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1 Non-linéarité

2 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

3 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

4 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions affines. Donc de non-linéarité élevée

5 Définition Définition 1 On appelle non-linéarité d une fonction booléenne f à m variables et on le note nl(f ) la distance qui la sépare de l ensemble des fonctions affines à m variables: où d est la distance de Hamming. nl(f ) = min h affine d(f,h) Proposition 1 Soit f une fonction booléenne à m variables. Sa non-linéarité est égale à nl(f ) = m 1 1 sup v V m ( 1) x V m = m 1 1 sup v V m χ f (v) (f (x)+v x)

6 On veut montrer min h affine d(f,h) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Preuve. La distance de f à une fonction affine h est égale à d(f,h) = d(f + h,0) = wt(f + h) si h(u) = u v + ɛ. = m 1 1 χ f +h(0) = m 1 1 ( 1) u = m 1 1 ( 1) u = m 1 ( 1) ɛ1 ( 1) u (f +h)(u) (f (u)+v u+ɛ) (f (u)+v u)

7 On a nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Proposition On a nl(f ) m 1 1 m/ Démonstration D après l égalité de Parseval ( χ f (u)) = m u F m la moyenne des ( χ f (u)) est de m. Le maximum des χ f (v) dépasse leur moyenne. Donc Et donc sup χ f (v) m/. v V m nl(f ) m 1 1 m/

8 Importance de la non-linéarité dans un contexte cryptographique Nous dirons qu il y a une corrélation entre une fonction booléenne f et une fonction linéaire l si d(f,l) est différente de m 1. N importe quelle fonction booléenne a une corrélation avec les fonctions linéaires car on vient de montrer que: Mais cette corrélation devrait être petite. maxd(f,l) m 1 m/ 1 L existence d approximations affines des fonctions booléennes impliquées dans un cryptosystème permettent dans divers situations (chiffrement par bloc, par flot) d établir des attaques sur ce système.

9 Système de chiffrement par blocs Nous avons vu qu une attaque possible sur un tel système est la cryptanalyse linéaire. La résistance face à cette attaque est d autant meilleure que la fonction booléenne vectorielle S : F m Fm Λ S = max α max β 0 possède un Λ S petit, où { # X F m α X + β S(X ) = 0 } m 1 ceci signifie que si S s écrit (S 1,...,S n ), où les S i sont des fonctions booléennes F m F, alors S présente la meilleure résistance à la cryptanalyse linéaire si et seulement si pour toutes les combinaisons linéaires f des fonctions S i, la fonction f (X ) est éloignée de la fonction affine α X i.e. si et seulement si toutes les fonctions f présentent la meilleure non-linéarité possible.

10 Système de chiffrement à flot Plaçons-nous maintenant dans le contexte d un système de chiffrement à flot. L importance du fait qu une fonction de combinaison utilisée dans un tel système soit hautement non linéaire est primordiale. Théorème 1 Soit f une fonction booléenne à m variables, utilisée pour combiner m registres à décalage à rétroaction linéaire. Supposons que f est résiliente d ordre t. Alors la fonction booléenne g dépendant de t + 1 variables qui se rapproche le plus de f est une fonction affine de la forme ɛ + i T où ɛ est un élément de F et où T désigne l ensemble des indices des variables dont dépend g, autrement dit les numéros des registres attaqués. x i La fonction g maximise Pr [f (X 1,..., X m ) = g (X i1,..., X it+1 )] où T = {i 1,...,i t+1 }

11 Preuve : Soit g une fonction booléenne dépendant de t + 1 variables x i, i T. La démonstration du théorème nécessite le résultat suivant : Lemme 1 Soient f une fonction booléenne à m variables, T un sous-ensemble de {1,...,m} de taille k, et y F k. Notons p(y,t ) la probabilité conditionnelle Pr [f (X ) = 1 i T, X i = y i ] Une fonction booléenne g est la plus proche de f, parmi toutes les fonctions dépendant des variables y i, i T, si et seulement si on a pour tout y F k : g (y) = 1 si p(y,t ) > 1 g (y) = 0 si p(y,t ) < 1 Si p(y,t ) = 1, alors on peut choisir indifféremment g (y) = 0 ou 1.

12 Démonstration du lemme : pour tout vecteur x de F m, on note x = (y, z), où y est le vecteur de Fk formé par les composantes x i, i T. Considérons une fonction g quelconque, qui dépend des k variables x i, i T. On a k Pr [f (Y, Z ) = g (Y )] = Pr [f (Y, Z ) = 1 Y = y] = d(f, g ) = m m k Ainsi, on a y g 1 ({1}) + y g 1 ({0}) p(y,t ) + Pr [f (Y, Z ) = 0 Y = y] y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) (1 p(y,t )) p(y,t ) + (1 p(y,t ))

13 Ainsi, on a d(f, g ) = m m k p(y,t ) + (1 p(y,t )) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) et par conséquent cette distance est minimale si et seulement si pour p(y,t ) > 1 p(y,t ), on a y g 1 ({1}) pour p(y,t ) < 1 p(y,t ), on a y g 1 ({0}). c est-à-dire si pour p(y,t ) > 1, on a y g 1 ({1}), c est-à-dire g(y)=1 pour p(y,t ) < 1, on a y g 1 ({0}), c est-à-dire g(y)=0. ce qui clôt la démonstration du lemme.

14 Revenons au théorème : soit g une fonction à t +1 variables, si g est la fonction la plus proche de f, elle vérifie (par le lemme) g (x) = 1 si p(x,t ) > 1/ g (x) = 0 si p(x,t ) < 1/ Lorsque p(x,t ) = 1, on choisira de prendre g (x) = wt(x) (mod. ). Soit T un sous-ensemble de T de taille t. On note j l unique élément de T T. Comme f est résiliente d ordre t, on a pour tout x F t : 1 = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i ] = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 0] pr [X j = 0] +Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 1] pr [X j = 1] = 1 [p((x,0),t ) + p((x,1),t )]

15 Ainsi, pour tout u, v F t+1 et par le lemme précédent on a tels que d(u, v) = 1, on a p(u,t ) + p(v,t ) = 1 dans le cas où p(u,t ) 1 : g (u) + g (v) = 1, dans le cas où p(u,t ) = 1, on a p(v,t ) = 1 et donc, comme d(u, v) = 1: g (u) + g (v) wt(u) + wt(v) 1 (mod. ). Comme pour tous les u, v F t+1 on en déduit tels que d(u, v) = 1 on a g (u) + g (v) = 1, g (x) = g (0) + x i, i T

16 Ainsi, puisque la meilleure approximation de f par une fonction dépendant de t +1 variables est affine, l attaque par corrélation sur t +1 registres sera d autant moins efficace que la fonction f sera loin des fonctions affines, i.e. que la fonction f aura une grande non-linéarité. Les fonctions hautement non linéaires sont donc primordiales à la fois dans les systèmes de chiffrement itératifs par blocs, mais aussi dans les systèmes de chiffrement à flot.

17 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1

18 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1 La plupart des f 0 m 1 m 1 m log m 1 m 1

19 Caractérisations des fonctions hautement non linéaires Rappelons que nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) m 1 1 m/ Les fonctions qui ont la plus haute non-linéarité vérifient χ f (u) = m/. Définition Les fonctions booléennes f à m variables vérifiant χ f (u) = m/ pour tout u F m sont appelées fonctions courbes.

20 Proposition 4 Soit f une fonction booléenne courbe à m variables. existe une fonction booléenne f : F m F telle que pour tout u F m Alors il on ait χ f (u) = m/ χ f (u) La fonction f est appelée la duale de f, et est également courbe. On a et χ f (u) = ±1 χ f = m/ χ f (u) = m/ χ f (u)

21 Degré Proposition 5 Les fonctions booléennes courbes n existent que dans le cas où le nombre de variables m est pair. De plus, si f est une telle fonction, on a si m 4, alors deg(f ) m/; si m =, alors deg(f ) = 1. Cela dépend d un lemme déjà vu: Lemme Si E est un sous-espace de F m f (v) = E f (u) E E, et f un fonction sur E, on a

22 Soit x u 1 Alors 1... xu m m un monôme à coefficient non nul de f et u = (u 1,...,u m ). 1 = f o (u) = f (v) = f (v) v u v E u où E u est un espace vectoriel de dimension wt(u). On a 1 = f (v) wt(u) m f (w) v E u w E u wt(u) 1 wt(u) m 1 w E u χ f (w) (mod. ) Puisque la fonction est courbe, soit f sa duale. Cela donne 1 wt(u) 1 wt(u) m 1 χ f (w) (mod. ) D où, en exprimant en fonction de f : 1 wt(u) 1 m 1 + wt(u) m w E u w E u f (w) (mod. ) Donc wt(u) m pour que cela soit vrai.

23 Proposition 6 Soit f une fonction booléenne à m variables. Alors f est courbe si et seulement si la fonction D a F m F x f (x + a) + f (x) est équilibrée pour tout vecteur non nul a de F m

24 Démonstration x ( 1) D a(f )(x) = x = x ( 1) f (x) ( 1) f (x+a) χ f (x)χ f (x + a) = (χ f χ f )(a) D autre part χ f χ f = ( χ f ). La fonction f est courbe si et seulement si ( χ f ) est la fonction constante égale à m. C est la transformée de Fourier de la fonction caractéristique de 0, à une constante près. Donc f est courbe si et seulement si x( 1) D a(f )(x) est nulle pour a 0, c est-à-dire si D a (f ) est équilibrée.

25 Classes de fonctions courbes. Si f est une fonction courbe à m variables, que φ est une permutation affine sur F m, et que h est une fonction booléenne affine sur Fm, alors la fonction f φ+h est courbe. On définit ainsi une notion de complétude pour les classes de fonctions courbes. Définition 3 Une classe C de fonctions courbes est dite complète si elle est stable par les transformations de la forme où φ est une permutation affine sur F m f f φ + h, et h une fonction booléenne affine sur F m. Si la classe C n est pas complète, on appelle complétée de C la classe obtenue en complétant C par l ensemble des fonctions obtenues à partir des fonctions de C a l aide de ce type de transformation.

26 Proposition 7 Soit f une fonction booléenne quadratique à m variables. Si f est courbe, alors elle est de la forme (ou peut être amenée par une des transformations exposées dans la définition précédente à une fonction de la forme): x 1 x m/+1 + x x m/+ + + x m/ x m Mais si on connaît bien les fonctions courbes quadratiques, on ne sait pas grand chose sur la caractérisation des fonctions courbes cubiques. Et de maniére générale, on ne connaît pas le nombre total de fonctions courbes.

27 Fonction courbes à 8 variables Un message du 31 décembre 007 de Philippe Langevin et de Gregor Leander: we finished the computation of the number of bent functions in 8 variables. We found bent functions that is approximatively Ceci est à comparer au nombre total de fonctions booléennes de degré au plus 4, en 8 variables: 1+ ( 8 1 ) +( 8 ) +( 8 3 ) +( 8 4 ) = 163

28 Dans la suite, f désignera toujours une fonction booléenne courbe à m variables. Considérons l espace vectoriel F m comme le produit direct F m/ F m/ s écrira donc comme un couple (u, v), avec u et v des élé- Un vecteur de F m ments de F m/.

29 Classe de Maiorana-MacFarland, Cette classe de fonctions booléennes courbes a été tout d abord étudiée par J.F. Dillon dans sa thèse. Définition 4 La classe M est l ensemble des fonctions booléennes courbes f qui s écrivent f (u, v) = u π(v) + h(v) où π est une permutation de F m/, u π(v) désigne le produit scalaire standard de u et de π(v), et h est une fonction booléenne à m/ variables.

30 On a χ f (a,b) = = = = (u,v) F m/ v F m/ v F m/ π(v)=a ( 1) a u ( 1) b v χ f (u, v) F m/ ( 1) b v ( 1) a u ( 1) (u π(v)+h(v)) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) m/ = ( 1) b π 1 (a)+h(π 1 (a)) m/ ( 1) u (a+π(v))

31 Classe D: cette classe a également été introduite par C. Carlet. Définition 5 La classe D est constituée des fonctions f de la forme f (u, v) = u π(v) + 1 E1 (u)1 E (v) où E 1 et E sont des sous-espaces vectoriels de F m/ F m/ tels que π(e ) = E 1., π une permutation de

32 Compromis Les critères cryptographiques sont incompatibles: Non linéarité maximale: χ f (u) = m/ Equilibre: χ f (0) = 0 Résilience d ordre t: χ f (u) = 0 pour wt(u) t De même pour le degré Degré maximal: m Degré d une fonction de non linéarité maximale: m/ Degré d une fonction résiliente d ordre t: m t 1 On essaye d obtenir des compromis.

33 Proposition 8 (Dobbertin) Soit f une fonction courbe normale sur F m/ c est-à-dire qui satisfasse l égalité f (x,0) = 0 pour tout x F m/ fonction équilibrée sur F m/. Alors la fonction est équilibrée et on a g (x, y) = { f (x, y) si y 0 h(x) sinon nl(g ) = m 1 m/ + nl(h) F m/,. Soit h une Démonstration On a χ g (a,b) = { χ f (a,b) + χ h (a) si a 0 0 sinon

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