Pour faire le point voici les corrections des activités sur la relativité faites en cours :

Transcription

1 Pour faire le point oii les orretions des atiités sur la relatiité faites en ours : Atiité 1 : (a) On onsidère un TGV qui aane à une itesse = 300 km h 1 = 83,3 m s 1 par rapport au sol. Le passager est assis sur un siège. Peut-on affirmer que «le passager est immobile»? Que peut-on affirmer exatement? Affirmer qu un objet est immobile n a de sens qui si on préise dans quel référentiel on étudie son mouement. Ce qu on peut affirmer est que le passager est immobile par rapport au TGV. (b) Le passager, pour se rendre à la oiture bar, marhe ers l aant du train à une itesse de 5 km h 1. Quelle est sa itesse par rapport au train? par rapport au sol? Par rapport au TGV, le passager aane à 5 km/h ; par rapport au sol, le passager aane à = 305 km/h. () Même question, lorsque le passager quitte la oiture bar pour retourner à sa plae Par rapport au TGV, le passager aane toujours à 5 km/h ; par rapport au sol, le passager aane à = 95 km/h. (d) Préision d après la relatiité galiléenne : si on étend le prinipe de relatiité galiléenne à la lumière : à quelle itesse la lumière émise par la lampe se propage-t-elle par rapport au TGV? Par rapport au sol? Si on étend le prinipe de relatiité galiléenne à la lumière, alors la itesse de la lumière dépend elle aussi du référentiel d étude. On a alors : = m / s par rapport au train = = = m / s par rapport au sol (e) Expliquer pourquoi la réponse préédente n'est pas ompatible ae la théorie de l életromagnétisme de Maxwell. Il est indiqué en préambule que les équations de Maxwell donnent une seule aleur possible de la élérité de la lumière, égale à (et non ) quel que soit le référentiel. Or d après le alul préédent, la élérité de la lumière dépend du référentiel hoisi. Cela suggère que les équations de Maxwell sont alables par rapport à la Terre mais pas par rapport eu TGV. ème partie L hypothèse de l «éther» (a) Selon l hypothèse de l éther, la lumière a-t-elle une élérité de aleur par rapport à la terre? Pourquoi? La élérité de la lumière aut par rapport à l éther. Comme la Terre est en mouement par rapport à l éther, sa élérité est différente dans le référentiel terrestre, pour la même raison que le piéton de la partie préédente aane à des itesses différentes selon qu on étudie son mouement par rapport au train ou par rapport au sol. (b) Expliquer pourquoi Mihelson et Morley s attendaient à mesurer un éart de temps entre les parours possibles de la lumière. Rédiger un ourt paragraphe mais auun alul n est demandé. Pour Mihelson et Morley la Terre est en mouement par rapport à l éther. L un des deux bras est plaé dans la même diretion que le mouement de la Terre dans l éther et l autre lui est perpendiulaire. La lumière n aura pas la même élérité, par rapport à la Terre, sur haune des portions de son trajet. Don, en moyenne, sa élérité sur le trajet 1 sera différente de elle sur le trajet. Note : un alul du temps de parours aurait été possible à ondition que les élèes maîtrisent la omposition galiléenne des itesses sous sa forme etorielle. Cela n est sans doute pas totalement inenisageable mais il nous a semblé que l enjeu de l atiité était ailleurs et que les élèes pouaient omprendre, sans faire de alul, pourquoi on a pu penser que les deux trajets de la lumière n auraient pas la même durée.

2 3 ème partie 1905 : fin de l hypothèse de l «éther» et relatiité d Einstein (a) Répondre à noueau à la question (1.b) en admettant ette fois le postulat d Einstein et non plus elui de Galilée. Selon Einstein la élérité de la lumière aut dans tous les référentiels : = m s 1 par rapport au train = = m s 1 par rapport au sol (b) Montrer que le postulat d Einstein permet d interpréter le résultat de l expériene de Mihelson et Morley. Selon de postulat d Einstein la élérité de la lumière est indépendante du référentiel d étude. Elle n est don pas affetée par le mouement de la Terre, don sa élérité est exatement la même sur toutes les portions de son trajet dans l interféromètre de Mihelson et Morley. Don il n y a auun déalage temporel entre les deux faiseaux. () Expliquer pourquoi le onept d «éther» n'est ainsi plus pertinent selon Einstein. La notion de référentiel absolu n a plus auun sens, puisque la élérité de la lumière est indépendante du référentiel d étude. Le onept d «éther» n a don plus lieu d être et sera abandonné par Einstein. Le ide est don le milieu dans lequel la élérité de la lumière aut. (d) Le postulat d Einstein est aujourd hui toujours admis : auune expériene n est jamais enue le remettre en ause. Ce postulat, à partir de 1905, a onduit les physiiens à orriger ertaines théories admises jusqu alors. Est-e l életromagnétisme de Maxwell ou la méanique de Galilée qu il a fallu orriger? Le postulat d Einstein alide l életromagnétisme, il lui donne même un aratère enore plus général puisque selon lui les lois de l életromagnétisme sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens. Par ontre la méanique est à orriger, en partiulier le prinipe de relatiité de Galilée, puisque la omposition des itesses de Galilée donne des résultats inompatibles ae la onstane de la itesse de la lumière. Atiité : (a) On onsidère un aller-retour de la lumière. On suppose que la lumière, dans l air omme dans le ide, se propage ae la élérité onstante. Exprimer la durée t de e parours en fontion de la élérité de la lumière et de la hauteur h. La lumière parourt une distane h ae la élérité. La durée de son parours aut don : t h (b) On admet le postulat d Einstein. Expliquer, sans faire de alul, pourquoi e postulat implique que la durée du parours mesurée par Fixe est supérieure à elle mesurée par Mobile. Selon le postulat d Einstein, la élérité de la lumière est, que l obserateur soit sur Terre ou dans l aion. Si l expériene est obserée par Fixe, immobile par rapport à la Terre, la lumière parourt un trajet plus long mais ae la même élérité que si son parours est obseré par Mobile. L expériene dure don plus longtemps pour l obserateur au sol que pour elui qui est dans l aion. () On note d la distane que la lumière a parourue, ue par Fixe. Exprimer d ² en fontion de h, et t puis en fontion de,, t et t. Pour l obserateur plaé au sol, le trajet de la lumière a l allure suiante :

3 Horizontalement, le faiseau a parouru la distane effetuée par le éhiule pendant la durée t, est-à-dire t. Par le théorème de Pythagore on a : d ' t' h d ' (h) t' t t' t (d) On ombinant les résultats (a) et (), établir la relation : t' 1 La distane d parourue par la lumière ue depuis la Terre aut t, puisque sa élérité aut. On a don : d ' t t ' t ' t t ' t ' t t ' 1 t t t' 1 (e) Cette relation bouleerse la notion de temps. En partiulier, elle suggère que l un des deux obserateurs a plus ieilli que l autre : lequel et pourquoi? si on admet que <, le dénominateur, dans la relation préédente, est inférieur à 1, don t > t. Cela montre que le même éénement a duré plus longtemps pour l obserateur terrestre que pour elui plaé dans l aion. L obserateur terrestre a don éu un éénement plus long et a ieilli plus ite! Note : t est la durée propre qui sépare les éénements «émission de lumière» et «réeption de lumière». On onsidère que l élèe, lorsqu il traite ette atiité, ne onnaît pas ette notion, laquelle fera l objet du ours suiant. C est pourquoi elle n est pas itée dans l énoné. (f) D après la méanique de Newton, quelle relation aurait-on pu érire entre t et t? Justifier à l aide de la phrase de Newton itée en préambule. Newton érit : «le temps absolu, rai, mathématique, s'éoule uniformément ( )». Don pour lui : t = t.

4 Atiité 3 : 1 (a) Le fateur permet d éaluer l éart entre la durée mesurée par une horloge embarquée et 1 elle mesurée par une horloge immobile. On l appelle fateur de Lorentz. Caluler et rassembler dans un tableau les aleurs de pour de horloges liées aux systèmes suiants : un TGV qui aane à 300 km h 1 par rapport au sol terrestre ; l Airbus A380, à la itesse de de 900 km h 1 par rapport au sol terrestre ; la fusée Ariane 5, à la itesse de 8000 km h 1 par rapport au entre de la Terre ; Apollo 11, à la itesse de km h 1 par rapport au entre de la Terre ; un proton sortant de l aélérateur du PSI (Paul Sherrer Institut) à une itesse égale à 79% de elle de la lumière dans le ide ; un proton sortant de l aélérateur du LHC (Large Hadron Collider) à une itesse égale à 99, % de elle de la lumière dans le ide. Exploiter les aleurs obtenues pour déterminer, parmi les situations éoquées, elle(s) qui appartiennent au hamp de alidité de la physique de Newton et elle(s) qui ne sont orretement interprétées que par la physique d Einstein. On peut regrouper les résultats dans un tableau : 1 situation (km h 1 ) (m s 1 ) 1 TGV ,3 1,00 Airbus A ,00 Ariane ,000 Apollo ,0000 proton sortant de 0,79 1,63 l aélérateur du PSI proton sortant de 0, ,55996 l aélérateur du LHC Les 5 premières aleurs sont tellement prohes de 1 que, u le nombre de hiffres signifiatifs donnés, la orretion relatiiste ne modifie pas la aleur de la durée mesurée. Les 4 premières situations seront don aussi bien dérites par la physique de Newton que par elle d Einstein. Par ontre, on oit, par les deux dernières lignes, qu une partiule aélérée est très influenée par la orretion relatiiste : son omportement sort du hamp de alidité de la physique de Newton. 1 (a) À l aide d un tableur, traer la ourbe représentant en fontion de, pour des aleurs de 1 omprises entre 0 et.

5 (b) Pour quelle aleur de la orretion relatiiste modifie-t-elle de 1% le résultat d une préision? Le tableau montre que pour = 4, m s 1 aut 1,01. La préision relatiiste diffère don de 1% par rapport à un alul newtonien. Il faut remarquer que ette itesse est supérieure à toutes les itesses des phénomènes terrestres et astronomiques onnus des élèes. () Expliquer en quoi e graphique permet de omprendre que, dans de très nombreuses situations, la méanique de Newton reste pertinente. Le graphique montre que la orretion relatiiste reste très prohe de 1 pour des itesses «usuelles» : la relatiité ne modifiera don quasiment pas la préision newtonienne. (d) D après os onnaissane ou à l aide d une reherhe doumentaire, iter quelques appliations, dans la reherhe sientifique ou dans la ie quotidienne, ou une approhe relatiiste est indispensable pour interpréter orretement les obserations. On peut iter par exemple : l astrophysique, la physique des partiules, et plus prohe de notre quotidien : le GPS. Atiité 4 : (a) Dans le monde dont rêe M. Tomkins, que aut la élérité de la lumière dans le ide? Justifier à l aide du texte. M. Tomkins onstate que 30 km h 1 est la itesse limite impossible à dépasser : dans son rêe, 30 km h 1 est don la élérité de la lumière. (b) Les retards que onstate M. Tomkins peuent-ils résulter d un défaut de sa montre? Justifier à l aide du texte. Non, sa montre n a pas de défaut. En effet, lorsque M. Tomkins attend deant l horloge de la poste pendant 10 minutes, sa montre et l horloge ont aané de 10 mn. () Sans alul, montrer que la relatiité permet d interpréter le déalage que onstate M. Tomkins entre l heure indiquée par sa montre et elle indiquée par la pendule de la poste. En partiulier, définir soigneusement les éénements onsidérés et utiliser la notion de durée propre entre es éénements. On onsidère deux éénements : 1) départ de M. Tomkins ) passage de M. Tomkins deant l horloge de la poste La durée propre qui s éoule entre es deux éénements est elle, notée tp, mesurée par l horloge liée à M. Tomkins, autrement dit sa montre. La durée mesurée depuis le sol terrestre est elle, notée tm, affihée par l horloge de la poste. On a bien tm > tp, omme l indique la relation de dilatation des durées :

6 t m t p 1 (d) Pourquoi le retard pris par la montre de M. Tomkins, dans son rêe, est-il beauoup plus important qu il ne l aurait été dans la réalité? Justifier à l aide de la relation entre durée propre et durée mesurée. Dans le monde réel tm et tp auraient été très peu différentes. L idée de Gamow onsistant à imaginer une élérité faible pour la lumière aentue onsidérablement les effets relatiistes. En effet, le quotient est oisin de 1, le dénominateur de la relation itée à la question préédente est alors oisin de 0 et don tm est très supérieure à tp. (e) Imaginer une réponse possible de l homme qui sort de la gare à la question que lui pose M. Tomkins à la fin de l extrait. Toute réponse suggérant que l homme est souent en mouement pourra être aeptée. On gardera bien à l esprit que ette approhe est simpliste, omme nous l aons indiqué dans les ommentaires de ette atiité. Ah, je ois, dit l homme en souriant. Je dois peut-être ous expliquer que mon métier m oblige à oyager beauoup. (...) Je passe dans le train une grande partie de ma ie.» Atiité 5 : (a) Vérifier l affirmation de Mobile : «le fateur de Lorentz aut eniron». L appliation numérique donne bien : 1,0,6 1 3,0 (b) À propos de la itation de Mobile : «pendant que ma pendule effetue un tour, la sienne en effetue» : nommer les deux éénements entre lesquels Mobile mesure une durée, préiser quel est leur référentiel propre. Mobile onsidère les deux éénements «ma pendule est dans une position donnée» et «ma pendule est reenue à la même position». Le référentiel propre à es deux éénements est elui dans lequel la pendule est immobile : le éhiule. () De même, nommer les deux éénements onsidérés par Fixe et préiser quel est leur référentiel propre. Fixe onsidère les deux éénements «ma pendule est dans une position donnée» et «ma pendule est reenue à la même position». Le référentiel propre à es deux éénements est elui dans lequel la pendule est immobile : la planète Galiléo. (d) Tant que le mouement relatif des deux frères est retiligne uniforme, peut-on donner raison à l un des deux frères? Non : haun des deux frères est légitime pour se onsidérer omme en mouement par rapport à son frère immobile et onsidérer que son horloge mesure une durée propre et que elle de son frère mesure une durée dilatée. Attention e raisonnement ne tient que si les deux frères sont en mouement relatif de translation retiligne uniforme! ème partie : une solution pour leer le paradoxe (a) Montrer que, dans le as d un trajet aller-retour, es hypothèses permettent de donner l un des deux jumeaux. raison à

7 Mobile subit au moins trois aélérations : au moment du départ, lorsqu il rebrousse hemin et à son retour sur Galiléo. Puisque le référentiel impropre doit être galiléen, la relation de dilatation des durées est alide en onsidérant que la durée indiquée par l horloge de Mobile est une durée propre et elle mesurée par Fixe est dilatée. Mobile a don raison : il reiendra plus jeune que son frère! (b) Caluler, d après e senario et en tenant ompte de la réponse (a), les durées et, mesurées par haque jumeau, pendant le oyage de Mobile. En déduire l âge de Mobile et l âge de Fixe au moment de leurs retrouailles.. Le sénario proposé reient à supposer que les phases d aélération son instantanées. On peut don appliquer la relation entre durée propre et durée mesurée, tm étant la durée propre du oyage de Mobile. On a : tm = 14 ans Mobile est don âgé de = 34 ans Calulons la durée de l expériene mesurée par Fixe : t t AN : t 14 8 ans F Fixe est don âgé de = 48 ans. Atiité 6 : (a) Caluler la distane parourue par un muon pendant, µs. d = = 0,998 = 659 m (b) Pourquoi le fait que des muons pariennent à la surfae de la Terre est-il une preue expérimentale de la dilatation des durées? Les muons sont produits à au moins 10 km de la surfae de la Terre. La distane moyenne qu ils parourraient par rapport à la terre, si, dans le référentiel terrestre, leur durée de ie moyenne alait, µs est de 659 m. Or des muons pariennent à la surfae de la Terre, don franhissent une distane beauoup plus éleée : ela est ompatible ae l idée selon laquelle, us de la Terre, leur durée de ie moyenne, lorsqu ils sont en mouement, se dilate. () En tenant ompte de la dilatation des durées, aluler la distane que parourt, en moyenne, un muon, aant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les éénements onsidérés et de distinguer durée propre et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que e alul permet d interpréter le fait de pouoir déteter des muons à la surfae de la Terre. On étudie les éénements «naissane du muon» et «désintégration du même muon». La durée propre qui sépare es deux éénements est elle qui est mesurée dans le référentiel «muon». C est aussi la durée de ie moyenne d un muon au repos, soit : tp =, µs Lorsque les muons sont en mouement, leur durée de ie moyenne mesurée depuis la Terre se dilate et aut : F tp, tm 35 µs 1 0,998 1 La distane moyenne parourue par le muon entre son émission et sa désintégration aut don, mesurée depuis la Terre : d = tm = 0,998 tm = 1,0 104 m = 10 km Cette distane permet d interpréter que les muons peuent franhir une distane assez grande dans l atmosphère pour que nous puissions les déteter au sol. M

8 Atiité 7 : (a) À partir de os onnaissanes ourantes sur le GPS, indiquer un ordre de grandeur de la préision ae laquelle un GPS permet de se loaliser. Un GPS embarqué en oiture permet de déterminer une position à la rue près : ela montre qu il nous loalise à moins de 10 m près. (b) Le mouement du satellite n étant pas retiligne, on admettra que le temps propre est défini par l horloge embarquée à bord du satellite. Expliquer qualitatiement omment la relatiité préoit que l horloge atomique embarquée à bord du GPS retarde par rapport à la même horloge restée au sol. Considérons deux éénements loalisés en un même point du satellite, séparés par une durée propre de aleur tp, mesurée par l horloge embarquée. La durée entre es mêmes éénements mesurée par une horloge liée au sol terrestre aut : tp tm 1 Don tp tm 1 t m La durée mesurée par l horloge embarquée est don plus faible : elle retarde par rapport à elle restée au sol. () Caluler le retard aumulé en une journée terrestre par l horloge embarquée à ause de l effet relatiiste éoqué à la question préédente. est la différene entre tp et tm, soit : tp tm tm tm AN : - tm est la durée du jour terrestre : = s. On peut ondérer tp = s aussi. Le résultat est quasiment le même. - est la itesse du satellite par rapport au sol : = 1, km s 1 4 1,4 10 = 1000 = 3, m s 1 - tm 3600 D où : 3 3, , ,3 10 s L horloge embarquée retarde de 7,3 µs par jour. On peut aussi utiliser les aleurs absolues. (d) Caluler l erreur d faite par le réepteur GPS s il alule la distane qui le sépare du satellite sans tenir ompte du retard pris par son horloge au bout d une journée. À otre ais, peut-on onsidérer d omme «négligeable»? L erreur ommise par le réepteur s il ne tient pas ompte de la dilatation des durées est la distane parourue par le signal pendant 7,3 µs. Or les signaux sont de nature életromagnétique, don se propagent ae la même élérité que la lumière dans le ide. L erreur de distane aut don : d = = 3, , =, 10 3 m. L erreur ommise si on ne tient pas ompte des effets relatiistes est don de plus de km! Or omme nous l aons indiqué en (b), la préision du GPS est de quelques mètres : on ne peut don en auun as négliger d. (e) En tenant ompte des deux effets relatiistes, aluler le déalage temporel total entre les deux horloges aumulé en une journée. En déduire l erreur dtot ommise par le réepteur GPS s il ne

9 tient pas ompte des effets relatiistes. Montrer que e alul justifie la néessité de prendre en ompte la relatiité pour oneoir un réepteur GPS. Le déalage temporel entre les deux horloges, aut, au total : T = 45 7,3 = 38 µs L erreur totale ommise sur un alul de distane aut don : dtot = = 3, = 1, m = 11 km 11 km est une erreur olossale, u la préision attendue d un GPS (à peine quelques mètres, omme nous l aons indiqué en (a)). Cei onfirme que les orretions relatiistes sont indispensables à la réalisation du système GPS. Aane due au hamp (oir texte) Retard entrainé par le mouement Prolongement. Atiité 8 Pourquoi a-t-on dit que les neutrinos remettaient en ause la relatiité? En septembre 011, des physiiens du projet international «OPERA» (Osillation Projet with Emulsion traking Apparatus) ont mesuré la itesse de déplaement de petites partiules appelées les neutrinos. (a) Reherhe doumentaire : Lire l artile page 8 et 9 de la reue sientifique «CNRS, le journal» n 6, paru en noembre 011. Cette reue est disponible gratuitement par e lien : Elle est téléhargeable au format PDF sur e lien : Rédiger un ourt paragraphe qui résume e que ous a appris ette leture et répondant, entre autres, aux questions suiantes : - quel est le parours des neutrinos qui a été étudié? - quel était, initialement, le but prinipal de ette expériene? - qu a d étonnante la aleur de la itesse des neutrinos mesurée par les herheurs d OPERA? - les physiiens qui ont réalisé ette expériene sont-ils ertains de leurs résultats? (b) De nombreux médias ont délaré, de manière un peu ariaturale, que ette expériene remettait en ause la relatiité d Einstein. Montrer que le résultat de l expériene des neutrinos est inompatible ae la relation entre durée propre et durée mesurée que nous aons introduite dans e hapitre. () Le férier 011, la reue Siene publie, sur son site internet le ommuniqué reproduit i-après. Lire e ommuniqué. Résumer en quelques lignes e que réèle et artile onernant l expériene des neutrinos. Si e que réèle et artile est aéré, peut-on dire que les neutrinos remettent en ause la relatiité?

10 BREAKING NEWS: Error Undoes Faster-Than-Light Neutrino Results by Edwin Cartlidge on February 01, 1:45 PM It appears that the faster-than-light neutrino results, announed last September by the OPERA ollaboration in Italy, was due to a mistake after all. A bad onnetion between a GPS unit and a omputer may be to blame. Physiists had deteted neutrinos traelling from the CERN laboratory in Genea to the Gran Sasso laboratory near L'Aquila that appeared to make the trip in about 60 nanoseonds less than light speed. Many other physiists suspeted that the result was due to some kind of error, gien that it seems at odds with Einstein's speial theory of relatiity, whih says nothing an trael faster than the speed of light. That theory has been indiated by many experiments oer the deades. Aording to soures familiar with the experiment, the 60 nanoseonds disrepany appears to ome from a bad onnetion between a fiber opti able that onnets to the GPS reeier used to orret the timing of the neutrinos' flight and an eletroni ard in a omputer. After tightening the onnetion and then measuring the time it takes data to trael the length of the fiber, researhers found that the data arrie 60 nanoseonds earlier than assumed. Sine this time is subtrated from the oerall time of flight, it appears to explain the early arrial of the neutrinos. New data, howeer, will be needed to onfirm this hypothesis. (a) Reherhe doumentaire : Des neutrinos ont été émis à Genèe, au CERN, et reçus au laboratoire souterrain de Fran Sasso en Italie. Le but de l expériene n était pas de mesurer la itesse de es partiules mais d étudier ertaines de leurs transformations. La mesure de leur itesse a pourtant été réalisée. La itesse mesurée a surpris les sientifiques : est supérieure de 7,4 km/s à elle de la lumière! Cependant, même les physiiens qui ont effetué es mesures estiment que leurs résultats doient être ritiqués par la ommunauté sientifique. Au moins une autre mesure indépendante doit être faite pour alider la leur. (b) De nombreux médias ont délaré, de manière un peu ariaturale, que ette expériene remettait en ause la relatiité d Einstein. Montrer que le résultat de l expériene des neutrinos est inompatible ae les résultats obtenus dans la partie 1 de ette atiité. Reprenons la relation entre durée propre et impropre : tp tm 1 Si >, alors 1 est inférieur à 1 et la durée t n est pas définie! () Le férier 011, la reue Siene publie, sur son site internet le ommuniqué reproduit i-après. Lire e ommuniqué. Résumer en quelques lignes e que réèle et artile onernant l expériene des neutrinos. Si e que réèle et artile est aéré, peut-on dire que les neutrinos remettent en ause la relatiité? Cet artile réèle qu une mauaise onnexion entre un GPS et un ordinateur aurait pu être à l origine de l aane de 60 nanoseondes que les neutrinos semblaient aoir prise. Si e propos est onfirmé, alors, et jusqu à nouel ordre, auune expériene ne remet en ause la relatiité d Einstein. Jusqu à nouel ordre