Université Paul Sabatier Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 Semestre 1, L1, Portail SFA. Année

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1 Université Paul Sabatier Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 Semestre 1, L1, Portail SFA Année

2 3 Thème 3 Systèmes physiques régis par une équation différentielle du second ordre (durée 4 heures et demie) 3.1 Mouvement périodique d une masse liée à un ressort On considère une masse m qui se déplace sans frottement sur un axe horizontal (Ox) et qui est soumise à la force de rappel d un ressort de constante de raideur K : F = Kxe x, x étant la position de cette masse par rapport à la position d équilibre. 1. Montrer que l équation différentielle donnant la position de cette masse est : m d2 x 2 = Kx. Mettre cette équation sous la forme : d 2 x 2 + ω2 0x = 0, en donnant l expression de ω 0. Calculer ω 0 pour m = 0,1 kg et K = 10 kg.s Donner la solution générale de cette équation sous forme d une combinaison linéaire d exponentielles. 3. Montrer que la solution peut aussi se mettre sous les formes suivantes : x(t) = Acos ω 0 t + B sinω 0 t x(t) = a 1 cos(ω 0 t + φ 1 ) x(t) = a 2 sin(ω 0 t + φ 2 ) où A, B, a 1, a 2, φ 1 et φ 2 sont des constantes que l on reliera entre elles. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales x(t = 0) = x 0 et dx (t = 0) = 0. Tracer la courbe x(t). En déduire la période T du mouvement. 4. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales x(t = 0) = 0 et dx (t = 0) = v 0. Tracer la courbe x(t). En déduire la période T du mouvement. 5. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales x(t = 0) = 0 et dx (t = 0) = 0. Que peut-on dire du mouvement dans ce cas? 6. La masse m est à présent suspendue à un ressort vertical. Elle se déplace ainsi suivant l axe vertical (Oz). La force de rappel du ressort s écrit alors F = Kze z, où z est la position de la masse m par rapport à la longueur à vide du ressort (c est-à-dire avant qu on ne suspende la masse m). Montrer que l équation différentielle donnant la position de cette masse est maintenant : m d2 z = Kz mg 2 (on précisera ce qu est la constante g et on discutera en détail la signification des différents signes dans cette équation, en fonction de l orientation de l axe Oz). Donner la solution générale de cette équation. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales z(t = 0) = 0 et dz (t = 0) = v Donner un autre exemple d oscillateur harmonique en mécanique, en précisant notamment la période. Commenter. 3.2 Dynamique d une particule chargée dans un champ magnétique Dans un référentiel d observation R, associé au repère orthonormé direct R(O,e x,e y,e z ) une particule M, repérée par ces coordonnées cartésiennes (x,y,z) dans R, de masse m, de charge q positive est animée d une vitesse V(M/R) = V. On négligera le poids de la particule. M est soumise à la force magnétique F m = qv B, où B est le champ d induction magnétique. 17

3 1. Après avoir écrit la loi fondamentale de la dynamique pour la particule M par rapport à R, sous forme vectorielle, donner les équations du mouvement de M dans R. 2. On suppose que le champ magnétique est uniforme : B = Be z avec B une constante strictement positive. A l instant t = 0, la particule est en O avec une vitesse V 0 = V 0 e y. Déterminer et tracer la trajectoire de M dans R. 3.3 Évolution de la charge d un condensateur dans un circuit LC, puis RLC 1. Soit le circuit LC constitué d un interrupteur, d un condensateur de capacité C de charge q(t) et d une bobine d inductance L, montés en série, dans lequel circule une intensité i(t). La charge q(t) du condensateur est la quantité variable utilisée. On néglige la résistance du circuit ainsi constitué. A l aide la loi des mailles dans ce circuit, en déduire que la charge vérifie l équation différentielle : L di + q dq C = 0 où i =. 2. On considère ensuite un circuit constitué d un interrupteur, d une résistance R, d un condensateur de capacité C initialement non chargé, et d une bobine d inductance L, montés en série et polarisés par une batterie de force électromotrice E constante. À l instant initial on ferme l interrupteur. Montrer que les lois de l électrocinétique conduisent à l équation différentielle : Ri + L di + q C = E où i = dq est l intensité du courant électrique et q la charge du condensateur. Cette équation différentielle peut aussi se mettre sous la forme (vérifiez-le!) : d 2 q 2 + R dq L + q LC = E L 3. Donner la solution générale q H (t) de l équation sans second membre dans le cas où R 2 < 4L/C (régime sous-critique) en fonction des constantes suivantes dont on donnera la dimension physique : τ = L R et ω a = ω 0 et l on donnera l expression de ω ω0 2 = ω τ Q 2 4. Vérifier que la solution particulière est de la forme q P (t) = C 1 où C 1 est une constante à déterminer. 5. Donner la solution générale de l équation différentielle et tracer la solution pour R = 0,1 Ω, L = 100 µh et C = 1 mf. 6. Déduire l expression de q(t ). 7. Donner la solution générale de l équation sans second membre dans le cas où R 2 = 4L/C (régime critique) en fonction de la constante τ = L/R et en déduire la solution générale de l équation différentielle. On prendra R = 0,6325 Ω, L = 100 µh, et C = 1 mf. 8. Donner la solution générale de l équation sans second membre dans le cas où R 2 > 4L/C (régime sur-critique) en fonction des constantes suivantes : τ = L R et Ω = R 2 4L 2 1 LC et en déduire la solution générale de l équation différentielle. On prendra R = 1 Ω, L = 100 µh, et C = 1 mf. 18

4 3.4 Système d amortisseur On considère un système d amortissement posé au sol et recouvert d un plateau de masse m = 100 kg. Ce système est constitué d un ressort de raideur k = Nm 1 couplé à un amortisseur de coefficient b = kgs 1. L amortisseur et le ressort exercent respectivement, sur le plateau, une force de rappel F k = k(z l 0 ), où l 0 est la longueur à vide et une force de frottement visqueux F f = bv. Soient (O,e z ) l axe vertical ascendant et g la norme de la pesanteur. 1. Faire le bilan des forces appliquées au plateau. 2. En écrivant la loi fondamentale de la dynamique appliquée au plateau et en projetant cette loi suivant l axe vertical Oz, déterminer l équation de son mouvement en fonction de z. 3. Montrer que ce système admet comme position d équilibre : z 0 = mg k + l 0 4. Soit le changement de variable : Z(t) = z(t) z 0. Montrer que l équation du mouvement devient : d 2 Z dz τ + ω2 Z = 0 Où vous déterminerez τ et ω en fonction des données du problème en donnant leur dimension physique. item Quelle est la forme mathématique de la solution Z de cette équation? Exercices supplémentaires (la correction ne sera pas faite en TD) 3.5 Mouvement d une masse sur une tige en rotation On considère une masse m qui est astreinte à se déplacer sur une tige horizontale (O,x) en rotation autour d un axe vertical à la vitesse angulaire Ω. La rotation de la tige est à l origine, dans le repère d observation tournant lié à la tige, d une force d inertie d entraînement : F = +mω 2 xe x, x étant la position de cette masse sur la tige. L équation différentielle du mouvement est : d 2 x(t) 2 Ω 2 x(t) = 0 1. Donner la solution générale de cette équation sous forme d une combinaison linéaire d exponentielles. Noter la différence avec la solution dans l exercice (3.1). 2. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales : x(t = 0) = x 0 et dx (t = 0) = 0. Tracer la courbe x(t). 3. Préciser la solution correspondant aux conditions initiales : x(t = 0) = 0 et dx (t = 0) = v 0. Tracer la courbe x(t). 3.6 Oscillateur harmonique en deux dimensions Un point A, de masse m et de coordonnées (x,y,z) dans un référentiel galiléen est astreint à se déplacer sans frottement dans un plan horizontal. Il est soumis (outre son poids et la réaction du support) à une force F = mω 2 OP. 1. Donner les composantes de la force F. Quelle est la dimension physique de m ω 2? 2. En déduire les équations différentielles du mouvement et leurs solutions générales. 19

5 3. Quelle est la trajectoire de A? 4. Sachant qu à t = 0 A se trouve au point B(X 0,0,0) et possède le vecteur vitesse V 0 e y, déterminer x(t), y(t) et z(t). 5. Quelle est la trajectoire de A? 20