B On considère le cube ABCDEFGH ci-contre. Déterminer :

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1 1 Projections orthogonales dans l'espace Produit scalaire Définition : M étant un point de l'espace et P un plan de l'espace, on appelle projeté orthogonal de M sur P le point M ' d'intersection de P avec la droite passant par M et perpendiculaire à P B On considère le cube ABCDEFGH ci-contre Déterminer : H G 1 le projeté orthogonal de E sur le plan (CDG) E F La droite passant par E et perpendiculaire au plan (CDG) est la droite (EH) (elle est à la fois perpendiculaire à ((HG) et à (HD) ) Elle coupe le plan (CDG) en H, qui est donc le projeté orthogonal de E sur (CDG) D C le projeté orthogonal de F sur le plan (ADE) A B La droite passant par F et perpendiculaire au plan (ADE) est la droite (FE) Elle coupe le plan (ADE) en E, qui est donc le projeté orthogonal de F sur (ADE) 3 le projeté orthogonal de D sur le plan (EFG) La droite passant par D et perpendiculaire au plan (EFG) est la droite (DH) Elle coupe le plan (EFG) en H, qui est donc le projeté orthogonal de D sur (EFG) 4 le projeté orthogonal de G sur le plan (ABE) La droite passant par G et perpendiculaire au plan (ABE) est la droite (GF) Elle coupe le plan (ABE) en F, qui est donc le projeté orthogonal de G sur (ABE) P M M ' Définition : M étant un point de l'espace et D une droite de l'espace, on appelle projeté orthogonal de M sur D le point M ' d'intersection de D avec le plan passant par M et perpendiculaire à D M M ' P C On considère le cube ABCDEFGH ci-contre Déterminer : 1 le projeté orthogonal de F sur la droite (CD) Le plan passant par F et perpendiculaire à la droite (CD) est le plan (FBC) Il coupe la droite (CD) en C, qui est donc le projeté orthogonal de F sur (CD) le projeté orthogonal de D sur la droite (HF) Le projeté orthogonal de D sur (HF) est H 3 le projeté orthogonal de D sur la droite (EF) Le projeté orthogonal de D sur (EF) est E 4 le projeté orthogonal de G sur la droite (EA) Le projeté orthogonal de G sur (EA) est E E A H D F B G C GEOMETRIE DANS L ESPACE 1

2 Définition : u et v étant deux vecteurs quelconques de l'espace, on désigne par A, B et C trois points de l'espace tels que AB = u et AC = v et par P un plan contenant A, B et C On appelle produit scalaire de u et v, le produit scalaire de AB et AC calculé dans le plan P On le note uv Remarque : On admettra que le résultat ne dépend ni du choix des points A, B et C, ni du plan P v u P A B C Rappels de première : (1) Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux () Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires AB et CD est égal à : AB CD si les vecteurs sont de même sens AB CD si les vecteurs sont de sens contraires (3) u = uu = u (4) u( v+ w) = uv + uw (5) ( ku) v = u ( kv) = k u v (6) uv = u v cos ( u, v) (7) uv = vu (8) ( ) u v u + = + v + uv et ( ) u v u = + v uv (1) Si C' et D' sont les projetés orthogonaux de C et D sur la droite (AB) alors ABCD = ABC'D' 1 1 (9) uv = ( u+ v) u v = u + v ( u v) Exemples : E On considère le cube ABCDEFGH ci-contre Calculer les produits scalaires : 1 EFCG EFCG = EFBF = ABCH ABCH = ABBE = AB BA = AB 3 EBGD EBGD = EBFA = E A H D F B G C GEOMETRIE DANS L ESPACE

3 Théorème : Dans l espace, rapporté à un repère orthonormal, le produit scalaire des vecteurs u et v de coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') est égal à : u v = xx' + yy ' + zz ' Démonstration : Désignons par (O; i, j, k) le repère u = xi+ yj+ zk et v= x' i+ y' j+ z' k uv = ( xi+ yj+ zk) ( x' i+ y' j+ z' k) u v = xx' i + xy ' i j + xz ' i k + yx' j i + yy' j + yz ' j k + zx' k i + zy' k j + zz ' k u v = xx' 1 + xy ' + xz ' + yx' + yy ' 1 + yz ' + zx' + zy ' + zz ' 1 u v = xx' + yy ' + zz ' Théorème : Dans l espace, rapporté à un repère orthonormal, u = x + y + z u désignant un vecteur de coordonnées ( x; y; z ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB = x x + y y + z z Démonstration : u = u = uu = x x+ y y+ z z = x + y + z Il ne reste plus qu à prendre la racine carrée de chaque membre La deuxième égalité est un cas particulier de la précédente puisque AB = AB Exemples : F Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A( ; 1 ; 3), B(1 ; ; 4) et C( ; ; 1) 1 Déterminer le produit scalaire ABAC Le vecteur AB a pour coordonnées ( 1 ( ); 1;4 3) = ( 3;1;1) Le vecteur AC a pour coordonnées ( ( ); 1;1 3) = ( 4; 1; ) ABAC= ( 1) + 1 ( ) = 1 1 = 9 Déterminer cos(ab;ac) ABAC 9 9 cos(ab; AC) = = = AB AC ( 1) + ( ) 11 1 De ce résultat, vous pouvez déduire, en utilisant la touche cos 1 de la calculatrice, que l angle (AB;AC) mesure environ 53,7 G Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(1; ; 3), B(1 ; ; 4), C( ; ; 1) et D(7 ; 1 ; 1) Les droites (AB) et (CD) sont-elles orthogonales? Le vecteur AB a pour coordonnées ( 1 1; ;4 3) = ( ;;1) Le vecteur CD a pour coordonnées ( 7 ;1 ; 1 1) = ( 5;1; ) ABCD = ( ) = + = Puisque ce produit scalaire est nul, les vecteurs AB et CD sont orthogonaux Les droites (AB) et (CD) sont donc orthogonales GEOMETRIE DANS L ESPACE 3

4 Equations de plans Rappels de seconde : (1) Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toute droite de ce plan () Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Vecteur normal à un plan Définition : Un vecteur est normal à un plan si et seulement si c est un vecteur directeur d une droite perpendiculaire à ce plan n M Théorème : Etant donné un point M et un vecteur non nul n, l ensemble des points M de l espace tels que nm M = est le plan contenant M et de vecteur normal n P Théorème : Un vecteur non nul n est normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan Conséquence directe de la propriété et de la définition Théorème : Le plan passant par le point M (x ; y ; z ) et de vecteur normal n (a ; b ; c) a pour équation : ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = Démonstration : M(x ; y ; z) P n MM M(x ; y ; z) P n MM = M(x ; y ; z) P ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = Equation cartésienne d un plan Théorème : Tout plan a une équation de la forme ax + by + cz + d =, avec a, b et c non tous nuls et, réciproquement, toute équation de la forme ax + by + cz + d =, avec a, b et c non tous nuls est une équation de plan ayant le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) pour vecteur normal Démonstration : Il suffit de développer a( x x ) + b( y y ) + c( z z ) = ax ax + by by + cz cz = ( ) ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ax+ by+ cz+ ax by cz = Il ne reste plus qu à désigner par d la constante ax by cz Pour la réciproque, l un au moins des trois nombres a, b et c n est pas nul Imaginons que ce soit c (la démonstration est la même dans les deux autres cas) Prenons arbitrairement une valeur x pour x et une valeur y pour y Il existe exactement une valeur z de z pour ax by d laquelle (x ; y ; z ) vérifie l équation ax + by + cz + d = : z = c GEOMETRIE DANS L ESPACE 4

5 Désignons par M le point de coordonnées (x ; y ; z ) ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = ax + by + cz + d ax + by + cz + d = a( x x) + b( y y) + c( z z) = Désignons par n le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) ax + by + cz + d = nmm = L ensemble des points M(x ; y ; z) de l espace tels que ax + by + cz + d = est donc le plan contenant M et de vecteur normal n Exemples : I Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère le point A(; 1; 3) Déterminer une équation du plan passant par A et de vecteur normal n(1;; 1) Cette équation est : 1( x ) + ( y 1) 1( z+ 3) = x + y z 3 = x+ y z 7 = J Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(1; ; ), B(1 ; 1 ; 1) et C( 1 ; ; 3) 1 Déterminer les coordonnées d un vecteur normal au plan (ABC) Désignons par a, b et c les coordonnées d un vecteur n normal à (ABC) Ce vecteur est normal à (ABC) si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple AB( ; 1 ; 1) et CB( ; 1 ; ) n AB nab= a 1b+ 1c= c= b c= a n CB ncb = a+ 1b c= a b= b= a Il suffit donc de choisir une valeur de a (non nulle) la plus simple possible : 1 pour obtenir les coordonnées d un vecteur normal au plan (ABC) : n ( 1;;) A noter qu avec une autre valeur de a, vous obtiendrez des coordonnées proportionnelles à celles de n donc un vecteur colinéaire à n, c'est-à-dire un autre vecteur normal au plan Vous ne courrez donc aucun risque Déterminer une équation du plan (ABC) Sachant que ce plan passe par A (mais vous pouvez aussi bien choisir B ou C) et a pour vecteur normal n ( 1;;), il a pour équation : 1( x 1) + ( y ) + ( z ) = x 1+ y 4 + z = x+ y+ z 5 = Représentation paramétrique d un plan Théorème : Etant donné un point M et deux vecteurs u et v non colinéaires, l ensemble des points M de l espace tels que MM =λ u+µ v (λ R et µ R) est un plan contenant M et, réciproquement, étant donné un plan P contenant M et deux vecteurs u et v non colinéaires de P, pour tout point M de P il existe deux réels λ et µ tels que P v M u M M M =λ u+µ v GEOMETRIE DANS L ESPACE 5

6 Théorème : Etant donné un plan P, contenant un point M et deux vecteurs u et v non colinéaires, les coordonnées des points M du plan P vérifient le système : x x =λ x +µ x u v y y =λ y y u +µ (λ R et µ R) v z z =λ z z u +µ v λ et µ, pouvant prendre n importe quelle valeur réelle, sont appelés des paramètres d où l appellation de représentation paramétrique 1) Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A( ; 3 ; 1), B( 1 ; ; 1) et C(3 ; ; ) a Montrer que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires Le vecteur AB a pour coordonnées ( 3 ; 1 ; ) et le vecteur AC a pour coordonnées 1 3 (1 ; 3 ; 1) Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs 3 1 AB et AC ne sont pas colinéaires b Donner une représentation paramétrique du plan (ABC) Une représentation paramétrique du plan (ABC) est : x xa =λ x +µ x AB AC x = 3λ+µ y ya =λ y +µ y y 3 3 AB AC = λ µ z z z 1 A =λ z +µ z = µ AB AC λ R, µ R c En déduire une équation cartésienne du plan (ABC) x = 3λ+µ x= 3λ+ 1 z x= 3 3λ z x= 3+ 3y 9z z y= 3 λ 3µ y = 3 λ 3+ 3z y = λ+ 3z λ= y+ 3z z 1 1 z 1 z = µ µ= µ= µ= 1 z x= 3λ+µ x 3y+ 1z 3= y= 3 λ 3µ λ= y+ 3z z 1 = µ µ= 1 z Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne x 3y+ 1z 3 = Positions relatives de deux plans Théorème : Deux plans sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires 1! Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k) d équations 3x 5y + z 7 = et x + y z + 1 = (P) et (Q) sont-ils parallèles? orthogonaux? n 3; 5;1 (P) a pour vecteur normal ( ), on considère les plans (P) et (Q) et (Q) a pour vecteur normal n';1; ( 1) GEOMETRIE DANS L ESPACE 6

7 Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) Les plans (P) et (Q) ne sont donc pas parallèles ; ils sont sécants En revanche n et n ' sont orthogonaux car nn= ' 3 + ( 5) 1+ 1 ( 1) = = Les plans (P) et (Q) sont donc orthogonaux Définition : Le plan médiateur d un segment [AB] est le plan passant par le milieu de [AB] et perpendiculaire à la droite (AB) C est aussi l ensemble des points de l espace équidistants de A et B 1@ Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(5; 1; ) et B(1 ; 1 ; 4) Déterminer, de deux façons différentes, une équation du plan médiateur du segment [AB] Première méthode : ce plan passe par le milieu de [AB], de coordonnées ; ; = ( 3;1;1) et a pour vecteur normal AB de coordonnées ( 4 ; ; 6) d où : 4( x 3) + ( y 1) + 6( z 1) = 4x z 6 = 4x+ 6z+ 6 = et, en simplifiant par : x 3z 3= Seconde méthode : AM= BM ( x 5) + ( y 1) + ( z+ ) = ( x 1) + ( y 1) + ( z 4) AM = BM ( x 5) + ( y 1) + ( z+ ) = ( x 1) + ( y 1) + ( z 4) AM = BM x 1x+ 5 + y y+ 1+ z + 4z+ 4 = x x+ 1+ y y+ 1+ z 8z+ 16 AM = BM 8x+ 1z+ 1 = x 3z 3 = Théorème : La distance du point M (x ; y ; z ) au plan d équation ax + by + cz + d = est ax + by + cz + d égale à : a + b + c Démonstration : Soit M un point quelconque du plan et H le projeté orthogonal de M sur le plan Désignons enfin par n le vecteur, normal au plan, de coordonnées (a ; b ; c) nmm = n ( MH + HM ) = nmh + nhm = nmh + puisque n HM n et MH sont colinéaires, mais on ne sait pas s ils sont ou non de même sens Pour contourner ce problème de signe, on travaille en valeurs absolues : nmm = nmh = n MH = n MH d où : MM ( ) ( ) ( ) MH n ax x + by y + cz z ax ax + by by + cz cz = = = n a + b + c a + b + c Or M appartient au plan donc ax + by + cz + d = d où ax + by + cz = d ax by cz d ax + by + cz + d MH = = a + b + c a + b + c 1# Déterminer la distance du point A( ; 1 ; 3) au plan (P) d équation 3x y z 5 = 3xA ya za = = = 3 + ( 1) + ( 1) GEOMETRIE DANS L ESPACE 7

8 3 Représentations paramétriques de droites Soit M un point de coordonnées (x ; y ; z ) et u un vecteur de coordonnées (α ; β ; γ) Soit enfin (D) la droite passant par M et de vecteur directeur u Tout point M de (D) vérifie l égalité MM = ku où k est un réel quelconque (coefficient de x x = kα x = x + kα colinéarité) On en tire le système : y y = k β que l on peut aussi écrire y = y + k β z z = k γ z = z + k γ Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite (D), dans la mesure où le nombre k qui est un réel quelconque est donc un paramètre Exemples : 1( Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère le point A(1; 5; 4) Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A et de vecteur directeur u(; 1;3) x= 1+ k Une représentation paramétrique de cette droite est le système : y = 5 k ( k R ) z = 4 + 3k ) Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère la droite (D) de x = + 3t représentation paramétrique : y = 1 t z = 3 t Le point A( 4 ; 3 ; 7) appartient-il à (D)? et le point B(11 ; ; 1)? Il suffit de voir si les coordonnées de A vérifient la représentation paramétrique de (D), c'està-dire s il existe un réel t tel que : ya = 1 t 3= 1 t = t t = za 3 t 7 3 t xa = + 3t 4= + 3t 6= 3t = = 4= t Le système ayant une solution, A appartient à la droite (D) On dit souvent qu il s agit du point de (D), de paramètre xb = + 3t 11= + 3t 9= 3t t = 3 Même chose pour B : yb = 1 t = 1 t 3= t t = 3 zb 3 t 1 3 t 4 t = = = t = Ce système n a pas de solution puisque les deux dernière équations sont incompatibles Le point B n appartient pas à la droite (D)! Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les droites D et de x = 1 3t x = 1+ 6t représentations paramétriques respectives : y = + t et y = t sont-elles z = 5 t z = 5 + 4t parallèles? confondues? sécantes? orthogonales? GEOMETRIE DANS L ESPACE 8

9 D après les représentations paramétriques données, D a un vecteur directeur u de coordonnées ( 3 ; 1 ; ) et a un vecteur directeur u ' de coordonnées (6 ; ; 4) On remarque immédiatement que u' = u Les deux droites sont donc parallèles Elles ne sont donc pas sécantes, ni orthogonales Reste à remarquer qu elles passent toutes les deux par le point de coordonnées (1 ; ; 5), or deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues x = 5 Déterminer l intersection de la droite (D) de représentation paramétrique y = 1 λ (λ R) z = 3 + λ avec le plan (P) d équation 3x + y z 6 = Les coordonnées d un éventuel point commun vérifient à la fois le système d équations de (D) et l équation de (P) : x= 5+λ x= 5+λ x= 5+λ y 1 y 1 = λ = λ y = 1 λ z = 3+ λ z = 3+ λ z = 3+ λ 3x+ y z 6= 3(5 +λ ) + 1 λ (3+ λ) 6= 15+ 3λ+ 1 λ 6 4λ 6= x= 5+λ x= 5+λ x= 7 y 1 y 1 = λ = λ y = 1 z = 3+ λ z = 3+ λ z = 7 3x+ y z 6= λ= λ= La droite et le plan ont donc un point commun de coordonnées (7 ; 1 ; 7) 4 Equations de sphères Théorème : La sphère de centre Ω(x Ω ; y Ω ; z Ω ) et de rayon R a pour équation : ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R Exemples : Ω Ω Ω & Déterminer une équation de la sphère de centre A( ; 1 ; ) et de rayon 4 A A A A A A A A A ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R ( x ) + ( y+ 1) + ( z ) = 4 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R x 4x+ 4+ y + y+ 1+ z = 16 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R x + y + z 4x+ y 11= * Déterminer une équation de la sphère de centre A( 1 ; ; ) et passant par le point B(1 ; 1 ; 1) Le rayon de cette sphère est : ( x x ) ( y y ) ( z z ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB = + + = = 6 d où l équation : A A A A A A A A A ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R ( x+ 1) + ( y ) + ( z ) = 6 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R x + x+ 1+ y 4y+ 4+ z = 6 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R x + y + z + x 4y 1= ( Déterminer le centre et le rayon de la sphère d équation : x + y + z x + 4y 6z 11 = Pour faire le travail inverse, on passe par la forme canonique : GEOMETRIE DANS L ESPACE 9

10 x + y + z x+ 4y 6z 11= x x + y + 4y + z 6z 11= x + y + z x+ 4y 6z 11= ( x 1) 1 + ( y+ ) 4 + ( z 3) 9 11= x + y + z x+ 4y 6z 11= ( x 1) + ( y+ ) + ( z 3) = 5 ( ) x + y + z x+ 4y 6z 11= ( x 1) + y ( ) + ( z 3) = 5 Le centre de la sphère a donc pour coordonnées (1 ; ; 3) et le rayon est égal à 5 Positions relatives d une sphère et d un plan : Désignons par Ω le centre de la sphère et par H le projeté orthogonal de Ω sur le plan disjoints tangents sécants ΩH > R ΩH = R ΩH < R Déterminer l intersection de la sphère (S) d équation x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9 = avec le plan (P) d équation x = 11 x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9 = 11+ y + z 11 4y+ 8z+ 9 = x= 11 x= 11 x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9 = y 4y+ z + 8z+ = x= 11 x= 11 x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9= ( y ) 4 + ( z+ 4) 16+ = x= 11 x= 11 x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9 = ( y ) + ( z+ 4) = x= 11 x= y = x= x + y + z 1x 4y+ 8z+ 9 = z+ 4= y = x = 11 x 11 = z = 4 L intersection est réduite à un point La sphère et le plan sont tangents au point de coordonnées (11 ; ; 4) Etudier les positions relatives de la sphère (S) d équation et du plan (P) d équation 3x+ y z 4 = x + y + z 4x 6y 1z+ = x + y + z 4x 6y 1z+ = ( x ) 4 + ( y 3) 9 + ( z 5) 5 + = x + y + z 4x 6y 1z+ = ( x ) + ( y 3) + ( z 5) = 16 x + y + z 4x 6y 1z+ = ( x ) + ( y 3) + ( z 5) = 4 Le centre de la sphère est Ω( ; 3 ; 5) et son rayon est La distance de Ω au plan (P) est : d( Ω ;P) = = = ( 1) 11 La sphère et le cercle sont sécants puisque le plan passe par le centre de la sphère GEOMETRIE DANS L ESPACE 1

11 Positions relatives de deux sphères : Désignons par Ω et Ω' les centres des sphères disjointes extérieurement tangentes extérieurement sécantes ΩΩ' > R + R' ΩΩ' = R + R' R R' < ΩΩ' < R + R' tangentes intérieurement disjointes, l une à l intérieur de l autre ΩΩ' = R R' ΩΩ' < R R' Montrer, sans résoudre de système que les sphères d équations x + y + z 6x+ y 4z+ 5= et x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = sont sécantes, puis déterminer une équation du plan contenant leur cercle d intersection x + y + z 6x+ y 4z+ 5= ( x 3) 9 + ( y+ 1) 1 + ( z ) 4+ 5= x + y + z 6x+ y 4z+ 5= ( x 3) + ( y+ 1) + ( z ) = 9 x + y + z 6x+ y 4z+ 5= ( x 3) + ( y+ 1) + ( z ) = 3 La première sphère a pour centre Ω(3 ; 1 ; ) et pour rayon 3 x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = ( x 5) 5 + ( y ) 4 + ( z 3) = x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = ( x 5) + ( y ) + ( z 3) = 1 La seconde sphère a pour centre Ω'(5 ; ; 3) et pour rayon 1 ΩΩ ' = (5 3) + (+ 1) + (3 ) = = 14 R R' = 3 1= et R + R' = 3+ 1= 4 donc R R' < ΩΩ' < R + R' Les sphères sont sécantes x + y + z 6x+ y 4z+ 5= x + y + z = 6x y+ 4z 5 x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = 6x y+ 4z 5 1x 4y 6z+ 37 = x + y + z 6x+ y 4z+ 5= x + y + z = 6x y+ 4z 5 x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = 4x 6y z + 3 = x + y + z 6x+ y 4z+ 5= x + y + z = 6x y+ 4z 5 x + y + z 1x 4y 6z+ 37 = x+ 3y+ z 16= Une équation du plan contenant le cercle d intersection des deux sphères a donc pour équation x + 3y + z 16 = GEOMETRIE DANS L ESPACE 11

12 5 Barycentre Rappels de première (1) Le barycentre du système pondéré {(A; α);(b; ); } que : α GA +β GB + = O () Le barycentre G du système pondéré {(A; );(B; )} α β vérifie : β AG = AB et BG α = BA α+β α+β β avec α + β +, est le point G tel (3) Lorsque tous les coefficients sont égaux, le barycentre est appelé isobarycentre L isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB] L isobarycentre de trois points A, B et C non alignés est le centre de gravité du triangle ABC (4) G étant le barycentre du système pondéré {(A; α);(b; ); } de l espace, α MA +β MB + = ( α+β+ )MG β, on a, quel que soit le point M MG 1 = α MA +β MB + α+β+ et ( ) (5) L espace étant rapporté à un repère (O; i, j, k), le barycentre du système pondéré {(A; α);(b; β ); } a pour coordonnées : α xa +β xb + α ya +β yb + α za +β zb + xg = ; yg = ; zg = α+β+ α+β+ α+β+ Théorème du barycentre partiel (théorème d associativité) : Dans la recherche du barycentre, on peut remplacer n importe quel nombre de points (dont la somme des coefficients n est pas nulle) par leur barycentre partiel, affecté de la somme des coefficients des points qu il remplace 3# Dans l espace rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(1 ; ; 3), B( ; 1 ; ) et C( 1 ; 3 ; 4) Déterminer les coordonnées du barycentre G du système pondéré {(A ; ) ; (B ; 1) ; (C ; 3)} α xa +β xb +γ xc ( 1) 1 xg = = = α+β+γ α ya +β yb +γ yc yg = = = = 3 α+β+γ α za +β zb +γ zc zg = = = = 4 α+β+γ $ Dans l espace, on considère les points A, B et C non alignés Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs AM + BM et BM + CM soient orthogonaux Soit G 1 le barycentre du système {(A ; 1) ; (B ; )} Il est déterminé par AG1 = AB = AB 1+ 3 Soit G le barycentre du système {(B ; 1) ; (C ; )} GEOMETRIE DANS L ESPACE 1

13 Il est déterminé par BG = BC = BC 1+ 3 Pour tout point M de l espace, AM + BM = (1 + )G1M = 3G1M et BM + CM = 3G M AM + BM BM + CM 3G M 3G M G M G M ( ) ( ) 1 1 L ensemble des points M est la sphère de diamètre [G 1 G ] 3% Dans l espace, rapporté au repère orthonormal (O; i, j, k), on considère les points A(1 ; ; 1) et B( ; ; 3) Déterminer, géométriquement puis analytiquement, l ensemble des points M de l espace tels que : AM + BM = AM BM Géométriquement : Soit G le barycentre du système {(A, 1), (B, 1)}, c'est-à-dire l isobarycentre de A et B donc milieu de [AB] Par théorème, pour tout point M de l espace, AM + BM = (1 + 1)GM = GM Pour le second membre, il n y a pas de barycentre puisque la somme des coefficients est nulle La simple utilisation de la relation de Chasles suffit : Pour tout point M de l espace, AM BM = AM + MB = AB 1 AM + BM = AM BM GM = AB GM = AB GM = AB = AG L ensemble des points M est donc la sphère de centre G et de rayon AG Autrement dit, c est la sphère de diamètre [AB] Analytiquement : Désignons par (x, y, z) les coordonnées d un point M quelconque de l espace Les coordonnées de AM x 1; y ; z+ 1 et celles de BM ( x ; y ; z 3) sont ( ) Les coordonnées de AM + BM sont : ( x 1 + x ; y + y ; z+ 1+ z 3) = ( x 1; y 4; z ) Les coordonnées de AM BM x 1 x ; y y+ ; z+ 1 z+ 3 = 1;; 4 sont : ( ) ( ) AM + BM = AM BM (x 1) + (y 4) + (z ) = ( 1) AM + BM = AM BM (x 1) + (y 4) + (z ) = 17 sont GEOMETRIE DANS L ESPACE 13

14 1 AM + BM = AM BM 4 x + 4( y ) + 4( z 1) = AM + BM = AM BM x + ( y ) + ( z 1) = = 4 1 L ensemble des points M est la sphère dont le centre a pour coordonnées ;;1 (vous pouvez vérifier que ce sont celles du milieu de [AB] ) et de rayon 17 (vous pouvez vérifier que c est la moitié de la distance AB) Pour terminer, quelques théorèmes de géométrie plane, vus en première mais toujours bien utiles : Théorème d Al Kashi : ABC étant un triangle quelconque, on a : BC = AB + AC AB AC cos BAC (Ce théorème est la généralisation du théorème de Pythagore, valable seulement pour les triangles rectangles) Théorème de la médiane : Etant donné un triangle ABC et le milieu I de [BC] : BC AB + AC = AI + GEOMETRIE DANS L ESPACE 14