Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques A MP

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1 SESSION 5 Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mahémaiques A MP Parie I 1. Les soluions de l équaion différenielle E sur l inervalle I formen un R-espace vecoriel de dimension. Les deu foncions cos e sin son deu soluions indépendanes de E sur I. On en dédui que l ensemble des soluions de E sur I es { A cos + Bsin, A, B R }.. erreur d énoncé : I doi conenir ous les nπ, n N Soi g une soluion de E sur I. Il eise deu réels A e B els que, pour ou de I, g = A cos + Bsin. La suie gnπ n N = A 1 n n N converge si e seulemen si A =. De même, la suie g n+1 π n N = B 1 n n N converge si e seulemen si B =. 3. on suppose que + es une des bornes de I Si g a une limie finie quand end vers +, alors les deu suies gnπ n N e g n+1 π n N convergen. D après., on en dédui que A = B = e donc que g es nulle. Parie II 1. Il es clair que V C R e que V = Vech e1, h e, h e3, h e4. Donc, V es sous-espace vecoriel de C R.. Noons Φ l applicaion qui, à l élémen v de R 4, associe h v. Φ es une applicaion de R 4 dans V. Φ es par définiion surjecive. Soien λ, λ R e v, v = a, b, c, d, a, b, c, d R 4. Alors, pour ou réel de R, Φλv + λ v = λa + λ a + λb + λ b cos + λc + λ c + λd + λ d sin = λa + bcos + c + dsin + λ a + b cos + c + d sin = λφv + λ Φv Donc, Φ es linéaire. Soi v = a, b, c, d R 4. Φv = R, a + bcos + c + dsin =. La suie Φvnπ n N es la suie anπ + b 1 n. Si a, cee suie diverge e ne peu êre la suie nulle. Par suie, a =. Pour les mêmes raisons, b = puis, par l éude de la suie Φv n+1 π n N, c = d =. Finalemen, v =. Ainsi, KerΦ = {}. Φ es injecive, e finalemen Φ es un isomorphisme de R 4 sur V. Par un isomorphisme, l image d une base es une base. Ainsi, comme B = h e1, h e, h e3, h e4 es l image par Φ de la base canonique e 1, e, e 3, e 4 de R 4, B es une base de V. hp :// 1 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

2 3. i Avec la formule de Leibniz, pour R on obien h v + h v = a + bcos c + dsin + a sin + ccos + a + bcos + c + dsin = a sin + ccos. Ainsi, l image par ψ d un élémen de V es un élémen de V, e ψ es bien une applicaion de V dans V. La dérivaion éan linéaire, ψ es un endomorphisme de V. ii Soi v = a, b, c, d R 4. Puisque h e1, h e, h e3, h e4 es une famille libre, Donc, h v Kerψ h v + h v = ah e4 + ch e = a = c =. Kerψ = {bh e + dh e4, b, d R } = Vech e, h e4 = { A cos + Bsin, A, B R }. En pariculier, dimkerψ = puis, d après le héorème du rang rgψ = 4 =. rgψ =. iii Comme ψv Vech e, h e4 e que dimψv =, on en dédui qu une base de Imψ es h e, h e4. Ensuie, puisque ψh e1 = h e4, ψh e =, ψh e3 = h e1 e ψh e4 =, la marice cherchée es. On rerouve le fai qu une base de Imψ es h e, h e4. 4. Pour v = a, b, c, d R 4, ψh v = h e c = 1 e a = a = e c = 1. Les soluions de E 1 sur R qui son élémens de V son donc les foncions de la forme 1 sin + b cos + d sin, b, d R. Mais on sai que les soluions de E 1 sur R consiuen un R-espace affine de dimension. On a donc rouvé oues les soluions de E 1 sur R. Les soluions de E 1 sur R son les foncions de la forme 1 sin + A cos + Bsin, A, B R. 1. Soi un réel posiif. 1a. Pour, e 1 e donc F, Parie III 1b. La foncion F, es coninue sur [, + [, posiive e majorée par la foncion 1 qui es inégrable 1 + au voisinage de +. On en dédui que la foncion F, es inégrable sur [, + [ e donc que l inégrale proposée converge.. Soien I e J deu inervalles de R e F une applicaion de I J dans R. On suppose que pour ou réel de I, la foncion F, es coninue par morceau sur J, pour ou réel de J, la foncion F, es coninue sur I, il eise une foncion ϕ définie sur J à valeurs dans R, coninue par morceau, posiive e inégrable sur J elle que, I J, F, ϕ. hp :// c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

3 Alors, la foncion G : F, d es définie e coninue sur I. C es le cas ici. J 3. 3a. F es de classe C sur R en an que quoien de foncions de classe C sur R don le dénominaeur ne s annule pas sur R e de plus, R, F e, = b. Pour [, + [, on a 1, ce qui fourni i Soi ε. 1. On en dédui que e 1 + e e ε. La foncion e 1 + es coninue sur [, + [. Cee foncion es majorée en valeur absolue par la foncion e ε e es ainsi négligeable devan 1 e en + car ε >. La foncion es donc inégrable sur 1 + e [, + [. On en dédui que l inégrale d es convergene. 1 + ii La foncion F es définie sur [, + [ [ε, + [. Pour ou réel de [ε, + [, la foncion F, es coninue par morceau e inégrable sur [, + [. F adme sur [, + [ [ε, + [ une dérivée parielle par rappor à vérifian : pour ou réel de [ε, + [, la foncion F, es coninue par morceau sur [, + [, pour ou réel de [, + [, la foncion F, es coninue par morceau sur [ε, + [, pour, [, + [ [ε, + [, F, e ε = ϕ où ϕ es une foncion coninue par morceau, posiive e inégrable sur [, + [. D après le héorème de dérivaion des inégrales à paramères héorème de Leibniz, G es dérivable sur [ε, + [ e pour ε, G F + e =, d = 1 + d. 3c. Le ravail précéden es valable pour ou ε > e donc, G es dérivable sur ], + [ e >, G = e 1 + d. 4. F adme une dérivée parielle seconde par rappor à. e pour, [, + [ [ε, + [, F, = e 1 +. Mais alors, F, e ε = ϕ. Comme en 3., G es deu fois dérivable sur [ε, + [, e ceci pour ou ε >. G es donc deu fois dérivable sur ], + [ e >, G = e 1 + d. 5. Pour R +, Ainsi, G + G = 1 + e 1 + d = e d = ] + [ e = 1. G es soluion de E sur ], + [. 6. 6a. D après 3., G es coninue sur [, + [, dérivable sur ], + [, de dérivée négaive sur ], + [. G es donc décroissane sur [, + [. hp :// 3 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

4 6b. G es décroissane e posiive sur [, + [. G adme donc une limie en + qui es un réel posiif. De plus, pour >, G = e 1 + d e d = 1. Comme 1 end vers quand end vers +, on en dédui que lim G =. + Parie IV 1. erreur d énoncé : on suppose que n N, u n > ou encore que u > La foncion f es posiive e donc la suie 1 n fu n es de signe alerné. La suie u n es croissane e à valeurs dans R +, e f es décroissane sur R +. Donc la suie fu n es décroissane. La suie u n end vers + e la foncion f end vers en +. Donc, la suie fu n end vers. En résumé, la suie 1 n fu n es de signe alernée e sa valeur absolue end vers en décroissan. D après le crière spécial au séries alernées, la série de erme général 1 n fu n converge.. Quand end vers par valeurs supérieures, fsin g. Par hypohèse, g a une limie réelle quand end vers par valeurs supérieures e il en es de même de la foncion fsin. Mais alors, pour > donné, la foncion fsin es coninue sur ], ] e se prolonge par coninuié en. On en dédui que la foncion fsin es inégrable sur ], ]. 3. 3a. Soi n N. Pour [nπ, n + 1π], puisque f es décroissane sur [nπ, n + 1π], fn + 1π f fnπ e donc sin fn + 1π sin f sin fnπ. Par croissance de l inégrale, on en dédui que Mainenan, n+1π nπ sin d = fn + 1π π n+1π nπ sin d = π sin d w n fnπ n+1π nπ sin d. sin d = ce qui démonre le résula. n N, fn + 1π w n fnπ. 3b. Soi n N. D après le héorème des valeurs inermédiaires, l image de l inervalle [nπ, n + 1π] par la foncion coninue f es un inervalle. Plus précisémen, la foncion f éan décroissane sur [nπ, n + 1π], f[nπ, n + 1π] es l inervalle [fn + 1π, fnπ]. En pariculier, comme w n [fn + 1π, fnπ], il eise u n [nπ, n + 1π] el que w n = fu n. 3c. Sur [nπ, n + 1π], le signe de sin es 1 n ou encore sin = 1 n sin. D où le résula. 4. 4a. Soi n N. n+1π fsin d car u n n + 1π u n+1. nπ fsin d = La suie n+π nπ fsin d = n+1π nπ fsin d + = 1 n w n + 1 n+1 w n+1 = w n w n+1 = fu n fu n+1, nπ fsin d n N es croissane. n+π n+1π fsin d hp :// 4 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

5 4b. De même, pour ou enier n, n+3π fsin d n+1π n+1π La suie fsin d es décroissane. n N fsin d = fu n+1 + fu n+. 4c. Pour n N. nπ n+1π fsin d nπ fsin d = n+1π nπ fsin d = 1 n w n = w n. Or, w n fnπ. Comme fnπ end vers quand n end vers +, on en dédui que fsin d end vers quand n end vers +. Ainsi, les deu suies son adjacenes. Elles convergen donc e on même limie. 5. Posons I n = I, nπ = nπ même limie. On sai alors que la suie I n converge. nπ fsin d e n+1π n+1π fsin d fsin d fsin d. D après la quesion IV.4., les deu suies I n e I n+1 convergen e on Soien e y deu réels posiifs els que y. Si >, I f, y eise car la foncion fsin es coninue sur le segmen [, y]. I f, y eise égalemen d après la quesion IV.. Puisque sin f d = sin f d sin f d, la foncion y I f, y a une limie réelle quand y end vers + si e seulemen si la foncion y I, y a une limie réelle quand y end vers +. Pour y, on a I f, y = E y π π fsin d + fsin d. E y π π D après le débu de la quesion, E y π π fsin d a une limie réelle quand y end vers +. D aure par, fsin d E y π π sin f d 1.f E y E y π π E y π π π π d = f E y π π y E y E π π πf y π π. Cee dernière epression end vers quand y end vers + e il en es de même de la foncion y I f, y a une limie réelle quand y end vers +. E y π π fsin d. Finalemen, 6. La foncion 1 vérifie les hypohèses a., b., c. e d. du débu de la parie IV e d après la quesion IV.5., pour ou réel posiif I eise. Parie V 1. a., b. e c. son clairs e d aure par, h = end vers quand end vers, ce qui monre d.. +. On pose u = + ou en core = u. On obien H = sinu u du. hp :// 5 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

6 3. Soien e y deu réels els que < < y. cos d = + π + π cosu π u π du = + π + π sinu u π du. Cee dernière epression a une limie réelle quand y end vers +. On en dédui que D après la quesion V.., on a alors sin + cos >, H = cos d sin d. cos d eise. Puisque la foncion sin sin es coninue sur ], + [, la foncion 1 e d sin d = sin d 1. sin + sin Puisque d = 1 + e d sin d d = sin. cos De même, la foncion d es définie e de classe C 1 sur ], + [ e d d On en dédui que H es de classe C 1 sur ], + [ e que pour >, d es définie e de classe C 1 sur ], + [ d 1 sin sin d, la foncion d es définie e de classe C 1 sur ], + [ cos d = cos. H = sin = sin sin sin d + cos sin cos d cos d. cos cos d sin cos Mais alors, H es de classe C sur ], + [ e pour >, H sin = cos d sin sin cos + sin d cos cos = H + 1. Ainsi, H es soluion de E sur ], + [. sin cos d e d enden vers quand end vers + reses d inégrales conver- sin d + cos + d, on en dédui que H end vers quand end vers Les deu epressions genes. Puisque H + 5. D après la quesion V.3., H es soluion de E sur ], + [. D après la quesion III.5., G es soluion de E sur ], + [. Il en résule que G H es soluion de E sur ], + [. D après la quesion III.6b., G end vers quand end vers + e d après la quesion V.4., H end vers quand end vers +. Ainsi, la foncion G H a une limie réelle quand end vers +, à savoir. D après I.3., G H es la foncion nulle, ou encore >, e 1 + d = sin d. hp :// 6 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

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