TD n 6 - Régimes transitoires des circuits du second ordre

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1 TD n 6 - Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 1 : Chute d'une masse reliée à un ressort Une masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Elle est posée sur une planche, de telle sorte que la longueur l du ressort soit égale à l 0. À t = 0, on retire la planche. 1 Établir l'équation diérentielle vériée par l'altitude de la masse. 2 La résoudre. 3 Vérier la conservation de l'énergie mécanique. 1) d2 l dt + 2 ω2 0l = ω0 2 l eq E m = 1mg(l 2 eq l 0 ). avec l eq = ( ) l 0 + mg k et ω 0 = k m ; 2) l = l eq (l eq l 0 ) cos(ω 0 t) ; 3) Exercice 2 : Circuit RLC parallèle Soit un circuit RLC comprenant une source de courant de c.e.m I, un condensateur de capacité C = 1, F, une bobine d'inductance L = 1, H, et un résistor de résistance R = 100 Ω en parallèle. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. 1 Déterminer l'évolution temporelle de la tension u(t), ainsi que des trois courants i L (t), i R (t) et i C (t). i L i R i C I L R C u 1) d2 i L dt +w 0 di L 2 Q dt +w2 0 i L (t) = w0 2 I avec ω 0 = 1 C LC etq = R L ; avec r 1,2 = ω 0 (1 ± 1 4Q 2Q 2 i L(t) = I [ 1 + r 1 r 2 r 1 exp (r 1 t) + r 2 r 2 r 1 exp Exercice 3 : Détermination des paramètres d'un ressort

2 On considère le portrait de phase d'un oscillateur amorti composé d'une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement uide λ v ( v étant la vitesse de la masse m et x est l'écart à la position d'équilibre). L'étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. 1 Déterminer la nature du régime de l'oscillateur. 2 Déterminer par lecture graphique : la valeur initiale de la position x 0 ; la valeur nale de la position x f ; la pseudo-période T a ; le décrément logarithmique. 3 En déduire le facteur de qualité Q de l'oscillateur, sa période pulsation propre ω 0, la raideur k du ressort et le coecient de frottement uide λ. Faire l'application numérique. 2) x 0 = 3 cm, x f = 0, T a = 315 ms, δ = 0, 69 ; 3) Q = 4, 6, w 0 = 2, rad.s 1, k = 2, N m 1 ; λ = 2, 2 N m 1 s. Exercice 4 : Mécanique : Détermination d'un coecient de viscosité Un sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Déplacée dans un liquide de coecient de viscosité η, la sphère est soumise à une force de frottement donnée par la formule de Stokes f = 6πηr v, où v est la vitesse de sphère. 1 Écrire l'équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire l'expression de la pseudo-période T. 2 Dans l'air, où les frottements sont négligeables, la période des oscillations est T 0. Déterminer le coef- cients de viscosité η du liquide en fonction de m, r, T et T 0. 1) ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω0x 2 = 0 avec 2ξω 0 = 6πηr m et ω 0 = 2m 1 1 3r T 2. T 2 0 k m, T = 2π ω 0 1 ξ 2 ; 2) η = 2/10 February 17, 2018

3 Exercice 5 : Couplage de deux circuits LC parallèle On considère les deux circuits oscillants (LC) identiques couplés par un condensateur de capacité C. Lorsqu'on ferme l'interrupteur à t = 0 il n'y a aucun courant dans le circuit. 1 Déterminer les équations diérentielles vériées par u 1 (t) et u 2 (t). 2 Établir les équations diérentielle vériées par u = u 1 + u 2 et v = u 2 u 1. 3 Quelles conditions initiales de charge des condensateurs permettent d'obtenir des tensions u 1 (t) et u 2 (t) non nulles? 1) d2 u 1 dt L(C + C ) u 1 = C d 2 u 2 C + C dt 2 et d2 v dt L(C + 2C ) = 0 ;. et d 2 u 2 dt L(C + C ) u 2 = C d 2 u 1 C + C 2 u dt 2 ; 2) d dt LC u = 0 3) Il faut que les condensateurs soient initialement chargés Exercice 6 : Mécanique : Suspension d'un véhicule On considère un véhicule de masse m. Le système de suspension de ce véhicule peut être représenté par l'association d'un ressort, de constante de raideur k et de longueur à vide l 0, et d'un amortisseur provoquant une force de frottement de type uide f = λ v. Toute autre source de frottements est négligée. 1 En supposant que le véhicule ne change pas d'altitude, déterminer la profondeur maximale h max d'un nid de poule à partir de laquelle les roues ne sont plus en contact avec le sol. On négligera le poids du système de suspension et des roues. 2 Établir l'équation diérentielle du mouvement vertical du véhicule lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre. 3/10 February 17, 2018

4 3 Déterminer le coecient λ pour que le régime d'amortissement soit critique. Pourquoi cherche-t-on à atteindre ce régime? 4 L'usure des amortisseurs due au temps entraîne une diminution du coecient λ d'un cinquième de sa valeur initiale : ( λ = λ 1 1 ) 5 Qualier le régime d'amortissement dans ce cas. 5 Un trou dans la chaussée écarte le ressort de sa position d'équilibre d'une longueur h 0. En considérant que la vitesse verticale est nulle en h 0, résoudre l'équation diérentielle régissant l'évolution du mouvement vertical du véhicule. Déterminer le temps nécessaire pour que les oscillations du véhicule deviennent négligeables. Conclusion. Applications numériques : m = 800 kg ; k = N.m 1 ; l 0 = 50 cm. On considérera les oscillations du véhicule négligeables lorsque leur amplitude maximale est divisée par un facteur e 10. 1) h max = mg 4k ; 2) d2 z dt + w 0 2 Q ) 1 5) z(t) = h 0 (cos(ωt) + sin(ωt) exp (4Q 2 1). dz dt + w2 0 z = 0 ; 3) λ critique = 2 km ; ( ), t τ P τ amortissement = 2, 0 s 4/10 February 17, 2018

5 Exercice 7 : Détermination de la masse du contre-poids d'un coucou Document 1 : Le coucou Une pendule à coucou, ou elliptiquement coucou, est une pendule dont la sonnerie imite le cri du coucou. Le concept d'horloge à coucou aurait été créé par Franz Ketterer (en), en 1738, dans le village de Schönwald, en Forêt-Noire (Allemagne). Le coucou a été choisi parce que son cri est facile à imiter par des moyens mécaniques simples. Le modèle traditionnel, déni vers 1850, se présente typiquement comme une horloge murale à balancier apparent, mue par deux contrepoids en forme de cône, avec un boîtier décoré en forme de chalet ou de tronc d'arbre. La sonnerie particulière combine une imitation du cri du coucou avec un carillon. À chaque heure ou demi-heure exactes, les portes s'ouvrent et un oiseau mécanique surgit de son nid et chante. Aujourd'hui, les coucous modernes, généralement plus simples et plus compacts, disposent de mouvements à quartz et de sonneries électroniques utilisant des sons synthétiques ou numérisés. D'après Wikipédia Document 2 : Principe de fonctionnement d'une horloge Le principe de fonctionnement de toute horloge mécanique repose sur la combinaison des trois fonctions suivantes : une source d'énergie qui permet d'entretenir le mouvement de rotation (ici un poids moteur) ; un régulateur : un pendule (ou balancier) donne une référence de temps précise et invariable ; le système d'échappement, couplé au pendule, permet de cadencer la libération de l'énergie ; un achage : l'information. des graduations et des aiguilles donnent accès à L'échappement est généralement à ancre comme sur cette animation. Pour de petits angles (< 10 ) d'oscillation du balancier, on approche de la condition d'isochronisme: la période du pendule ne dépend pratiquement que de sa longueur et de la gravité du lieu (mais pas de la masse du pendule ni des amplitudes d'oscillations). Par exemple, à Paris, un pendule d'un mètre a une période de deux secondes. En allongeant le pendule on augmente la période des oscillations. 5/10 February 17, 2018

6 D'après EduMédia et le conservatoire des arts et métiers Document 3 : Poids d'un coucou Un pendule à coucou possède deux poids : un pour actionner les aiguilles, l'autre la sortie du coucou. Le poids d'un coucou descend à vitesse constante, entretenant le mouvement de rotation. Arrivé en bas, il faut le remonter. La vitesse de descente est régulé par un pendule mécanique (assimilable à un pendule simple de 50 g. La diérence entre le coucou 4 jours et le coucou 1 jour c'est l'intervalle de temps entre deux remonter. le coucou 4 jours se remonte tous les 4 jours si on l'accroche à 1, 8 m du sol. Le coucou 1 jour se remonte tous les jours, pour la même hauteur de 1, 80 m. D'après la maison du coucou Document 4 : Régime libre du coucou En régime libre, on rappelle que la vitesse d'un pendule simple, solution d'une équation diérentielle linéaire d'ordre 2 dans l'approximation des petits angles, est de la forme : ( ) ( 2π v = V 0 cos T t + ϕ exp t ), T pseudo-période, τ temps caractéristique d'amortissement τ On donne ci-dessous l'évolution de la vitesse du pendule simple d'un coucou, en régime libre, c'est-àdire sans poids pour compenser les pertes d'énergie. 6/10 February 17, 2018

7 1 Déterminer la masse minimale du poids à suspendre au coucou, suspendu à 2 m du sol (chaine de 1, 80 m de long), an de le remonter une fois par jour. 1) m = 0, 25 kg. Exercice 8 : Un peu de python : solution d'une équation diérentielle linéaire d'ordre 2 Étant donnés une équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants et deux conditions initiales d 2 u(t) + ω 0 du(t) + ω dt u(t) = ω0 2 E Q dt (du(t) ) u(0) = U 0 = D 0 dt 1 donner la forme de la solution générale de cette équation diérentielle avec second membre ; t=0 2 déterminer l'expression des constantes d'intégration ; 3 écrire une fonction python qui, étant donnés en argument ω 0, Q, E, U 0, D 0, trace l'unique solution au problème de Cauchy ci-dessus et en retourne l'expression (sous forme d'une fonction). 7/10 February 17, 2018

8 Pour s'entraîner seul(e) - 6. Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 9 : Questions de cours 1 Donner la forme canonique d'une équation diérentielle linéaire d'ordre 2 à coecient constant. 2 Donner son polynôme caractéristique. 3 Donner la forme des solutions de cette équation diérentielle linéaireen fonction de la valeur du facteur de qualité. 4 Donner le temps caractéristique d'amortissement dans chacun des cas. 5 Dénir le décrément logarithmique et établir son expression. cf. cours Exercice 10 : Circuit RLC sans perte On considère le circuit ci-contre. t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0 et t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l'équation diérentielle vériée par u c (t) puis la résoudre. 3 Faire le bilan énergétique. Montrer que l'énergie dans le circuit est constante. 4 Déduire de la question précédente le portrait de phase de l'oscillateur associé à la variable q(t). 1) u c (0 ) = u c (0 + ) = E, i(0 ) = i(0 + ) = 0, u L (0 ) = 0, u L (0+) = E ; 2) d2 u c dt 2 +w2 0 u c = 0 ; 3) E = 1 2 CE2 = 1 2 LI2 m ; 4) Trajectoires de phase elliptiques. Exercice 11 : Prise en compte de la résistance

9 On considère le circuit ci-contre. L = 10 mh, C = 0, 1 µf t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0, t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l'équation diérentielle vériée par u c (t) en fonction du facteur de qualité et de la pulsation propre. 3 Déterminer la résistance critique R C, en déduire l'expression de u c (t) pour le régime critique et déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 4 On suppose R = 80 Ω. Le régime est pseudo-périodique, pourquoi? Déterminer la pseudo-pulsation, le coecient d'amortissement ξ, u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 5 On suppose R = 8000 Ω. Le régime est apériodique, pourquoi? Déterminer u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 6 Comparer suivant les valeurs de R les diérentes durées du régime transitoire. 1) u c (0 ) = u c (0 + ) = E, i(0 ) = i(0 + ) = 0, u L (0 ) = 0, u L (0+) = E ; 2) d2 u c dt 2 + 2ξω 0 du c dt + w2 0 u c = 0 ; 3) R C = 6, Ω, τ C = 0, 16 ms ; 4) Ω = 3, rad.s 1, ξ = 0, 13, 5τ P = 1, 3 ms ; 5) 5τ A = 3, 9 ms ;. Exercice 12 : Circuit RLC série On branche en série un générateur de f.e.m.e, un interrupteur, un résistor de résistance R et, une bobine d'inductance L et un condensateur C initialement déchargé. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. u R R i E L C u C u L 1 Déterminer l'évolution temporelle de la tension u c (t). 9/10 February 17, 2018

10 cf. cours Et bien-sûr, tous les exercices du chapitre 2 10/10 February 17, 2018