Matrices. Hervé Hocquard. 25 février Université de Bordeaux, France

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1 Matrices Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 25 février 2013

2 Définitions Matrice On appelle matrice de taille n p à coefficients dans R (K = R ou C) toute famille A de np éléments de R présentée sous la a 11 a a 1p a 21 a a 2p forme d un tableau..... noté A = (a ij)1 i n où 1 j p a n1 a n2... a np a ij R (ou C...on se limitera aux matrices à coefficients réels). Pour tout (i,j) 1,n 1,p, le scalaire a ij est appelé a 1j a 2j coefficient de A de position (i,j), la matrice est appelée. la jème colonne de A et la matrice ( a i1 a i2... ) a ip sa i ème ligne. a nj

3 Définitions L ensemble des matrices de taille n p à coefficients dans R est noté M n,p (R). Lorsque n = p, on dit que A est carrée et la famille (a 11,a 22,...,a nn ) est appelée diagonale de A. L ensemble des matrices carrées de taille n n (ou n) à coefficients dans R est noté M n (R). Pour p = 1, on parle de matrices colonnes de taille n. Pour n = 1, on parle de matrices lignes de taille p.

4 Matrices Remarque Une matrice de taille n p à coefficients dans R n est rien de plus qu un élément de R np, i.e. une famille de np éléments de R, mais qu on préfère écrire sous la forme d un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, en réalité : M n,p (R) = R np

5 Matrices Remarque Une matrice de taille n p à coefficients dans R n est rien de plus qu un élément de R np, i.e. une famille de np éléments de R, mais qu on préfère écrire sous la forme d un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, en réalité : M n,p (R) = R np Question Pourquoi introduire les matrices dans ce cas?

6 Structure d espace vectoriel Réponse Nous allons introduire une loi interne de produit sur les matrices...et vous verrez qu il est plus pratique d écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.

7 Structure d espace vectoriel Réponse Nous allons introduire une loi interne de produit sur les matrices...et vous verrez qu il est plus pratique d écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles. Définition Muni de la structure vectorielle naturelle de R np, M n,p (R) est un R-espace vectoriel de dimension np. Pour tous A,B M n,p (R) et λ,µ R : λa 11 + µb 11 λa 12 + µb λa 1p + µb 1p λa 21 + µb 21 λa 22 + µb λa 2p + µb 2p λa + µb =... λa n1 + µb n1 λa n2 + µb n2... λa np + µb np

8 Matrice élémentaire Définition et propriétés Une matrice élémentaire de M n,p (R) est une matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a donc np matrices élémentaires dans M n,p (R).

9 Matrice élémentaire Définition et propriétés Une matrice élémentaire de M n,p (R) est une matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a donc np matrices élémentaires dans M n,p (R). On note pour tout (i,j) 1,n 1,p, E i,j la matrice élémentaire dont le coefficient de position (i,j) est égal à 1 et dont tous les autres sont nuls. Alors (E i,j ) 1 i n est une base de M n,p (R), appelée sa base 1 j p canonique.

10 Transposition Définition Soit A M n,p (R). On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p de M n,p (R), notée t A. 1 j n

11 Transposition Définition Soit A M n,p (R). On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p de M n,p (R), notée t A. 1 j n Exemples t( ) = 0 2 et t λ 1. λ n = ( ) λ 1... λ n

12 Transposition Définition Soit A M n,p (R). On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p de M n,p (R), notée t A. 1 j n Exemples t( ) = 0 2 et t λ 1. λ n = ( ) λ 1... λ n Remarque La transposition échange les lignes et les colonnes. Intérêt de la manœuvre : montrer que certains résultats théoriques sur les colonnes sont valables sur les lignes, et réciproquement.

13 Transposition Définition Soit A M n,p (R). On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p de M n,p (R), notée t A. 1 j n Exemples t( ) = 0 2 et t λ 1. λ n = ( ) λ 1... λ n Remarque La transposition échange le nombre de colonnes et le nombre de lignes : la transposée d une matrice de taille n p est donc une matrice de taille p n. Chose intéressante : la transposée d une matrice carrée est une matrice carrée de même taille.

14 Transposition Propriétés de la transposition Linéarité : Soient A,B M n,p (R) et λ,µ R. t (λa + µb) = λ t A + µ t B

15 Transposition Propriétés de la transposition Linéarité : Soient A,B M n,p (R) et λ,µ R. t (λa + µb) = λ t A + µ t B Involutivité : Soit A M n,p (R). t ( t A) = A

16 Trace d une matrice carrée Définition Soit A M n (R), on appelle trace de A le scalaire noté tr(a) et défini par : tr(a) = n i=1 c est donc la somme des coefficients diagonaux. a ii

17 Trace d une matrice carrée Définition Soit A M n (R), on appelle trace de A le scalaire noté tr(a) et défini par : tr(a) = n i=1 c est donc la somme des coefficients diagonaux. Théorème La trace est une forme linéaire non nulle sur M n (R). a ii

18 Matrices particulières Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de M n,p (R) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée O n,p. Lorsque p = n, la matrice O n,n est notée simplement O n.

19 Matrices particulières Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de M n,p (R) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée O n,p. Lorsque p = n, la matrice O n,n est notée simplement O n. Matrice unité ou identité : la matrice identité de M n (R) est la matrice de taille n, notée I n, dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres (coefficients extra-diagonaux) sont tous nuls I 3 = est la matrice unité de M 3 (R)

20 Matrices particulières Matrice triangulaire supérieure : c est une matrice carrée dont tous les coefficients situés sous la diagonale principale sont nuls A =

21 Matrices particulières Matrice triangulaire supérieure : c est une matrice carrée dont tous les coefficients situés sous la diagonale principale sont nuls A = Matrice triangulaire inférieure : c est une matrice carrée dont tous les coefficients situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls B =

22 Matrices particulières Matrice symétrique : c est une matrice égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A.

23 Matrices particulières Matrice symétrique : c est une matrice égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A =

24 Matrices particulières Matrice symétrique : c est une matrice égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A = Matrice antisymétrique : c est une matrice égale à l opposé de sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A.

25 Matrices particulières Matrice symétrique : c est une matrice égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A = Matrice antisymétrique : c est une matrice égale à l opposé de sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A =

26 Matrices particulières Matrice symétrique : c est une matrice égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A = Matrice antisymétrique : c est une matrice égale à l opposé de sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : A = t A A = La trace d une matrice antisymétrique est égale à 0.

27 Produit matriciel Définition Soient A M p,q (R) et B M q,r (R). Par définition, ( le produit de q ) A par B, noté A B ou AB, est la matrice a ik b kj de taille p r. k=1 1 i p 1 j r

28 Produit matriciel Remarques Le produit A B n est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B.

29 Produit matriciel Remarques Le produit A B n est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B. En général A B B A (le produit n est pas commutatif), il se peut que A B soit défini, mais pas B A.

30 Produit matriciel Remarques Le produit A B n est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B. En général A B B A (le produit n est pas commutatif), il se peut que A B soit défini, mais pas B A. Un produit de matrices peut être nul sans qu aucune de ces matrices soit nulle.

31 Produit matriciel Remarques Le produit A B n est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B. En général A B B A (le produit n est pas commutatif), il se peut que A B soit défini, mais pas B A. Un produit de matrices peut être nul sans qu aucune de ces matrices soit nulle. ( )( ) ( ) =

32 Exemples Exercice ( ) = ( ) = 3 ( ) = 3 ( )( ) =

33 Exemples Exercice ( ) = ( 7 2 ) ( ) = ( ) = ( 5 ) 3 )( ) = ( ( 2 1 )

34 Exemples Exercice ( ) = ( ) 1 2 = 2 1

35 Exemples Exercice ( ) = n est pas défini! ( ) 1 2 =

36 Propriétés du produit matriciel Théorème Associativité : Soient A M p,q (R), B M q,r (R), C M r,s (R) et λ R. (AB)C = A(BC) et λ(ab) = (λa)b = A(λB) Bilinéarité : Soient A,B M p,q (R), C M q,r (R) et λ,µ R. (λa + µb)c = λac + µbc et C(λA + µb) = λca + µcb Élément neutre : Soit A M n,p (R). I n A = AI p = A.

37 Propriétés du produit matriciel Théorème Associativité : Soient A M p,q (R), B M q,r (R), C M r,s (R) et λ R. (AB)C = A(BC) et λ(ab) = (λa)b = A(λB) Bilinéarité : Soient A,B M p,q (R), C M q,r (R) et λ,µ R. (λa + µb)c = λac + µbc et C(λA + µb) = λca + µcb Élément neutre : Soit A M n,p (R). I n A = AI p = A. Transposée d un produit Si A M n,p (R) et B M p,q (R) alors : t (A B) = t B t A

38 Matrice d une application linéaire Introduction Soit E un R-e.v de dimension p, soit B = (e 1,...,e p ) une base de E. Soit F un R-e.v de dimension n et soit B = (u 1,...,u n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. On sait que f est entièrement déterminée par la donnée de f (e 1 ),...,f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la base B de F.

39 Matrice d une application linéaire Introduction Soit E un R-e.v de dimension p, soit B = (e 1,...,e p ) une base de E. Soit F un R-e.v de dimension n et soit B = (u 1,...,u n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. On sait que f est entièrement déterminée par la donnée de f (e 1 ),...,f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la base B de F. Notons coord B (f (e j )) = (a 1j,...,a nj ) pour j 1,p, c est-à-dire :

40 Matrice d une application linéaire Introduction Soit E un R-e.v de dimension p, soit B = (e 1,...,e p ) une base de E. Soit F un R-e.v de dimension n et soit B = (u 1,...,u n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. On sait que f est entièrement déterminée par la donnée de f (e 1 ),...,f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la base B de F. Notons coord B (f (e j )) = (a 1j,...,a nj ) pour j 1,p, c est-à-dire : j 1,p, f (e j ) = n i=1 a ij u i

41 Matrice d une application linéaire Introduction Soit E un R-e.v de dimension p, soit B = (e 1,...,e p ) une base de E. Soit F un R-e.v de dimension n et soit B = (u 1,...,u n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. On sait que f est entièrement déterminée par la donnée de f (e 1 ),...,f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la base B de F. Notons coord B (f (e j )) = (a 1j,...,a nj ) pour j 1,p, c est-à-dire : j 1,p, f (e j ) = n i=1 a ij u i On obtient ainsi une matrice A = (a ij ) 1 i n cette matrice est 1 j p définie par : c j (A) = coord(f (e j )) où c j (A) représente le jème B vecteur colonne de la matrice A.

42 Matrice d une application linéaire Construction de cette matrice f (e 1 ) f (e 2 )... f (e p ) a 11 a a 1p u 1 mat B,B (f ) = a 21 a a 2p u a n1 a n2... a np u n

43 Matrice d une application linéaire Construction de cette matrice f (e 1 ) f (e 2 )... f (e p ) a 11 a a 1p u 1 mat B,B (f ) = a 21 a a 2p u a n1 a n2... a np u n Cas particuliers des endomorphismes Lorsque l espace d arrivée est le même que celui de départ (F = E), on choisit en général la même base à l arrivée qu au départ (B = B), on note mat B,B (f ) = mat(f ), c est une matrice B carrée.

44 Exemples Exercice Soit B = (e 1,e 2,e 3 ) la base canonique de R 3 et soit B = (e 1,e 2 ) la base canonique de R2. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 2 définie pour tout (x,y,z) R 3 par f (x,y,z) = (2x y + z,x + 2y 3z). Déterminer A = mat B,B (f ). Déterminer B = mat B,B (f ) où B = (e 1 + e 2,e 1 e 2 ).

45 Exemples Exercice Soit B = (e 1,e 2,e 3 ) la base canonique de R 3 et soit B = (e 1,e 2 ) la base canonique de R2. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 2 définie pour tout (x,y,z) R 3 par f (x,y,z) = (2x y + z,x + 2y 3z). Déterminer A = mat B,B (f ). Déterminer B = mat B,B (f ) où B = (e 1 + e 2,e 1 e 2 ). Exercice Déterminer l application linéaire g définie de R 3 dans R 2 donnée par : ( ) mat B,B (g) = 4 5 1

46 Matrice d une application linéaire Théorème : caractérisation de l identité et de l application nulle Soit E un R-ev de dimension n et soit B une base de E. Soit f un endomorphisme de E, alors : f = id E mat (f ) = I n B Soit F un R-ev de dimension p et soit B une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F, alors : f = 0 mat B,B (f ) = O p,n

47 Matrice d une application linéaire Théorème Soient E et F deux R-ev, soit B une base de E et soit B une base de F. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F et soit λ R. On a : mat B,B (f + g) = mat B,B (f ) + mat B,B (g) et mat B,B (λ.f ) = λ.mat B,B (f )

48 Matrice d une application linéaire Théorème Soient E et F deux R-ev, soit B une base de E et soit B une base de F. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F et soit λ R. On a : mat B,B (f + g) = mat B,B (f ) + mat B,B (g) et mat B,B (λ.f ) = λ.mat B,B (f ) Théorème : caractérisation du produit Soient E, F et G trois R-ev, soit B une base de E, soit B une base de F et soit B une base de G. Soit f (resp. g) une application linéaire de E dans F (resp. F dans G), avec A = mat B,B (g) et B = mat B,B (f ), alors : mat B,B (g f ) = A B = mat B,B (g) mat B,B (f )

49 Matrice d une application linéaire Cas particulier Soit E un R-ev, soit B une base de E et soient u et v deux endomorphismes de E avec A = mat(u) et B = mat(v), on a alors mat B B B (u v) = mat(u) mat(v) = A B, en particulier : B B n N, mat B (un ) = [ ] n mat (u) = A n B

50 Lien entre matrice et application linéaire Théorème Soient B = (e 1,...,e p ) une base de E et B = (u 1,...,u n ) une base de F. Soit f une application linéaire de E dans F. Pour x E, on pose X la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B, que l on note : X = coord (x) M p,1(r) et Y la matrice colonne des coordonnées de y = f (x) dans la base B : Y = coord (f (x)) M n,1 (R). B En posant : A = mat B,B (f ), on a la relation suivante : B Y = AX i.e. coord B (f (x)) = mat B,B (f ) coord (x) B

51 Lien entre matrice et application linéaire Exercice Soit B = (e 1,e 2,e 3 ) la base canonique de R 3 et soit B = (e 1,e 2 ) la base canonique de R2. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 2 définie par sa matrice dans les bases B et B : A = mat B,B (f ) = ( ), calculer f (x,y,z).

52 Lien entre matrice et application linéaire Définition : application linéaire canoniquement associée Soit A M n,p (R), on appelle application linéaire canoniquement associée à A l application linéaire f de R p dans R n dont la matrice dans les bases canoniques de R p et R n est A.

53 Matrices carrées inversibles Introduction L ensemble (M n (R),+, ) a une structure particulière (structure d anneau...), on peut donc s intéresser aux éléments inversibles de cet ensemble. C est à dire aux matrices M M n (R) pour lesquelles il existe une matrice N M n (R) telle que M N = N M = I n. Si M M n (R) est inversible, son inverse sera noté M 1.

54 Matrices carrées inversibles Introduction L ensemble (M n (R),+, ) a une structure particulière (structure d anneau...), on peut donc s intéresser aux éléments inversibles de cet ensemble. C est à dire aux matrices M M n (R) pour lesquelles il existe une matrice N M n (R) telle que M N = N M = I n. Si M M n (R) est inversible, son inverse sera noté M 1. Propriété Si M et N sont deux matrices inversibles de M n (R) alors : (M N) 1 = N 1 M 1

55 Matrices carrées inversibles Exemple : matrices diagonales inversibles Soit D = diag(a 1,...,a n ) M n (R), alors D est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux sont tous non nuls, auquel cas on a : ( 1 D 1 = diag,..., 1 ) a 1 a n

56 Matrices carrées inversibles Théorème Soient E et F deux R-ev de même dimension n, soit B une base de E et B une base de F, soit u une apllication linéaire de E dans F, alors u est un isomorphisme de E vers F si et seulement si mat B,B (u) est inversible, si c est le cas, alors : [ ] 1 mat B,B (u 1 ) = mat B,B (u)

57 Matrices carrées inversibles Théorème : caractérisation des matrices carrées inversibles Soit A M n (R), alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1 A est inversible. 2 Il existe une matrice B M n (R) telle que BA = I n. 3 L équation AX = O n,1 d inconnue X M n,1 (R) admet une unique solution X = O n,1. 4 Y M n,1 (R), l équation AX = Y d inconnue X M n,1 (R) admet une unique solution. 5 Y M n,1 (R), l équation AX = Y d inconnue X M n,1 (R) admet au moins une solution.

58 Matrices carrées inversibles Théorème : caractérisation des matrices carrées inversibles Soit A M n (R), alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1 A est inversible. 2 Il existe une matrice B M n (R) telle que BA = I n. 3 L équation AX = O n,1 d inconnue X M n,1 (R) admet une unique solution X = O n,1. 4 Y M n,1 (R), l équation AX = Y d inconnue X M n,1 (R) admet une unique solution. 5 Y M n,1 (R), l équation AX = Y d inconnue X M n,1 (R) admet au moins une solution. Conséquence Si BA = I n alors AB = I n (car A est inversible et donc B = A 1 ).

59 Matrices carrées inversibles Exercice Soit A M n (R). Montrer que si A est inversible alors t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ).

60 Matrices carrées inversibles Exercice Soit A M n (R). Montrer que si A est inversible alors t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ). Exercice 1 λ 1 Soit A = avec λ R Déterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c est le cas, calculer A 1.

61 Matrices carrées inversibles Exercice Soit A M n (R). Montrer que si A est inversible alors t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ). Exercice 1 λ 1 Soit A = avec λ R Déterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c est le cas, calculer A 1. Exercice Soit T M n (R) une matrice triangulaire supérieure. Montrer que T est diagonalisable si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls. Si c est le cas, montrer que T 1 est également triangulaire supérieure.

62 Matrices de passage Définition Soit E un R-ev, soit B = (e 1,...,e n ) une base de E, soit S = (x 1,...,x p ) une famille de vecteurs de E, on appelle matrice du système S dans la base B, la matrice A M n,p (R) définie par : (i,j) 1,n 1,p, a ij est la coordonnée sur e i de x j. En d autres termes, pour j 1,p, le jème vecteur colonne de A est c j (A) = coord (x j). Cette matrice est notée P B,S et B appelée matrice de passage de B à S, elle exprime les vecteurs de S dans la base B.

63 Matrices de passage Construction de cette matrice de passage x 1 x 2... x p vecteurs de S... a 11 a a 1p coordonnée sur e 1 premier vecteur de B P B,S = a 21 a a 2p coordonnée sur e 2 deuxième vecteur de B..... a n1 a n2... a np coordonnée sur e n dernier vecteur de B

64 Matrices de passage Exercice Soit B la base canonique de R 3 et S = {(1, 1,0);(2, 1,3)}. Déterminer la matrice de passage de la base B au système S.

65 Matrices de passage Exercice Soit B la base canonique de R 3 et S = {(1, 1,0);(2, 1,3)}. Déterminer la matrice de passage de la base B au système S. Exercice Soit B = {e 1,e 2,e 3 } la base canonique de R 3 et B = {e 1,e 1 + e 2,e 1 + e 2 + e 3 }. 1 Montrer que B est une base de R 3. 2 Déterminer la matrice de passage de la base B à la base B.

66 Matrices de passage Théorème : caractérisation des bases Soit B une base de E, et soit B = (x 1,...,x n ) une famille de n vecteurs de E, alors B est une base de E si et seulement si la matrice de passage de B à B est inversible.

67 Matrices de passage Théorème : caractérisation des bases Soit B une base de E, et soit B = (x 1,...,x n ) une famille de n vecteurs de E, alors B est une base de E si et seulement si la matrice de passage de B à B est inversible. Interprétation de la matrice de passage entre deux bases Soient B et B deux bases de E. On considère id E : (E,B ) (E,B) avec B comme base au départ et B comme base à l arrivée, on a la relation : P B,B = mat B,B (id E)

68 Matrices de passage Théorème : application Soient B, B et B trois bases de E, on a : P B,B = [ P B,B ] 1 et PB,B = P B,B P B,B

69 Formules du changement de bases Théorème Soient B et B deux bases de E, soit x E, on pose X = coord (x) et X = coord(x), on a les formules suivantes : B B X = P B,B X et X = P B,B X = [ P B,B ] 1 X

70 Formules du changement de bases Théorème Soient B et B deux bases de E, soit x E, on pose X = coord (x) et X = coord(x), on a les formules suivantes : B B X = P B,B X et X = P B,B X = [ P B,B ] 1 X Exercice Soient u 1 = (1,1, 1), u 2 = ( 1,1,1) et u 3 = (1, 2,1). 1 Montrer que la famille {u 1,u 2,u 3 } forme une base de R 3. 2 Exprimer les coordonnées de v = (1,0,1) dans cette nouvelle base.

71 Formules du changement de bases Théorème Soient B 1, B 1 deux bases de E et P = P B 1,B 1 la matrice de passage, soient B 2, B 2 deux bases de F et soit Q = P B 2,B 2 la matrice de passage, soit u une application linéaire de E dans F, on pose A = mat (u), A = mat (u), on a la relation : B 1,B 2 B 1,B 2 A = Q 1 A P

72 Formules du changement de bases Théorème cas des endomorphismes Soient B et B deux bases de E et soit P = P B,B la matrice de passage, soit u un endomorphisme de E,si on pose A = mat (u) et B A = mat(u), alors on a la relation : B A = P 1 A P

73 Formules du changement de bases Théorème cas des endomorphismes Soient B et B deux bases de E et soit P = P B,B la matrice de passage, soit u un endomorphisme de E,si on pose A = mat (u) et B A = mat(u), alors on a la relation : B Exercice A = P 1 A P Soit B la base canonique de R( 2 et soit u) un endomorphisme 2 1 de R 2 défini par A = mat (u) =. B 1 2 On pose B = {(1,1);(1, 1)} une base de R 2. 1 Calculer la matrice de u dans la base B. 2 En déduire l expression de u n (x,y).

74 Matrices semblables Définition Soient A, B M n (R), on dit que les matrices A et B sont semblables si et seulement si il existe une matrice carrée inversible P telle que : A = P 1 B P

75 Matrices semblables Définition Soient A, B M n (R), on dit que les matrices A et B sont semblables si et seulement si il existe une matrice carrée inversible P telle que : Remarques A = P 1 B P 1 Les matrices d un endomorphisme dans deux bases sont semblables. 2 Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux matrices d un même endomorphisme exprimées dans deux bases (P étant la matrice de passage).

76 Trace d un endomorphisme Théorème Soient A, B M n (R), on a la propriété suivante : tr(a B) = tr(b A)

77 Trace d un endomorphisme Théorème Soient A, B M n (R), on a la propriété suivante : Théorème : conséquence tr(a B) = tr(b A) Si A M n (R) et si P est inversible alors : ( ) tr(a) = tr P 1 A P

78 Trace d un endomorphisme Définition Soit u un endomorphisme de E et soit B une base de E, on appelle trace de l endomorphisme u le scalaire noté tr(u) et défini par : ( tr(u) = tr mat (u) B ce scalaire est indépendant de la base B choisie. )

79 Trace d un endomorphisme Définition Soit u un endomorphisme de E et soit B une base de E, on appelle trace de l endomorphisme u le scalaire noté tr(u) et défini par : ( tr(u) = tr mat (u) B ce scalaire est indépendant de la base B choisie. Théorème : rappel L application trace est une forme linéaire non nulle qui vérifie : ) tr(u v) = tr(v u) où u et v sont deux endomorphismes de E.

80 Espace des lignes-espace des colonnes Introduction Soit A = ( ) a ij Mn,p (K), avec K = R ou C. On peut décomposer A en lignes : A = a 1. a n ou en colonnes : A = ( a 1 a p ).

81 Espace des lignes-espace des colonnes Introduction Soit A = ( ) a ij Mn,p (K), avec K = R ou C. On peut décomposer A en lignes : A = ou en colonnes : A = ( a 1 ) a p. On associe à A deux sev de K p : L (A) = Vect {a 1,...,a n } le sev engendré par les lignes de A. a 1. a n

82 Espace des lignes-espace des colonnes Introduction Soit A = ( ) a ij Mn,p (K), avec K = R ou C. On peut décomposer A en lignes : A = ou en colonnes : A = ( a 1 ) a p. On associe à A deux sev de K p : L (A) = Vect {a 1,...,a n le sev engendré par les lignes de A. C (A) = Vect { } a 1,...,a p le sev engendré par les colonnes de A. a 1. a n

83 Espace des lignes-espace des colonnes Théorème Pour toute matrice A de M n,p (K), diml (A) = dimc (A).

84 Espace des lignes-espace des colonnes Théorème Pour toute matrice A de M n,p (K), diml (A) = dimc (A). Définition Soit A une matrice de M n,p (K). On appelle rang de A la dimension de C (A) (ou de L (A)). On a clairement : ranga min(n,p) et ranga = rang (t A )

85 Rang d une matrice...pour faire simple Définition Soit A M n,p (R) une matrice, on appelle rang de la matrice A, le rang dans R n du système constitué par ses p vecteurs colonnes, notation : rg(a) = rg(c 1 (A),...,c p (A)).

86 Rang d une matrice...pour faire simple Définition Soit A M n,p (R) une matrice, on appelle rang de la matrice A, le rang dans R n du système constitué par ses p vecteurs colonnes, notation : rg(a) = rg(c 1 (A),...,c p (A)). Remarque Im A = Vect{c 1 (A),...,c p (A)}

87 Rang d une matrice...pour faire simple Définition Soit A M n,p (R) une matrice, on appelle rang de la matrice A, le rang dans R n du système constitué par ses p vecteurs colonnes, notation : rg(a) = rg(c 1 (A),...,c p (A)). Remarque Im A = Vect{c 1 (A),...,c p (A)} Théorème Soit u une application linéaire de E dans F, soit B une base de E, soit B une base de F, et soit A = mat B,B (u), alors rg(u) = rg(a)

88 Rang d une matrice Théorème (Conséquence) Soit E un espace vectoriel de dimension n, soit S = (x 1,...,x p ) une famille de p vecteurs de E et soit B une base de E, alors le rang de la famille S est égal au rang de la matrice de ce système dans la base B.

89 Rang d une matrice Théorème (Conséquence) Soit E un espace vectoriel de dimension n, soit S = (x 1,...,x p ) une famille de p vecteurs de E et soit B une base de E, alors le rang de la famille S est égal au rang de la matrice de ce système dans la base B. Théorème : Invariance du rang Soit A M n,p (R), P M p (R) inversible et soit Q M n (R) inversible. Alors : 1 rg(ap) = rg(a) et rg(qa) = rg(a). 2 Deux matrices semblables ont le même rang. 3 rg(a) = rg( t A).

90 Opérations élémentaires sur les matrices Définition Soit A M n,p (R), on appelle opérations élémentaires sur A les opérations suivantes : 1 Permuter deux lignes de A (ou deux colonnes), notation : L i L j (resp. C i C j ). 2 Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation : L i αl i (resp. C i αc i ). 3 Ajouter à une ligne (ou une colonne) un multiple d une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i L i + αl j, avec i j (resp. C i C i + αc j ).

91 Opérations élémentaires sur les matrices Théorème Effectuer une opération élémentaire sur une matrice A M n,p (R) revient à multiplier A à gauche par une matrice inversible pour les opérations sur les lignes (à droite pour une opération sur les colonnes).

92 Opérations élémentaires sur A M n,p (R) : K = R

93 Calcul pratique du rang d une matrice Remarque Il est à peu près évident que les opérations élémentaires ne modifient pas le rang d une matrice. Pour calculer le rang d une matrice, il suffit donc de l échelonner par rapport à ses lignes (resp.ses colonnes) et le rang est alors égal au nombre de lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice échelonnée. C est donc aussi le nombre de pivots non nuls d une réduite de Gauss-Jordan de la matrice.

94 Calcul pratique du rang d une matrice Remarque Il est à peu près évident que les opérations élémentaires ne modifient pas le rang d une matrice. Pour calculer le rang d une matrice, il suffit donc de l échelonner par rapport à ses lignes (resp.ses colonnes) et le rang est alors égal au nombre de lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice échelonnée. C est donc aussi le nombre de pivots non nuls d une réduite de Gauss-Jordan de la matrice. Théorème : propriétés d invariance Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice. La suppression d une colonne nulle ou d une ligne nulle préserve le rang.

95 Calcul pratique du rang d une matrice : pivot de Gauss

96 Calcul pratique du rang d une matrice : exercice Exercice Déterminer le rang de la matrice A ci-dessous : A =

97 Calcul pratique du rang d une matrice : exercice

98 Calcul pratique du rang d une matrice : exercice

99 Calcul pratique du rang d une matrice : exercice rg(a) = 4

100 Rang et inversibilité Proposition Soit A M n,p (K). A est inversible à gauche (resp. à droite) ssi ranga = p (resp. ranga = n).

101 Rang et inversibilité Proposition Soit A M n,p (K). A est inversible à gauche (resp. à droite) ssi ranga = p (resp. ranga = n). Corollaire Toute matrice inversible est carrée, et pour une matrice carrée A de M n (K), on a : A inversible ranga = n On dit aussi régulière pour inversible.

102 Rang et inversibilité Proposition Soit A M n,p (K). A est inversible à gauche (resp. à droite) ssi ranga = p (resp. ranga = n). Corollaire Toute matrice inversible est carrée, et pour une matrice carrée A de M n (K), on a : A inversible ranga = n On dit aussi régulière pour inversible. Corollaire Le rang d une matrice A M n,p (K) est égal à l ordre de la plus grande sous matrice carrée régulière que l on peut extraire de A.

103 Propriétés du rang d une matrice Propriétés Soit f une application linéaire de E dans F, soit B une base de E avec dim(e) = p, soit B une base de F avec dim(f) = n, et soit A = mat B,B (f ) M n,p(r), on a :

104 Propriétés du rang d une matrice Propriétés Soit f une application linéaire de E dans F, soit B une base de E avec dim(e) = p, soit B une base de F avec dim(f) = n, et soit A = mat B,B (f ) M n,p(r), on a : 1 rg(a) min(n, p). 2 rg(a) = n f est surjective. 3 rg(a) = p f est injective.

105 Propriétés du rang d une matrice Propriétés 1 Si A M n,p (R), B M p,q (R) alors rg(a B) min(rg(a),rg(b)). 2 Si A M n (R) et A inversible, B M n,p (R) alors rg(a B) = rg(b). 3 Si A M n,p (R), B M p (R) et B inversible alors rg(a B) = rg(a).

106 Rang et systèmes linéaires Introduction Soit a 11 x a 1n x n = b 1 (S) :. a m1 x a mn x n = b m

107 Rang et systèmes linéaires Introduction Soit (S) : a 11 x a 1n x n = b 1. a m1 x a mn x n = b m On l écrit AX = B avec A = ( ) a ij Mmn (K) X = x 1. x n M n1 (K) et B = b 1. b m aussi A la matrice complète du système. M m1 (K). On note

108 Rang et systèmes linéaires Proposition Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) (S) admet au moins une solution. (ii) ranga = ranga. (iii) B C (A).

109 Définition et propriétés Notations Soit A une matrice carrée ( a ij ) de Mn (K) (n 1). On écrit : A = a 1. a n où a i est la ième ligne de la matrice.

110 Définition et propriétés Théorème Il existe une unique application de M n (K) dans K, appelée déterminant et notée det, possédant les trois propriétés suivantes :

111 Définition et propriétés Théorème Il existe une unique application de M n (K) dans K, appelée déterminant et notée det, possédant les trois propriétés suivantes : (1) i = 1,...,n a 1,...,a i 1,a i+1,...a n α et β de K et x et y de K n det a 1. a i 1 αx + βy a i+1. a n = α det a 1. a i 1 x a i+1. a n + β det a 1. a i 1 y a i+1. a n (det est une forme n linéaire par rapport aux lignes)

112 Définition et propriétés Théorème Il existe une unique application de M n (K) dans K, appelée déterminant et notée det, possédant les trois propriétés suivantes :

113 Définition et propriétés Théorème Il existe une unique application de M n (K) dans K, appelée déterminant et notée det, possédant les trois propriétés suivantes : (2) det est alternée par rapport aux lignes, c est à dire que : a i = a j pour i j = det (3) det(i n ) = 1. a 1. a n = 0.

114 Définition et propriétés Conséquences La valeur de deta ne change pas si on remplace une ligne par la somme de cette ligne et d un multiple d une autre ligne. La valeur de deta est changée en son opposée si on échange deux lignes. La valeur de deta est multipliée par λ si on multiplie une ligne par λ, et donc det(λa) = λ n deta.

115 Définition et propriétés Proposition Pour toutes matrices A et B de M n (K), on a : (i) deta 0 A régulière (ii) det(ab) = deta.detb (iii) det (t A ) = deta.

116 Définition et propriétés Proposition Pour toutes matrices A et B de M n (K), on a : (i) deta 0 A régulière (ii) det(ab) = deta.detb (iii) det (t A ) = deta. Conséquences det (t A ) = deta montre que det est une forme n linéaire alternée des colonnes et det(ab) = deta.detb montre que si A est régulière, det ( A 1) = 1 deta et que det( ABA 1) = detb pour toute matrice B.

117 Calcul du déterminant Proposition Soit A = ( a ij ) Mn (K) (n 2). Pour tout couple (i,j), on appelle A ij la matrice de M n 1 (K) obtenue en supprimant dans A la ième ligne et la jème colonne. On a alors : k = 1,2,...,n deta = n l=1 ( 1)l+k a lk deta lk (développement suivant la kème colonne) i = 1,2,...,n deta = n j=1 ( 1)i+j a ij deta ij (développement suivant la ième ligne)

118 Calcul du déterminant Proposition Soit A = ( a ij ) Mn (K) (n 2). Pour tout couple (i,j), on appelle A ij la matrice de M n 1 (K) obtenue en supprimant dans A la ième ligne et la jème colonne. On a alors : k = 1,2,...,n deta = n l=1 ( 1)l+k a lk deta lk (développement suivant la kème colonne) i = 1,2,...,n deta = n j=1 ( 1)i+j a ij deta ij (développement suivant la ième ligne) Propriété Le déterminant d une matrice diagonale ou triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux.

119 Calcul du déterminant Remarque Le scalaire deta ij s appelle le mineur de A ij dans A et le scalaire ( 1) i+j deta ij s appelle son cofacteur. On associe à A la matrice des cofacteurs, ) que l on notera cofa, qui vaut donc cofa = (( 1) i+j deta ij (i,j).

120 Calcul du déterminant : exemples det(a) = a c b d = a d b c

121 Calcul du déterminant : exemples det(a) = a c b d = a d b c

122 Calcul du déterminant : exemples det(a) = a c b d = a d b c

123 Calcul du déterminant : exemples det(a) = a c b d = a d b c La nullité du déterminant de cette matrice montre qu elle n est pas inversible...

124 Calcul du déterminant : exemples Exercice Sans calcul, montrer que est divisible par

125 Calcul du déterminant Proposition Soit A une matrice carrée régulière. On a : A 1 = 1 t (cofa) deta

126 Calcul du déterminant Proposition Soit A une matrice carrée régulière. On a : A 1 = 1 t (cofa) deta Corollaire (Formules de Cramer) Soit AX = B un système linéaire où A M n (K) et X et B appartiennent à M n1 (K). Soit B i la matrice obtenue en remplaçant dans A la ième colonne par B. Si A est régulière, les solutions x i sont données par : x i = detb i deta pour i = 1,2,...,n.

127 Pour se rassurer ou pas... Sujet de mai 2011 Soit u 1 = (1,1,0), u 2 = (0,1,1), u 3 = (1,0,1) et u 4 = ( 1,2, 1) quatre éléments de R 3. 1) La famille {u 1,u 2,u 3,u 4 } peut-elle être une base de R 3? 2) Montrer que {u 1,u 2,u 3 } est une base de R 3. 3) Soit {e 1,e 2,e 3 } la base canonique de R 3. Quelle est la matrice de passage P de la base canonique {e 1,e 2,e 3 } à la base {u 1,u 2,u 3 }? 4) Calculer P 1 en utilisant la méthode de votre choix.

128 Pour se rassurer ou pas... Sujet de mai ) Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est A = (a) En utilisant les matrices de changement de base, donner la matrice J de f dans la base {u 1,u 2,u 3 }. (b) Utiliser A pour calculer f (u 1 ), f (u 2 ) et f (u 3 ) en fonction de u 1, u 2 et u 3. Retrouver ainsi la matrice J. 6) Montrer que l on peut écrire J = D + N où D est une matrice diagonale, N est nilpotente d ordre 3 (i.e. N 3 = O 3 (R)). Montrer que D et N commutent. 7) En déduire J n pour n entier naturel. Comment calculer A n? 5 2

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