Chameaux et moindres carrés

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1 80 Courrer des lecteurs APMEP Chameaux et mondres carrés Perre Carrqury (*) I. Rappel du problème Un chameler veut partager son troupeau de p chameaux entre ses enfants en fxant les proportons f, f,..., f attrbuées à chaque enfant. On pose F = f. S F, Henr Barel a montré dans le bulletn 47 que les solutons où l enfant reçot f q chameaux, q étant l effectf d un nouveau troupeau vérfant Fq = p, sont équvalentes au partage du troupeau ntal proportonnellement aux nombres f, f,..., f. De plus, en nterprétant les séres et j= 0 fp F (s F < ) + j j fp ( ) fp ( F ) = (s < F < ), j= 0 F l a trouvé une autre méthode qu donne le même résultat. Je voudras sgnaler une méthode des mondres carrés qu donne auss le même résultat et des méthodes des mondres carrés qu permettent d obtenr des solutons entères. II. Méthode des mondres carrés Soent x, x,..., x les nombres de chameaux (pas forcément enters) attrbués aux enfants. On veut chosr x, x,..., x tels que x = p (la totalté du troupeau est dstrbuée) et que les écarts entre x et f p soent les plus fables possble. Plus précsément on cherche x, x,..., x tels que x p et que x fp = sot mnmum, ce qu revent à mnmser la moyenne des carrés des écarts entre x et f p, pondérée par les coeffcents + j ( ) =. Pourquo chosr ces coeffcents? Parce f ( ) f que s on prend d autres coeffcents (en partculer tous les coeffcents égaux à ) on obtent une autre soluton, mas l dot y avor une explcaton plus subtle que je lasse au lecteur le son de trouver. Le problème peut se résoudre en utlsant la méthode des multplcateurs de Lagrange. fp F (*) perre.carrqury@orange.fr

2 APMEP Chameaux et mondres carrés 8 La soluton, s elle exste, annule les dérvées partelles de la foncton L défne par : En résolvant le système ( x fp)+ λ = 0,,,, ; x = p, on trouve f fp x = et on peut montrer qu l s agt ben d un mnmum en utlsant la convexté F de la foncton L. Ans, s on revent au problème-source où p = 7, f =, f = et f =, le 9 mnmum de sous la contrante x + x + x = 7 est obtenu pour x = 9, x = 6, x =. Ben entendu on n obtent pas toujours des nombres enters ; on peut alors penser à chercher des solutons entères en utlsant des méthodes des mondres carrés. III. Recherche de solutons entères a) Énoncé du problème On pose f p = a. On suppose f = F <. (S F >, on est amené à résoudre des problèmes du type : partager un troupeau de 7 chameaux entre enfants en donnant la moté au premer, la moté au deuxème et le quart au trosème ce qu peut troubler). On cherche des enters naturels x, x,..., x tels que sot mnmum. b) Étude du cas = L( x, x,, x, λ)= ( x fp) + λ x p f x x 9 x et que. Interprétaton géométrque Sot A le pont de coordonnées (a,a ) et M un pont de coordonnées ( ) = (x,x ) dans un repère orthonormal. x a AM. Mnmser AM sous les x = p ( x a ) contrantes ndquées revent à trouver un pont de la drote (D p ) d équaton x + x = p, à coordonnées entères, le plus proche possble du pont A. On peut résoudre graphquement le problème en traçant la drote d équaton x + x = p sur un quadrllage, mas on peut auss obtenr une soluton par un calcul pouvant être fat en Premère et généralsable à = en Termnale et à > plus tard.

3 8 Courrer des lecteurs APMEP. Recherche du pont H de (D p ) le plus proche du pont A Tous les élèves de Premère savent que H est le projeté orthogonal du pont A sur la drote (D p ). Soent h, h les coordonnées de H. Le vecteur u = (, ) est orthogonal à (D p ) et colnéare à AH. Il exste donc un réel c tel que AH = cu. Utlsons le produt scalare AH u = cu = c. D autre part AH u = h a + h a = p a a h p+ a a = p a + a. On en dédut c =, pus p+ a a ; h =.. Recherche d un pont de (D p ) à coordonnées entères le plus proche possble de H S les coordonnées de H sont des enters naturels, le problème est résolu. S h n est pas enter, h ne l est pas non plus car h + h = p est enter. On cherche donc deux enters naturels x et x tels que x + x = p et que HM = (x h ) + (x h ) sot mnmum. Or, x h = p x (p h ). Doù HM = (x h ) est mnmum lorsque x est un arrond de h à l enter le plus proche.(s la parte fractonnare de h est égale à 0,5, l y a deux solutons). Sot M le pont obtenu en arrondssant à l enter supéreur une coordonnée de H ayant la plus grande (au sens large) parte fractonnare et en arrondssant l autre à l enter nféreur. M est un pont à coordonnées entères de (D p ) le plus proche possble du pont H. 4. Recherche d un pont de (D p ) à coordonnées entères le plus proche possble du pont A Montrons que le pont M défn dans le paragraphe précédent répond à la queston, c est-à-dre que s Q est un autre pont à coordonnées entères de (D p ), AM AQ. D après le théorème de Pythagore, AQ = AH + HQ et AM = AH + HM. Or, d après ce qu précède, HM HQ. D où AM AQ. 5. Exemple Partager chameaux entre enfants, en donnant la moté à l aîné et le ters au cadet. La méthode précédente donne : a = ; a = : h = + = 64, ; h = 46,. On donne alors 6 chameaux à l aîné et 5 au cadet. La méthode qu consste à partager le troupeau proportonnellement à attrbue = 66, à l aîné et = 44, au cadet sot en arrondssant à l enter le plus 5 5 proche 7 chameaux à l aîné et 4 au cadet. Enfn la soluton magque qu consste à emprunter un chameau à Ibrahm, attrbue et

4 APMEP Chameaux et mondres carrés 8 = 6 chameaux à l aîné et = 4 chameaux au cadet. On rend le chameau emprunté à Ibrahm, mas l reste un chameau non attrbué. On peut le donner à Ibrahm en rémunératon de son prêt et calculer le taux d ntérêt correspondant. Ben qu on n at beson du chameau que pendant quelques secondes, on va consdérer qu l a été prêté pendant une journée, ce qu fat un taux journaler de 00%. Selon les drectves européennes, le taux annuel équvalent dot être calculé en utlsant la méthode des ntérêts composés. Le nombre de chameaux d Ibrahm va doubler tous les jours et à la fn de l année l aura 65 chameaux sot plus de 0 09 chameaux. Le nombre de chameaux sera nettement supéreur au nombre de grans de sable de tous les déserts et certans physcens estment qu l sera supéreur au nombre de partcules de l unvers. Le taux peut donc sembler tout à fat nvrasemblable, mas certanes banques françases font beaucoup meux en prélevant un «forfat mnmum» de 5 euros pour tout découvert. S le découvert a été de un euro pendant une journée, le taux journaler est de 500% et je lasse les lecteurs qu ne cragnent pas le vertge calculer le taux annuel équvalent. c) Étude du cas =. Interprétaton géométrque Mnmser x a sous les contrantes x = p et x N, revent à trouver un pont M à coordonnées entères du plan (P p ) d équaton x + x + x = p, le plus proche possble du pont A = (a,a,a ).. Recherche du pont H du plan (P p ) qu mnmse la dstance du pont A à un pont de (P p ) H est l ntersecton du plan (P p ) et de la drote de vecteur drecteur u = (,, ) passant par A. Il exste donc un réel c tel que AH = cu.utlsons le produt scalare AH u = cu = c. D autre part AH u = p a + a + a. On en dédut p c = ( ) a ( ) p. Les coordonnées de H sont donc h = a + a.. Recherche d un pont du plan (P p ) à coordonnées entères le plus proche possble du pont H S les coordonnées de H sont des enters naturels, on prend le pont H. Snon, on note E(h ) la parte entère de h et r = (E(h ) + E(h ) + E(h )). On arrondt à l enter supéreur les r coordonnées de H ayant les r plus grandes partes fractonnares (s l y a des valeurs égales on chost au hasard) et à l enter nféreur les r autres. On obtent ans un pont M à coordonnées entères du plan (P p ) et on peut montrer que ce pont réalse le mnmum cherché (vor démonstraton plus lon dans le cas général).

5 84 Courrer des lecteurs APMEP 4. Recherche d un pont du plan (P p ) à coordonnées entères le plus proche possble du pont A On va montrer que le pont M défn au paragraphe précédent répond à la queston. Sot Q un autre pont à coordonnées entères du plan (P p ) ; d après le théorème de Pythagore, AQ = AH + HQ et AM = AH + HM. Or, HM HQ. D où AM AQ. 5. Exemple 7 7 S on applque cette méthode au problème-source où p = 7, a = ; a =, 7 a =, on trouve : h = 8,8 ; h = 5,98 ; h =,. D où la soluton x = 9, 9 x = 6, x =. d) Cas général. Interprétaton géométrque Mnmser x a sous les contrantes x = p et x N, revent à trouver un pont M à coordonnées entères de l hyperplan (H p ) d équaton x = p, qu mnmse la dstance du pont A = (a,a,,a ) à un pont à coordonnées entères de (H p ).. Recherche du pont H de l hyperplan (H p ) qu mnmse la dstance du pont A à un pont de (H p ) H est l ntersecton de (H p ) avec la drote de vecteur drecteur u = (,,, ) passant par A. Les calculs sont analogues à ceux du cas = et on trouve que les coordonnées de H sont : répartr unformément l écart entre le nombre de chameaux du troupeau ntal et le nombre de chameaux attrbués aux enfants suvant les nstructons du chameler. (tout ça pour ça!).. Recherche d un pont M à coordonnées entères de l hyperplan (H p ) tel que la dstance du pont H à un pont à coordonnées entères de (H p ) sot mnmale Sot E l ensemble des ponts de l hyperplan (H p ) obtenus en arrondssant les coordonnées de H à l enter supéreur ou nféreur. Plus précsément, N = (n,n,,n ) est un élément de E s ( ) h a Le partage correspondant à ces valeurs revent à p a = +. n = p et s n = E(h ) ou n = E(h ) +. On va d abord chercher un pont M de E le plus proche possble du pont H, pus montrer que ce pont réalse le mnmum cherché.

6 APMEP Chameaux et mondres carrés 85 S les coordonnées de H ne sont pas toutes entères, on a : E( h )< p. Sot r p E h. Tout pont N de E est obtenu en chosssant r ndces parm pour lesquels n = E(h ) + et on aura n = E(h ) pour les r autres ndces. Sot I l ensemble des ndces pour lesquels n = E(h ) + et I l ensemble des ndces pour lesquels n = E(h ). On note d = h E(h ) la parte fractonnare de h. On a : HN = n h d d. Cette somme sera mnmale s on chost pour I les ndces des r coordonnées de H ayant les r plus grandes partes fractonnares, ce qu revent à chosr pour I les ( r) ndces des coordonnées de H ayant les ( r) plus pettes partes fractonnares (s on a le chox entre des valeurs égales, on chost au hasard). Sot M = (m,m,,m ) le pont correspondant obtenu en arrondssant à l enter supéreur les r coordonnées de H ayant les r plus grandes partes fractonnares et à l enter nféreur les r autres. On a donc HN HM pour tout pont N de E. Il reste à montrer que HN HM pour tout pont N à coordonnées entères de l hyperplan (H p ). Sot N = (n,n,,n ) un pont à coordonnées entères de (H p ). S N E, l exste un ndce tel que n < E(h ) ou n > E(h ) +. S n < E(h ), l exste un autre ndce j tel que n j > m j ; snon on aurat = ( ) n < m = p. Sot Q = (q,q,,q ) tel que q = n +, q j = n j, les autres ( ) = ( ) + I I coordonnées de Q étant égales à celles de N. HN HQ = ( n h) + ( nj hj) ( n + h) ( nj hj) = ( h n) + ( nj hj) = h n + nj h ( j) Or, n E(h ) h, d où h n 0. D autre part, n j m j + et m j = E(h j ) ou m j = E(h j ) +. Dans les deux cas, n j E(h j ) + d où n j h j 0 et on en dédut : h n + n j h j 0, d où HN HQ. S n > E(h ) +, l exste un ndce j tel que n j < m j. Sot Q = (q,q,,q ) tel que q = n, q j = n j +, les autres coordonnées de Q étant égales à celles de N.

7 86 Courrer des lecteurs APMEP HN HQ = ( n h) + ( nj hj) ( n h) ( nj + hj) = ( n h) ( nj hj) = n h + h n Or, n > E(h ) +, donc n h 0 ; D autre part, n j m j et m j = E(h j ) ou m j = E(h j ) +. Dans les deux cas, n j h j, d où n h + h j n j 0, d où HN HQ. On a donc établ que pour tout pont N à coordonnées entères de (H p ) tel que la -ème coordonnée n n appartent pas à [E(h ) ; E(h ) + ], on peut trouver un pont Q à coordonnées entères de (H p ) tel que la -ème coordonnée q sot strctement plus proche de l ntervalle [E(h ) ; E(h ) + ] et que Q sot plus proche (au sens large) de H que N. On remarque auss que s une coordonnée de N, n j appartent à [E(h j ) ; E(h j ) + ], alors q j [E(h j ) ; E(h j ) + ]. S q [E(h ) ; E(h ) + ], on applque le même procédé à partr du pont Q et ans de sute jusqu à obtenr un pont dont la -ème coordonnée sot dans l ntervalle [E(h ) ; E(h ) + ]. S ce pont n appartent pas à E, on recommence à partr d une autre coordonnée n qu n est pas dans [E(h ) ; E(h ) + ]. Comme 0 n p, on obtendra en un nombre fn d étapes un pont S de E tel que HN HS. Or HS HM, d où HN HM. 4. Recherche d un pont de (H p ) à coordonnées entères le plus proche possble du pont A Sot Q un pont à coordonnées entères de (H p ). Les vecteurs HQ et AH sont orthogonaux et on montre alors de la même manère que dans le cas = que HQ HM. 5. Concluson Fnalement, pour partager un troupeau de p chameaux entre enfants en fxant les proportons théorques f, f,..., f attrbuées à chaque enfant lorsque F = f <, on calcule les valeurs théorques h enters, on arrondt à l enter supéreur les p p = fp+ F. S ces valeurs ne sont pas des valeurs théorques ayant les r plus grandes partes fractonnares et à l enter nféreur les r autres. La soluton (m,m,,m ) ans obtenue vérfe : r = p E( h ) tout -uplet d enters naturels (x,x,,x ) tels que x = p. ( fp m ) ( fp x) ( ) j j. pour

8 APMEP Chameaux et mondres carrés 87 III. Dénombrement de solutons et dénombrements de problèmes a) Dénombrements de solutons Le problème de mnmsaton précédent peut être résolu sans aucune consdératon théorque en calculant les valeurs de f ( x, x,, x )= ( x a ) pour tous les - uplets (x,x,,x ) tels que x = p. Comben y en a-t-l? On sat que le nombre de solutons de l équaton x + x + + x = p est dans N et dans (N*). Par exemple, l y a = 7 manères de partager un troupeau de 7 chameaux entre enfants en comptant les cas où certans enfants ne reçovent ren (hypothèse qu on a fate dans le paragraphe précédent) et = 0 partages s chaque enfant reçot au mons un chameau (dans ce cas les résultats du II ne sont plus valables et je lasse le lecteur reprendre le problème). Après le partage, le troupeau ntal est scndé en troupeaux et on peut calculer le nombre de manères d effectuer un tel partage qu est le nombre de parttons de p en termes. À ma connassance, l n exste pas de formule générale. Pour p = 7 et =, on trouve qu l y a 4 manères de partager un troupeau de 7 chameaux en troupeaux comprenant chacun au mons un chameau. b) Dénombrements de problèmes Les résultats précédents permettent de donner un mnorant du nombre de problèmes à soluton magque. Sot q = p + d le nombre de chameaux du troupeau obtenu en empruntant d chameaux. On dra qu une soluton est magque s tous les nombres f q sont enters et s n = p, donc au mons fq = p. En chosssant enters postfs n, n,, n tels que et en prenant C p C 9 f n =, q C 6 C p + C p on obtent un problème à soluton magque. Il y a problèmes à soluton magque pour p, et q fxés et au mons p pour p et q fxés. Ans avec un troupeau de 7 chameaux à partager entre enfants, on peut poser au mons 0 problèmes dans lesquels une soluton magque apparaîtra en empruntant un chameau et au mons 6 = problèmes en fasant varer le nombre d enfants de à7.

9 S on consdère qu une soluton telle que fq < p mons est auss magque, l y a au problèmes à soluton magque pour p, et q fxés et au mons p pour p et q fxés. Ans avec 7 chameaux à partager entre enfants, on peut poser au mons C 7 C p = 680 problèmes où une soluton magque apparaîtra en empruntant un chameau, mas la totalté du troupeau ne sera pas toujours dstrbuée, et au mons 7 = 07 problèmes en fasant varer le nombre d enfants de à 7.