onde lne, linéire : D, onde lne, non-linéire : Equion d'é du fluide linéire non-linéire e B A... L ombinison de es équions nous erme d'éblir l'équion de rogion d'une onde linéire ou non-linéire. 8

19 9 Eblissemen de l'équion de rogion linéire Eerie : rerouer l'équion des ondes linéire à rir de es équions

20 On lique les dériées roisées our fire rire un erme idenique On sousri les équions our obenir l'équion de rogion linéire en. Soluion : Eblissemen de l'équion de rogion linéire Eerie : rerouer l'équion des ondes linéire à rir de es équions

21 Ce sysème dme une soluion si le déerminn es nul, uis on dédui Eblissemen de l'équion de rogion non-linéire On éri les équions uiles. L soluion déillée es donnée dns le lire de Chigne & Kergomrd, ges On donne ii le rinie du lul. On éri un sysème de équions uis on le rééri en fonion de / e /. On uilise l relion our érire On injee d/d dns l remière équion e on mulilie r our rouer l soluion.

22 Equion de rogion non-linéire : iesse de rogion de l erurbion / u mouemen du fluide : iesse riulire ' = + : iesse de rogion de l erurbion / à un reère fie : ' dns le s linéire fibles mliudes - on eu monrer que ' = + où =+B/A - es elé le oeffiien de NL, il onien ermes issus de l NL du milieu e de l oneion - lorsque =, on reroue l'équion de rogion linéire

23 Soluions de l'équion de rogion non-linéire Deu yes de soluion, g ;, f ;, g ', f ' - Quelle forme es l lus filemen essible eérimenlemen? C'es l forme. Il suffi d'éloigner un mirohone de l soure > qui enregisre le signl en fonion du ems. - Quelle es l forme de our une onde sinusoïdle simle? Il suffi de rendre u=usin[omeg-/]. - On onse que l fonion déend d'elle-même : ommen luler? Il fu regrder les inerseions enre l ourbe f=u e g=fu our hque oule,. Lorsqu'il y lusieurs inerseions, el signifie que l ourbe u es muliluée. - L qunié es-elle simle à mesurer? L ression es lus simle à mesurer. Dns le s d'une onde lne, e u son roorionnels.

24 Soluions de l'équion de rogion non-linéire Deu yes de soluion, g ;, f ;, g ', f ' - Quelle forme es l lus filemen essible eérimenlemen? C'es l forme. Il suffi d'éloigner un mirohone de l soure > qui enregisre le signl en fonion du ems. - Quelle es l forme de our une onde sinusoïdle simle? Il suffi de rendre = m sin[-/]. - On onse que l fonion déend d'elle-même : ommen luler? Il fu regrder les inerseions enre l ourbe f= e g=f our hque oule,. Lorsqu'il y lusieurs inerseions, el signifie que l ourbe u es muliluée. - L qunié es-elle simle à mesurer? L ression es lus simle à mesurer. Dns le s d'une onde lne, e son roorionnels. 4 4

25 Formion d'un ho / Soure sinusoïdle de fréquene On dessine les fluuions de iesse riulire en fonion du ems, our lusieurs osiions m m L rêe oyge lus ie que : elle rre rogressiemen le reu qui oyge moins ie que à noer : l'onde se enhe dns l direion des déroissns Ariion d'un ho lorsque l'onde résene un rofil eril à l disne = limie de lidié de nore héorie Disne de formion d'un ho : lul omle dns l'nnee m 5

26 Formion d'un ho / L grndeur deien muliluée en un erin nombre de oins : à un ems donné, il eise lusieurs leurs de l iesse ossibles ; e n'es s hysique! our rouer le rofil "réel" de l'onde, il fu uiliser l loi des ires égles on enre dns l héorie des hos, --d le domine de l'ousique foremen non-linéire dns les hos se roduisen des roessus irréersibles : les roessus ne son lus dibiques on roue un rofil yique en dens de sie swooh L déformion rès grnde de l forme d'onde enrîne une diminuion sulémenire de l'mliude : er-énuion non linéire l dissiion rrondir les ngles u finl on reroue une onde sinusoïdle de lus fible mliude 6

27 Aenion : l'onde se déforme de mnière oosée lorsqu'on l regrde en osiion ou en ems. 7

28 Cs riulier : l'onde en N L'onde en N s'éle u ours du ems, r l rêe oyge lus ridemen que le reu. Dns le s des ondes en den de sie, e hénomène d'élemen es onrrié r l ériodiié du hénomène. Deu eemles : Ce ye d'onde es renonré dns le s du boom sonique en éronuique lorsqu'un ion ein Mh. Un bllon goflble qui éle rodui une onde en N rérisique D.T.Deihl, Amerin Journl of hysis,

29 Soure : hèse X.Job 5.6 Générion d'hrmoniques Le sere de l'onde qui se déforme n'es s quelonque : il y riion d'hrmoniques e diminuion du fondmenl. Ces hrmoniques son les omosnes d'une série de Fourier. fondmenl f hrmoniques f=n*f Il y rnsfer de l'énergie du fondmenl ers les hrmoniques. Or l'énuion ugmene lorsque l fréquene ugmene don l'onde s'énuer lus ie. 9

30 Soure : hèse X.Job 5.6 Vriion de l'mliude serle des omosnes en fonion de l disne normlisée / Déroissne du fondmenl : er-énuion non linéire : disne d'riion d'un ho Ariion e roissne des hrmoniques e

31 Le rinie de suerosiion n'es lus lble : deu ondes qui s'ddiionnen on une ion muuelle l'une sur l'ure. Inerion à ondes : l'inerion NL de ondes de fréquenes f e f rée des ondes u fréquenes somme e différene f f Générion d'hrmoniques os os E E h h f,,,,,, h h h reue : soi l somme de ondes noées e : fonion h soi le résul de l rnsformion fonion f rnsformion linéire : fréq. idenique en sorie rnsformion non-linéire : riion de fréq.nouelles... h h h f

32 Soure : A.Bouyssy hysique our les sienes de l ie. les ondes BELIN 988 ges 8-9 Non-linérié d'un sysème enrée-sorie Signl de sorie, sns e e disorsion Signl d'enrée de fible mliude Signl d'enrée de fore mliude L rnsformion roorionnelle à guhe n'es que l'roimion linéire sur un fible domine de riion de l rnsformion lus générle à droie

33 Anglis Frnçis Bibliogrhie Aousique : rogion dns un fluide D. Royer e E. Dieulesin Tehniques de l'ingénieur AF8 Aousique des insrumens de musique A. Chigne e J. Kergomrd ISBN hire 8. Non-linériés, ges Frédéri Elie, mi 9 : h://fred.elie.free.fr/ousique_nonlineire.hm Cours générlise sur les non-linériés en hysique: h://le.nrs-orlens.fr/~ddwi/enseignemen/ours-nonl.df Sringer hndbook of ousis ISBN : hire 8. Nonliner Aousis in Fluids ges Nonliner Aousis: Theory nd Aliions Mrk F. Hmilon e Did T. Blksok

34 Annee : iesse du son dibique L rogion du son es un roessus dibique ou isenroique, on noe ee iesse S. Cel signifie que l hleur ne se roge s des ries de l'onde où l T es l lus hue ers les ries de l'onde où l T es l lus bsse, u ours de l rogion de l'onde. Newon, qui i suosé un roessus isoherme, s'es romé du feur en luln l iesse du son dns l'ir =8m/s. Lle roué l bonne leur en onsidérn une rogion dibique = m/s. Fleher [] monre que l fréquene f de l'onde se rogen à une iesse doi êre rès inférieure à leur limie f lim our que l rogion uisse êre onsidérée omme dibique es l onduiié hermique : C f V lim Une ure démonsrion, lus omliquée, éé roosée r Coens e l []. [] N.H.Fleher, Amerin Journl of hysis, [] Coens, Beyer, Bllou, JASA

35 5 Annee : disne de formion d'un ho f on eu rouer l disne our lquelle le fron es ride, --d l dériée es infinie : u f ' / ' ' f f Lorsque le dénomineur es égl à, = : ' f - on suose ii << ousique fiblemen non-linéire - es miniml lorsque f' es miml

36 Lorsque l soure f es sinusoïdle f f m sin f ' m os m sin f ' m m m k M k - = signifie formion d'un ho - les équions d'ousique fiblemen non-linéire ne son lus lbles u-delà de - deien fible on oi lus filemen l NL lorsque l'mliude m de l'onde es grnde réisible! le oeffiien de non-linérié es grnd ouf! l fréquene de l'onde es grnde 6

37 Annee : rels de hermodynmique Toue l'informion hermodynmique d'un fluide es onenue dns l fonion rérisique qui eu rendre lusieurs formes : SU,V, FT,V, GT, ou HS, S:enroie, F:énergie libre, G:enhlie libre, H:enhlie. De ee fonion on dédui l'équion d'é V,T [ou V,S], insi que les oeffiiens lorimériques C, C V e les oeffiiens hermoélsiques, T. Eemles d'équions d'é du gz rfi : V, T V, S V nrt V S e / C V our une rnsformion isoherme, dt=, don V=onsne. our une rnsformion dibique e réersible don isenroique, ds= e on reroue l loi de Lle V =onsne. Référene : Thermodynmique C-SI Niols Choime 7

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