Licence de Mécanique Thermodynamique et Thermique LA3M1 Examen du Lundi 04 Janvier 2010

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1 cence de Mécanque Thermodynamque et Thermque A3M Examen du und 04 Janver 00 es documents et calculettes ne sont pas autorsés. Votre cope dot être ben présentée: écrre de façon lsble ; soulgner vos résultats ; fare des réponses synthétques mas pertnentes ; ne pas prendre votre cope pour un broullon ; séparer vos copes de thermodynamque et de thermque, vérfer que vous avez ben ms votre nom sur chaque feulle ans qu une numérotaton des copes Notaton approxmatve : 3 ponts pour la thermodynamque, 7 ponts pour la thermque Problème : Optmsaton d un groupe frod à deux étages On ne fera aucune applcaton numérque. es réponses devront être fournes sous forme lttérale (en fasant attenton aux notatons) pus on posera le calcul par les valeurs relevées sur le dagramme. es résultats sont donnés à ttre ndcatf. On justfera les valeurs numérques relevées en ndquant les tolérances de lecture. e tracé du cycle devra se fare avec la plus grande précson. On consdère un groupe frod à deux étages (frgdare haut de gamme) (cf. fgures et ) fonctonnant grâce au cycle suv par un flude frgorgène dont la désgnaton ndustrelle est le R. Il est fourn le dagramme de Moller enthalpque (presson P foncton de l enthalpe massque h) donnant une descrpton précse des états et des changements de phase de ce flude. e crcut comporte deux compresseurs électrques permettant au cycle de fonctonner sur tros nveaux de presson (P,P,P) : la presson basse P est chose pour un changement de phase à une température de T =-0 C (température dans l encente de congélaton) ; la presson ntermédare P est réglée relatvement à une température de changement de phase de T =5 C (température dans l encente de réfrgératon) ; la presson maxmale P est chose pour attendre une température de T=0 C. e flude, une fos à la presson P, parcourt un condenseur dans lequel l cède de la chaleur à l ar ambant (source chaude) consdéré à une température de T ambant =8 C. e refrodssement du flude ans réalsé provoque une condensaton totale du flude (le pont sur le dagramme enthalpque se stue sur la courbe d ébullton). e lqude est ensute condut à travers un détendeur (détente senthalpe) l amenant au nveau de presson ntermédare P. Après cette premère détente, le flude est dphasque du fat de la co-exstence des phases lqude et vapeur. Une parte du flude est soutrée (en proporton α ) et passe dans l évaporateur qu sert à condtonner l encente à température T. autre parte (en proporton α) est à nouveau détendue au nveau de presson P (détente senthalpe). Cette porton du flude passe alors dans un l évaporateur qu permet de condtonner l encente à la température T. On suppose les deux compressons sont adabatques réversbles. e flude à l'entrée de la premère compresson est à une température de 0 C.

2 Feulle à rendre Nom : Date : Prénom : ecton : N dosser sgnature :. es phases du cycle se décomposent en une compresson sentropque, un refrodssement sobare (condensaton), une détente senthalpe et un apport de chaleur sobare (évaporaton). En vous adant du schéma de la fgure, on vous demande de reprodure le tracé du cycle en respectant les grandeurs thermodynamques du dagramme de Moller exprmé dans le repère (P presson, h enthalpe massque). Rendre le dagramme de Moller (mettre votre nom). les deux compressons n étaent pas sentropques, les ponts et 3 réels seraent-ls placés à gauche ou à drote des ponts et 3 sentropques? Pourquo? 3. A l'ade du dagramme enthalpque du flude R, remplr le tableau Tableau qude à saturaton Vapeur à saturaton P (bar) T ( C) s (kj/kg.k) h (kj/kg) s V (kj/kg.k) h V (kj/kg) P = 0 P = 5 P = On vous demande de défnr l état des ponts,, et 3 en prenant en consdératon que les compressons sont adabatques réversbles. On remplra le tableau des grandeurs suvantes relevées sur le dagramme de Moller ; presson, température, volume massque, enthalpe et entrope (s le relevé est dffcle, donner un encadrement à la valeur). Tableau 3 P (bar) T (K) v (m3/kg) H (kj/kg) s (kj/kgk) 5. Rappeler la défnton du ttre de mélange. Exprmer les ttres x 6 et x 5 du premer et du second étage relatf aux ponts 6 et 5 en foncton unquement des enthalpes de saturaton lqude et vapeur du tableau (expresson lttérale et celle avec les valeurs).

3 A.N. : applcaton numérque donne x 6 =0., x 5 = Donner l expresson des travaux massques w et w 3 fourns dans chaque étage de compresson pour kg de fréon adms dans le second étage. On consdère chaque élément du système comme un système ouvert. On rappellera d abord l expresson générale du er prncpe en système ouvert pour un écoulement statonnare. A.N. : w = 6 kj/ kg et w3 = 0 kj/ kg 7. objectf est à présent de chosr les condtons de fonctonnement (chox du débt m et de la valeur du soutrage α ). Il vous est demandé de répondre au meux aux contrantes suvantes: - a premère est de pouvor congeler à une température T grâce au crcut de l évaporateur, une certane quantté C de produt exprmée en kg/h (C =kg/h: pouvor de congélaton). Il s agt d écrre un blan d égalté de pussance entre la pussance de congélaton et la pussance de l évaporateur. a pussance de l évaporateur est entèrement utlsée à la congélaton (pas de perte au nveau de l échange). Pour exprmer cette contrante, vous consdérez que les produts à congeler sont ntalement lqudes à une température de T ambant et ont une capacté calorfque à l état lqude et à l état solde de C cap (J/kg/K). a chaleur latente de soldfcaton à la presson atmosphérque et à T =-0 C est l s (kj/kg). - a seconde est d attendre une consommaton énergétque la plus fable possble, au plus égale à celle de la concurrence, défne par la pussance nomnale de consommaton électrque P e (W). e rendement global vaut η g = mw 3 Pe où w 3 représente le traval de compresson. Exprmer ces deux contrantes par deux équatons en foncton de α et du débt total m du lqude frgorgène R. Résoudre le système de façon lttérale. Poser ensute le système avec les valeurs numérque du texte. A.N. : C cap =484J/kg/K, l s = 334 kj/kg, P e =9W, n g =0.6 On trouve α= 0.59 et m = kg / s 8. Donner l expresson de la quantté de chaleur par unté de temps pour chaque évaporateur. AN : Q6 = 73W, Q5 = 434W 9. Que vous nspre la valeur du coeffcent d effet frgorfque dont la défnton Q6 + Q5 est donnée par ε= = 6.3. W + W 3 3

4 Courbe qude à saturaton: -4-C Courbe Vapeur à saturaton: V-C C P bars Evaporaton Evaporaton 3 P P P h kj/kg V Fgure : schéma du cycle frgorfque dans le dagramme de Moller m G-> 4 Détendeur Condenseur 3 Compresseur 5 Détendeur 6 m = α m ->G Évaporateur m = ( ) m ->G α Évaporateur Fgure. chéma de l nstallaton frgorfque Compresseur 4

5 Problème de thermque. EQUATION DE A CHAEUR a) Rappeler les hypothèses permettant d établr l équaton de la chaleur. T p b) Montrer que l équaton de la chaleur devent : = a Δ T + () t ρc s p est la pussance dsspée par unté de volume (W/m 3 ). On précsera la défnton des autres termes employés.. MIIEU CONDUCTEUR PARCOURU PAR UN COURANT EECTRIQUE z I x x=0 x= Fgure Un mleu ndéformable et conducteur de la chaleur paralléléppédque est comprs entre des plans parallèles stués en x = 0, x = ; y = 0, y = E ; z = 0, z = H (cf. dessn Annexe). On suppose que << E et << H de telle sorte que les échanges de chaleur par les faces en y = 0, y = E, z =0, z = H sont néglgés. es faces en x = 0 et en x = sont à une même température constante et unforme. e mleu, qu est auss conducteur de l électrcté, est parcouru par un courant total constant I drgé suvant l axe des z (fg.). e mleu est alors le sège d une pussance par unté de ReI ρ eh volume dsspée par effet Joule égale à p = avec Re = où ρ e est la V résstvté électrque (nverse de la conductvté électrque) du cuvre, V étant le volume et est la secton drote du mleu (cf. dessn Annexe).. ETAT TATIONNAIRE Dans l état thermque statonnare attent par le mleu, la température ne dépend que la varable d espace x, T = T s (x). a- Détermner le profl de température T s (x) dans l état statonnare en foncton de, p, λ, et x. 5

6 b- En dédure l expresson du flux de chaleur par unté de surface q s (x). c- Tracer l allure de T s (x) et de q s (x). d- On ntrodut les grandeurs sans dmenson suvantes : x X =, p T R =, λ θ Ts( x ) T = T R e Montrer que θ ( X ) = X ( X ). s e- Dans l état statonnare, l entrope du mleu change-t-elle au cours du temps? Calculer les varatons externe Δ e et nterne Δ d entrope pendant l ntervalle de temps Δt en foncton des paramètres p,,, A et Δt où A représente l are des faces en x = 0 et x =. f- Applcaton numérque : Détermner l ordre de grandeur de la température maxmale Tmax. = 0.5 mm ; =.5 mm ; Te = 300 K ; I = A On donne pour le cuvre : ρ = 8940 kg/m 3 ; c = 380 J.kg -.K - ; λ = 389 W.m -.K - Résstvté électrque : ρ e =. 0-8 Ω.m.. EVOUTION INTATIONNAIRE e mleu est ntalement à la température unforme T 0 et ses faces en x = 0 et x = sont ensute portées à la température constante et unforme. évoluton alors nstatonnare du mleu est décrte par l équaton de la chaleur () avec un terme de source p constant venant du chauffage par effet Joule. Au cours de cette évoluton nstatonnare, la température ne dépend que des varables x et t, sot T = T(x,t). On ntrodut la température admensonnée sous la forme : p avec T = R λ, x X =, t τ = avec t t r ρc = λ r =. a T( x,t ) T θ ( x,t ) = T R e a- Montrer que l équaton locale vérfée par la foncton θ ( X, τ ) représentant la température admensonnée du mleu est : θ( X, τ ) = τ θ( X, τ ) + X 6

7 On pose θ X, τ ) = θ ( X, τ ) + θ ( X ) où θ ( X ) est la soluton statonnare du ( problème et θ ( X, τ ) représente l écart à la soluton statonnare. θ ( X, τ ) θ ( X, τ ) b- Montrer que la foncton θ ( X, τ ) vérfe l équaton = τ X. a soluton θ ( X, τ ) est recherchée sous la forme d un produt de fonctons en X et en τ : θ ( X, τ ) = f ( X ) g( τ ). c- Montrer que la soluton générale est de la forme : k = e τ ( Acos kx + θ ( X, τ ) B sn kx ) d- Montrer que les condtons aux lmtes en x = 0 et x = mposent A = 0 et k = nπ. a compatblté avec la condton ntale en température T = T 0 mpose de chercher la soluton sous la forme d une somme sur n: ( n n k τ θ X, τ ) = e b sn( nπx ) () e- Justfer le chox de cette expresson pour la foncton θ ( X, τ ). On ne calculera pas les coeffcents b n. f- En se lmtant au premer terme en n dans le développement (), et en 4 T0 Te admettant le résultat b = [ + ], π TR π f- Explcter les expressons de la température T(x,t) et du flux de chaleur q(x,t). f- Tracer l allure de T(x,t) et de q(x,t). Dessn annexe z A y z = H Courant I y = E x = 0 x = x 7