Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,"

Transcription

1 Non-linéarité

2 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

3 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

4 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions affines. Donc de non-linéarité élevée

5 Définition Définition 1 On appelle non-linéarité d une fonction booléenne f à m variables et on le note nl(f ) la distance qui la sépare de l ensemble des fonctions affines à m variables: où d est la distance de Hamming. nl(f ) = min h affine d(f,h) Proposition 1 Soit f une fonction booléenne à m variables. Sa non-linéarité est égale à nl(f ) = m 1 1 sup v V m ( 1) x V m = m 1 1 sup v V m χ f (v) (f (x)+v x)

6 On veut montrer min h affine d(f,h) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Preuve. La distance de f à une fonction affine h est égale à d(f,h) = d(f + h,0) = wt(f + h) si h(u) = u v + ɛ. = m 1 1 χ f +h(0) = m 1 1 ( 1) u = m 1 1 ( 1) u = m 1 ( 1) ɛ1 ( 1) u (f +h)(u) (f (u)+v u+ɛ) (f (u)+v u)

7 On a nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Proposition On a nl(f ) m 1 1 m/ Démonstration D après l égalité de Parseval ( χ f (u)) = m u F m la moyenne des ( χ f (u)) est de m. Le maximum des χ f (v) dépasse leur moyenne. Donc Et donc sup χ f (v) m/. v V m nl(f ) m 1 1 m/

8 Importance de la non-linéarité dans un contexte cryptographique Nous dirons qu il y a une corrélation entre une fonction booléenne f et une fonction linéaire l si d(f,l) est différente de m 1. N importe quelle fonction booléenne a une corrélation avec les fonctions linéaires car on vient de montrer que: Mais cette corrélation devrait être petite. maxd(f,l) m 1 m/ 1 L existence d approximations affines des fonctions booléennes impliquées dans un cryptosystème permettent dans divers situations (chiffrement par bloc, par flot) d établir des attaques sur ce système.

9 Système de chiffrement par blocs Nous avons vu qu une attaque possible sur un tel système est la cryptanalyse linéaire. La résistance face à cette attaque est d autant meilleure que la fonction booléenne vectorielle S : F m Fm Λ S = max α max β 0 possède un Λ S petit, où { # X F m α X + β S(X ) = 0 } m 1 ceci signifie que si S s écrit (S 1,...,S n ), où les S i sont des fonctions booléennes F m F, alors S présente la meilleure résistance à la cryptanalyse linéaire si et seulement si pour toutes les combinaisons linéaires f des fonctions S i, la fonction f (X ) est éloignée de la fonction affine α X i.e. si et seulement si toutes les fonctions f présentent la meilleure non-linéarité possible.

10 Système de chiffrement à flot Plaçons-nous maintenant dans le contexte d un système de chiffrement à flot. L importance du fait qu une fonction de combinaison utilisée dans un tel système soit hautement non linéaire est primordiale. Théorème 1 Soit f une fonction booléenne à m variables, utilisée pour combiner m registres à décalage à rétroaction linéaire. Supposons que f est résiliente d ordre t. Alors la fonction booléenne g dépendant de t + 1 variables qui se rapproche le plus de f est une fonction affine de la forme ɛ + i T où ɛ est un élément de F et où T désigne l ensemble des indices des variables dont dépend g, autrement dit les numéros des registres attaqués. x i La fonction g maximise Pr [f (X 1,..., X m ) = g (X i1,..., X it+1 )] où T = {i 1,...,i t+1 }

11 Preuve : Soit g une fonction booléenne dépendant de t + 1 variables x i, i T. La démonstration du théorème nécessite le résultat suivant : Lemme 1 Soient f une fonction booléenne à m variables, T un sous-ensemble de {1,...,m} de taille k, et y F k. Notons p(y,t ) la probabilité conditionnelle Pr [f (X ) = 1 i T, X i = y i ] Une fonction booléenne g est la plus proche de f, parmi toutes les fonctions dépendant des variables y i, i T, si et seulement si on a pour tout y F k : g (y) = 1 si p(y,t ) > 1 g (y) = 0 si p(y,t ) < 1 Si p(y,t ) = 1, alors on peut choisir indifféremment g (y) = 0 ou 1.

12 Démonstration du lemme : pour tout vecteur x de F m, on note x = (y, z), où y est le vecteur de Fk formé par les composantes x i, i T. Considérons une fonction g quelconque, qui dépend des k variables x i, i T. On a k Pr [f (Y, Z ) = g (Y )] = Pr [f (Y, Z ) = 1 Y = y] = d(f, g ) = m m k Ainsi, on a y g 1 ({1}) + y g 1 ({0}) p(y,t ) + Pr [f (Y, Z ) = 0 Y = y] y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) (1 p(y,t )) p(y,t ) + (1 p(y,t ))

13 Ainsi, on a d(f, g ) = m m k p(y,t ) + (1 p(y,t )) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) et par conséquent cette distance est minimale si et seulement si pour p(y,t ) > 1 p(y,t ), on a y g 1 ({1}) pour p(y,t ) < 1 p(y,t ), on a y g 1 ({0}). c est-à-dire si pour p(y,t ) > 1, on a y g 1 ({1}), c est-à-dire g(y)=1 pour p(y,t ) < 1, on a y g 1 ({0}), c est-à-dire g(y)=0. ce qui clôt la démonstration du lemme.

14 Revenons au théorème : soit g une fonction à t +1 variables, si g est la fonction la plus proche de f, elle vérifie (par le lemme) g (x) = 1 si p(x,t ) > 1/ g (x) = 0 si p(x,t ) < 1/ Lorsque p(x,t ) = 1, on choisira de prendre g (x) = wt(x) (mod. ). Soit T un sous-ensemble de T de taille t. On note j l unique élément de T T. Comme f est résiliente d ordre t, on a pour tout x F t : 1 = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i ] = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 0] pr [X j = 0] +Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 1] pr [X j = 1] = 1 [p((x,0),t ) + p((x,1),t )]

15 Ainsi, pour tout u, v F t+1 et par le lemme précédent on a tels que d(u, v) = 1, on a p(u,t ) + p(v,t ) = 1 dans le cas où p(u,t ) 1 : g (u) + g (v) = 1, dans le cas où p(u,t ) = 1, on a p(v,t ) = 1 et donc, comme d(u, v) = 1: g (u) + g (v) wt(u) + wt(v) 1 (mod. ). Comme pour tous les u, v F t+1 on en déduit tels que d(u, v) = 1 on a g (u) + g (v) = 1, g (x) = g (0) + x i, i T

16 Ainsi, puisque la meilleure approximation de f par une fonction dépendant de t +1 variables est affine, l attaque par corrélation sur t +1 registres sera d autant moins efficace que la fonction f sera loin des fonctions affines, i.e. que la fonction f aura une grande non-linéarité. Les fonctions hautement non linéaires sont donc primordiales à la fois dans les systèmes de chiffrement itératifs par blocs, mais aussi dans les systèmes de chiffrement à flot.

17 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1

18 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1 La plupart des f 0 m 1 m 1 m log m 1 m 1

19 Caractérisations des fonctions hautement non linéaires Rappelons que nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) m 1 1 m/ Les fonctions qui ont la plus haute non-linéarité vérifient χ f (u) = m/. Définition Les fonctions booléennes f à m variables vérifiant χ f (u) = m/ pour tout u F m sont appelées fonctions courbes.

20 Proposition 4 Soit f une fonction booléenne courbe à m variables. existe une fonction booléenne f : F m F telle que pour tout u F m Alors il on ait χ f (u) = m/ χ f (u) La fonction f est appelée la duale de f, et est également courbe. On a et χ f (u) = ±1 χ f = m/ χ f (u) = m/ χ f (u)

21 Degré Proposition 5 Les fonctions booléennes courbes n existent que dans le cas où le nombre de variables m est pair. De plus, si f est une telle fonction, on a si m 4, alors deg(f ) m/; si m =, alors deg(f ) = 1. Cela dépend d un lemme déjà vu: Lemme Si E est un sous-espace de F m f (v) = E f (u) E E, et f un fonction sur E, on a

22 Soit x u 1 Alors 1... xu m m un monôme à coefficient non nul de f et u = (u 1,...,u m ). 1 = f o (u) = f (v) = f (v) v u v E u où E u est un espace vectoriel de dimension wt(u). On a 1 = f (v) wt(u) m f (w) v E u w E u wt(u) 1 wt(u) m 1 w E u χ f (w) (mod. ) Puisque la fonction est courbe, soit f sa duale. Cela donne 1 wt(u) 1 wt(u) m 1 χ f (w) (mod. ) D où, en exprimant en fonction de f : 1 wt(u) 1 m 1 + wt(u) m w E u w E u f (w) (mod. ) Donc wt(u) m pour que cela soit vrai.

23 Proposition 6 Soit f une fonction booléenne à m variables. Alors f est courbe si et seulement si la fonction D a F m F x f (x + a) + f (x) est équilibrée pour tout vecteur non nul a de F m

24 Démonstration x ( 1) D a(f )(x) = x = x ( 1) f (x) ( 1) f (x+a) χ f (x)χ f (x + a) = (χ f χ f )(a) D autre part χ f χ f = ( χ f ). La fonction f est courbe si et seulement si ( χ f ) est la fonction constante égale à m. C est la transformée de Fourier de la fonction caractéristique de 0, à une constante près. Donc f est courbe si et seulement si x( 1) D a(f )(x) est nulle pour a 0, c est-à-dire si D a (f ) est équilibrée.

25 Classes de fonctions courbes. Si f est une fonction courbe à m variables, que φ est une permutation affine sur F m, et que h est une fonction booléenne affine sur Fm, alors la fonction f φ+h est courbe. On définit ainsi une notion de complétude pour les classes de fonctions courbes. Définition 3 Une classe C de fonctions courbes est dite complète si elle est stable par les transformations de la forme où φ est une permutation affine sur F m f f φ + h, et h une fonction booléenne affine sur F m. Si la classe C n est pas complète, on appelle complétée de C la classe obtenue en complétant C par l ensemble des fonctions obtenues à partir des fonctions de C a l aide de ce type de transformation.

26 Proposition 7 Soit f une fonction booléenne quadratique à m variables. Si f est courbe, alors elle est de la forme (ou peut être amenée par une des transformations exposées dans la définition précédente à une fonction de la forme): x 1 x m/+1 + x x m/+ + + x m/ x m Mais si on connaît bien les fonctions courbes quadratiques, on ne sait pas grand chose sur la caractérisation des fonctions courbes cubiques. Et de maniére générale, on ne connaît pas le nombre total de fonctions courbes.

27 Fonction courbes à 8 variables Un message du 31 décembre 007 de Philippe Langevin et de Gregor Leander: we finished the computation of the number of bent functions in 8 variables. We found bent functions that is approximatively Ceci est à comparer au nombre total de fonctions booléennes de degré au plus 4, en 8 variables: 1+ ( 8 1 ) +( 8 ) +( 8 3 ) +( 8 4 ) = 163

28 Dans la suite, f désignera toujours une fonction booléenne courbe à m variables. Considérons l espace vectoriel F m comme le produit direct F m/ F m/ s écrira donc comme un couple (u, v), avec u et v des élé- Un vecteur de F m ments de F m/.

29 Classe de Maiorana-MacFarland, Cette classe de fonctions booléennes courbes a été tout d abord étudiée par J.F. Dillon dans sa thèse. Définition 4 La classe M est l ensemble des fonctions booléennes courbes f qui s écrivent f (u, v) = u π(v) + h(v) où π est une permutation de F m/, u π(v) désigne le produit scalaire standard de u et de π(v), et h est une fonction booléenne à m/ variables.

30 On a χ f (a,b) = = = = (u,v) F m/ v F m/ v F m/ π(v)=a ( 1) a u ( 1) b v χ f (u, v) F m/ ( 1) b v ( 1) a u ( 1) (u π(v)+h(v)) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) m/ = ( 1) b π 1 (a)+h(π 1 (a)) m/ ( 1) u (a+π(v))

31 Classe D: cette classe a également été introduite par C. Carlet. Définition 5 La classe D est constituée des fonctions f de la forme f (u, v) = u π(v) + 1 E1 (u)1 E (v) où E 1 et E sont des sous-espaces vectoriels de F m/ F m/ tels que π(e ) = E 1., π une permutation de

32 Compromis Les critères cryptographiques sont incompatibles: Non linéarité maximale: χ f (u) = m/ Equilibre: χ f (0) = 0 Résilience d ordre t: χ f (u) = 0 pour wt(u) t De même pour le degré Degré maximal: m Degré d une fonction de non linéarité maximale: m/ Degré d une fonction résiliente d ordre t: m t 1 On essaye d obtenir des compromis.

33 Proposition 8 (Dobbertin) Soit f une fonction courbe normale sur F m/ c est-à-dire qui satisfasse l égalité f (x,0) = 0 pour tout x F m/ fonction équilibrée sur F m/. Alors la fonction est équilibrée et on a g (x, y) = { f (x, y) si y 0 h(x) sinon nl(g ) = m 1 m/ + nl(h) F m/,. Soit h une Démonstration On a χ g (a,b) = { χ f (a,b) + χ h (a) si a 0 0 sinon

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D

ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Algorithmes de chiffrement symétrique par bloc (DES et AES) Pierre-Alain Fouque Equipe de Cryptographie Ecole normale supérieure

Algorithmes de chiffrement symétrique par bloc (DES et AES) Pierre-Alain Fouque Equipe de Cryptographie Ecole normale supérieure Algorithmes de chiffrement symétrique par bloc (DES et AES) Pierre-Alain Fouque Equipe de Cryptographie Ecole normale supérieure 1 Chiffrement symétrique Définition : Un algorithme de chiffrement symétrique

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours

GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours linéaires GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Notes de cours Département de génie électrique et de génie informatique Université Laval jean-yves.chouinard@gel.ulaval.ca 12 février 2013

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT 1. Introduction La multiplication est une opération élémentaire qu on utilise évidemment très souvent, et la rapidité des nombreux algorithmes qui l utilisent dépend

Plus en détail

Sur l algorithme RSA

Sur l algorithme RSA Sur l algorithme RSA Le RSA a été inventé par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C est l exemple le plus courant de cryptographie asymétrique, toujours considéré comme sûr, avec la technologie actuelle,

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Chiffrements symétriques

Chiffrements symétriques November 20, 2008 Plan 1 Systèmes de chiffrements symétriques modernes Plan Systèmes de chiffrements symétriques modernes 1 Systèmes de chiffrements symétriques modernes s Un chiffrement par flot considère

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES B. MARCHADIER Dépendance et indépendance de deux aléas numériques images Mathématiques et sciences humaines, tome 25 (1969), p. 2534.

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Systèmes linéaires Bernard Ycart Si vous savez déjà résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, vous n apprendrez pas grand chose de neuf dans

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Adrien REISNER 1 Abstract. We here study a couple of algebraic and analytic properties of certain binary matrices in the spaces M n(r). In particular,

Plus en détail

TP Sage. Yannick Renard.

TP Sage. Yannick Renard. TP Sage. Yannick Renard. 1. Introduction. Le logiciel Software for Algebra and Geometry Experimentation (Sage) est un logiciel de mathématiques qui rassemble de nombreux programmes et bibliothèques libres

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES

Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES Représentation des graphes Représentation en mémoire : matrice d incidence / Matrice d incidence Soit G = (, E) graphe simple non orienté avec n = et m =

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Plan. Codes Correcteurs d Erreurs Les codes cycliques. Division Euclidienne. Définition. Exercice. Marc Chaumont. Exercice.

Plan. Codes Correcteurs d Erreurs Les codes cycliques. Division Euclidienne. Définition. Exercice. Marc Chaumont. Exercice. Plan Codes Correcteurs d Erreurs Les codes cycliques November 12, 2008 1 2 Définition Division Euclidienne Un polynôme à coefficients dans F 2 est une fonction de la forme P(X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

P (X) = (X a) 2 T (X)

P (X) = (X a) 2 T (X) Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel

Plus en détail

Estimation consistante des paramètres d un. modèle non linéaire pour des données. fonctionnelles discrétisées aléatoirement

Estimation consistante des paramètres d un. modèle non linéaire pour des données. fonctionnelles discrétisées aléatoirement Estimation consistante des paramètres d un modèle non linéaire pour des données fonctionnelles discrétisées aléatoirement Consistent estimation of parameters in a nonlinear model for functional data with

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

1998.02 Composition d un portefeuille optimal. Dinh Cung Dang

1998.02 Composition d un portefeuille optimal. Dinh Cung Dang 199802 Composition d un portefeuille optimal Dinh Cung Dang Docteur en gestion de l IAE de Paris Ingénieur Conseil Résumé : Dans ce travail, le risque est défini comme étant la probabilité de réaliser

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster.

Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster. Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster. Henri Lombardi et Claude Quitté. Notes de cours. Juillet 2008, avec quelques changements de détails en 2012,

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION NON LINÉAIRE DÉTERMINISTE Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS Table des matières 1 Introduction

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Algorithmes Probabilistes COMPLEX

Algorithmes Probabilistes COMPLEX Algorithmes Probabilistes COMPLEX Ludovic Perret Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) ludovic.perret@lip6.fr Introduction Algorithme Il retourne toujours une solution correcte, et pour une même

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail