Chapitre 2 : Variables aléatoires

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1 Chapitre 2 : Variables aléatoires définition fonction de répartition variable aléatoire discrète variable aléatoire continue moyenne - variance - écart type espérance mathématique 1-22 TRANSFORMATION Y = φ () discrète à discrète continue à continue: transformation générale continue à continue: transformation monotone continue à discrète

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4 Définition : variable aléatoire E : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associé fonction de S dans les nombres réels ( R ) est une variable aléatoire ; ( o ) est un nombre réel Exemple : lancement d une pièce de monnaie 3 fois = nombre de fois «P I L E» =, 1, 2, 3 F : Face P : Pile S. FFF. FFP. FPF. PFF. FPP. PFP. PPF. PPP R Les probabilités sur S se transportent sur R 4

5 Exemple: chapitre probabilités assemblage 2 composants composant 1 : défauts composant 2 : défauts modèle proposé : probabilités assemblage dénouement = (i, j ) 2 cas 1 = i nombre défauts composant 1 2 = j nombre défauts composant 2 P (, ) =.5 assemblage défaut P ( i, j ) = k / ( i + j ) si ( i, j ) = (, 1),.. (3, 4) k =,5 / 6,91 =,723 i j i + j k / (i+j) -----,5 1 1 k / 1, k / 2, k / 3, k / 4, k / 1, k / 2, k / 3, k / 4, k / 5, k / 2, k / 3, k / 4, k / 5, k / 6, k / 3, k / 4, k / 5, k / 6, k / 7,1 somme k * 6,91 1. Prob { (i, j) } =,723 / (i + j) 5

6 Fonction de répartition F une variable aléatoire x une valeur (réelle) prise par Événement : { x } x F ( x ) = P ( x ) : fonction de répartition propriétés 1. F ( x ) 1 2. x - F (x) 1 F R 3. F x F (x) 1 (x) non décroissante 4. F (x) continue à droite discrète 1 F continue 6

7 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE est une variable discrète si elle prend un nombre fini ou infini de valeurs distinctes généralement des entiers, 1, 2, 3, 4, Exemples (comptages) nombre de défauts de surface ; nombre de versions d'un dessin de définition pendant une année; nombre de pièces non conformes dans un lot de 5 ; nombre de pièces en attente devant une machine; Fonction de masse p (x) = P ( = x) p (x) Fonction de répartition F (x ) = p (u) u x Distributions importantes - Bernouilli - Binomiale - Géométrique - Poisson - Hypergéométrique MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 7

8 Exemple variable discrète : loi binomiale essais de Bernoulli : expérience avec 2 dénouements possibles SUCCÈS ÉCHEC Prob(SUCCÈS) = θ Prob(ÉCHEC) = 1 - θ θ 1 observation (échantillonnage) d une suite de n essais n : taille de l échantillon : nombre de succès dans une suite de n essais valeurs possibles de x =, 1, 2,, n est une variable binomiale notation ~ bin(n,θ) p x (x) = [n! / x! (n- x)!] θ x (1 θ) n x k = x F (x) = [n! / k! (n- k)!] θ k (1 θ) n k k = étude détaillée : chapitre 5 x =, 1, 2,.., n x =, 1, 2,.., n MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 8

9 Exemple : variable aléatoire discrète distribution binomiale n = 3 θ =,3,18 Bar/Column Plot of prob_binomiale,16,14,12,1,8,6,4,2, prob_binomiale 9

10 moyenne - variance - écart type Moyenne : E [ ] = μ = x p (x ) premier moment par rapport à l origine centre de masse Exemple : ~ bin(n, θ) E [ ] = n θ n = 3 θ =,3 E [ ] = 9 Variance : Var [ ] = σ 2 = ( x - μ ) 2 p (x ) = x 2 p (x ) - μ 2 Exemple : ~ bin(n, θ) σ 2 = n θ ( 1 - θ ) n = 3 θ =,3 Var [ ] = σ 2 = 6,3 Écart type : ET [ ] = σ = Var [ ] Exemple : ~ b i n ( n = 3, θ =,3 ) ET [ ] = σ = 2,51 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 1

11 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE L'espace de la variable aléatoire est un intervalle sur les nombres réels (concept de support de ) sa fonction de répartition F ( x ) est dérivable La dérivée de F ( x ) notée f est la densité de Exemples (mesures) - volume d un réservoir d eau - temps requis pour finaliser une conception - tension d'un câble métallique MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 11

12 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE P lim ( = x) = x = x [ F ( x + x) F ( ) ] x d f ( x) = F ( x) ( x) = dx F f ( t) dt P ( a x b) = f ( x) dx f ( x) = Moyenne et Variance R b a f ( x) dx 1 x E ( ) = xf ( t) dt = µ [ ] + 2 VAR = ( x µ ) f ( x) dx + = x 2 f 2 ( x) dx µ MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 12

13 Exemple : distribution uniforme (équiprobabilité) k f ( x ) = si a ou b k si a b k =? a b k = 1 / ( b a ) E () = ( a + b ) / 2 Var () = ( b a ) 2 / 12 F ( x ) = Application si a (x a) / ( b a ) si a b 1 si b a b générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi uniforme 1 méthode linéaire congruente : I i + 1 = ( a I i + b ) mod m i =, 1, 2, À choisir : a, b, m, I ( semence ) ; u i = I i / m u i 1 employé pour la SIMULATION : STATISTICA fonction Rnd 13

14 Exemple : simulation 1 observations distribution uniforme fonction RnD de STATISTICA 12 1 Histogram of U U = 1*,1*Beta(Shape1=1,469; Shape2=1,656) 19; 11% 11; 11% 11; 1% 13; 1% 15; 11% 99; 1% 99; 1% 98; 1% 89; 9% 87; 9% 8 No of obs ,1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1, 1,1 U: N = 1; Mean =,55; StdDv =,2832; U Max =,9977; Min =,1 14

15 SUPPORT variable aléaloire TOUTE variable aléatoire discrète ou continue est définie sur toute la droite réelle R (-, ) variable (fonction) aléatoire transforme S dans R : S (espace probabilité) R (droite réelle) S R x support de : { x : p(x) ou f(x) > } p(x) fonction masse si discrète ou f(x) fonction densité si continue Exemple 1 : p(x) = [n! / x! (n- x)!] θ x (1 θ) n x x =, 1, 2,.., n distribution binomiale voir page 8 support de = {, 1, 2,.., n } Exemple 2 : loi uniforme sur l intervalle (,1) support de = (,1) page 12 Exemple 3 : chapitre probabilités / assemblage 2 composants 1: nombre défauts composant 1 support 1 = {, 1, 2, 3 } 2: nombre défauts composant 2 support 2 = {, 1, 2, 3, 4 } 15

16 Espérance mathématique va discrète va continue p (x): fonction de masse de f x (x) : densité de h fonction de R dans R h : R R espérance mathématique de h E(h()) E[h()] = h(x) p (x) si est discrète Cas particuliers de h = h(x) f x (x)dx si est continue h() = moyenne μ h () = 2 2 ième moment par rapport à l origine h () = ( μ) 2 variance h () = k k - ième moment par rapport à l origine h () = ( μ) k k ième moment par rapport à la moyenne μ MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 16

17 Espérance mathématique Propriétés E(a + b) = a + b E() Var(a + b) = b 2 var() ET(a + b) = b ET() Variable centrée-réduite Z Z = ( E()) / ET() Alors E(Z) = ET(Z) = 1 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 17

18 Variable centrée-réduite Z Z = ( E()) / ET() Alors E(Z) = ET(Z) = ; 9% Histogram of U chap2.sta in MTH232B-global.stw 1v*1c U = 1*,1*Beta(Shape1=1,469; Shape2=1,656) 11; 1% 13; 1% 99; 1% 19; 11% 99; 1% 11; 11% 98; 1% 15; 11% 87; 9%... No of obs ,1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1, 1,1 U: N = 1; Mean =,55; StdDv =,2832; Max = U,9977; Min =,1 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 18

19 Espérance mathématique Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d ingénierie v.a. «nombre de jours requis pour le travail» Vous estimez vos «probabilités» x < total p(x) 1/8 4/8 2/8 1/8 1 Y = profit net = φ () dépend du nombre de jours pour réaliser le travail x Y = φ (x) 1K$ 3K$,7K$ -1,5K$ ça vaut-il la peine? MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 19

20 Espérance mathématique Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d ingénierie v.a. «nombre de jours requis pour le travail» Vous estimez vos «probabilités» x < total p(x) 1/8 4/8 2/8 1/8 1 Y = profit net = φ () dépend du nombre de jours faire le travail x Y = φ (x) 1K$ 3K$,7K$ -1,5K$ Profit net moyen =? E(Y ) = 1K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 +,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$ Critère de décision basé sur profit net moyen si E(profit net Y) = profit net moyen on accepte le travail MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 2

21 Exemple - vous achetez des billets du spectacle des «RS» à 4,$ dans l'espoir de les revendre 7,$ le soir du spectacle - votre estimation de la demande billets nombre billets x probabilité p(x),2,4,8,16,32,18,12,8 combien de billets S =? stocker pour minimiser les pertes (profit max) - perte = 4$/billet si vous stockez trop de billets: x S billets invendus = S - x - perte = 3$/billet si vous ne stockez pas assez de billets: x S+1 Fonction de perte L (x, s) L(x, s) = 4 (s - x) si 23 x s stock excessif L(x, s) = (7-4) (x s) si s+1 x 3 stock manquant perte moyenne E(L) E[ L(, s)] = s 4( s x) ( x) + x= 23 x= s+ 1 p 3 3 ( x s) p ( x) Quelle valeur de S minimise E(L)? 21

22 Exemple suite S 4(s x)p(x) 3(x s)p(x) E [ L(, s) ] 23, 124,2 124,2 24,8 94,8 95,6 25 3,2 66,6 69,9 26 8,8 4,8 49,6 27 2,8 19,2 4,6 minimum 28 45,6 6,2 51, ,6, 77, ,4, 114,4 profit net réalisé avec S = 27 : 27*3$ = 81$ Si on a une nouvelle distribution de probabilité pour x prob,3,2,15,12,1,8,4,1 solution optimale devient S = 24 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 22

23 Transformation variable aléatoire R Y = φ () R Y. x i1... x i2. x i3.. Y j.. p Y ( y j ) = P Y ( Y = y j ) = x i k Ω j P ( x i k ) MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 23

24 Exemple 1 : fonction d une variable aléatoire discrète : nombre de pannes en une semaine x p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Y : coût d un service de dépannage coût fixe 5$ + 2$ par panne Déterminer - masse de probabilité de Y : p Y (y) - moyenne et écart type de Y MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 24

25 Exemple 1 : fonction d une variable aléatoire discrète : nombre de pannes en une semaine Y = 5 + 2* : coût ($) par semaine y p Y (y) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Moyenne de Y = E(Y) = 5*(4/9) + 7*(2/9) + 9*(1/9) + 11*(1/9) + 13*(1/9) = 67 / 9 = 744,44 Écart type de Y = [ E(Y 2 ) (E(Y)) 2 ].5 = 279,32 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 25

26 Exemple 2 : fonction d une variable aléatoire discrète : variable aléatoire discrète x p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Y = 2 Déterminer - masse de probabilité de Y : p Y (y) - moyenne et écart type de Y MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 26

27 Exemple 2 : fonction d une variable aléatoire discrète Y = 2 x y p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 p Y (Y=) = p (= ) = 1/9 p Y (Y=1) = p (= -1) + p ( = 1) = 2/9 + 1/9 = 3/9 p Y (Y=4) = p (= -2) + p ( = 2) = 4/9 + 1/9 = 5/9 y 1 4 p Y (y) 1/9 3/9 5/9 moyenne de Y = E(Y) = *(1/9) + 1*(3/9) + 4*(5/9) = 23/9 écart type de Y = ET(Y) = [ E(Y 2 ) ( E(Y)) 2 ].5 = [ 2 *(1/9) *(3/9) *(5/9) (23/9) 2 ].5 = 1,64 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 27

28 Fonction continue d une variable aléatoire continue cas : transformation non monotone Exemple 3 : variable aléatoire continue de densité f f (x) = ½ si -1 x 1 1/2 = sinon -1 1 x F (x) = Prob ( x) = si x < -1 = (x + 1) / 2 si -1 x 1 = 1 si x > 1 densité de Y = 2 < y < 1 y 1 Y Fonction de répartition de Y : F Y (y) = Prob( Y y) = Prob ( 2 y) = Prob( - y.5 y.5 ) = F ( y.5 ) F ( - y.5 ) = ( y.5 + 1) / 2 - (- y.5 + 1) / 2 = y.5 MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 28

29 Fonction continue d une variable aléatoire continue cas : transformation non monotone Exemple 3 : suite densité de Y = 2 Fonction de répartition de Y F Y (y) = Prob( Y y) = Prob ( 2 y) = Prob( - y.5 y.5 ) 1/2-1 1?? = F ( y.5 ) F ( - y.5 ) = ( y.5 + 1) / 2 - (-y.5 + 1) / 2 = y.5 1 f? Y densité de Y : f Y (y) = (d/dy) F Y (y) =,5 y -.5 y 1 f Y (y) = ailleurs,5 1 29

30 Fonction continue d une variable aléatoire continue cas d une transformation monotone v.a.c. densité f x φ fonction continue Y = φ () Y est une v.a.c Densité f Y =? Pour trouver la densité il faut : 1. Obtenir F Y (y) = P( Y y ) par l'événement de R équivalent à (Y y) dans R y 2. Dériver F Y (y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité f y 3. Trouver l'espace image de cette v.a.c. THÉORÈME Si est une v.a.c. de densité f x telle que f x > pour a < x < b et y = φ (x ) est une fonction continue strictement monotone, alors la v.a.c Y = φ ( ) possède une densité f Y f Y ( y) = f ( x) dx dy x = φ - 1 (y ) exprimé en terme de y 3

31 Fonction continue monotone d une variable continue Exemple 4 : diamètre d un fil - distribution uniforme intervalle 1, à 1,1 f ( x ) = 1 1, x 1,1 = autrement 1 1, 1,1 Y = aire de la section = π (/2) 2 =,25 π 2 =, y =,7854 si x = 1, y =,8118 si x = 1,1 = 1,2732 Y,5 dx/dy =,5642 y -,5 f Y dx ( y) = f ( x) f y (y ) = 1 (,5642 y -,5 ) = 56,42 y -,5 dy 63,66 f y (y) 63,3,7854,

32 Exemple 5 : transformation continue à discrète loi exponentielle f x (x ) = λ e λ x x = x < E [ ] λ x λ x = xλ e dx = xe + λ x 1 e dx = λ Var [ ] = x 2 λ 1 λ e - dx λ 2 x = 1 / λ 2 Le temps jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques) durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que excède ou non sa durée moyenne 1/ λ Y = si 1 / λ = 1 si > 1 / λ 32

33 Exemple 5 : (suite) transformation var. continue à var. discrète probabilités de Y p Y 1/ λ 1/ λ = λ t λ t ( ) λ e dt = e = 1 e p Y (1) = λ t λ t λ e dt = e = e 1/ λ 1/ λ ne dépend pas de λ MTH232 Probabilités et méthodes statistiques 33

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