TROISIÈME LOI DE KÉPLER : VÉRIFICATIONS ET APPLICATIONS DANS LE SYSTÈME SOLAIRE

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1 Gabriel Scherer TS3 TROISIÈME LOI DE KÉPLER : VÉRIFICATIONS ET APPLICATIONS DANS LE SYSTÈME SOLAIRE TPP4.odt 1/6

2 Rappels : 1 U.A. = 1, m Constante de gravitation universelle G = 6, u.s.i. La Terre fait le tour du Soleil en 1 an = 365,25 jours. Quand les angles sont faibles, on peut confondre arc et corde. 1.Vérification de la troisième loi de Képler en utilisant les satellites naturels de Jupiter. 1.1Obtention des valeurs : période T er rayon de l orbite R. On utilise le logiciel Satel qui permet d étudier le mouvement des satellites de différentes planètes du système solaire. Après avoir lancé le logiciel et choisi une planète (ici Jupiter), on se place au voisinage du 15 novembre On détermine pour chaque satellite : sa période T, en seconde le diamètre apparent α du rayon de sa trajectoire en seconde d arc : pour cela on mesure α x et α y et on utilise la relation α = α 2 x α 2 y (on utilisera par la suite le logiciel Regressi. On rentre ces résultats dans le tableau suivant : Satellite T (s) x ( ) y ( ) ( ) R (m) Io 1, ,07 38,55 113,8 4, Europe 3, ,43 59,53 182,685 6, Ganymède 6, ,46 99,09 288,785 1, Callisto 1, ,47 171,19 508,176 1, La longueur k d une corde correspondant à un diamètre apparent d 1 seconde d arc est de : TPP4.odt 2/6

3 π k=d = π =3,7.107 m On peut donc en déduire les rayons R des orbites des satellites de la planète étudiée (on admet avec une bonne approximation que ces orbites sont circulaires). Les valeurs sont entrées dans le tableau ci dessus. 1.2 Vérification de la troisième loi de Képler : T²/R 3 = constante On détermine T² et R 3 pour chaque satellite en utilisant le logiciel Regressi. On met ces valeurs calculées dans le tableau ci dessous : Satellite T (s) x ( ) y ( ) ( ) R (m) Io 1, ,07 38,55 113,8 4, Europe 3, ,43 59,53 182,685 6, Ganymède 6, ,46 99,09 288,785 1, Callisto 1, ,47 171,19 508,176 1, On trace la courbe T² = f(r 3 ) et on la modélise par une courbe passant par l origine. Cette courbe est une droite, on a donc bien T² R 3= constante, la troisième loi de Képler est vérifiée. La droite passe par l origine parce que si le rayon de l orbite d un satellite est nul, le temps que met ce satellite pour parcourir son orbite est nul lui aussi. Le coefficient directeur p de la droite modélisée est de : p=3, Il n était pas nécessaire de calculer le rayon R de l orbite pour vérifier cette loi, on pouvait la vérifier à partir des angles α de trajectoire. En effet, si T² est proportionnel à R 3, alors T est aussi proportionnel à α 3 car R est α est proportionnel à R. 1.3 Masse de la planète. On peut dorénavant calculer la masse M de la planète en utilisant la troisième loi de Képler : M= 4. π ². R3 = 4. π² G. T² G. p = 4 π² =1,87 6, , TPP4.odt 3/6

4 La masse réelle de cette planète étant de l ordre de 10 27, on a donc une assez bonne approximation de cette masse. 2.Application de la troisième loi de Képler :période T mars et rayon moyen R mars de l orbite de Mars. On étudie avec le logiciel Satel les variations des orbites des satellites de Mars entre le 1 er janvier 1994 et le 31 décembre Si on visualise les trajectoires de ces satellites avec un pas assez grand, on remarque que le diamètre apparent de l orbite des satellites martiens varie périodiquement au cours du temps. On détermine avec la meilleure précision les dates pour lesquelles les orbites des satellites martiens ont le plus grand diamètre apparent, et on rentre les résultats dans le tableau ci dessous : 8 février mars 97 1 mai juin août 2003 On peut en déduire les intervalles de temps au jour près séparant deux maxima consécutifs, on les rentre dans le tableau suivant : On peut donc en déduire la durée moyenne consécutifs : = 780 jours séparant deux maxima Soient T Terre et T Mars les périodes de la Terre et de Mars dans leurs mouvements autour du Soleil, mouvements que l on considérera comme circulaires uniformes. Sachant que la Terre et Mars ont le même sens de rotation autour du Soleil, on peut donc montrer que : T Mars =. T Terre T Terre Démonstration : TPP4.odt 4/6

5 On a : On a donc : C'est à dire : = n TM = (n+1) T T n = T M et n= T T 1 = 1 1 = 1 1 T M T T T M T T On a donc bien : T M = T T T T On peut faire l application numérique : T Mars = , 25 =690 jours , 25 On peut déterminer en utilisant la 3 ème loi de Képler le rayon moyen de l orbite de Mars : Application numérique : T² 4 π² R 3= GM R3 = T² GM 4 π² R= 3 T² GM 4 π² R= ².6, , =1, m 4 π² On peut donc déduire à partir des valeurs de R Terre et R Mars le rapport ρ entre les valeurs maximales et les valeurs minimales des diamètres apparents des orbites des satellites martiens. ρ = (RM + R T )/(R M R T ) = 4,82 On détermine expérimentalement ce rapport ρ à l aide du logiciel Satel : ρ = α max / α min = 4,05 Ces deux valeurs sont assez semblables, ce qui prouve la validité des calculs. TPP4.odt 5/6

6 3.Conclusion L utilisation du logiciel Satel a permis de voir des applications concrètes des lois de Képler, et d en faire des applications directes dans le système solaire. La troisième loi de Kepler est fort utile car elle permet de calculer non seulement les périodes, mais aussi les rayons d orbite et les masses de planètes TPP4.odt 6/6

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