Calcul matriciel. Opérations sur les matrices. Lycée Clemenceau - Reims TD10

Transcription

1 ECE TD Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice. Soient trois matrices A, B et C à coefficients réels définies par: (a) Calculer 3A et B C. B = (b) Calculer AB et AC. Que remarque-t-on? (c) Calculer A. 4 C =. Soient les trois matrices A, B et C M 3 (R) définies par: B = 3 5 C = Calculer AB, BA, AC et CA. Que peut-on remarquer? Exercice Soient A, B, C et D quatre matrices définies par: A = ( ) B = C = D = ( ). Vérifier par le calcul que (A + D)C = AC + DC.. Vérifier par le calcul que (AB)C = A(BC). 3. Calculer t C t A et vérifier que t (AC) = t C t A. Exercice 3 (. Soit A = 3 4 ). Déterminer toutes les matrices B carrées d ordre vérifiant: AB = BA.. Déterminer toutes les matrices diagonales M d ordre telles que: M M I =. 3. Déterminer toutes les matrices diagonales M d ordre 3 telles que: M 3 M 5M + 6I 3 =. Exercice 4 Soit n un entier supérieur ou égal à et A et B deux matrices de M n (R) telles que A = A et B = B.. On suppose que l on a AB = BA. Montrer que l on a AB = ABA puis AB = BA. En déduire les égalités AB = BA =.. Démontrer l équivalence suivante: (A + B) = A + B AB = BA =.

2 ECE Matrices carrées inversibles Exercice 5 Déterminer l inverse des matrices suivantes, quand cette matrice inverse existe: 3 5 E = B = 4 4 F = C = G = D = Exercice 6 Soit α un réel donné. On pose: α α α B = α α α α 3α C = 3 α α 3 Pour quelle(s) valeur(s) de α les matrices A, B et C sont-elles inversibles? Dans ce cas, calculer leurs inverses. Exercice 7 Pour chacune des matrices suivantes, vérifier que l on a bien l égalité demandée et en déduire si elle est inversible. Donner alors son inverse. (), A 9I 3 =. () B = 6 5 6, B + B I 3 = (3) C =, C 3 C C + 4I 3 =. (4) D =, D D =. (5) E = E 3I 4 =. (6) F =, F 3F =. Exercice 8 On considère la matrice A définie par: 3 3. Vérifier que A est inversible et calculer son inverse.. Calculer A 3 4A 6A. En déduire une expression de A en fonction de A et de I Résoudre le système linéaire (S) suivant:. x + 3y + z = x + y + z = x + 3y + z =

3 ECE Exercice 9 Considérons la matrice A définie par: Calculer A et montrer qu il existe deux réels α et β tels que A = αa + βi 3.. En déduire que la matrice A est inversible et déterminer A. 3. Résoudre le système linéaire (S) suivant:. 4x + y + z = x + 4y + z = x + y + 4z = 3 Exercice On considère la matrice J =. 3. Calculer J, J 3, J 4. Que peut-on en déduire sur J k pour k 4?. Développer l expression (I + J)(I J + J J 3 ). 3. En déduire que la matrice (I + J) est inversible et expliciter son inverse. Exercice a + a a Pour tout réel a, on définit la matrice N(a) = a a + a.. Soient a et b deux réels. Déterminer le réel c tel que N(a)N(b) = N(c).. A quelle condition sur c a-t-on N(c) = I 3? 3. En déduire les conditions sur a pour que N(a) soit inversible et expliciter le cas échéant (N(a)). Puissance d une matrice carrée Exercice Calculer la puissance n-ième de chacune des matrices suivantes, pour tout entier naturel n: 6 B = 3 9 C = 3 Exercice 3 Soit M la matrice définie par M = 3. Calculer J, J et J 3. En déduire, pour tout k N, J k. ( ) D = et soit J la matrice définie par J = M I 3.. A l aide de la formule du binôme de Newton, calculer M n pour tout n N. 3

4 ECE Exercice 4 On considère les matrices suivantes: et B = Déterminer le réel a tel que A = ai 3 + B. Calculer B et B 3.. Montrer que, pour tout n N, A n = a n I 3 + na n B + n(n )an B. 3. A l aide de la formule du binôme de Newton, retrouver la valeur de A n. Exercice 5 On considère les trois matrices suivantes: P = Q = Calculer P, Q, P Q et QP.. Déterminer deux réels a et b tels que A = ap + bq. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, A n = a n P + b n Q. Exercice 6 On considère les matrices à coefficients réels suivantes: 3 I = J =. Exprimer A sous la forme αi + βj, où α et β sont deux réels.. Déterminer J n pour tout entier naturel n. 3. En déduire l expression de A n. Exercice 7 Soit P une matrice carrée telle que P = P.. Montrer que si P est inversible, alors P = I. Donner un exemple de matrice P qui n est ni nulle ni égale à I.. Montrer que la matrice Q = I P vérifie aussi Q = Q. 3. Montrer que P Q = QP =. 4. Calculer (I + P ) n pour tout entier naturel n. Exercice 8 Soit A M n (R) une matrice telle que A 3 =. Pour tout t R, on définit la matrice E(t) = I + ta + t A. 4

5 ECE. Montrer que, pour tout (t, t ) R, E(t)E(t ) = E(t + t ).. Calculer E(t)E( t). En déduire que la matrice E(t) est inversible et expliciter son inverse en fonction de I, A, A et t. 3. Exprimer E(t), E(3t), E(4t), E(5t) en fonction de E(t). Quelle formule peut-on conjecturer? Démontrer cette formule. 4. En déduire l expression de (E(t)) n en fonction de I, A, A, t et n. Exercice 9 On considère la matrice Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un réel a n tel que: A n = a n a n a n. a n a n a n +. Montrer que (a n ) est une suite arithmético-géométrique. 3. En déduire a n puis A n en fonction de n. Exercice 3 6 On donne la matrice Calculer A et déterminer deux réels a et b tel que A = aa + bi 3.. Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un réel a n tel que: ( ) ( ) A n = 3 a n A a n I Vérifier que (a n ) est une suite géométrique. 4. En déduire les expressions de a n puis de A n en fonction de n. Exercice On considère la matrice.. Vérifier que A = A + I 3. En déduire que A est inversible et déterminer son inverse.. Montrer que, pour tout n N, il existe des réels u n et v n tels que A n = u n A+v n I 3. On précisera les relations de récurrence entre u n+, u n, v n+ et v n. 3. On pose α n = u n + v n et β n = u n v n. Reconnaitre les suites (α n ) et (β n ). 4. En déduire u n et v n puis A n en fonction de n. 5

6 ECE Exercice On considère la matrice. Calculer A. Expliciter α et β tel que A = αa + βi 3... Montrer par récurrence que, pour tout n N, il existe a n et b n tels que A n = a n A + b n I Expliciter a n+ et b n+ en fonction de a n et b n. Que vaut a, b, a et b? 4. Montrer que (a n ) n N vérifie une relation de récurrence linéaire d ordre. 5. En déduire les expressions de a n et b n et enfin de A n en fonction de n. Exercice 3 On considère les matrices suivantes: 5 7, P =, Q = 6. Calculer P Q. Qu est-ce qu on peut en déduire? 4, D = Vérifier que A = P DQ. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, A n = P D n Q. 4. Expliciter A n. Exercice 4 On considère les matrices carrées de rang 3 suivantes: P =. Vérifier que P est inversible et calculer P.. On pose D = P AP. (a) Calculer D. En déduire, pour tout n N, D n. 3 et (b) Montrer par récurrence sur l entier n que pour tout n N, A n = P D n P. (c) En déduire une formule donnant A n, pour tout entier n N. Applications aux suites Exercice 5 Considérons la matrice M = Vérifier qu on peut écrire M = 3I 3 + N où N est une matrice à déterminer.. Calculer N, N 3 puis N k pour k 3. En déduire M n pour tout n N Soient (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N trois suites réelles telles que x =, y =, z = 7 et vérifiant les relations de récurrences: x n+ = 3x n + y n y n+ = 3y n + z n z n+ = 3z n. 6

7 ECE (a) On pose X n = x n y n z n. Vérifier que n N, X n+ = MX n. (b) Montrer que, pour tout n N, X n = M n X. (c) En déduire x n, y n et z n en fonction de n. Exercice 6 On considère les matrices suivantes: et P =. Justifier que la matrice P est inversible et calculer son inverse.. Déterminer la matrice D telle que A = P DP. 3. Montrer que n N, A n = P D n P et expliciter A n. 4. On considère trois suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N telles que n N, On introduit la matrice X n = a n+ = a n b n + c n b n+ = a n + c n c n+ = a n b n + c n a n b n c n. et a = b = c = (a) Vérifier que n N, X n+ = AX n et montrer que, pour tout n N, X n = A n X. (b) En déduire une expression des suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N en fonction de n. Exercice 7 On considère trois suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N définies par: n N, On introduit les matrices X n = a n+ = 5a n 5b n + c n b n+ = a n + 7b n 4c n c n+ = a n 5b n + 5c n a n b n c n et et P =. 4 a = b = c = 3. Déterminer une matrice A telle que X n+ = AX n et montrer que n N, X n = A n X.. Montrer que P est inversible et calculer P. 3. On pose D = P AP. Calculer D. En déduire D n. 4. Montrer que n N, D n = P A n P. 5. En déduire les coefficients de A n puis l expression des suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N en fonction de n. 7