PARTIEL DE THERMODYNAMIQUE

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1 I.P.S.. 5 / 9 rue Maurice Grandcoing Ivry Sur Seine Tél. : Classe : Date de l'epreuve : 26 mai 2015 ERO.2-, Corrigé PRTIEL THERMODYNMIQUE Professeur : OUGUECHL Durée : 1h30 2 h 00 3 h 00 vec (1) Notes de Cours Sans (1) sans (1) (1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 /2.5 /3.0 /5.5 /12 / 20 Calculatrice NON programmable N de Table : PRTIEL DE THERMODYNMIQUE : Inscrivez vos nom, prénom et classe. Justifiez vos affirmations si nécessaire. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. Le barème est donné à titre indicatif. Si au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l examen en proposant une solution. Rédigez directement sur la copie. NOM : NUMERO : :: PRENOM : : CLSSE : Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

2 Exercice 1: Principes et transformations élémentaires réversibles ( 2.5 points ) On considère une mole de gaz parfait subissant une transformation élémentaire réversible. Donner la relation de Mayer qui le CP au CV pour un gaz parfait, la définition du γ et en déduire la relation entre Cp et Cv en fonction de γ et R. ( tableau 1). Donner l expression de du, δw, δq, dh, ds, df et dg en fonction des variations élémentaires dt, dp, dv de la température, de la pression, du volume et des coefficients caractéristiques du gaz parfait : constante des gaz parfaits R et constante adiabatique γ qu on supposera constants. (tableau 2). ien lire l énoncé avant de remplir les tableaux. Définition du γ Relation de Mayer Expressions générales Cp C P = γr γ 1 CV C V = R γ 1 γ = C P C V R = C P C V Energie interne Chaleur Enthalpie Entropie Energie libre Enthalpie libre Expressions générales du du = R γ 1 dt δq dh ds R δq = dt + P dv γ 1 γ R dh = dt γ 1 R dt dv ds = + R γ 1 T V df df = P dv SdT dg dg = (R S) dt PdV = SdT + VdP Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

3 Exercice 2: Grandeurs et relations thermodynamiques ( 3.0 points ) On considère une mole de gaz parfait subissant une transformation élémentaire réversible. Donner l expression des différentes grandeurs en fonction des variables indiquées. Compléter le tableau. δw variable V δq variable S Expressions générales δw = P dv δq = TdS du du variables S et V Déduire trois relations du = ( U S ) ds + ( U V V ) dv S N oubliez pas de mettre la variable constante. T = ( U S ) V du = TdS P dv ( T V ) = ( P S S ) V P = ( U V ) S 0.5 dh dh = ( H S ) ds + ( H P P ) dp S dh variables P et S Déduire trois relations N oubliez pas de mettre la variable constante. T = ( H S ) P dh = TdS + V dp ( T P ) = ( V S S ) P V = ( H P ) S 0.50 Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

4 Exercice 3: Cycle d une machine thermodynamique. ( 5.5 points ) Une mole de gaz parfait effectue un cycle supposé réversible dont la représentation graphique est une ellipse de grand axe S0 et de petit axe T0 dans le diagramme T-S. T représente la température absolue et S l entropie. Soit R la constante des gaz parfaits et γ la constante adiabatique du gaz. On rappelle que l aire d une ellipse est donnée par = πab où a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe. T (3/2)T0 S0 T0 T0 C (1/2)T0 D S S0 (3/2)S0 a) Quel est le signe de la chaleur échangée lors de la transformation de C. Justifiez. b) Quel est le signe de la chaleur échangée lors de la transformation de C D. Justifiez. c) En déduire le signe de la chaleur échangée et du travail échangé lors du cycle? d) Le cycle C D est il moteur ou récepteur? Justifiez. e) Etablir l expression de la chaleur échangée lors du cycle en fonction des données. f) En déduire l expression du travail échangé lors du cycle en fonction des données. g) Déterminer les températures aux points,, C et D en fonction des données. h) Déterminer la variation d énergie interne entre et C en fonction des données. i) Déterminer la variation d entropie entre et C en fonction des données. j) Déterminer la quantité de chaleur échangée entre et C en passant par. Voir graphique. k) En déduire le travail échangé entre et C en passant en fonction des données. Réponse : a) Q C = T ds ; T > 0 ; ds > 0 Q C > 0 *2 La quantité de chaleur est donnée par l aire sous la courbe. b) Q C D = T ds ; T > 0 ; ds < 0 Q C D < 0 c) Q cycle = Q C + Q C D > 0 car Q C > Q C D *2 *2 La quantité de chaleur échangée sur le cycle est donnée par l aire du cycle (ellipse). d) Le cycle CD est moteur car Qcycle > 0 ; ΔU=0 (cycle) donc Wcycle < 0 *2 2S0 Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

5 e) Qcycle est égale à l aire de l ellipse. *2 Q cycle = π T 0 2 S 0 2 = π 4 T 0S 0 f) W cycle = Q cycle = π 4 T 0S 0 *2 g) T = T 0 ; T = 3 2 T 0 ; T C = T 0 ; T D = 1 2 T h) du = C V dt U C = C V (T C T ) = 0 C i) S = ds = S C S = 2S 0 S 0 = S j) Q C = 1 2 π T 0 2 S T 0S 0 = (1 + π 8 ) T 0S L aire sous la courbe C est donnée par la moitié de l ellipse + le rectangle de cotés T0 et S0. k) du = δw + δq U C = Q C + W C W C = U C Q C = (1 + π 8 ) T 0S Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

6 Exercice 4: Cycle d une machine à vapeur. Cycle de Rankine. ( 12 points ) Le fonctionnement d'une machine à vapeur peut être modélisé par un cycle de Rankine. Un fluide subit des transformations dont certaines consistent à réaliser des échanges thermiques avec deux sources de chaleur, chaque source étant à température constante. Ces échanges peuvent provoquer des transitions de phase liquide vapeur et vapeurliquide.. Première partie : Etude du système liquide vapeur L équilibre entre l eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes températures, par les données suivantes : Θ C pression saturante : ps(bar) Liquide saturant Vapeur saturante vl : m 3 /kg hl :kj/kg vg : m 3 /kg hg : kj/kg , ,34 25, , , ,96 12, , , ,42 1, , , ,17 0, , , ,11 0, ,83 Θ : température en degré Celsius. ps : pression de vapeur saturante. vl : volume massique du liquide saturant. vg : volume massique de la vapeur saturante. hl : enthalpie massique du liquide saturant. hg : enthalpie massique de la vapeur saturante. Dans la suite du problème tous les calculs se rapporteront à une masse m = 1kg de fluide. La capacité thermique massique cl du liquide est constante et vaut : 4.18 kj kg -1 K -1. Le coefficient de dilatation isobare α de l eau liquide, supposé constant et vaut K Représenter l allure du diagramme de Clapeyron de l eau. On représentera le point critique C, les domaines liquide (L), liquide+vapeur (L+V), et vapeur..2 Représenter sur le diagramme précédent : L allure de l isotherme critique TC. L allure d une isotherme T < TC. Réponse :.1 et.2 C P 2*0.5 L L+V V 2*0.5 V Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

7 .3 On rappelle que le titre massique en vapeur x d un système liquide-vapeur est égal au rapport entre la masse mg d eau à l état de vapeur saturante et la masse totale m du système. On désigne respectivement par : vm, hm et sm le volume massique, l enthalpie massique et l entropie massique du système liquide-vapeur. La règle du levier permet de déterminer certaines grandeurs thermodynamiques en fonction du titre x et des valeurs à la saturation. Par exemple : v m = xv G + (1 x)v L Montrer que le titre massique en vapeur x est donné par l une des relations suivantes : x = v m v L v G v L ; x = h m h L h G h L ; x = s m s L s G s L.4 On désigne par LV(T) la chaleur latente massique de vaporisation à la température T. Rappeler la relation reliant LV(T) à hg(t) et hl(t). Réponse :.3 et.4.3 v m = xv G + (1 x)v L x (v G v L ) = v m v L x = v m v L v G v L On peut écrire de la même manière : h m = xh G + (1 x)h L x = h m h L h G h L s m = xs G + (1 x)s L x = s m s L s G s L.4 La chaleur latente est donnée par : L V (T) = h G (T) h L (T) Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

8 . Deuxième partie : Etude du système liquide vapeur Le circuit d une centrale nucléaire comporte les éléments suivants : un générateur de vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d alimentation (figure). Les transformations subies par l eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit les transformations ci-dessous. : compression adiabatique réversible, dans la pompe d alimentation, de la pression p1=0.056 bar à la pression p2= bar, du liquide saturant sortant du condenseur à la pression p1 (état ). Cette compression entraine une élévation ΔT de la température du liquide. D : échauffement isobare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène le liquide de l état à l état de liquide saturant sous la pression p2(état D). D E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression p2. E F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p2 à p1. F : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression p1, de la vapeur présente dans l état F..1 Représenter l allure du cycle décrit par l eau dans le diagramme de Clapeyron (p,v)..2 Représenter l allure du cycle décrit par l eau dans le diagramme entropique (T,s). Réponse :.1 et.2 P D E T D E F V F S Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

9 .3 La différentielle de l entropie massique du liquide s écrit, en fonction des variables T et P : ds = c L dt T αv LdP cl capacité thermique massique du liquide saturant. On note : T = T T 1 L élévation de température du liquide dans la pompe d alimentation. Sachant que T T 1 établir l expression de T. On intègrera l expression ci-dessus entre l état (P1 ;T1) et l état (P2 ;T1+ΔT). Ln(1+ε) ε Calculer T. Conclusion. On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son volume massique vl vaut 10-3 m 3 kg Calculer le titre xf et l enthalpie massique hmf du système liquide-vapeur sortant de la turbine (état F). On rappelle que l entropie massique d un système liquide-vapeur, de titre massique x, en équilibre à la température T est donnée par la relation : s(x; T) = c L ln(t) + x T L V(T).5 Calculer les quantités de chaleur Q1 et Q2 échangées par un kg d eau, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur..6 Calculer le travail reçu, par 1 kg de fluide, au cours du cycle..7 Calculer le rendement du cycle. Le comparer à celui d un cycle de Carnot. Réponse :.3 Dans le liquide, la compression est isentropique : dt ds = c L T αv LdP = 0 c L dt αv T L dp = 0 c L ln ( T T ) = αv L dp c L ln ( T T ) = αv L (P P ) c L ln ( T + T T ) = c L ln(1 + ε) + αv L (P P ) c L ln ( T + T T ) = c L ln(1 + ε) + αv L (P P ) c L T T = αv L (P P ) T = αv L c L (P P )T T = ( ) 10 5 ( ) = C 4180 Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10

10 .4 De E à F, la transformation est adiabatique : s(x E ; T E ) = s(x F ; T F ) u point E : s(x E ; T E ) = c L ln(t E ) + x E L T V (T E ); x E = 1 E u point F : s(x F ; T F ) = c L ln(t F ) + x F L T V (T F ); F c L ln(t E ) + 1 L T V (T E ) = c L ln(t F ) + x F L E T V (T F ) F x F = T F L V (T F ) [c Lln ( T E ) + 1 L T F T V (T E )] E T F = = 308 K L V (T F ) = h G (T F ) h L (T F ) = = kJ/kg T E = = 558 K L V (T E ) = h G (T E ) h L (T E ) = = kj/kg x F = 308 [4180 ln ( ) ] = = 66% h F = xh G + (1 x)h L = ( ) = 1740 kj/kg.5 Q1 : quantité de chaleur échangée dans le condenseur ( F vers ) : Q 1 = h h F = = 1594 kj/kg Q2 : quantité de chaleur échangée dans le générateur de vapeur ( D vers E ) : Q 2 = Q D + Q DE Q D = C L (T D T ) = 4180 (285 35) = 1045 kj/kg Q DE = h E h D = = kj/kg Q 2 = = kj/kg.6 W : travail reçu par un kg de fluide : W EF = h F h E = = kj/kg utre méthode : sur un cycle : W + Q 1 + Q 2 = 0 W = Q 1 Q 2 = = kj/kg Les deux résultats sont proches, la dernière valeur est surestimée, cela vient du fait que les quantités de chaleur sont sous évaluées..7 Rendement η = Carnot : W = = Q source chaude η = 1 T F = = T C Partiel de THERMODYNMIQUE du 26 mai /10