Sur la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal à solution bang-bang via les méthodes homotopiques. Joseph Gergaud

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1 Sur la résoluion numérique de problèmes de conrôle opimal à soluion bang-bang via les méhodes homoopiques Joseph Gergaud Universié de Toulouse INP-ENSEEIHT-IRIT (UMR CNRS 555) Mémoire d Habiliaion à Diriger des Recherches présené le 8 février 28 devan le jury composé de MM. H.G. Bock Rapporeurs B. Bonnard H. Maurer M. P. Augros Examinaeurs Mme M. Bergounioux MM. E. Hairer P. Legendre J. Noailles

2

3 À mon cher Maîre Joseph Noailles i

4 ii

5 Remerciemens Les deux rapporeurs exérieurs de ce ravail son le professeur Dr. Dr. h.c. Hans Georg Bock de l Universié d Heidelberg e le professeur Dr. Helmu Maurer de l Universié de Münser. Qu ils reçoiven ici l expression de ma graiude pour leurs encouragemens lors de nore renconre au Congrès Franco-Allemand d opimisaion d Heidelberg don je garderai un rès bon souvenir. Mes remerciemens von égalemen au professeur Erns Hairer de l Universié de Genève e examinaeur, pour les conacs e échanges frucueux e chaleureux, ainsi qu à Philippe Augros d EADS ASTRIUM Space Transporaion qui a accepé d êre examinaeur de cee habiliaion e à Maïine Bergounioux, Professeur à l Universié d Orléans, qui m a fai l honneur d en présider le jury. Le Cenre Naional d Éudes Spaiales es un parenaire privilégié depuis de nombreuses années. Que les personnes avec qui nous avons ravaillé, représenées dans ce jury par Paul Legendre, soien remerciées. À ous les membres de l équipe Algorihmiques Parallèles & opimisaion, je souhaie exprimer ou le plaisir qu il y a à ravailler dans cee équipe. Merci Bernard pour es conseils e pour m avoir fai découvrir le conrôle géomérique. Jean-Bapise, mercí per u! Enfin e surou, merci à ous mes enseignans de mahémaiques. Je pense en pariculier à M. Delavallée (mon professeur en première e erminale C au lycée Ariside Briand de Sain- Nazaire), M. Cuany (mon professeur en Mah. Sup. au lycée Clémenceau de Nanes) e à mes professeurs, devenus ensuie collègues, à l ENSEEIHT : Gérard Soubry, Pierre-Marie Marsili, Jean- Louis Lagouanelle e bien sûr à Joseph Noailles à qui ce mémoire es dédié. C es la passion des mahémaiques qu ils on su me ransmere, la qualié de leur enseignemen e les chemins qu ils m on ouvers qui m on condui à faire ce beau méier d enseignan-chercheur. iii

6 iv

7 Table des maières Inroducion Conrôle opimal 3 Les problèmes de conrôle opimal éudiés Le ransfer orbial avec maximisaion de la masse finale Formulaion en coordonnées de Gauss Définiion des problèmes de conrôle opimal résolus Srucure du conrôle Le Principe du Maximum de Ponriaguine Srucure du conrôle Exisence de soluion Difficulés des méhodes de ir Inroducion Propriéés de la foncion de ir Difficulés numériques des méhodes de ir Les méhodes homoopiques 3 Principe générale Inroducion Propriéés de convergence Algorihmes homoopiques Inroducion Théorie du degré opologique e homoopie Homoopie différenielle Homoopie simpliciale Applicaion au ransfer orbial Propriéés de l homoopie de ir Logiciels Résulas numériques Méhode de ir simple e commuaion 33 Inroducion Déecion des commuaions e équaions variaionnelles Calcul de la foncion de ir Calcul de la dérivée Résulas numériques Calcul de la dérivée Conclusion Conservaion du hamilonien Origine de l éude v

8 vi TABLE DES MATIÈRES 3.2 Déecion symérique des commuaions Résulas numériques Conclusion Condiions du second ordre 45 Inroducion Poins conjugués Hypohèses Définiions e héorème Calcul des poins conjugués Applicaion au ransfer orbial Lissage par homoopie Résulas numériques A Minimisaion du hamilonien 55 Inroducion Crière J λ Crière J 2 λ Crière J 4 ε Crière J 5 ε Bibliographie 59

9 Inroducion Ce mémoire es une synhèse de nos ravaux de recherche. Il pore sur la résoluion numérique par les méhodes indireces de problèmes de conrôle opimal à soluion bang-bang. Plus précisémen, nous considérons les problèmes où la minimisaion du hamilonien s écri { H(x, u, p) = a(x, p) u + (f (x) p) + m i= (u if i (x) p), u, avec a(x, p) > ;. e (..) désignen respecivemen la norme euclidienne e le produi scalaire euclidien. Il s agi d un problème d opimisaion convexe mais non sricemen convexe. Ceci va induire un conrôle bang-bang (nous supposons que nous n avons pas d arcs singuliers) dans le sens où la norme du conrôle sera nulle ou égale à. Un exemple qui enre dans ce formalisme e qui es à l origine de ce ravail es le ransfer orbial à poussée faible auour de la Terre avec maximisaion de la masse finale. C es ce problème, issu d une longue collaboraion avec le cenre de Toulouse du Cenre Naional d Éudes Spaiales, que nous uiliserons dans oues nos expérimenaions numériques. La srucure bang-bang de la soluion rend ces problèmes de conrôle opimal difficile à résoudre numériquemen, en pariculier par les méhodes indireces. La difficulé du choix du poin de dépar pour les méhodes de ir es accenuée par les disconinuiés du conrôle. En effe, comme nous le verrons dans le premier chapire via le conrôle géomérique, à chaque srucure du conrôle es associé un ouver sur lequel la foncion de ir es lisse. Mais aux fronières de ces ouvers, celle-ci n es pas en général différeniable ; elle peu même ne pas êre définie en emps que foncion. Il es par suie praiquemen nécessaire d avoir un poin de dépar dans le bon ouver (c es-à-dire celui qui défini la bonne srucure du conrôle opimal) pour pouvoir converger. L objecif des méhodes homoopiques présenées au chapire deux es de résoudre cee difficulé du choix du poin de dépar. L idée principale es de plonger le problème de conrôle opimal dans une famille de problèmes dépendan d un paramère λ [, ] elle que pour λ = le problème soi facile à résoudre e pour λ =, nous rerouvons le problème de dépar. La foncion de ir associée à cee famille de problèmes nous définira alors une homoopie de ir S(z, λ) e le suivi du chemin de zéros de cee homoopie nous conduira alors à un bon poin de dépar. Il fau bien sûr bien choisir la famille de problèmes. Le poin esseniel ici es d obenir pour λ < un hamilonien sricemen convexe en la commande u. Le conrôle sera alors coninu e nous n aurons plus les difficulés liées aux disconinuiés du conrôle. Une fois que l on a obenu un bon poin de dépar, il nous fau résoudre précisémen nore problème. Pour cela, il es nécessaire de déecer avec une grande précision les commuaions. Le chapire 3 présenera en pariculier une nouvelle méhode de déecion qui, couplée avec un schéma d inégraion numérique symérique, nous permera de gagner plusieurs ordres dans la précision des résulas numériques. Enfin, nous nous sommes inéressés dans le dernier chapire aux condiions du second ordre. Nous uiliserons une nouvelle fois l homoopie pour obenir un problème de conrôle opimal lisse e pouvoir ainsi uiliser les condiions du second ordre basées sur les noions d insans e de poins conjugués.

10 2 TABLE DES MATIÈRES

11 Chapire Conrôle opimal Les problèmes de conrôle opimal éudiés. Le ransfer orbial avec maximisaion de la masse finale L origine de nore ravail fu la résoluion numérique du problème de ransfer orbial à poussée faible auour de la Terre avec maximisaion de la masse finale. Le saellie es considéré comme un poin maériel dans le champ de veceurs erresre. Son mouvemen es alors donné par les équaions de Kepler conrôlées (on néglige ici les ermes en J 2 e d ordres supérieurs) r = µr r 3 + T m, où r désigne la norme euclidienne du veceur posiion r = (r, r 2, r 3 ) R 3, T = (T, T 2, T 3 ) le veceur poussée du moeur, e m la masse du saellie. Remarque.. m désignera dans la suie suivan le conexe soi la masse, soi la dimension du conrôle u. L équaion de la masse es elle donnée par ṁ = Ispg T = β T, où Isp es l impulsion spécifique du moeur e g la consane de graviaion à la surface de la Terre. Les valeurs des consanes physiques µ, Isp, β e m (la masse de dépar du saellie), son données à la able.. Consanes Valeurs µ Mm 3.h 2 Isp 2s β.42 2 Mm.h m 5 kg Tab.. Consanes physiques. Un ransfer ypique consise à aeindre l orbie géosaionnaire GEO à parir d une orbie basse à fore excenricié LEO 2. Bien sûr la poussée du moeur es conraine GEosaionary Orbi 2 Low Earh Orbi T T max. 3

12 4 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL L objecif es alors de réaliser le ransfer en maximisan la masse finale ou encore en minimisan la consommaion Max m( f ) Min f T d. En coordonnées carésiennes e en normalisan le conrôle u = T/T max, on obien le problème de conrôle opimal suivan Min f u d ṙ = v v = µr r + T max (P) 3 m u ṁ = βt max u u r(), v(), m() fixés h f (r( f ), v( f )) =, où r es la posiion du saellie, v sa viesse e h f es la foncion expriman que l orbie géosaionnaire es aeine à l insan erminal avec la bonne viesse. Dans cee formulaion, l insan erminal f doi êre fixé, en effe ce problème en emps final libre n adme pas de soluion (cf. la sous-secion 2.3.3)..2 Formulaion en coordonnées de Gauss Ce problème de ransfer orbial à poussée faible nécessie beaucoup de révoluions auour de la Terre, ceci indui de fores oscillaions de l éa en coordonnées carésiennes. C es pourquoi il es préférable de choisir un sysème de coordonnées lié aux élémens orbiaux, les coordonnées de Gauss modifiées [8] x = (P, e x, e y, h x, h y, L) où P es le paramère de l ellipse oscularice, e = (e x, e y ) = (e cos(ω+ω), e sin(ω+ω)) es le veceur excenricié, h = (h x, h y ) = (an(i/2) cos Ω, an(i/2) sin Ω) es le veceur inclinaison e L = Ω + ω + ν es la longiude cumulée. Quan au conrôle u il es exprimé dans le repère orho-radial (q, s, w) lié au saellie ; q = r/ r, w = q q/ q q e s = w q, cf. figure.. Z saellie périgée plan équaorial X orbie Ω v ω Y i k O j i r w S v s q Fig.. Élémens orbiaux e repère orho-radial.

13 . LES PROBLÈMES DE CONTRÔLE OPTIMAL ÉTUDIÉS 5 Nore problème de ransfer orbial devien alors Min f u d ẋ = f (x) + T max m F (x)u = f (x) + T max m ṁ = βt max u (P2) u x(), m() fixés P ( f ), e x ( f ), e y ( f ), h x ( f ), h y ( f ) fixés m( f ) libre L( f ) = L f fixé ou libre. avec e F (x) = P µ f (x) = µ P 3 i= u if i (x), (.) W 2 /P 2P/W sin L cos L + (e x + cos L)/W Ze y /W cos L sin L + (e y + sin L)/W Ze x /W C cos L/2W, (.2) C sin L/2W Z W = + e x cos L + e y sin L Z = h x sin L h y cos L C = + h 2 x + h 2 y. Remarque.2. L uilisaion des coordonnées de Gauss modifiées perme de résoudre le problème de ransfer soi à f fixé e L f libre, soi à L f fixé e f libre, soi encore à f e L f fixés. Noons que fixer L f revien non seulemen à fixer la posiion du saellie sur l orbie finale, mais aussi le nombre de révoluions du saellie auour de la Terre..3 Définiion des problèmes de conrôle opimal résolus On noe n la dimension de x, la dimension de l éa (x, m) es donc n +, e m la dimension du conrôle (m désignera donc soi la masse, soi, lorsque ce sera un enier, la dimension du conrôle), y = (x, m, p, p m ) le veceur éa, éa adjoin e H i (y) = (f i (x) p) i m, (.3) où (..) désigne le produi scalaire dans R n. Le hamilonien associé à nore problème (P2) s écri alors H(x, m, u, p, p, p m ) = (p βt max p m ) u + H (y) + T m max u i H i (y). (.4) m L obje de ce mémoire es de résoudre numériquemen les problèmes de conrôle opimal ayan un hamilonien du ype ci-dessus. Remarque.3. (i) Si le sysème n es pas auonome, la majorié des résulas présenés ici s appliquen. i=

14 6 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL (ii) Les condiions erminales du problème (P2) peuven êre plus générales : h f (x( f )) =. Remarque.4. Si p βt max p m, ce qui sera le cas, le hamilonien es convexe, mais non sricemen convexe par rappor au conrôle. C es en fai cee propriéé de convexié, mais de non srice convexié du hamilonien qui es la propriéé imporane ici (cf. le chapire 2). 2 Srucure du conrôle 2. Le Principe du Maximum de Ponriaguine Sous les hypohèses que l éa rese dans un ouver, la masse m rese sricemen posiive e où les champs de veceurs f,..., f m son lisses, nous pouvons appliquer le Principe du Maximum de Ponriaguine [57]. Équaion adjoine Minimisaion du hamilonien ṗ = f x (x)p T max m m u i f ix (x)p (.5) i= ṗ m = T max (F (x)u p) (.6) m2 (.7) Le conrôle opimal es soluion presque parou de { Min H(x, m, u, p, p, p (P3) m ) u. Condiions de ransversalié En posan la foncion appelée foncion de singularié e p( f ) = h fx (x( f ))ν f (.8) p m ( f ) = (.9) H( f ) = si f es libre (.) φ(y) = (H (y),..., H m (y)) (.) ψ(y) = p βt max p m T max φ(y) (.2) m la foncion appelée foncion de commuaion, la soluion de la minimisaion du Hamilonien s écri Si φ(y) alors φ(y) φ(y) si ψ(y) < u(y) = α φ(y) φ(y) α [, ] si ψ(y) = (.3) si ψ(y) >,

15 2. STRUCTURE DU CONTRÔLE 7 Si φ(y) = alors S(, ) si ψ(y) < u(y) = B(, ) si ψ(y) = si ψ(y) >, (.4) où S(, ) (respecivemen B(, )) désigne la sphère unié (respecivemen la boule unié). For heureusemen pour nous, nous allons voir que le cas φ(y) = ne peu se produire qu un nombre fini de fois. 2.2 Srucure du conrôle Pour êre plus générique, nous suivons ici la démarche du conrôle géomérique de [5], les démonsraions se simplifian dans le cas du ransfer en coordonnées carésiennes (cf. [34]). Monrons ou d abord que sous l hypohèse (H) Les croches de Lie [f i, f j ], i < j m son dans l espace V ec{f,..., f m }, nous avons la Proposiion 2.. Sous l hypohèse (H), la foncion de singularié φ() = φ(y()) es dérivable en ou insan où elle s annule. Démonsraion La foncion de singularié φ() es absolumen coninue, e sa dérivée s écri presque parou φ i () = Ḣi(y()) = ([f, f i ] x() + T max m m u j ()[f j, f i ] x() p()). (.5) Si mainenan es un insan où φ() s annule, c es-à-dire où p() V ec{f,..., f m } x(), alors pour oue suie ( k ) k qui converge vers, ([f j, f i ] x(k ) p( k )) converge vers ([f j, f i ] x() p()) qui es nulle par hypohèse (H). Comme le conrôle es borné on a φ i ( k ) qui converge vers ([f, f i ] x() p()). Par suie φ i () exise e es égale à j= φ i () = ([f, f i ] x() p()). (.6) Les hypohèses (H2) les champs de veceurs (f,..., f m, [f, f ],..., [f, f m ]) engendren R n, e (H3) la commande ideniquemen nulle n es pas admissible, nous perme alors de démonrer la Proposiion 2.2. Sous les hypohèses (H) (H3) la foncion de singularié φ() possède au plus un nombre fini de zéros. Démonsraion Nous allons monrer que l on ne peu avoir φ() = e φ() =. Ainsi les zéros de φ() seron isolés e donc en nombre au plus fini sur ou compac [, f ]. Supposons qu il exise un insan où φ e φ s annulen. Alors p() f i (x()) pour ou i e p() [f, f i ] x() grâce à (.6). L hypohèse (H2) implique alors que p() =. Or l équaion adjoin (.6) es linéaire en p, par suie p es ideniquemen nul sur [, f ]. Dans ce cas p m es aussi ideniquemen nulle sur ce inervalle de emps (ṗ m = e p m ( f ) = ) e donc p. La minimisaion du hamilonien donne alors u =, ce qui es en conradicion avec l hypohèse (H3). Remarque 2.3. Pour nore problème de ransfer orbial, la vérificaion des hypohèses (H) e (H2) a éé faie dans [5].

16 8 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL Enfin, sous l hypohèse supplémenaire (H4) Le emps final f es sricemen supérieur au emps minimum, nous allons démonrer que l on es dans le cas normal. Nous prendrons donc dans la suie p =. Proposiion 2.4. Sous les hypohèses (H) (H4), p. Démonsraion Supposons le conraire, nous avons alors, grâce à l inégalié de Cauchy Schwarz, H(x, m, u, p, p m ) (f (x) p) + ( βp m T max T max m φ(y) ) u, avec l égalié si u = αφ(y)/ φ(y), α. Dans ce cas, puisque ṗ m = α T max m φ(y) e 2 p m ( f ) =, p m e donc (φ(y) presque parou) le coefficien de u es sricemen négaif e la minimisaion du hamilonien donne u = presque parou. Le coû es alors égal à f u d = f e l hypohèse (H4) implique que ce coû es sricemen supérieur au emps minimum f > fmin = fmin u d, (pour le problème en emps minimum u = presque parou [5]). Le conrôle u n es donc pas opimal, d où la conradicion. Remarque 2.5. Nous avons oujours eu, lors de nos expérimenaions numériques βt max p m () >. Ceci implique que βt max p m () βt max p m () >. Par suie lorsque φ(y) =, nous aurons ψ(y) > e le conrôle sera nul. En conséquence, le cas φ(y) = n es pas une difficulé ici e seules les relaions.3 inerviennen. 2.3 Exisence de soluion On suppose dans cee secion que l éa rese dans un compac fixe e que l on a la conrôlabilié du sysème. Pour nore problème de ransfer orbial, le premier poin es vérifié si on suppose que l éa rese dans une zone de sécurié A = {(r, v, m) R 7 r > ρ >, m > χ > } (en coordonnées carésiennes) [5], quan à la conrôlabilié, elle es rivialemen vraie lorsque f es fixé e L f es libre (respecivemen f libre e L f fixé) si on prend f > fmin (respecivemen L f > L fmin ) [5]. Pour f e L f fixés, on supposera la conrôlabilié. Dans ces condiions, la seule hypohèse non vérifiée pour appliquer le héorème d exisence de Filippov (cf. héorème 9.3.i de [6]), es la convexié de f(x, U), ceci à cause le l équaion d éa en la masse. Aussi pour démonrer l exisence il nous fau uiliser les soluions généralisées de Gamkrelidze, Young comme dans [8], pages Le problème généralisé vérifie alors la convexié qui manquai e adme donc une soluion généralisée (ν j, u j) ) j=,...,n+2, ν j pour ou j e j ν j =. On monre alors facilemen que le conrôle u = j ν ju (j) es une soluion du problème généralisé e es admissible pour nore problème de dépar qui adme donc une soluion [34]. 3 Difficulés des méhodes de ir 3. Inroducion Rappelons que nore objecif de dépar es de résoudre numériquemen nore problème de ransfer orbial à poussée faible sans aucune connaissance a priori sur la soluion. Ceci implique en pariculier, lorsqu il n y a pas d arc singulier soluion (ce qui a oujours éé le cas dans nos expérimenaions numériques), que l on ne connaî pas le nombre d insans de disconinuiés du conrôle opimal. Nous avons pour la résoluion numérique écaré les méhodes direces car le

17 3. DIFFICULTÉS DES MÉTHODES DE TIR 9 problème de programmaion mahémaique obenu par ces méhodes es non différeniable à cause de la norme du conrôle. Quan aux méhodes de ir direc [24], à poussée faible elles auraien nécessié un rès grand nombre d insans de discréisaion. C es pourquoi, nous avons préféré uiliser les méhodes indireces e plus précisémen le ir simple. Remarquons que pour nore problème de ransfer orbial exprimé en coordonnées de Gauss modifiées, coordonnées qui son, sauf pour la longiude cumulée, des inégrales premières du mouvemen pour le sysème non conrôlé, le ir muliple n appore pas d avanage majeur ici. 3.2 Propriéés de la foncion de ir Pour simplifier la présenaion, nous supposerons ici que le emps final f es fixé. Le cas où il es libre ne pose pas de difficulés majeures. À cause des relaions (.3), (nous écarons les relaions.4 grâce à la remarque 2.5), l éude de la coninuié, voir de la définiion de la foncion de ir n es pas riviale. Le problème aux deux bous issu de l applicaion du principe du maximum de Ponriaguine s écri alors sous la forme d une inclusion différenielle avec (BVP4) e U(y) la muli-applicaion définie par [ U(y) = ẏ ϕ(y, U(y)) x(), m() fixés h f (x( f )) =, p( f ) = h fx (x( f ))ν f, p m ( f ) =, f (x) + T max m F (x)u βt ϕ(y, u) = max u f x (x)p m i= f ix p, (F (x)u p) T max m 2 φ(y) φ(y) ] si ψ(y) < si ψ(y) =, φ(y) φ(y) si ψ(y) > (.7) Il es alors facile de vérifier que le second membre de ce problème aux deux bous es à valeurs convexes e compaces e es semi-coninu supérieuremen. Les héorèmes classiques des inclusions différenielles [6] e [29] nous disen alors que l applicaion qui à une condiion iniiale y associe l ensemble des soluions en f de l inclusion différenielle { ẏ ϕ(y, U(y)) (IVP5) y() = y es à valeurs compaces, acycliques (e donc connexe) e es semi-coninue supérieuremen. Par suie ces propriéés seron conservées pour la muli-applicaion de ir. Nous allons mainenan nous inéresser au cas où cee muli-applicaion es une applicaion e éudier sa dérivabilié. Soi y(., z) l unique foncion soluion de l inclusion différenielle à valeur iniiale Ω l ensemble (IVP6) e ψ z () = ψ(y(, z)), nous avons alors la ẏ ϕ(y, U(y)) (x(), m()) = (x, m ) (p(), p m ()) = z, Ω = {z R n+ φ(y(, z)) [, f ], ψ 2 (y(, z)) + (φ(y(, z)) φ(y(, z))) 2, ψ(y(, z)) e ψ(y( f, z)) } (.8)

18 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL Proposiion 3.. (i) Pour ou z Ω, ψ z () es coninûmen différeniable e possède au plus un nombre fini de zéros. (ii) Ω es ouver e la foncion de ir S(z) es C sur ce ouver. Démonsraion (i) Soi z dans Ω, la foncion ψ z (), qui es absolumen coninue, es dérivable presque parou. Un calcul simple monre que ψ z () ψ z () = T max m (φ(y(, z)) φ(y(, z))). (.9) φ(y(, z)) Mais ici φ(y(, z)) = (H (y(, z)),..., H m (y(, z))) e φ(y(, z)) (.6) peu s écrire en uilisan les croches de Poisson φ i (y()) = {H, H i } (x(,z),p(,z)) α(y(, z)) φ(y(, z) m H j (y(, z)){h j, H i } (x(,z),p(,z)). Remarque 3.2. Il fau comprendre dans les croches de Poisson ci-dessus les foncions H i, i =,..., m comme de dépendan que des variables x e p. Nous avons donc, en suppriman les argumens afin de ne pas surcharger l écriure, j= (φ φ) = m i= H i{h, H i } α m m φ i= j= H ih j {H j, H i } = m i= H i{h, H i }, (.2) par anisymérie des croches de Poisson. En conclusion (φ(y(, z) φ(y(, z))), donc ψ(y(, z)), es coninue e ψ z () es C. Ensuie, par définiion de Ω, ψ z e ψ z ne peuven s annuler en même emps e les zéros de ψ z son isolés e donc en nombre fini. (ii) Soi mainenan z dans Ω. Si pour ou dans [, f ], ψ z (), alors le problème à valeur iniiale (IVP6) se ramène à un sysème de Cauchy classique avec un second membre lisse. La foncion de ir es alors bien définie e es lisse. Supposons mainenan qu il y ai sur l inervalle ], f [ qu un seul insan où ψ z s annule, alors la soluion y(., z) es la soluion y (, z) d un problème de Cauchy lisse sur l inervalle[, [ (IVP7) ẏ = ϕ (y) (x(), m() = (x, m ) (p(), p m ()) = z. Dans ce cas la foncion z (z) es bien définie e es lisse dans un voisinage de z. En effe la foncion vérifie g : [, + η] B(z, η) R (, w) ψ(y (, w)) g (, z) = ψ y ẏ(, z) = ψ z ( ). Le héorème des foncions implicies implique alors que (z) es C. Mais alors sur ], f ], y(, z) es la soluion y 2 (, z) du sysème de Cauchy lisse ayan le deuxième champ de veceurs lisse { ẏ = ϕ2 (y) (IVP8) y( ) = y (, z).

19 3. DIFFICULTÉS DES MÉTHODES DE TIR En effe y(., z) arrive ransversalemen à la surface de commuaion Σ = {y R 2n+2 ψ(y) = } car ψ z ( ) = ψ y ϕ (y(, z)) = ψ y ϕ 2(y(, z)) = T max m (φ(y(,z)) φ(y(,z))) φ(y(,z)). (.2) Il suffi alors de composer les foncions z ( (z), y ( (z), z)) y 2 ( f, (z), y ( (z), z)) pour conclure. Lorsque l on a un nombre fini de commuaions, il suffi de répéer l argumen. Remarque 3.3. Dire que z es dans Ω signifie qu il n y a aucun insan dans [, f ] où un arc de poussée apparaî ou disparaî localemen, e qu il n y a pas d arc singuliers. Dans ce cas lorsque ψ z () =, on a bien une commuaion du conrôle. 3.3 Difficulés numériques des méhodes de ir Afin d illusrer nore propos, nous allons considérer l exemple du problème simple, noé (P9), d un poin maériel don on conrôle l accéléraion ẍ = u, d où l on par à l insan iniial = de la posiion x = avec une viesse nulle pour arriver en f = 2 en x f =.5 avec une viesse nulle, e don le conrôle es conrain u, le crière à minimiser éan 2 u d. La foncion de ir es visualisée sur la figure S (z) S 2 (z) z2 4 4 z z2 4 4 z Fig..2 Foncion de ir du problème simple (P9). Sur ce exemple, on peu facilemen voir que l ouver Ω es la réunion de 9 régions caracérisées par la srucure du conrôle, cf. la figure.3. Plus précisémen sur ce exemple : (i) la foncion de ir es consane sur les ensembles D, D e D + ; (ii) la foncion de ir n es pas définie en emps que foncion en z = (, ) e z = (, ) ; (iii) la foncion de ir n es pas différeniable sur la fronière de l ouver Ω. Une conséquence de ceci concernan l uilisaion de la méhode de ype Newon pour résoudre l équaion de ir S(z) = es que si le poin iniial z n es pas choisi dans la bonne région, c es-à-dire celle qui correspond à la bonne srucure de la commande opimale, alors l algorihme risque de diverger. Sur ce pei exemple en effe, l algorime peu générer un poin dans la région D où la foncion de ir es consane. Or dans la praique, nous ne connaissons pas la srucure de

20 2 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL u() u() u() D D, D,,+ u() u() u() D, D D,+ u() u() u() D +,, D +, D + Fig..3 Srucure du conrôle opimal pour le problème simple (P9) ; les équaions des droies son z 2 =, z 2 = +, 2z + z 2 =, 2z + z 2 = +. cee commande opimale. L inroducion des méhodes homoopiques du chapire suivan a pour objecif de s affranchir de cee difficulé. La deuxième difficulé qui inervien, qui es d ordre numérique, es le calcul de la foncion de ir e de sa dérivée. En effe, le second membre de l équaion différenielle qui défini la foncion de ir es disconinue, il nous faudra, pour résoudre finemen nore équaion de ir calculer finemen cee foncion de ir e sa dérivée. Ce poin fai l obje du chapire 3.

21 Chapire 2 Les méhodes homoopiques Principe générale. Inroducion L idée des méhodes homoopiques es de plonger nore problème de dépar (P ) dans une famille de problèmes (P ) λ dépendan d un paramère λ [, ] elle que pour λ = le problème soi facile à résoudre e pour λ = nous rerouvons le problème de dépar. Nous espérons ainsi lorsque ce paramère homoopique parcour le segmen [, ], que le chemin des soluions des problèmes (P ) λ nous amène à la soluion recherchée. Dans nore cas, l idée a éé de connecer, pour λ =, le problème de conrôle opimal avec la minimisaion du carré de la norme L 2 du conrôle au problème, pour λ =, avec la minimisaion de la norme L du conrôle [33] : J λ (u) = f Dans ce cas en effe, si nous posons, pour λ <, (λ u + ( λ) u 2 )d. (2.) α(y, λ) = λ βt maxp m (T max /m) φ(y) 2( λ) (2.2) la minimisaion du hamilonien donne Si φ(y) alors φ(y) φ(y) si ψ(y) ( λ) u(y, λ) = α(y, λ) φ(y) φ(y) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) ( λ) Si φ(y) = alors S(, ) si ψ(y) ( λ) u(y, λ) = S(, α(y, λ)) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) ( λ). En conséquence, si φ(y()) pour ou, le conrôle u(y(), λ) sera C par morceaux. La famille de foncions de ir associée nous fournira alors une homoopie de ir S : R n+ [, ] R n+, e la recherche du chemin de zéros de cee homoopie nous permera alors de rouver la soluion de nore problème de conrôle opimal de dépar. 3 (2.3) (2.4)

22 4 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES On rouve dans la liéraure d aures crières, cions en pariculier proposé dans [33, 38, 65], ou J 2 λ(u) = f u 2 λ d, λ [, ], (2.5) J 3 ρ (u) = f ( u + ρ u 2 )d, ρ [, ρ ] ρ consane >, (2.6) proposé par Chen e Huang [2], ou le crière appelé poin inérieur par analogie avec la programmaion mahémaique proposé par Bonnans [35, 7, 45]. J 4 ε (u) = f ou encore celui proposé par R. Épenoy [28] J 5 ε (u) = f ( u ε(ln( u )))d, ε [, ε ] ε consane >, (2.7) ( u ε(ln( u ) + ln( u )))d, ε [, ε ] ε consane >. (2.8) Remarque.. En re-écrivan, pour λ >, J(u) = λ f λ ( u + λ u 2 )d, nous rerouvons le crière J ρ (u). En posan ε = ( λ)ε, nous rerouvons bien une famille de problèmes paramérés par λ. Les différens avanages e inconvéniens de ces différens crières son : (i) Pour ous ces crières, lorsque φ(y) e λ <, la minimisaion du hamilonien a pour résula u(y, λ) = α(ψ(y), λ)φ(y)/ φ(y) avec α coninue. Nous renvoyons à l annexe A pour les expressions analyiques e la visualisaion de la foncion α. (ii) L iniialisaion pour les crières J λ e Jλ 2 es plus simple. En effe le problème iniial es la minimisaion du carré de la norme L 2 du conrôle, problème pour lequel il sera facile de rouver une soluion. Pour les aures crières, il faudra rouver une valeur des consanes ρ e ε respecivemen pour lesquels la soluion se calcule facilemen. (iii) Dans le cas où βt max p m rese sricemen posiif sur [, f ], en pariculier lorsque β =, le hamilonien es sricemen convexe en u pour les 4 premiers crières lorsque λ <. Ceci impliquera que le conrôle opimal sera coninu, ceci même lorsque la foncion de singularié φ(y) es nulle, [3], [33], [59]. (iv) L inérê par conre du dernier crière es que le conrôle u(y, λ) es lisse si φ(y). Pour les crières J λ (e donc aussi pour le crière Jρ 3 ) e Jλ 2 e pour oues les valeurs de λ, les proposiions resen vraies. Nous avons donc oujours un nombre au plus fini d insans où la foncion de singularié φ() s annule e nous serons aussi oujours dans le cas de problèmes de conrôle normaux (p ). Nous avons de même les propriéés d exisence de soluion. Par conre pour les crières Jε 4 e Jε 5, ceci es moins éviden : (i) la proposiion 2. rese vraie pour les deux crières ; (ii) la proposiion 2.2 rese vraie pour le crière Jε 4. Pour avoir la même conclusion pour le crière Jε 5, il fau rempacer l hypohèse (H3) par l hypohèse (H 3) Il exise γ el que aucun conrôle u vérifian u γ n es admissible. (iii) Pour la proposiion 2.4 qui conclu à la normalié du problème de conrôle, elle es vraie si on monre l exisence de soluion. En effe la minimisaion du hamilonien lorsque p = n a pas de soluion dans la boule ouvere B(, ) e donc si on a l exisence de soluion ceci ne peu se produire. (iv) L exisence de soluion n es pas évidene car nous pouvons rès bien avoir des conrôles admissibles (donc qui resen presque parou dans la boule ouvere B(, )) de norme infinie égale à ou en ayan une valeur finie pour le crière.

23 . PRINCIPE GÉNÉRALE 5.2 Propriéés de convergence Concernan le crière J λ (u) nous pouvons démonrer la Proposiion.2. Sous les hypohèses (H) (H4) du chapire précéden, si (x λ, u λ ) es une soluion du problème (P λ ) alors pour ou λ λ nous avons : (i) (ii) J λ (u λ ) J (u λ ) end vers lorsque λ end vers. J λ (u λ ) J λ (u λ ) J (u ) J (u λ ). (2.9) (iii) J λ (u λ ) e J (u λ ) enden vers J (u ) lorsque λ end vers. Démonsraion (i) Pour ou u dans la boule unié B(, ) e pour ou λ λ, nous avons λ u + ( λ) u 2 = λ u + ( λ) u 2 + (λ λ)( u u 2 ) λ u + ( λ) u 2. Ceci implique que J λ (u) J λ (u) pour ou conrôle admissible. Comme l ensemble des conrôles admissibles es le même pour ous les λ [, ], nous avons l inégalié suivane : J λ (u λ ) J λ (u λ ) J λ (u λ ). (ii) La foncion l(u, λ) = λ u + ( λ) u 2 es coninue sur le compac B(, ) [, ], elle es donc uniformémen coninue. Par suie, pour ou ε >, il exise η > el que pour ou λ, λ < η e u B(, ) on ai l(u, λ) l(u, ). Nous avons donc J λ (u λ ) J (u λ f l(u λ, λ) l(u λ, ) d ε f. D où le résula lorsque f es fixé (si f es libre, il fau le borner). (iii) Éviden. Concernan le ransfer orbial la figure 2. illusre parfaiemen cee proposiion. Remarque.3. Nous avons rivialemen le même ype de résulas pour le crière J 2 λ. Lorsqu une suie (λ k ) k es une suie qui converge vers, (u k ) k es donc une suie minimisane de (P ). Nous allons conclure à la convergence d une sous-suie des conrôles (u λk ) λk vers un conrôle opimal dans le cas où il es possible d inverser de façon lisse la dynamique (H) Il exise R e S lisses, R(x, m) L(R n, R m ) e S(x, m) R m, el que si y = f(x, m, u) alors u = R(x, m)y + S(x, m). Remarque.4. Pour les problèmes de ransfer orbial, l hypohèse (H) es rivialemen vérifiée. Proposiion.5. On suppose que les hypohèses (H) (H4) du chapire précéden e l hypohèse (H) ci-dessus son vérifiées. On suppose de plus que f es borné dans le cas d un problème à emps final libre. Alors si (λ k ) k es une suie de poins de [, ] qui converge vers lorsque k end vers +, e si (x k, u k ) es pour ou k une paire opimale du problème (P ) λk, il exise une sous-suie, oujours noée (x k, u k ) k, qui converge vers une soluion ( x, ū) du problème (P ) au sens suivan :

24 6 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES 8 J λ J 75 7 J λ Fig. 2. J (u λ ) e J λ (u λ ) en foncion de λ (cas d un ransfer de N). (i) x k x uniformémen sur [, f ]. (ii) u k ū *-faiblemen dans L m ([, f ]). Démonsraion (i) La démonsraion sui la démonsraion classique du héorème d exisence de Filippov. Tou d abord, la proposiion.2 nous di que (u k ) k es une suie minimisane de (P ). Ensuie, les hypohèses assuren que (x k ) k es une suie de foncions absolumen coninues équibornées e que ẋ k L pour ou k. Le héorème 4, page 3 de [6] di qu il exise une sous-suie (x k ) k qui converge uniformémen vers x absolumen coninue e (ẋ k ) k converge *-faiblemen vers x dans L n ([, f ]). Du héorème de fermeure (8.8.i) de [8], x() apparien à Q G ( x()) presque parou. L ensemble Q G (x()) es, comme page 33 [8], l ensemble associé au problème généralisé (P ) G de ous les ( x, x) avec x l G (ν,...,..., ν n+2, u (),..., u (n+2) ) e x = f G (x, ν,...,..., ν n+2, u (),..., u (n+2) ) pour un conrôle généralisé (l G e f G son les foncions qui définissen respecivemen le coû e l équaion d éa du problème généralisé). Enfin, x es une rajecoire opimale du problème généralisé. Par sélecion mesurable, un conrôle généralisé ( ν,..., ν n+2, ū (),..., ū (n+2) ) associé à x peu êre choisi. Mainenan, comme pour l exisence de soluion.2.3, on consae que ū = n+2 i= ν iū (i), es un conrôle admissible pour (P ) associé à x. (ii) L hypohèse (H) implique les égaliés u k = (R(x k, m k )ẋ k + S(x k, m k ))χ k ū = R( x, m) x + S( x, m). Or (x k, m k ) k converge uniformémen vers ( x, m) k e ẋ k converge *-faiblemen vers x dans L n ([, f ]), d où le résula. La figure 2.2 illusre cee convergence. Considérons mainenan les crières Jε 4 (u) e Jε 5 (u). Il es facile de monrer, si les problèmes (P ) ε on des soluions que pour < ε ε on a J (u ) J (u ε ) J ε (u ε ) J ε (u ε ). Pour démonrer ensuie la convergence de J ε (u ε ) vers J (u ) il nous fau supposer que pour ou conrôle admissible u pour le problème (P ), il exise une suie de conrôles admissibles (u k ) k

25 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES u() Fig. 2.2 Évoluion de la norme du conrôle pour λ =,.38 e (Cas d un ransfer à N). vérifian pour le crière J 4 λ (respecivemen J 5 λ ) u k < presque parou (respecivemen < u k < pp) qui converge vers u. Sous cee hypohèse la démonsraion classique des méhodes de pénaliés inérieures de la programmaion mahémaique s applique sans difficulés. Remarque.6. Praiquemen, pour le ransfer orbial l homoopie J 5 ε (u) condui bien vers la soluion quand ε emps vers (cf. le chapire 4). 2 Algorihmes homoopiques 2. Inroducion Dans le cas favorable, nore homoopie de ir sera lisse e le calcul du chemin de zeros, nous conduira vers la soluion recherchée. Nous allons ici exposer les différenes méhodes de calcul de ce chemin de zéros. Afin de respecer les noaions classiques liées à l homoopie, nous noerons h(x, λ) dans cee secion l homoopie au lieu de S(z, λ). Bien évidemmen le premier algorihme qui vien à l espri es celui, appelé dans la suie l algorihme de coninuaion discrèe, qui consise à résoudre successivemen les équaions non linéaires h(x, λ i ) = pour une suie de valeurs de λ sricemen croissane de à : = λ < λ <... < λ N =. L inconvénien de ce algorihme réside dans le choix de la suie. Pour nore problème de ransfer orbial, nous n avons pas réussi à rouver une elle bonne suie (nous comprendrons pourquoi lorsque nous visualiserons un chemin de zéros cf. la figure 2.9), c es pourquoi nous nous sommes inéressés aux algorihmes homoopiques différeniels e simpliciaux 2. D un poin de vue héorique, l homoopie es liée à la héorie du degré opologique don nous allons donner quelques définiions e résulas uiles dans le cadre de ce mémoire. 2.2 Théorie du degré opologique e homoopie La présenaion choisie ici es celle de la héorie analyique du degré opologique en dimension finie. Nous ne donnons que les résulas mahémaiques, nous renvoyons pour les démonsraions à [55] e [62]. On considère f : Ω R n R n, une foncion coninue e y R n. Un problème souven posé es l exisence d une soluion dans Ω à l équaion f(x) = y. La héorie du degré opologique perme Predicor-Correcor Mehods. 2 Piecewise-Linear Mehods.

26 8 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES de donner une condiion suffisane pour répondre posiivemen à cee quesion. On suppose ici que Ω es un ouver borné de R n e que y f( Ω), où Ω désigne la fronière de Ω. Si f es coninûmen différeniable e que y n es pas une valeur criique, c es-à-dire que soi f (y) =, soi pour ou poin x dans f (y) on a de f (x), alors on défini le degré opologique de f par rappor à Ω e à y par deg(f, Ω, y) = sign de f (x). (2.) x f (y) C es donc le nombre algébrique de soluions dans Ω de f(x) = y, c es-à-dire le nombre de soluions qui conserven l orienaion moins le nombre de soluions qui renversen l orienaion. On dédui immédiaemen de cee définiion que si deg(f, Ω, y) alors f(x) = y possède une soluion! On démonre que l on peu éendre cee définiion au cas des foncions coninues vérifian y f( Ω). Il suffi en fai de considérer une suie de foncions (f k ) k de classe C qui converge uniformémen vers f e de poser deg(f, Ω, y) = lim deg(f k, Ω, y). k + On démonre en effe que cee limie exise e ne dépend pas de la suie (f k ) k choisie. Revenons mainenan à l homoopie Définiion 2.. Soi Ω un ouver bornée de R n, on appelle homoopie, oue applicaion coninue h : Ω [, ] R n. (2.) L homoopie es die admissible par rappor à Ω e à y si y h( Ω [, ]). Elle es die connecer r e f si h(x, ) = r(x) e h(x, ) = f(x) pour ou x Ω. On démonre alors les propriéés fondamenales suivanes Propriéés 2.2. Soien Ω un ouver borné de R n, f une applicaion coninue de Ω à valeurs dans R n e y f( Ω), alors (i) deg(f, Ω, y) Z. (ii) deg(f, Ω, y) = x Ω f(x) = y. (iii) Si h es une homoopie admissible par rappor à Ω e à y qui connece r à f, alors le degré opologique es consan deg(h(., λ), Ω, y) = C e. (2.2) La conséquence de la propriéé (2.2) es que si nous arrivons à consruire une homoopie admissible par rappor à Ω e à qui connece une applicaion simple r don le degré opologique deg(r, Ω, ) es non nul à une applicaion f, alors nous aurons démonré l exisence d une soluion dans Ω à l équaion f(x) =. Ce ouil rès puissan perme en fai de démonrer l exisence de poin fixe comme les héorèmes de poins fixes de Brouwer ou de Leray-Schauder [62], ou encore des héorèmes d exisence de soluion pour des problèmes aux deux bous [56]. 2.3 Homoopie différenielle Nous allons rapidemen dans cee sous-secion présener les méhodes homoopiques différenielles, égalemen appelées coninuaion différenielle ou encore de Prédicion-Correcion. Les deux premières appellaions viennen du fai que l on suppose que le chemin de zéros es une courbe différeniable, la dernière appellaion fai référence à l algorihme lui-même. On rouve dans la liéraure un grand nombre de références sur ce suje, cions en pariculier[5] qui es un bon ouvrage de synhèse, [22] qui donne l algorihme uilisé dans le logiciel Hompack9 de Wason e al., que l on rouvera sur Nelib e que nous avons uilisé, ainsi que [67, 68, 66, 7, 69, 7, 73, 72, 74, 75, 76, 78, 77, 79].

27 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 9 Pour suivre le chemin de zéros, il fau ou d abord que ce chemin exise. On fai classiquemen, pour une homoopie coninûmen différeniable h = Ω [, ] R n, où Ω es un ouver bornée de R n, les hypohèses (H2) Pour ou (x, λ) h (), rang(h (x, λ)) = n, e (H3) Pour ou (x, ) h (), rang( h x (x, )) = n e pour ou (x, ) h (), rang( h x (x, )) = n. afin d avoir le Théorème 2.3. Soi Ω un ouver borné de R n e h = Ω [, ] R n une homoopie coninûmen différeniable. Si les hypohèses (H2) e (H3) son vérifiées alors h () es consiué : (i) d un nombre fini de courbes fermées de longueur finie dans Ω [, ] ; (ii) d un nombre fini d arcs de longueur finie ayan ses poins erminaux dans Ω [, ]. Les courbes son oues disjoines enre elles e son coninûmen différeniables Démonsraion Voir [3]. Les figures 2.3 illusren les chemins possibles e impossibles Fig. 2.3 Chemins possibles (à gauche) e impossibles (à droie) (x es en abscisse e λ en ordonnée). Nous pouvons mainenan décrire les méhodes homoopiques différenielles. Sous les hypohèses du héorème précéden, noons c la courbe différeniable issu de (x, ) e paramérisons cee courbe par l abscisse curviligne s. Sous les hypohèses supplémenaires (H4) Pour ou s le rang de h (c(s)) es n, e (H5) Pour ou s, ċ(s), le veceur angen à la courbe au poin c(s) de norme, noé k(h (x(s), λ(s))) es parfaiemen déerminé par (i) h (c(s))ċ(s) = (ii) ċ(s) = ( ( S (iii) sign de ċ(s) (c(s)) )) En conséquence la courbe c(s) es soluion du sysème différeniel à condiion iniiale { ċ(s) = k(h (IVP) (c(s))) c() = (x, ).

28 2 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Il suffi alors d effecuer une inégraion de s = à s f el que λ(s f ) = pour consruire le chemin de zéros. Pour effecuer cee inégraion, la première idée qui vien à l espri es d uiliser un inégraeur numérique de ype Runge-Kua par exemple. Mais ceci ne prend pas en compe l informaion la plus imporane à savoir que la courbe es un chemin de zéros de l homoopie. C es pourquoi on préfère en praique uiliser une méhode de Prédicion-Correcion visualisée sur la figure h(x, λ) = lambda (x +, λ + ) Correcion ( x, λ) Prédicion.3.2. (x c, λ c ) x Fig. 2.4 Prédicion-Correcion pour l inégraion. Chaque pas es consiué de deux éapes. La première es d effecuer un pas d inégraion numérique peu coûeux, par exemple Euler ( x, λ) = (x c, λ c ) + δs k(h (x c, λ c )). (2.3) La deuxième éape es ensuie de corriger cee prédicion en revenan sur le chemin de zéros. Ceci es réalisé en résolvan le problème d opimisaion { Min (x, λ) ( x, 2 λ) (P2) h(x, λ) =. Si la résoluion du problème d opimisaion (P2) se fai en peu d iéraions alors le pas d inégraion es augmené. Dans le cas où il ne converge pas, on rese au poin couran e on diminue le pas d inégraion. Résumons ceci : Algorihme général des méhodes homoopiques différenielles Iniialisaion x el que h(x, ) = δs > (par exemple.) λ = Corps anque λ < faire Calculer k(h (x, λ) ( x, λ) := pred(x, λ, δs,...) (Prédicion)

29 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 2 Résoudre le problème d opimisaion (P2) Si l algorihme pour résoudre (P2) diverge alors Réduire le pas δs sinon (x, λ) := la soluion du problème d opimisaion (P2) Mere à jour le pas d inégraion δs fin si fin anque Résoudre l équaion h(x, ) par un algorihme de ype Newon. Pour une descripion plus déaillée de cee méhode e en pariculier pour les aspecs numériques nous renvoyons à l ouvrage d Allgower e Georg[5] e à [79] e [36] pour le logiciel Hompack9 que nous avons uilisé. Nous souhaions cependan faire quelques remarques concernan son applicaion pour nos problèmes de conrôle opimal. Le calcul du second membre k(h (x, λ)) du sysème différeniel (IVP) nécessie de calculer la dérivée de l homoopie. Or, dans nore cas cee homoopie es l homoopie de ir S(z, λ) don l évaluaion es obenue par inégraion numérique. Le calcul du second membre k(h (x, λ)) es donc rès coûeux, d où l inérê de considérer des schémas simples pour la prédicion. Quan à la résoluion du problème d opimisaion dans l éape de la correcion, elle sera effecuée par un algorihme de pseudo-newon en uilisan une mise à jour de ype Broyden pour la dérivée. 2.4 Homoopie simpliciale L idée principale des méhodes homoopiques simpliciales es de calculer le chemin de zéros de l approximaion affine par morceaux de l homoopie sur chaque simplexe d une riangulaion (cf. les définiions ci-après). L inérê de ces méhodes par rappor aux méhodes homoopiques différenielles es qu elles n uilisen pas la dérivée de l homoopie, seule la coninuié es nécessaire. Nous pouvons même uiliser ces méhodes pour des applicaions muli-valuées semi-coninues supérieuremen. Pour une présenaion plus déaillée des ces méhodes nous renvoyons encore une fois à l ouvrage d E. Allgower e K. Georg [4] e leur aricle [3], mais aussi aux aricles de M.J. Todd [63] e [64]. Avan de donner l algorihme générique des méhodes homoopiques simpliciales, nous avons besoins de quelques définiions e propriéés. Définiion 2.4 (n simplexe). On appelle n simplexe l enveloppe convexe de (n + ) poins affinemen indépendans. On noera σ = [v,..., v n ] un n simplexe. Les poins v,..., v n son appelés les sommes du n simplexe σ. Définiion 2.5 (k face). On appelle k face d un n simplexe σ = [v,..., v n ], ou k simplexe de somme {w,..., w k } {v,..., v n }. Les -faces son les sommes du simplexe e les faces les arêes du n simplexe. Définiion 2.6 (Triangulaion). Soi K une collecion non vide de n simplexes de R n, finie ou infinie dénombrable, e soi K = {σ K} σ. Alors, K es une riangulaion (de K ) si les deux condiions suivanes son vérifiées : (i) L inersecion de 2 n simplexes de K es vide ou es une k face. (ii) K es localemen finie, c es-à-dire que ou sous ensemble compac non vide de K ne renconre qu un nombre fini de n simplexes de K. Les figures 2.5 illusren des siuaions où la condiion (2.6.i) es saisfaie e non saisfaie. Définiion 2.7 (Fronière d une riangulaion). On appelle fronière d une riangulaion K l ensemble, noé K, des (n ) faces qui n appariennen qu à un seul simplexe de K. On démonre alors facilemen la

30 22 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Fig. 2.5 À gauche la condiion (2.6.i) es saisfaie e à droie cee relaion n es pas saisfaie. Propriéé 2.8. Soi K une riangulaion, alors chaque (n ) faces de K qui n es pas dans la fronière de K apparien à exacemen 2 n simplexes de K. La figure visualise les riangulaions K de Freundenhal, qui es une riangulaion uniforme de R [, ], e J3 de Todd, qui es une riangulaion raffinée en λ de R [, [. Fig. 2.6 À gauche, riangulaion K uniforme de Freundenhal de R [, ] e à droie riangulaion J3 raffinée de Todd de R [, [. Ces riangulaions se généralisen au cas R n e son consrucives dans le sens où si on se donne un n simplexe σ e une (n ) face τ de ce simplexe qui n apparien pas à la fronière de la riangulaion K, alors on sai calculer simplemen l unique n simplexe σ différen de σ de la riangulaion ayan τ comme (n ) face. L algorihme de consrucion du simplexe σ à parir de σ e τ s appelle la règle de pivoage du n simplexe σ à ravers la (n ) face τ. Afin de définir les simplexes qui approximeron le chemin de zéros de l homoopie, nous inroduisons la noion bien connue en programmaion linéaire de L.P.base [23]. Définiion 2.9 (LP base). Un ensemble de (n + ) poins affinemen indépendans a,..., a n de R n es une LP base s il exise ε > el que pour ou ε ε, le veceur (ε, ε 2,..., ε n ) apparien au n simplexe [a,..., a n ]. Définiion 2. (Marice lexicographiquemen posiive). Une marice carrée inversible Λ es lexicographiquemen posiive si e seulemen si le premier élémen non nul de chaque ligne de son inverse Λ es posiif. On démonre alors facilemen le Lemme 2.. Un ensemble de (n + ) poins a,..., a n de R n es une LP base si e seulemen si la marice ( )... Λ = a a... a n es lexicographiquemen posiive.

31 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 23 Nous arrivons mainenan au héorème fondamenal suivan. Théorème 2.2. Soi a,..., a n une LP base de R n e a un poin quelconque de R n. Alors il exise un unique indice i dans {,..., n} el que {a,..., a n }\{a i } {a} soi encore une LP base. Remarque 2.3. La démonsraion qui es classique, cf. par exemple [3], es consrucive e sera un élémen imporan, qui sera appelé le es lexicographique, dans les algorihmes homoopiques simpliciaux. Définiion 2.4 (Éiqueage d un simplexe). Soi τ = [v,..., v n ] un n simplexe. On appelle éiqueage de τ une applicaion e : τ R n (2.4) Définiion 2.5 (Marice d éiqueage). Soi τ un n simplexe e e un éiqueage. On appelle marice d éiqueage de τ la marice ( )... D τ = e(v )... e(v n (2.5) ) Définiion 2.6 (n simplexe complèemen éiqueé). On di qu un n simplexe τ = [v,..., v n ] es complèemen éiqueé, pour l éiqueage e, si e(v ),..., e(v n ) es une LP base. Remarque 2.7. Si Dτ = (c ij ) i,j=,...,n es l inverse de la marice d éiqueage d un n simplexe τ complèemen éiqueé, alors n i= c ie(v i ) =. Par suie, si e es affine sur τ, n i= c iv i sera un zéro de e. Si mainenan nous définissons e comme éan la foncion affine qui vérifie e(v i ) = h(v i ) pour i =..., n (où h es une foncion coninue que l on se donne), alors, si le diamère de τ es suffisammen pei, x approchera un zéro de h. Remarque 2.8. Si on se place dans R alors dire qu un simplexe [v, v ], qui es un inervalle dans ce cas, es complèemen éiqueé es équivalen à dire que h(v )h(v n ) e que h(v ). L applicaion h éan coninue, cela impliquera que l on a une soluion de h(x) = dans ce inervalle. Soi mainenan K une riangulaion dans R n+ e e une applicaion de K dans R n. L ensemble de définiion de e possède une dimension de plus que son ensemble image, ce son donc les n faces qui seron complèemen éiqueées. Nous avons alors le héorème fondamenal suivan. Théorème 2.9. Soi σ K un (n + ) simplexe d une riangulaion dans R n+. Alors l une des deux proposiions suivanes es vraie : (i) σ n a aucune n face complèemen éiqueée. (ii) σ a exacemen 2 n faces complèemen éiqueées. Nous pouvons mainenan donner la forme générale des méhodes homoopiques simpliciales. Forme générale d un algorihme homoopique simplicial Iniialisaion Consruire une n face τ K complèemen éiqueée. Consruire l unique (n + ) simplexe σ de K qui conien τ k := Corps Répéer Rechercher l aure n face τ k de σ k complèemen éiqueée (es lexicographique)