Partie I - Étude des régimes permanents d une association de deux machines à courant continu

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1 Les correceurs seron pariculièremen sensibles à la qualié de la rédacion de la copie ; noammen, il es recommandé de répondre de façon claire e concise aux quesions posées e de mere en évidence les résulas Les quesions seron raiées dans l ordre Les différenes paries du problème son largemen indépendanes Parie I - Éude des régimes permanens d une associaion de deux machines à couran coninu Deux machines à couran coninu M 1 e M 2, à aimans permanens, considérées comme ideniques, son associées sur le même arbre mécanique, selon le schéma de la figure 1 K 1 i 2 A 1 K 2 A u1 M M u ω e 1 e 2 Figure 1 : associaion de deux machines à couran coninu Chaque machine es en relaion élecrique avec une source de ension, réversible en couran, modélisée par sa force élecromorice e une résisance ( e 1 e 1 pour le circui 1 ; e 2 e 2 pour le circui 2 ) La viesse de roaion angulaire es noée ω( ); elle es considérée comme posiive lorsque la machine M 1 foncionne en moeur avec e 1 > 0, e M 2 en générarice Chaque machine, don on néglige l inducance d indui e don la résisance d indui es noée = Φ 0 ω, développe, lorsqu elle ourne, une force élecromorice e m, comme le monre le schéma équivalen de la figure 2 Dans cee parie, on néglige oues les peres aures que celles qui corresponden à l effe Joule (sauf dans la quesion IB6) : les peres dans le fer e les peres mécaniques son donc considérées comme nulles Les inensiés e i 2 des courans raversan les deux machines, compées posiivemen dans les sens indiqués sur la figure 1, son mesurées en régime permanen par les deux ampèremères A 1 e A 2 IA - On s inéresse à un régime permanen dans lequel les deux inerrupeurs K 1 e K 2 son fermés e les forces élecromorices e 1 e e 2 on pour valeurs respecives E 1 e E 2 avec E 1 > E 2 > 0 u () i e m Figure 2 : schéma élecrique

2 i 2 Ω ω Ω 2 Ω 2 Ω 1 Ω 3 Ω 2 Ω 1 IA1) Monrer qu avec les convenions de la figure 1, les couples élecromagnéiques appliqués sur l arbre commun par les machines son respecivemen de la forme T 1 = Φ 0 e T 2 = Φ 0 i 2 IA2) Les roors des deux machines consiuen les seuls élémens en roaion Le momen d inerie de l ensemble es noé J Préciser la relaion qui exise enre e en régime permanen IA3) On pose ' 1 = 1 + e ' 2 = 2 + Donner les expressions de, i 2, u 1, u 2 e ω en foncion des élémens du monage IB - On réalise mainenan une séquence d opéraions conduisan, après des régimes ransioires, à des régimes permanens IB1) Les machines son immobiles Les inerrupeurs K 1 e K 2 son ous deux ouvers ; la force élecromorice e 1 es réglée à la valeur e 1 = E 1 On ferme K 1 à l insan 0 andis que K 2 rese ouver Donner avec les hypohèses précédenes, les valeurs de ω,, i 2, u 1, u 2 à l insan 0 + suivan immédiaemen l insan iniial Caracériser le régime permanen obenu en précisan les valeurs de, u 1, u 2 e de la viesse angulaire ω don la valeur pariculière es noée Quelle es la foncion (moeur ou générarice) assurée par chacune des machines M 1 1 e M 2? IB2) À parir du régime précéden, on ferme K 2 alors que e 2 = 0 Exprimer, u 1, u 2 e ω lorsque le régime permanen es aein La valeur pariculière de obenue es noée Comparer à IB3) À parir du régime précéden, on augmene e 2 jusqu à la valeur E 2 < E 1 Le régime permanen aein, la viesse angulaire se fixe alors à la valeur Ω 3 Comparer à e IB4) Caracériser le régime permanen correspondan à E 1 = E 2 IB5) K 1 e K 2 éan oujours fermés e E 1 inchangée, on règle e 2 jusqu à une valeur E 2 > E 1 Caracériser le régime permanen obenu, don la viesse angulaire es noée Ω 4, en précisan les signes de e i 2, la foncion de chaque machine e en comparan Ω 4 e Ω 1 IB6) On revien au cas IB4 ( E 1 = E 2 ), mais on ien compe des peres négligées jusqu ici Ces peres enraînen l exisence d un couple de peres de momen négaif, noé T p Exprimer e i 2 en foncion des élémens du monage dans le cas pariculier où ' 1 = ' 2 Commen qualifier le foncionnemen de chacune des machines M 1 e M 2?

3 Parie II - Idenificaion des caracérisiques de l ensemble des machines Dans cee parie on modélise les peres aures que celles dues à l effe Joule, pour l ensemble des deux machines, par un couple de froemen visqueux don le momen vau T p = fω IIA - Préciser l unié du coefficien f IIB - K 2 es fermé, e 2 = 0, 1 = 0, 2 = 100Ω Le momen d inerie de l ensemble des paries ournanes des deux machines vau J = 10, 10 5kg m 2 On considère un régime ransioire correspondan à K 1 fermé e e 1 > 0 IIB1) Exprimer l équaion différenielle lian ω e ; monrer que pour le moeur M 1, la générarice M 2 débian sur la résisance 2 présene un couple de même naure qu un froemen visqueux On noera f T la valeur absolue du coefficien global de froemen visqueux IIB2) Écrire l équaion lian e 1, e ω IIB3) On noe Ω( p), I 1 ( p) e E 1 ( p) les représenaions symboliques respecives des grandeurs ω( ), ( ) e e 1 ( ) Déduire des résulas des deux quesions précédenes les foncions de ransfer : I H i ( p) 1 ( p) Ω( p) = ; H E 1 ( p) Ω ( p) = E 1 ( p) Les essais suivans on éé effecués : Essa : oor bloqué (machines mainenues à l arrê) e 1 = E 1 ( V) 1, , 600, = I 1 ( A) 0, , 101, Essai 2 : K 2 ouver e1 = E 1 ( V) 2, , 600, viesse angulaire ( r min 1 ) Essai 3 : K 1 e K 2 ouvers À l insan iniial, la viesse angulaire es 1700 ours par minue e on observe une décroissance qui amène la viesse angulaire à 850 ours par minue au bou de 6, 9 s Essai 4 : K 1 e K 2 son fermés mais le groupe es au repos car e 1 = 0 On applique alors au sysème une ension e 1 ( ) ayan la forme d un échelon d ampliude

4 E 1 = 30, V Les évoluions au cours du emps de l inensié du couran e de la viesse angulaire ω son données ci-dessous 0,5 ( A) 100 ω( rad s 1 ) 0,4 80 0,3 60 0,2 40 0, ( s) 0,1 0,2 0 0 ( s) 0,1 0,2 évoluion du couran évoluion de la viesse angulaire IIC - IIC1) L allure de ( ) proposée es-elle compaible avec la modélisaion précédene? Dans le cas conraire, préciser commen diffère l évoluion au cours du emps e proposer une inerpréaion IIC2) L évoluion de ω( ) proposée es-elle compaible avec la modélisaion précédene? Dans le cas conraire, préciser commen diffère l évoluion au cours du emps e proposer une inerpréaion IID - À parir des essais précédens, en déaillan la démarche suivie e en faisan figurer, si nécessaire, les consrucions graphiques uilisées, évaluer numériquemen les paramères, f, Φ 0 e f T On rappelle que le momen d inerie de l ensemble des paries ournanes des deux machines vau J = 10, 10 5kg m 2 Parie III - Commande élecrique en puissance On se propose de décrire sommairemen le disposiif élecrique de commande du moeur M 1 La commande par découpage uilisée es représenée à la figure 3 On adme que la conducion dans M 1 es ininerrompue : le couran d inensié ne s annule jamais

5 a E Φ 0 2 M IIIA - La séquence de commande des inerrupeurs es périodique e, K dans le foncionnemen envisagé ici, L sur une période de durée [ 0, T ], K' E es fermé pendan [ 0, at ] e [( 1 a)tt, ], andis que K condui K' pendan [ at,( 1 a)t ] où a es un u K' nombre réel compris enre 0 e 0, 50 M 1 u 1 IIIA1) eprésener l évoluion de la ension u K' aux bornes de K' e exprimer Figure 3 : commande par découpage sa valeur moyenne U K'moy en foncion de a e E IIIA2) Quel es le rôle de la bobine d inducance L, de résisance nulle, placée enre le moeur e l alimenaion? IIIB - Le moeur M 1 de la figure 3 représene la machine M 1 de la figure 1 qui enraîne la machine M 2, cee dernière débian dans une résisance 2 comme dans la Parie II ( e 2 = 0, 2 = 100Ω ) On prend de plus E = 10V L ensemble e 1, 1 de la figure 1 es simplemen remplacé par le disposiif de la figure 3 On ien compe de la résisance dans le schéma équivalen des machines ; le couple de froemen visqueux de coefficien f envisagé dans la Parie II es égalemen pris en compe IIIB1) Exprimer en régime permanen, la viesse angulaire Ω en foncion de,,, f, e IIIB2) Tracer le graphe lian la viesse angulaire Ω au paramère a en prenan = 60Ω, ; Φ 0 = 33, 10 2 Wb ; f = 10, 10 6 uniés SI IIIB3) Exprimer l inensié moyenne I 1 du couran raversan la machine M 1 en foncion de E, a,, Φ 0 e Ω Applicaion numérique pour a = 020, IIIC - On défini le rendemen η de la commande en puissance comme le rappor de la puissance élecrique moyenne reçue par le dipôle M 1 à la puissance élecrique moyenne fournie par la source E On suppose ( ) parfaiemen consane Exprimer ces deux puissances en foncion de E, I 1 e a Déerminer le rendemen η Inerpréer ce résula IIID - Pour une applicaion ne mean en jeu qu une charge résisive pour la machine, e en ne enan compe que des régimes permanens, de quel ype 2 de foncion de commuaion a--on besoin pour K e K' (parmi les foncions D : diode e T : ransisor du programme)? IIIE - On suppose dans cee quesion que la machine M 2 es reliée à une source ( E 2, 2 ) avec 2 faible e E 2 > U K'moy En régime permanen, la

6 conducion dans M 1 es de nouveau ininerrompue Quel es le signe de? Quelles son les foncions de commuaion nécessaires pour K e K'? Parie IV - Posiionnemen de précision On désire posiionner une anenne, considérée dans la suie comme le mobile, avec une grande précision On uilise l ensemble décri à la figure 4 e composé comme sui : une alimenaion coninue basse puissance délivre une ension die de consigne noée c, appliquée à l enrée P d un comparaeur décri à la figure 5, consiué d un amplificaeur opéraionnel parfai e de quare résisances de valeurs e A, A éan un coefficien numérique un capeur de posiion délivre une ension proporionnelle à l abscisse x du mobile, ce signal r es appliqué à l aure enrée N du comparaeur On noera 1 B le coefficien de proporionnalié el que r = Bx avec B = 20V m le signal de sorie du comparaeur noé u es appliqué à l enrée d un amplificaeur de puissance de gain en ension unié, alimenan le moeur consigne c u x P comparaeur amplificaeur moeur de puissance N ension ramenée r capeur de posiion Figure 4 : schéma synopique du conrôle de posiion Les valeurs numériques uilisées dans cee parie son indépendanes des précédenes, car l aspec mécanique de l enraînemen (présence d un réduceur noammen) n a pas éé décri On suppose que l équaion différenielle lian la viesse v du mobile à la ension u es de la forme : τdv d + v = Ku avec K = 0, 10 m s 1 V 1 e τ = 50 ms IVA - eprésener un schéma consiué d un comparaeur sousraceur e de blocs, en faisan apparaîre les grandeurs x, v, c e u e en indiquan les foncions de ransfer de chaque bloc opéraeur Le comparaeur sousraceur sera représené par le schéma de la figure 6 N P + A A Figure 5 : comparaeur u

7 IVB - Pour une valeur consane C 0 de c, quelle es, en régime permanen, la valeur X 0 de x correspondane? IVC - Éablir une équaion différenielle lian les grandeurs insananées x e c IVD - On applique une consigne c( ) elle que : c () C 0 = C 0 + C pour pour < 0 > 0 avec C > 0 e consan + Figure 6 : comparaeur sousraceur Le régime d évoluion de x( ) es de ype apériodique criique, pour ce faire on règle la valeur du coefficien A IVD1) Exprimer l évoluion emporelle x( ) de x IVD2) Exprimer e calculer numériquemen la valeur de A IVD3) Exprimer les évoluions emporelles u( ) de u e v( ) de v IVD4) Parmi les courbes 1, 2 e 3, quelles son celles qui ne peuven correspondre à l évoluion de u( )? Jusifier U 08, 06, u( V) u en foncion de U 08, 06, u( V) u en foncion de , 02, , 02, U f courbe N 1 U f courbe N 2 U 08, 06, u( V) u en foncion de , 02, U f 0 0 0, courbe N 3 IVD5) À parir de la courbe reenue supposée exace, déerminer graphiquemen le emps de réponse à 10% défini comme la durée, compée à parir de l applicaion de l échelon, au bou de laquelle la variaion de x( ) es égale à 90% de la variaion oale -----

8 IVE - On se propose de chercher à réduire ce emps de réponse en modifian la loi de commande, ou en mainenan la conraine d un régime ransioire de ype apériodique criique La grandeur u de commande de l amplificaeur es obenue à parir de la posiion x e de la viesse v par la loi : u = A( c αv Bx), A e α son des consanes que nous cherchons à déerminer IVE1) Sachan qu un capeur de viesse fourni une ension y = αv, monrer que le schéma de la figure 7 perme d obenir la ension u définie ci-dessus y r c + A A' u Figure 7 Exprimer le coefficien A' en foncion de A pour réaliser le monage souhaié Disposan de résisances de valeurs e A, commen peu-on simplemen obenir une résisance de valeur A', A' ayan la valeur précédene? En déduire le schéma du monage permean d obenir la ension u à parir des ensions c, r e y avec un amplificaeur opéraionnel parfai e des résisances de valeurs e A IVE2) On observe le régime libre du sysème, à parir de condiions iniiales définies par x ( 0) = X 0 e v ( 0) = 0 e du signal de consigne c( ) = 0 pour > 0 Les consanes K, B, e τ éan inchangées ( K = 010, m s 1 V 1 ; B = 20 V m 1 ; τ = 50 ms, on désire que la modificaion de la commande de l amplificaeur de puissance ai pour effe de ramener à 100 ms le emps de réponse à 10% Déerminer A e α pour qu il en soi ainsi FIN

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