RÉSUMÉ n 08 : LES MATRICES

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1 RÉSUMÉ 08 : LES MTRICES Das ou ce chaire, o ose ou ENSEMBLES DE MTRICES D1 ao aelle marice ou aleau de la forme suivae comlexes quelcoques * * * * * M * * * * * * * * * * où les élémes * so des omres réels ou O aelle coefficies d ue marice les élémes de celle-ci csi M es ue marice osséda liges e coloes, o oe e gééral i i lige e la i j coloe de M m le coefficie de M siué sur la eio : le remier idice es oujours l idice de lige Le deuxi idice es oujours l idice de coloe Exemles : asi l o ose 6 0 M 5 1 7, alors o eu écrire M ( m 1 i 1j 3 m ; m 6 ; m 0 ; m 5 ; m 1 ; m 7 avec Si l o ose ( i j 1 i 3, alors o a 1j E1 Ecrire la marice ( a 1 i 5 défiie ar 1j 3 a 0 si i j es air 1 si i j es imair D ao oe, l esemle des marices à liges à coloes à coefficies das O oe, co aelle marice lige oue marice osséda ue seule lige, c es à dire ue marice de 1, do aelle marice coloe oue marice osséda ue seule coloe, c es à dire ue marice de,1 eue marice es die carrée si elle ossède aua de liges que de coloes fue marice carrée es die d ordre si elle ossède liges e coloes gla marice ulle O, es la marice de, aya ous ses coefficies uls Page 1 sur 6

2 SOMMES ET COMBINISONS LINÉIRES DE MTRICES D3 O cosidère ( a 1i e B ( 1 i deux marices de, 1 j 1 j O défii alors : ala marice B ar B ( a 1 i : B es aussi ue marice de, 1j La marice ar ( a 1 i : es aussi ue marice de, 1j co défii aisi la marice B ar B ( a 1 i 1j B s aelle ue comiaiso liéaire des marices e B PRODUITS DE MTRICES D4 Soie ( a 1 i 1 j ue marice de, B ( 1 i 1 jq ue marice de, q O défii la marice rodui B ( c 1 i ar : c = a avec 1jq ik kj k=1 1 i 1 j q i1 i i 1 j j a a a c marice marice B j marice B Le coefficie c de B s oie e effecua le rodui erme à erme de la i lige de e de la j coloe de B E O ose e 1 B Les roduis B e B o-ils u ses? Si oui, les calculer 0 3 E3 O ose e 1 0 B Déermier les roduis B e B Qu e dédui-o? 0 0 P1 asi B, q,, alors B q, Formule mémoechique :,, q, q eio : le rodui de deux marices es as commuaif cl imlicaio B O, q O, ou B O, q es FUSSE Page sur 6

3 E4 Soi O oe s la somme de ous les coefficies de O oe J la marice de do ous les coefficies so égaux à 1 Morer que l o a J J s( J P Soie e, B, C rois marices deux élémes de O a alors, lorsque les sommes e roduis ci-dessous o u ses : e B C B C a B B : l addiio des marices es commuaive e associaive BC B C : le rodui de marices es associaif c BC C B C e B C B C E5 Si 1 i, j, o oe E la marice de vérifia : ale coefficie de E siué sur la i i lige e la Tous les aures coefficies de E so uls Calculer E E our ous idices 1 i, j, k, l kl i j coloe es 1 D5 Soi ( a 1 i ue marice de, 1j MTRICES TRNSPOSÉES O aelle marice rasosée de la marice de, suivae : ( a 1 i défiie ar : Pour ous idices i e j els que 1i e 1 j : a aji O reiedra que la i lige de es la i coloe de e que la 1j j coloe de es la j lige de Exemle : alors P3 ao a,, O a ( M, N, e (, : ( M N M N co a, : dsi B, q,, alors o a ( B B (aeio à l ordre Page 3 sur 6

4 LES MTRICES CRRÉES D6 aue marice carrée ( a 1 i, j es die symérique si l o a : Cela revie à écrire our ous idices i e j : a aji Ue marice symérique es de la forme a a a a1 a a a a a Ue marice carrée ( a 1 i, j es die aisymérique si l o a : Cela revie à écrire our ous idices i e j : a aji Ue marice aisymérique es de la forme 0 a1 a1 a1 0 a 1 a1 a 1 0 P4 Tous les coefficies diagoaux d ue marice aisymérique so uls P5 Toue marice M s écri de maière uique M S avec S marice symérique marice aisymérique 1 1 O a de lus S M M e M M E6 1 Soi Les marices, so-elles symériques? aisymériques? Le rodui de deux marices symériques doe--il oujours ue marice symérique? D7 asoi ( a 1 i, j ue marice carrée de O eu décomoser e rois aries : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Les coefficies e leu so les coefficies a avec i j Les coefficies e rouge so les coefficies a avec i j Ils forme ce que l o aelle la diagoale riciale de Les coefficies e ver so les coefficies a avec i j La marice es die marice diagoale si l o a : i j a 0 (les coefficies leus e vers so ous uls cla marice es die marice riagulaire suérieure si l o a : i j a 0 (les coefficies vers so ous uls dla marice es die marice riagulaire iférieure si l o a : i j a 0 (les coefficies leus so ous uls D8 La marice uié (ou ideié I es la marice carrée de suivae : I Les coefficies diagoaux de I so ous égaux à 1 Les coefficies o diagoaux de I so ous égaux à 0 Page 4 sur 6

5 P6 O cosidère deux marices riagulaires suérieures a a a 0 a a 0 0 a e 0 B de asi es so deux élémes de, alors B es aussi ue marice riagulaire suérieure Le rodui B es aussi ue marice riagulaire suérieure De lus, o a a11 11 * * 0 a * 0 0 a B Les coefficies diagoaux de la marice rodui B so oeus ar mulilicaio erme à erme des coefficies diagoaux de e de B cles affirmaios a e so ecore valales si l o remlace «riagulaire suérieure» ar «riagulaire iférieure» ou «diagoale» P7 O a : O O ; I I e O O O E7 O défii l alicaio race oée r : ar : si ( a 1 i, j alors r( a 1 Morer que l o a (, B e (, : r( B r( r( B e r( B r( B Morer qu il exise as de marices ( B, elles que B B I E8 Soi ue marice riagulaire suérieure de Déermier ue codiio écessaire e suffisae our que soi iloee, c'es-à-dire elle qu il exise vérifia O k 1 kk D9 Soi O défii our ou la marice ar 0 I (ar coveio 1 *: E9 O ose Morer que our ou, il exise a el que l o ai Calculer our ou le omre a e focio de 1 a 0 P8 e B so deux marices de O suose que e B commue, c'es à dire B B O a alors k k : ( B B avec oujours la coveio k 0 k 0 0 B I D10 La formule récédee s aelle la formule du iôme Page 5 sur 6

6 E10 Calculer la uissace i de la marice LES MTRICES CRRÉES INVERSIBLES D11 Ue marice carrée es die iversile s il exise B elle que B B I P9 Si B es iversile es iversile alors 1 e B so iversiles e o a 1 1 ( ( B B (aeio à l ordre iversile, alors es aussi iversile e o a 1 1 P10 Si es La marice ulle O es as iversile cla marice uié I es iversile e o a : I I 1 D1 O oe (, (groue liéaire l esemle des marices iversiles de E11 Soi Ecrire comme comiaiso liéaire de I 3 e E déduire que es iversile e déermier 1 E1 Soie e i j 1 i, j Déermier la marice es-elle iversile? FIN DU RÉSUMÉ Page 6 sur 6