Cascades infiniment divisibles : vers une physique statistique de la turbulence?

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Clementine St-Hilaire
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1 Cascades infiniment divisibles : vers une physique statistique de la turbulence? LIMOS UMR 658 ISIMA - Univ. Clermont II Clermont-Ferrand Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24

2 Mécanique des fluides : l équation de Navier-Stokes C.L. Navier G.G. Stokes ( ) (89-93) v t + (v. )v } {{ } = p + ν v ρ }{{} inertie diffusion + conditions aux limites équation non-linéaire = instabilités... solution(s) 3D : existence? unicité? régularité? Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 2

3 Nombre de Reynolds Re = U L ν O. Reynolds (842-92) U [m.s ] L [m] ν [m.s 2 ] Re manteau terrestre bactérie dans l eau fumée de cigarette batteur à œufs nageur dans l eau 6 6 écoulement atmosphérique 2 à à Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 3

cigarette 2 5 2 batteur à œufs 2 6 4 nageur dans l eau 6 6 écoulement

4 Transition vers la turbulence : autour de Re c Re = 9, 6 Re = 3, Re = 26 Re = 2 Re = Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 4

5 En régime turbulent (Re > Re c ) irrégularité en temps et en espace (cf. instabilités), présence de structures à des échelles très différentes, dissipation efficace, mélange efficace. (IRPHE, M. Abid, S. Le Dizès, T. Leweke, P. Meunier, A. Verga) Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 5

dissipation efficace, mélange efficace. (IRPHE, M. Abid, S. Le Dizès, T.

6 De nombreux domaines d application météorologie (vents, courants marins,...), pollution (fumées,...), chimie, combustion, (mélanges, moteurs...) transports (hydro et aérodynamisme), astrophysique, (cf. magnétohydrodynamique) sport... Quelques exemples en image... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 6

..) transports (hydro et aérodynamisme), astrophysique, (cf.

7 Météo Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 7

8 Pollution Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 8

9 Mélange, combustion... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 9

10 Voiture, camion,... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24

11 Avions Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24

12 Astrophysique Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 2

13 Sport Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 3

14 Au laboratoire, pour de vrai! Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 4

15 Turbulence développée : Re Re c études expérimentales lourdes et coûteuses, simulations numériques longues et coûteuses (Earth Simulator = 52 proc., 4 Go!!), approches théoriques limitées... Pb = trop grand nombre de degrés de liberté Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 5

Simulator = 52 proc., 4 Go!!), approches théoriques limitées.

16 Turbulence développée : Re Re c Grande gamme d échelles : η Re 3/4 L λ Re /2 L L Kolmogorov Taylor intégrale N d.d.l. (Re 3/4 ) 3 Re 9/4 ex : Re 9 = N d.d.l. 2 (soit 3 mol...) Vers une approche statistique... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 6

d.l. 2 (soit 3 mol...) Vers une approche statistique.

17 La cascade de Richardson "Big whirls have little whirls That feed on their velocity And little whirls have lesser whirls And so on to viscosity" L.F. Richardson (922) injection K4 E(k) k Log-Poisson inv. d ech. (LP-IE) K4 dissipation (88-953) K4 Log-Poisson NON inv. d ech. LP-IE Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 7

Richardson (922) injection K4 E(k) k Log-Poisson inv. d ech.

18 Signaux expérimentaux.3 Turbulence de Jet, R λ 58 Turbulence de Jet, R λ ~ Dissipation.2.5. v [m.s - ] temps(s) t [s] dissipation ε vitesse v(x o, t) Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 8

19 Approches statistiques : de l auto-similarité... δ r v(x) = v(x + r) v(x) Kármán-Howarth δ r v 3 = 4 5 ε r + 6ν δ rv 2 r Kolmogorov 94 δ r v q ( ε r) q/3 (Re ) (93-987) auto-similarité δ λr v proba λ H δ r v Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 9

20 ...au multiscaling (δ r v(x) = v(x + r) v(x)) Landau + mesures δ r v q r ζ(q) où ζ(q) q/3! Kolmogorov 962 δ r v q ε q/3 } {{ r } r q/3 r ζ(q) r τ(q/3) multifractal Castaing 99 δ r v q exp [ H(q) n(r)] log-inf. div. analyse multifractale (régularité de fonctions), cascade infiniment divisibles (transferts entre échelles). Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 2

$analyse multifractale (régularité de fonctions), cascade infiniment divisibles (transferts$

21 Analogie avec la thermodynamique idée : " signal irrégulier = gaz de singularités " δ r v q N x δ r v(x N i ) q N x exp(q ln δ r v(x x N i ) ) x i= i= évoque une fonction de partition Z(β, V ) = i exp( βe i ) ζ(q) en faisant l analogie : N x V, q β /T, ln δ r v(x i ) E i De plus, transformee de Legendre D(h) où D(h) = spectre de singularité, h énergie moyenne, D(h) entropie... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 2

22 Intermittence = écart à l auto-similarité ζ(q).5.5 K4 KO62 densite de probabilite q ζ(q) q accroissements de vitesse évolution des PDF Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 22

23 Champ de recherche Turbulence de Jet, R λ 58 Turbulence de Jet, R λ ~ Dissipation.2.5. v [m.s - ] temps(s) t [s] r dissipation ε vitesse v(x o, t) x+r/2 x r/2 ε dx ε q r?? v(x + r) v(x) δ rv q?? Comment construire artificiellement de tels "objets"? = cascades multiplicatives et processus aléatoires... (à D, puis peut-être 2D, puis 3D...) Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 23

24 Cascades multiplicatives binomiales (Yaglom 966, Mandelbrot 974, inspirés par Richardson 922) (idée = construire ε puis v) structure arborescente signal irrégulier.5 W W.5 2 W W W W = 3 2 Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 24

25 dissipation cascade binomiale.3 Turbulence de Jet, R λ 58.5 M = M M.2.2 Dissipation temps(s). Pb : rapport 2 privilégié, pas stationnaire... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 25

26 De l auto-similarité aux Cascades Infiniment Divisibles δ τ X(t) = X(t + τ) X(t) Auto-similarité δ τ X q = X() q τ qh ex : f.b.m., Linear Fractional Stable Motion... Formalisme Multifractal Cascades Inf. Divisibles δ τ X q = c q τ ζ(q) ex : casc. binomiales, casc. aléa. ondelette, multifractal random walk (MRW)... δ τ X q = c q exp[ H(q) n(τ)] H(q) ζ(q) si n(τ) = log τ, (multifractal) a priori n(τ) log τ. ex :...??? Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 26

27 Des cascades binomiales aux cascades infiniment divisibles binomiale Poisson composée Infiniment Divisible r= ( k2 j, 2 j ) r (t i, r i ) C r (t) Q r (t) = j t Λ j (t), r = 2 j seulement Q r (t) t (t i,r i ) W i t i : uniforme stationnaire r i : /r 2 scaling r Q r (t) exp M(C r (t)) CASCADE MULT. CONTINUE Schmitt & Marsan 2 Mandelbrot 974 Barral & Mandelbrot 22 Muzy & Bacry 22 Ch. & Riedi & Abry 23 t Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 27

28 Bruit log-infiniment divisible (IDC noise) M(C r (t)) : fct. génér. moments = exp [ m(c r ) ρ(q)] (inv. éch. = r ρ(q) ) Q r (t) = exp [M(C r(t))] IE[exp M(C r (t))] r C r (t) t C r (s) C r (t) r - r s t = Q r (t) est stationnaire ϕ(q) = ρ(q) qρ() = Q q r = exp [ ϕ(q)m(c r )] Cas part. : Q q r = r ϕ(q) Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 28

29 Mouvement log-infiniment divisible (IDC motion) Pb : Q r dégénère lorsque r... Solution : A r (t) = Q r 7 t Q r (s) ds = IEA r (t) = t A r 9 x Q r (t) = A r (t) t t A(t) = lim r A r (t)... est à accroissements stationnaires et δ τ A q τ q exp [ ϕ(q)m(c τ )] Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 29

30 Cascades infiniment divisibles et dissipation dissipation moyennée localement ε τ (t) = [en pratique : ε (r) τ (t) = τ t+τ t Q r (t)dt] Scaling des moments lois d échelle Inf. Div. [A(t + τ) A(t)] τ ε q τ exp [ ϕ(q) m(c τ ) ] exp [ H(q) n(τ)] Cas part. : ε q τ r τ (q) = un bon modèle! Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 3

31 Et pour la vitesse? modèle de base = mouvement Brownien fractionnaire B H B H est à accroissements stationnaires t R +, B H (t) q = t qh B H () q, H = /3 Kolmogorov 94 B H (t) t Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 3

32 Marche aléatoire infiniment divisible (IDC random walk) mouvement Brownien fractionnaire B H, A(t) une mesure Log. Inf. Div., Rappel V H (t) = B H (A(t)), t R + δ τ A q τ q exp [ ϕ(q)m(c τ )] t R +, B H (t) q = t qh B H () q, et V H est à accroissements stationnaires, fluctuations positives/négatives, δ τ V H q τ qh exp [ ϕ(qh)m(c τ )] Cas part. : δ τ V H q τ qh+ϕ(qh) Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 32

33 En résumé... bruit mouvement marche (densité) (mesure) aléatoire 7 9 x Q r (t) Qr = A r (t) B H (A) = V r (t) t t IE[Q q r ] IEδ τ A q IE δ τ V H q ℵ ℵ exp[ ϕ(q)m(c r )] τ q exp [ ϕ(q)m(c τ )] τ qh exp [ ϕ(qh)m(c τ )] t temps continu (t R + ), accroissements stationnaires, invariance d échelle continue, ϕ(q) d une distribution Inf. Div., procédures Matlab Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 33

34 Retour à la turbulence "réelle" marche aléatoire Log-Inf. Div. V H versus vitesse v SIMULATION (IDC) experiment simulation slope 5/3 6 5 experiment theory simulation V sim t EXPERIMENT (MODANE) log (PSD) 5/3 ζ(q)/ζ() V exp t log (frequency) q V H versus Modane Spectres Exposants ζ(q) = signal artificiel inf. div. = bon modèle Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 34

35 Perspectives : passage à 2D? 3D? v v x (x, y, z) v y (x, y, z) v z (x, y, z) + scaling Problème très difficile... ε(x, y, z) + scaling Problème plus accessible! Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 35

36 Cascades infiniment divisibles : vers une physique statistique de la turbulence? Simulation directe de la turbulence (Navier-Stokes) Earth Simulator - Yokokawa et al. Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 36

37 2 D Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 37

38 3 D Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 38

39 3 D Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 39

40 Vers des applications ailleurs... ex : radiographie osseuse Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 4

41 Conclusion & Perspectives Pb difficile et ancien Enjeux économiques, industriels, écologiques, scientifiques,... Recherche fondamentale en turbulence (théoriciens, expérimentateurs, numériciens, mathématiciens, "traiteurs de signaux" (!)) Approche statistique prometteuse simulation de variables aléatoires Retombées dans d autres domaines : en "oubliant" Navier-Stokes? biologie, finance, médecine, sport... Séminaire des élèves ENS Paris - 27 avril 24 4

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