Chapitre 12 : Produit scalaire de l'espace

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1 Chapitre 2 : Produit scalaire de l'espace (partie 2 : vecteurs orthogonaux, équation d'un plan I Produit scalaire Définition (repère orthonormé de l'espace Un repère (O,I,J,K de l'espace est orthonormé si : les droites (OI, (OJ et (OK sont deux à deux perpendiculaires OI=OJ=OK= Définition (produit scalaire de deux vecteurs de l'espace Soient u et v deux vecteurs de l'espace et trois points A, B et C tels que u= AB et v= AC Comme les points A, B et C appartiennent à un même plan (3 points sont toujours coplanaires le produit scalaire u v dans l'espace est égale au produit scalaire AB AC dans le plan contenant A, B et C. On a donc : u v = AB AC cos (BÂC u v = AB AH où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB u v = 2 ( u ²+ v ²- u v ² Propriétés - Pour tout point M (x ; y; z de l'espace, on a OM= OM = x 2 + y 2 + z 2 - Pour tous A et B, AB= ( x B x A 2 +( y B y A 2 +( z B z A 2 - Soient u( x z y v( x' et y ' deux vecteurs de l'espace : u v= xx'+ yy'+ zz' - u v= v u - u ( v+ w = u v+ u w - u (k v =k ( u v - ( u+ v 2 = u ²+2 u v+ v ² - ( u v 2 = u ² 2 u v+ v ² - ( u v ( u+ v = u ² v ² - u ² = u ² z '

2 Exemple (produit scalaire dans le cube Soit ABCDEFGH un cube de côté 3. Repère (D; DA, DC, DH Calculer AE BG - Avec les projections : AE BG = BF BG = BF BF = 3 3 = 9 - Avec les coordonneés : AE( BG( et 3 0 donc AE BG = =9 3 2 Calculer AD HB - Avec les projections : AD HB = AD AD = 9 (on projette H sur D et B sur A - Avec les coordonneés : AD( 3 0 et 0 HB( donc AD HB = 9 3 Calculer AB GF - Avec les projections : AB GF = AB CB = AB 0=0 - Avec les coordonneés : AB( BH( et donc AB GF = 0 Exemple (produit scalaire dans la pyramide Soient SABCD une pyramide à base carré avec SA=SB=SC=SD=AB=4 Calculer SA AB - avec projection sur (AB : SA AB = AA' AB = 2 4=8 (A' milieu de [AB] (SAB est un triangle équilatéral, donc (SA' est la médiane et la hauteur issue de S 2 Calculer SA SB - avec projection sur (SB : SA SB = SB' SB = 2 4=8 (B' milieu de [SB] (SAB est un triangle équilatéral, donc (AB' est la médiane et la hauteur issue de A 3 Calculer SA DB - avec projection sur (DB : SA DB = OO DB=0 (avec O centre du carré (Les diagonales du carré sont perpendiculaires en O et SO est la hauteur, donc A et S sont projeté sur le même point O 4 Calculer SA AC - avec projection sur (AC : SA AC = OA AC = ( = 6 (La diagonale du carré vaut Calculer SA SC - avec les distances : SA SC = 2 (SA2 +SC 2 AC 2 = 2 [ ( ] = 0 (Le triangle SAC est isocèle rectangle en S et la diagonale du carré vaut 4 2

3 Exemple (triangle rectangle isocèle Soient A, B et C trois points Calculer l'angle. A (;; 2, B( 2; 2;0 et C( ; ; 2 trois points. Montrer que ABC est un triangle rectangle iscoèle AB= ( 2 2 +( 2 2 +( 2 2 = = 8 AC= ( 2 2 +( 2 2 +( = 6=4 BC= ( 2 2 +( ( 2 2 = 8 Comme AB=BC, on en déduit que le triangle est isocèle en B Comme AB 2 +BC 2 =8+8=6=AC 2, on en déduit que le triangle est rectangle en B Exemple (angle à partir de trois points Soient A (; 2; 3, B (2; 4;6 et C (3;5; 0 trois points. Calculer l'angle BÂC D'une part AB( 3 2 AB( et d'où AB AC = ( 3 = D'autre part AB AC=AB AC cos (BÂC =AB AC cos (BÂC Or AB= = 4 et AC= ( 3 2 = 22 Ainsi =AB AC cos ( BÂC = 4 22 cos ( BÂC cos ( BÂC = 308 BÂC =93,3 Exemple (angle des diagonales d'un cube ABCDEFGH un cube de côté a et de centre O. Calculer l'angle AÔB Nature du quadrilatère ABGH ABGH est un parallélogramme (car (HG//(AB et HG=AB De plus, ABGH est un rectangle (car les diagonales [HB] et [AG] ont la même longueur Calcul de l'angle Le théorème de Pythagore dans le triangle ABG rectangle en B donne AG=a 3 Ainsi, AO=BO=a 3 2 D'après le théorème d'al-kashi dans le triangle AOB : AB 2 =AO 2 +BO 2 2 AO BO cos ( AÔB a 2 =2 ( a ( a cos ( AÔB a 2 = 3a2 2 3a2 cos ( AÔB 2 a 2 3a2 2 3a2 2 cos ( AÔB = 3 AÔB=70,5 =cos ( AÔB

4 II Vecteurs orthogonaux Définition (vecteurs orthogonaux Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Deux droites D et D' sont orthogonales sont leurs vecteurs directeurs u et u' sont orthogonaux. Remarque Deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais la réciproque est fausse (prochain exemple Exemples (droites orthogonales Déterminer si les droites suivantes sont orthogonales D : { x= t y=2+t z=+t D' : { x= 4t ' y=3 8t ' z=6+4t ' On a u( '( et u 4 8. De plus u u'=0, donc les droites D et D' sont orthogonales 4 On peut vérifier de plus que les droites D et D' ne sont pas sécantes, donc elles ne sont pas perpendiculaires 2 D : { x=2t y=+t z=4 t D' : { x=2 t ' y=4 5t ' z=3+t ' On a u( 2 u'( et 5. De plus u u'= 8, donc les droites D et D' ne sont pas orthogonales (et encore moins perpendiculaires

5 Exemples (droites orthogonales dans le cube Soit ABCDEFGH un cube. Déterminer si les droites suivantes sont orthogonales (DC et (EH DC( 0 0 EH( et 0 0 donc DC EH=0 Ainsi, les droites (DC et (EH sont orthogonales (mais non perpendiculaires car elles ne sont pas sécantes 2 (CF et (EG CF( 0 et EG( 0 donc CF EG= Donc les droites (CF et (EG ne sont pas orthogonales 3 (HF et (CF Sans calcul, [HF], [CH] et [CH] sont les diagonales de trois carrés de même longueur, donc le triangle HCF est équilatéral. Chaque angle vaut donc 60, donc (HF et (CF ne sont pas perpendiculaires (donc pas orthogonales 4 (HA et (CF Sans calcul, HA = GB Or GB est orthogonal à CF car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires Donc les droites (HA et (CF sont orthogonales.

6 5 (DF et (CE DF( et CE( donc DF CE= Ainsi les droites (DF et (CE ne sont pas orthogonales Autre méthode : EFCD est un rectangle car (EF//(DC, EF=DC et DF=CE Par l'absurde, si les diagonales (DF et (CE étaient perpendiculaires, alors EFCD serait un carré et donc EF=CF, ce qui n'est pas le cas. Donc les diagonales (DF et (CE ne sont pas perpendiculaires. 6 (DF et (CI avec I milieu de [DE] DF( et ( CI /2 donc DF CI = 0 /2 Ainsi les droites (DF et (CI sont orthogonales (et perpendiculaires 7 (DJ et (CK avec J milieu de [EF] et K tel que DK = 4 DE ( DJ /2 et CK( / 4 donc DJ CK =0 / 4 Ainsi les droites (DJ et (CK sont orthogonales (et perpendiculaires

7 III Orthogonalité entre une droite et un plan Théoèreme-Définition (droite orthogonale à un plan Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, alors elle est orthogonale à toute droite du plan. Dans ce cas, on dit que la droite est orthogonale au plan. Remarque Pour montrer qu'une droite n'est pas orthogonale à un plan, il suffit de trouver dans ce plan une droite non orthogonale Démonstration (BAC Soit D une droite orthogonale à deux droites sécantes D et D 2 d'un plan P. Notons u, u et u 2 des vecteurs directeurs des droites D, D et D 2 Soit D 3 une droite quelconque du plan P dirigée par un vecteur u 3. Comme D et D 2 sont sécantes, les vecteurs u et u 2 ne sont pas colinéaires, donc ils définissent le plan P. Ainsi, le vecteur u 3 peut s'écrire en fonction des vecteurs u et u 2 (qui Donc il existe deux réels x et y tels que u 3 =x u + y u 2 Or u u 3 = u ( x u + y u 2 = x u u + y u u 2 = 0 car D est orthogonale à D et à D 2 Exemple (droite orthogonale à un plan (CG orthogonale au plan (GFE car : (CG orthogonale aux droites sécantes (GH et (GF 2 Il est nécessaire que la droite soit orthogonale à deux droites sécantes : (CF est orthogonale à (EF et à (GH mais non orthogonale au plan (GFE En effet, si (CF était orthogonale au plan (GFE alors elle aurait été orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à la droite (GF ce qui n'est pas le cas (angle de 45 Cela vient du fait que (CF est orthogonale à (EF et à (GH qui ne sont pas sécantes

8 Définition (vecteur normal à un plan On appelle vecteur normal à un plan tout vecteur directeur n d'une droite orthogonale à ce plan. Théorème (équation cartesienne d'un plan Dans un repère orthonormé (O, i, j, k Tout plan de vecteur normal n( a c b à pour équation cartesienne ax+by+cz+d=0 Toute équation de la forme ax+by+cz+d=0 est celle d'un plan de vecteur normal n( a b Remarque Cela vient du fait qu'un point M (x ; y; z appartient au plan passant par un point A ( x A ; y A ; z A et ayant pour vecteur normal n( a c b si et seulement si AM. n=0. On trouve d = a x A b y A cz A Exemple (Déterminer l'équation cartésienne d'un plan Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par A (; 2; 3 et de vecteur normal n( 2 5 Comme n( 2 5 est un vecteur normal à P, son équation est : 2 x+5 y+7 z+d=0 7 Pour trouver la valeur de d, on utilise le fait que le point A (; 2; 3 appartient au plan P, donc ses coordonneés vérifient l'équation du plan : d =0 29+d=0 d = 29 Ainsi, l'équation du plan P est : 2 x+5 y+7 z 29=0 7 c Exemple (Déterminer un point et un vecteur normal d'un plan Déterminer un point A ainsi qu'un vecteur normal au plan P d'équation : 4 x 2 y+z+0=0 Vérifier si le point B (;4; appartient au plan. Un vecteur normal est n( 4 2 Pour trouver un point appartenant au plan, il suffit de choisir une valeur pour x et une valeur pour y. On calcul ensuite à l'aide de l'équation du plan la valeur de z. Prenons x= y =0, on trouve z+0=0 z= 0. On obtient le point A ( 0;0; 0 Le point B (;4 ; appartient au plan P si et seulement ses coordonneés vérifient l'équation du plan : =5 0. L'équation n'est pas vérifiée, donc B n'appartient pas au plan P. Exemple (Points d'intersections avec les axes Soit P le plan d'équation P : 4 x+8 y z+2=0 Déterminer les points d'intersections du plan avec les axes Ox, Oy et Oz. Un point A appartenant à l'axe Ox a pour coordonneés A ( x; 0;0. Il appartient au plan P si ses coordonneés vérifient l'équation 4 x+2=0 x= 2 Donc A ( 2 ;0 ; 0. De même on trouve le point B ( 0; 4 ;0 sur l'axe Oy et C (0;0; 2 sur l'axe OZ

9 Exemple (Vecteur normal d'un plan définie par trois points Déterminer l'équation cartésienne du plan P passant par A ( ; ;, B (0; ; et C ( ; 2; 0 Un vecteur n( a c b est normal au plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinaires du plan P Le plan P est dirigée par les vecteurs AB( 2 et 2 AC( 2 3 qui ne sont pas colinéaires. Ainsi, AB. n=0 et AC. n=0 donnent le système d'équation suivant : { a+2b+2c=0 2a+3b+c=0 choisissons une valeur quelconque pour a par exemple a= { +2b+2c=0 2+3b+c=0 { 2b+2c= 3b+c=2 on résout ce système en trouvant b= 3 4 et c= 4 n( 3. Donc un vecteur normal est 4 4 on peut choisir aussi le vecteur normal n'( 4 3 car il est colinéaire au vecteur n

10 Exemple (Equations cartésienne de plan dans le cube Déterminer les équations cartésiennes des plans suivants : Equation cartésienne du plan (DCG Un vecteur normal est CB( 0 0 : P : x+d =0 Le plan passe par le point D (;0;0 donc +d =0 d = Equation cartésienne du plan (DCG : x =0 2 Equation cartésienne du plan (HGF Vecteur normal DH( 0 0 : P : z+d=0 Le plan passe par le point H ( ;0 ; donc +d =0 d = Equation cartésienne du plan (DCG : z =0 3 Equation cartésienne du plan (CBF De même on trouve que l'équation cartésienne du plan (CBF est : y =0 4 Equation cartésienne du plan (CFH Le vecteur AG( est orthogonale aux vecteurs CF( 0 et HC( 0 qui ne sont pas colinéaires, Donc le vecteur AG est orthogonal au plan (CFH L'équation du plan (CFH est donc : x+ y+z+d=0 Le point C ( ; ;0 appartient au plan (CFH donc : +++d =0 d = 3 Equation cartésienne du plan (CFH : x+ y+z 3=0 5 Equation cartésienne du plan (DCF Déterminons un vecteur normal au plan (DCF. Pour cela, cherchons un vecteur normal aux deux vecteurs non colinéaires DC( 0 0 CF( et 0 Soient I milieu de [HG] et J milieu de [AB]. ( IJ 0 Comme IJ. DC=0 et IJ. CF=0, IJ est normal à deux vecteurs non colinaires du plan (DCF, donc IJ est un vecteur normal au plan (DCF. Le plan (DCF a pour équation cartésienne P : x z+d =0 Le point D (;0;0 appartient au plan (DCF : +d =0 d = Equation cartésienne du plan (DCF : x z+=0

11 Exemple (Equations cartésienne de plan dans la pyramide Soit SABCD une pyramide à base carrée de centre O on se place dans le repère (O; OD, OC, OS Déterminer les équations cartésiennes des plans suivants : Equation cartésienne du plan (SBD Le vecteur OS( 0 0 est normal au plan (SBD Une équation du plan (SBD est : z+d=0 Comme le point D (;0;0 passe par le plan (SBD on a +d=0 d = Equation cartésienne du plan (SBD : z =0 2 Equation cartésienne du plan (SBC Soit G le centre de gravité du triangle SBC Montrons que le vecteur OG est normal au plan (SBC S(0;0 ;, B ( ;0; 0 et C (0;;0 Les coordonneés de G sont : G ( 0 +0 ; D'autre part : OG( /3 /3, /3 SB( 0 SC( et 0 ; = G ( 3 ; 3 ; 3 Donc OG. SB = OG. SC = 0 Comme la droite (OG est orthogonale à deux droites sécantes du plan (SBC, elle est orthogonale à tout le plan. Par conséquent, le vecteur OG est normal au plan (SBC. Le plan (SBC a pour équation : 3 x+ 3 y+ 3 z+d=0 x+ y+z+3d=0 Le plan (SBC passe par le point C (0; ;0 donc +3d =0 d = 3 Equation cartésienne du plan (SBC : x+ y+z 3 =0

12 Proposition (positions relatives entre deux plans Soient deux plans d'équations cartesiennes P : ax+by+cz+d =0 et P' : a' x+b' y+c' z +d'=0 P et P' sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs n( a c b n'( et a ' b' sont orthogonaux. c' 2 P et P' sont parallèles si et seulement si les vecteurs n( a c b n'( et a ' b' sont colinéaires c' Remarques - Si les plan P et P' ne sont pas parallèles, alors ils sont sécants en une droite. - Pour trouver une représentation paramétrique de cette droite, on pose par exemple z=t - Si les coefficients a, b, c, d et a', b', c' et d' sont proportionnels, les plans sont identiques. Exemples (positions relatives entre deux plans Déterminer les positions relatives des plans suivants : P : 2 x 3 y+ z+5=0 P' : 4 x 6 y+2 z +=0 (parallèles 2 P : 3 x+ y 2 z+4=0 P' : 9 x 3 y+6 z 2=0 (identiques 3 P : x+5 y z +=0 P' : 4 x+ y +z+8=0 (sécants perpendiculaires 4 P : 2 x+6 y 2 z +3=0 P' : 3 x+4 y+z 2=0 (sécants non perpendiculaires Exemple (Représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plan

13 Proposition (positions relatives entre une droite et un plan Soit D une droite dirigée par un vecteur u et P un plan de vecteur normal n La droite D est parallèle au plan P si et seulement si les vecteurs u et n sont orthogonaux. 2 La droite D est orthogonale au plan P si et seulement si u et n sont colinéaires. Remarques Pour savoir si la droite D est contenue dans le plan P, on vérifie si sa représentation paramétrique est solution de l'équation cartésienne du plan P 2 Si la droite D n'est pas parallèle au plan P, alors elle est sécante en un point M. Exemple (positions relatives entre une droite et un plan Déterminer les positions relatives entre la droite D et le plan P : { x=+t D : y= t et P : x+ y+0=0 u orthogonal à n donc D parallèle à P z=2+2t De plus, le point A (; ;2 appartient à la droite D mais n'appartient pas au plan car Donc la droite D n'est pas incluse dans le plan P. { x=2t 2 D : y=+t et P : 4 x+2 y 2 z+5=0 u colinéaire à n donc D perpendiculaire à P z=4 t Déterminons le point d'intersection M (2t ;+t ; 4 t : 4 (2t +2 (+t 2 (4 t +5=0 8t+2+2t 8+2t+5=0 4 t= t= 4 Le point M a pour coordonneés M ( 2 4 ; 5 4 ; 55 4 { x=+5t 3 D : y= t z=2+4t et P : x+3 y z+=0 u non orthogonal à n donc D sécante avec P u non colinéaire à n donc D non perpendiculaire à P Déterminons le point d'intersection M (+5 t ; t ; 2+4 t +5t+3 ( t (2+4t +=0 5t 3t 4t++3 2+=0 2t= 3 t= 3 2 Le point M a pour coordonneés M ( 7 2 ; 2 ;8 4 D : { x=+t y=3+2t z= 4 t et P : x+ z+3=0 u est orthogonale à n donc D parallèle à P De plus, le point A (;3; 4 appartient à la droite D et appartient aussi au plan P car 4+3=0 Donc la droite D est incluse dans le plan P

14 Exemple (Volume d'un tétraèdre à base Triangle rectangle Exemple (Volume d'un tétraèdre à base TR dans le cube ABCDEFGH un cube de côté Montrer que (HB est orthogonale au plan (IJK On montre que (HB est orthogonale aux droites sécantes (IJ et (IK 2 En déduire une équation cartesienne du plan (IJK x y+z 2 =0 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HD { x= t y=+t z= t 4 Déterminer le point d'intersection M de la droite (HD et du plan (IJK M ( 2 ; 2 ; 2 5 Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire IJ. IK=0 donc IJK triangle rectangle en I. Aire = Déterminer le volume du tétraèdre HIJK La hauteur MF vaut : 3 aire (IJK MF. Volume = 2 3 = 8

15 Exemple (Volume d'un tétraèdre à base Triangle Equilatéral dans le cube

16 Exemple (Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires