Stabilité - Critères algébriques

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1 Stabilité - Critères algébriques BTS CIRA Lycée René Descartes, Saint Genis Laval

2 Programme de l exposé 1 Introduction 2 Stabilité d une fonction de transfert Définition Pôles d une fonction de transfert Définition Pôles d une fonction de transfert Critère général de stabilité 3 Cas des systèmes bouclés pôles de la FTBF robustesse 4 annexe

3 0, 2 H 1 (p) = p(1 + 6p) On souhaite déterminer : Si le système en boucle fermée sera stable. Les valeurs de A, Td, Ti, qui permettront d obtenir des performances optimales pour la boucle. H 2 (p) = W p + 3p X Régulateur ε C(p) Y Procédé H(p)

4 Définiton Un procédé est stable quand, après une variation W de consigne ou Z de perturbation, la mesure atteint une valeur constante quand t tend vers l infini.

5 Définiton Un procédé est stable quand, après une variation W de consigne ou Z de perturbation, la mesure atteint une valeur constante quand t tend vers l infini. Pôles d une fonction de transfert Soit une fonction de transfert H(p) = N(p) pouvant être mise sous la D(p) forme d une fraction rationnelle. Les pôles d une fonction de transfert sont les racines de l équation D(p) =0 annulant le dénominateur.

6 Critère général de stabilité Im p Zone interdite ZI Re p

7 Critère général de stabilité Im p Zone interdite ZI Re p Critère général de stabilité Un système quelconque (bouclé ou non bouclé), de fonction de transfert G(p), est stable si tous les pôles de G(p) sont à partie réelle strictement négative (R(p) < 0).

8 Critère général de stabilité Im p Zone interdite ZI Re p Critère général de stabilité Un système quelconque (bouclé ou non bouclé), de fonction de transfert G(p), est stable si tous les pôles de G(p) sont à partie réelle strictement négative (R(p) < 0). Si un seul pôle est à R(p)(> ou =)0 système instable.

9 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO

10 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 :

11 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 : p 1 = 0; p 1 = 1 6

12 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 : p 1 = 0; p 1 = 1 6 donc H 1 instable en B.O.

13 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 : p 1 = 0; p 1 = 1 6 donc H 1 instable en B.O. pôles de H 2 :

14 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 : p 1 = 0; p 1 = 1 6 donc H 1 instable en B.O. pôles de H 2 : p 2 = i 3 ; p 2 = i 3

15 Critère général de stabilité Exemple : Stabilité des fonctions de transfert H 1 et H 2 en BO pôles de H 1 : p 1 = 0; p 1 = 1 6 donc H 1 instable en B.O. pôles de H 2 : p 2 = i 3 ; p 2 = i 3 donc H 2 stable en B.O.

16 Critère général de stabilité Im 1 Pôles de H(p) 0.5 Re

17 Critère général de stabilité Im 1 Pôles de H(p) p p 1 p1' Re p 2 '

18 pôles de la FTBF On sait que la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) s écrit : F (p) = T (p) où T (p) est la fonction de transfert en boucle ouverte 1 + T (p) (FTBO) de la boucle de régulation. De ce qui précède, on déduit que :

19 pôles de la FTBF On sait que la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) s écrit : F (p) = T (p) où T (p) est la fonction de transfert en boucle ouverte 1 + T (p) (FTBO) de la boucle de régulation. De ce qui précède, on déduit que : stabilité des systèmes en BF Un système en boucle fermée est stable si les racines de l équation 1 + T (p) sont à partie réelle négative (R(p) < 0).

20 pôles de la FTBF On sait que la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) s écrit : F (p) = T (p) où T (p) est la fonction de transfert en boucle ouverte 1 + T (p) (FTBO) de la boucle de régulation. De ce qui précède, on déduit que : stabilité des systèmes en BF Un système en boucle fermée est stable si les racines de l équation 1 + T (p) sont à partie réelle négative (R(p) < 0). T (p) = N(p), alors les pôles de F(p) sont les racines de l équation D(p) N(p)+D(p) =0

21 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = 10

22 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 :

23 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 : p 1 = i 12 ; p 1 = i 12

24 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 : p 1 = i 12 ; p 1 = i 12 donc H 1 stable en B.F.

25 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 : p 1 = i 12 ; p 1 = i 12 donc H 1 stable en B.F. 1 + T 2 (p) =0 :

26 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 : p 1 = i 12 ; p 1 = i 12 donc H 1 stable en B.F. 1 + T 2 (p) =0 : p 2 = i ; p 2 = i 4 2 3

27 pôles de la FTBF Exemple : Stabilité en BF des fonctions de transfert H 1 et H 2 avec un gain proportionnel A = T 1 (p) =0 : p 1 = i 12 ; p 1 = i 12 donc H 1 stable en B.F. 1 + T 2 (p) =0 : p 2 = i ; p 2 = i 4 2 donc H 2 3 stable en B.F.

28 robustesse Robustesse En pratique, les pôles ne doivent pas être trop proches de l axe des imaginaires pour que la régulation soit robuste. Im Pôles de H(p) Re

29 robustesse Robustesse En pratique, les pôles ne doivent pas être trop proches de l axe des imaginaires pour que la régulation soit robuste. Im Pôles de H(p) Zone Robuste Re

30 robustesse Robustesse En pratique, les pôles ne doivent pas être trop proches de l axe des imaginaires pour que la régulation soit robuste. Im Pôles de H(p) Exemple : Oscillations de H 1 en B.F. avec un gain A = 10. La réponse indicielle de la boucle est stable, mais présente de nombreuses oscillations. Détail Les pôles de F 1 (p) sont en effet trop proches de l axe des imaginaires. Zone Robuste Re

31 robustesse Robustesse En pratique, les pôles ne doivent pas être trop proches de l axe des imaginaires pour que la régulation soit robuste. Im p1 1 Pôles de H(p) Exemple : Oscillations de H 1 en B.F. avec un gain A = 10. La réponse indicielle de la boucle est stable, mais présente de nombreuses oscillations. Détail Les pôles de F 1 (p) sont en effet trop proches de l axe des imaginaires. 0.5 Zone Robuste p1' Re

32 20 Réponse à un échelon 15 w(t),x(t) t(s) Réponse à une rampe 80 w(t),x(t) t(s)