15 Décembre Collège Oasis. Autom ne

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1 15 Décembre 010 Collège Oasis Autom ne 08 - La calculatrice est autorisée ; - 4 points sont attribués à la qualité de la rédaction et à la présentation ; - La partie «Problème» est à rendre avec la copie (y indiquer nom et prénom).

2 Exercice n 1 : (5 points) Voici un programme de calcul : Partie numérique : (1 points) apple Choisir un nombre ; apple Calculer son carré ; apple Multiplier le résultat par 3 ; apple Retrancher alors 4 au résultat. 1 ) Réaliser ce programme de calcul pour les nombres ; 1 et 4 3. apple On choisit : 1 ère méthode : = = = 8 apple On choisit 1 : 1 ère méthode : 1 ( ) = = = 1 Le résultat est 8. e méthode : 3 4 = = 1 4 = 8 e méthode : ( 1) 3 4 = 1 Le résultat est 1. apple On choisit 4 3 : 1 ère méthode : 4 3 = = = = = 4 3 e méthode : = = = 4 3 Le résultat est 4 3

3 ) a) Si on choisit x comme nombre de départ, indiquer alors l écriture littérale obtenue parmi les 4 suivantes : B = 3x 4 b) Calculer alors l expression que vous avez choisie pour x = 1 Pour x = 1 : B = 3x 4 B = 3 1 Exercice n : (3 points) 4 = = = = ) Calculer le PGCD de et Algorithme d Euclide : 1764 = = = Donc : PGCD( 1764;1197) = 63 ) Les nombres et sont ils premiers entre eux? Le PGCD de ces deux nombres est différent de 1, donc ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux. 3 ) Rendre irréductible la fraction = = 19 8 Exercice n 3 : (4 points) On considère l expression suivante : D = x 3 1 ) Développer puis réduire D. D = x 3 D = x ( ) + ( x 3) ( 3x 1). ( ) + ( x 3) ( 3x 1) ( ) x x 3x x 1 3 3x D = 4x 1x x x 9x + 3 D = 4x + 6x 1x x 9x D = 10x 3x + 1

4 ) Factoriser D. D = x 3 ( ) + ( x 3) ( 3x 1) ( )( x 3) + ( x 3) ( 3x 1) ( )( x 3 + 3x 1) ( )( x + 3x 3 1) ( )( 5x 4) D = x 3 D = x 3 D = x 3 D = x 3 3 ) Calculer la valeur de D pour x =. Pour x = : D = 10x 3x + 1 D = 10 ( ) 3 ( ) + 1 D = D = D = 98 ( )( 5x 4) = 0. ( x 3) ( 5x 4) = 0 4 ) Résoudre l équation : x 3 Donc : x = 3 x 3 = 0 OU ou 5x 4 = 0 x = 4 5

5 Partie géométrie : (1 points) Exercice n 1 : (6 points) Thalès serait né autour de 65 avant J.C. à Milet en Asie Mineure (actuelle Turquie). Lors de son premier voyage en Egypte, il applique le théorème qui porte aujourd'hui son nom pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops. Voici un énoncé qui vous guidera, afin de mesurer vous aussi la hauteur de cette pyramide. Il plaça un piquet [MN], de longueur 1,5 m, à la verticale comme dans la figure ci-dessus (le sol étant supposé parfaitement horizontal). Le segment [RP] représente un rayon de soleil. De plus, il mesura un côté de la base de la pyramide, à savoir : AB = 30 m ; puis la longueur IM = 00 m (I étant le milieu du côté [BC] de la pyramide) et enfin la longueur MP = 3,5 m. 1 ) a) I est le milieu de [BC] et O le milieu de [AC]. Montrer que les droites (OI) et (AB) sont parallèles. Justifier. On peut utiliser ici le théorème des milieux (cas particulier du Théorème de Thalès) ou le théorème de Thalès lui même. 1ére rédaction : On a : (ABC) un triangle ; I est le milieu de [BC] et O le milieu de [AC]. Or : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Donc : les droites (IO) et (AB) sont parallèles.

6 e rédaction : On a : (CA) et (CB) deux droites sécantes en C. Les points C, O, A d une part et les points C, I, B d autre part sont alignés dans le même ordre. CO CA = 1 CI CB = 1 Donc : d après la réciproque du Théorème de Thalès, les droites (IO) et (AB) sont parallèles. b) Montrer que la longueur OI est la moitié de la longueur AB. Justifier. Même remarque ici. On a : (ABC) un triangle ; I est le milieu de [BC] et O le milieu de [AC] ; (IO) parallèle à (AB). Donc, d après le Théorème de Thalès : CO CA = CI CB = OI AB OI AB = 1 Donc : OI est la moitié de AB. c) En déduire la mesure de la longueur OP. OP = OI + IM + MP = ,5 = 318,5 m. ) Montrer que les droites (OS) et (MN) sont parallèles? Justifier. ( OS) ( OP) ( MN ) ( OP) OS ( ) / /( MN ) 3 ) En considérant le triangle (OPS), calculer la hauteur de la pyramide, c est à dire la longueur OS. Justifier les calculs. On a : (OPS) un triangle ; M un point de [OP] et N un point de [PS] ; (MN) parallèle à (OS). Donc, d après le Théorème de Thalès : PM PO = PN PS = MN OS 3,5 318,5 = 1,5 OS 1,5 318,5 OS = 146,88m 3,5 (Arrondi au centième).

7 Exercice n : (6 points) 1 ) a) Construire sur votre copie un triangle (ABC) tel que : AB = 4, cm ; AC = 5,8 cm et BC = 4 cm. b) Démontrer que ce triangle est rectangle. On a : (ABC) un triangle. AC = 5,8 = 33,64 AB + CB = 4, + 4 = 17, = 33,64 AC = AB + CB Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle (ABC) est rectangle en B. c) Calculer l aire du triangle (ABC). A ABC = BC BA = 4 4, = 8,4cm ) a) Construire le point M sur la demi droite [BA) tel que : BM = 7 cm. b) Construire le point N sur la demi droite [BC) tel que : BN = 6 cm. c) En considérant le triangle (BMN), calculer la longueur MN. Justifier. On a : (BMN) un triangle rectangle en B. Or : (Théorème de Pythagore). MN = BM + BN Donc : MN = = = 85 MN = 85cm 9,cm (Arrondi au dixième).

8 Problème : (1 points) Cette feuille est à rendre avec la copie : ne pas oublier d écrire vos nom et prénoms. Première partie : (6 points) f est la fonction définie par ce graphique. Recopier sur votre copie et compléter les phrases suivantes : f (3) = a) f ( 1) = 1 b) L image de 0 par la fonction f est 1. c) a pour image par la fonction f. d) 0 a 4 antécédents par la fonction f : ces antécédents sont 1,9 ; 1,5 ; 0,3 et 4,. e) Les antécédents de par la fonction f sont 1,65 ; et 3 Seconde partie : (6 points) Soit g la fonction définie par l expression suivante : g(x) = 4x + 1 ) a) Calculer l image de 1 par la fonction g. g(x) = 4x + ( ) = 4 1+ = g 1 b) Calculer l image de 5, par la fonction g. 4 g(x) = 4x + g 5 4 = = 5 + = 3 4

9 , dans le repère ci dessus et tracer la droite ) Placer les points A ( 1; g( 1) ) et B 5 4 ;g 5 4 (AB). On place dans le repère ci dessus les points A et B de coordonnées respectives ( 1; ) et 5 4 ; 3.