Calcul matriciel. Opérations sur les matrices. Lycée Clemenceau - Reims TD10

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1 TD Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice. Soient trois matrices A, B et C à coefficients réels définies par : (a) Calculer 3A et B C. B = (b) Calculer AB et AC. Que remarque-t-on? (c) Calculer A. 4 C =. Soient les trois matrices A, B et C M 3 (R) définies par : B = 3 5 C = Calculer AB, BA, AC et CA. Que peut-on remarquer? Exercice Soient A, B, C et D quatre matrices définies par : A = ( ) B = C = D = ( ). Vérifier par le calcul que (A + D)C = AC + DC.. Vérifier par le calcul que (AB)C = A(BC). 3. Calculer t C t A et vérifier que t (AC) = t C t A. Exercice 3 (. Soit A = 3 4 ). Déterminer toutes les matrices B carrées d ordre vérifiant : AB = BA.. Déterminer toutes les matrices diagonales M d ordre telles que : M M I =. 3. Déterminer toutes les matrices diagonales M d ordre 3 telles que : M 3 M 5M + 6I 3 =. Exercice 4 Soit n un entier supérieur ou égal à et A et B deux matrices de M n (R) telles que A = A et B = B.. On suppose que l on a AB = BA. Montrer que l on a AB = ABA puis AB = BA. En déduire les égalités AB = BA =.. Démontrer l équivalence suivante : (A + B) = A + B AB = BA =.

2 Matrices carrées inversibles Exercice 5 Déterminer l inverse des matrices suivantes, quand cette matrice inverse existe : 3 5 E = B = 4 4 F = C = G = D = Exercice 6 Pour chacune des matrices suivantes, vérifier que l on a bien l égalité demandée et en déduire si elle est inversible. Donner alors son inverse. (), A 9I 3 =. () B = 6 5 6, B + B I 3 = (3) C =, C 3 C C + 4I 3 =. (4) D =, D D =. (5) E = E 3I 4 =. (6) F =, F 3F =. Exercice 7 On considère la matrice A = a b, où a, b, c, d R. c d. (a) Vérifier que : A (a + d)a + (ad bc)i =. (b) Donner une condition pour que A soit inversible. (c) Montrer dans ce cas que A d b =. ad bc c a. Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et calculer dans ce cas leurs inverses en utilisant la formule précédente ou la méthode du pivot de Gauss : A =, B =, C =. 3 Exercice 8 On considère la matrice A définie par : 3 3. Vérifier que A est inversible et calculer son inverse.. Calculer A 3 4A 6A. En déduire une expression de A en fonction de A et de I 3.

3 3. Résoudre le système linéaire (S) suivant : x + 3y + z = x + y + z = x + 3y + z = Exercice 9 Considérons la matrice A définie par: Calculer A et montrer qu il existe deux réels α et β tels que A = αa + βi 3.. En déduire que la matrice A est inversible et déterminer A. 3. Résoudre le système linéaire (S) suivant : 4x + y + z = x + 4y + z = x + y + 4z = 3 Exercice On considère la matrice J =. 3. Calculer J, J 3, J 4. Que peut-on en déduire sur J k pour k 4?. Développer l expression (I + J)(I J + J J 3 ). 3. En déduire que la matrice (I + J) est inversible et expliciter son inverse. Exercice a + a a Pour tout réel a, on définit la matrice N(a) = a a + a. Soient a et b deux réels. Montrer que N(a)N(b) = N(a + b).. A quelle condition sur c a-t-on N(c) = I 3? 3. En déduire que, pour tout réel a, N(a) est inversible et expliciter (N(a)). Puissance d une matrice carrée Exercice Calculer la puissance n-ième de chacune des matrices suivantes, pour tout entier naturel n : 6 B = 3 9 C = 3 Exercice 3 Soit M la matrice définie par M = 3 D = et soit J la matrice définie par J = M I 3. 3

4 . Calculer J, J et J 3. En déduire, pour tout k N, J k.. A l aide de la formule du binôme de Newton, calculer M n pour tout n N. Exercice 4 On considère les matrices suivantes : et B = Déterminer le réel a tel que A = ai 3 + B. Calculer B et B 3.. Montrer que, pour tout n N, A n = a n I 3 + na n B + n(n )an B. 3. A l aide de la formule du binôme de Newton, retrouver la valeur de A n. Exercice 5 On considère les trois matrices suivantes : P = Q = Calculer P, Q, P Q et QP.. Déterminer deux réels a et b tels que A = ap + bq. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, A n = a n P + b n Q. Exercice 6 On considère les matrices à coefficients réels suivantes : 3 I = J =. Exprimer A sous la forme αi + βj, où α et β sont deux réels.. Déterminer J n pour tout entier naturel n. 3. En déduire l expression de A n. Exercice 7 Soit P une matrice carrée telle que P = P.. Montrer que si P est inversible, alors P = I. Donner un exemple de matrice P qui n est ni nulle ni égale à I.. Montrer que la matrice Q = I P vérifie aussi Q = Q. 3. Montrer que P Q = QP =. 4. Calculer (I + P ) n pour tout entier naturel n. 4

5 Exercice 8 Soit A M n (R) une matrice telle que A 3 =. Pour tout x R, on définit la matrice E(x) = I n + xa + x A.. Montrer que, pour tout (x, y) R, E(x)E(y) = E(x + y).. (a) Calculer E(x)E( x). (b) En déduire que la matrice E(x) est inversible et expliciter son inverse en fonction de I n, A, A et x. 3. (a) Exprimer E(x), E(3x), E(4x), E(5x) en fonction de E(x). (b) Quelle formule peut-on conjecturer? Démontrer cette formule. (c) En déduire l expression de (E(x)) n en fonction de I n, A, A, x et n. Exercice 9 a a Pour tout nombre réel a, on considère la matrice M(a) = M a a (R).. Déterminer M() et M(/).. Pour tout a R, exprimer M(a) en fonction des matrices I et J = 3. En déduire que pour tous a, b R, on a l égalité M(a)M(b) = M(a + b ab)., et calculer J. 4. On suppose que a. Montrer que M(a) est inversible et qu il existe un b R tel que M(b) = (M(a)). On exprimera b en fonction de a. 5. La matrice M(/) est-elle inversible? 6. Déterminer l unique nombre a R tel que (M(a )) = M(a ). 7. On considère désormais les matrices P = M(a ) et Q = I P. (a) Montrer que pour tout a R, il existe α R tel que M(a) = P + αq et exprimer α en fonction de a. (b) Calculer P, P Q, QP et Q. (c) En déduire, pour tout n N, l expression de (M(a)) n en fonction de P, Q, α et n. (d) Expliciter la matrice (M(a)) n pour tout n N. Si a, la formule obtenue est-elle valable pour n =? Exercice On considère la matrice Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un réel a n tel que : A n = a n a n a n. a n a n a n + 5

6 . Montrer que (a n ) est une suite arithmético-géométrique. 3. En déduire a n puis A n en fonction de n. Exercice 3 6 On donne la matrice Calculer A et déterminer deux réels a et b tel que A = aa + bi 3.. Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un réel a n tel que : A n = 3 a n A a n I Vérifier que (a n ) est une suite géométrique. 4. En déduire les expressions de a n puis de A n en fonction de n. Exercice On considère la matrice. Vérifier que A = A + I 3. En déduire que A est inversible et déterminer son inverse.. Montrer que, pour tout n N, il existe des réels u n et v n tels que A n = u n A+v n I 3. On précisera les relations de récurrence entre u n+, u n, v n+ et v n. 3. On pose α n = u n + v n et β n = u n v n. Reconnaitre les suites (α n ) et (β n ). 4. En déduire u n et v n puis A n en fonction de n. Exercice 3 On considère la matrice. Calculer A. Expliciter α et β tel que A = αa + βi 3.. Montrer par récurrence que, pour tout n N, il existe a n et b n tels que A n = a n A + b n I Expliciter a n+ et b n+ en fonction de a n et b n. Que vaut a, b, a et b? 4. Montrer que (a n ) n N vérifie une relation de récurrence linéaire d ordre. 5. En déduire les expressions de a n et b n et enfin de A n en fonction de n. Exercice 4 On considère les matrices suivantes : 5 7, P =, Q = 6 4, D =

7 . Calculer P Q. Qu est-ce qu on peut en déduire?. Vérifier que A = P DQ. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, A n = P D n Q. 4. Expliciter A n. Exercice 5 On considère les matrices carrées de rang 3 suivantes : P =. Vérifier que P est inversible et calculer P.. On pose D = P AP. (a) Calculer D. En déduire, pour tout n N, D n. 3 et (b) Montrer par récurrence sur l entier n que pour tout n N, A n = P D n P. (c) En déduire une formule donnant A n, pour tout entier n N Exercice 6 On considère les matrices suivantes : 3 3, T =. (a) Montrer que la matrice P est inversible, calculer son inverse. (b) Vérifier que A = P T P.. (a) Prouver que, pour tout n N, il existe un réel α n tel que : T n = On donnera la valeur de α ainsi qu une relation entre α n+ et α n. (b) Montrer que : n N, α n = n n. 3. (a) Montrer que n N, A n = P T n P. (b) En déduire l écriture matricielle de A n en fonction de n. Applications aux suites Exercice 7 Considérons la matrice M = et P = n α n n. (a) Vérifier qu on peut écrire M = 3I 3 + N où N est une matrice à déterminer. (b) Calculer N, N 3 puis N k pour k 3. (c) En déduire M n pour tout n N.. Soient (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N trois suites réelles telles que x =, y =, z = 7 et vérifiant les relations de récurrences : x n+ = 3x n + y n y n+ = 3y n + z n z n+ = 3z n 7

8 (a) On pose X n = x n y n z n Vérifier que n N, X n+ = MX n. (b) Montrer que, pour tout n N, X n = M n X. (c) En déduire x n, y n et z n en fonction de n. Exercice 8 On considère les matrices suivantes : et P =. (a) Justifier que la matrice P est inversible et calculer son inverse. (b) Déterminer la matrice D telle que A = P DP. (c) Montrer que n N, A n = P D n P et expliciter A n.. On considère trois suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N telles que n N, On introduit la matrice X n = a n+ = a n b n + c n b n+ = a n + c n c n+ = a n b n + c n a n b n c n et a = b = c = (a) Vérifier que n N, X n+ = AX n et montrer que, pour tout n N, X n = A n X. (b) En déduire une expression des suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N en fonction de n. Exercice 9 On considère trois suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N définies par : n N, On introduit les matrices X n = a n+ = 5a n 5b n + c n b n+ = a n + 7b n 4c n c n+ = a n 5b n + 5c n a n b n c n et et P =. 4 a = b = c = 3. Déterminer une matrice A telle que X n+ = AX n et montrer que n N, X n = A n X.. Montrer que P est inversible et calculer P. 3. On pose D = P AP. Calculer D. En déduire D n. 4. Montrer que n N, D n = P A n P. 5. En déduire les coefficients de A n puis l expression des suites (a n ) n N, (b n ) n N et (c n ) n N en fonction de n. 8