CHAPITRE 1 Leçon 2 Erreurs et bruits

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1 CHAPITRE 1 Leçon Erreurs et bruits

2 45 Plan de la leçon 1..1 Erreurs de mesure 1.. Erreurs du capteur, statique 1..3 Erreurs de finesse 1..4 Bruit 1..5 Bruit etrinsèque -Protection 1..6 Propagation des erreurs 1..7 Quelques eercices 1..8 Synthèse

3 1..1 Erreurs de mesure (1) 46 Epression des incertitudes de mesure Lorsque l on fait une mesure, on va inévitablement commettre une erreur. Cette erreur doit être quantifiée (c est souvent vraiment difficile) et le résultat d une mesure doit venir avec une incertitude: = mes ± où : représente le résultat d une mesure telle qu on devrait le présenter ; mes est la valeur réellement mesurée ; est l incertitude liée à la mesure. On peut eprimer l incertitude en valeur relative : = mes ± y% où souvent : y = 100% mes

4 1..1 Erreurs de mesure () 47 Interprétation des incertitudes On peut interpréter de deu façons cette incertitude. Si le bruit lié à une mesure est très faible (i.e. négligeable), les incertitudes peuvent être assimilées à des erreurs statiques. ± représente alors l intervalle à l intérieur duquel se situe la VRAIEvaleur de : Si le bruit est prépondérant, représente plutôt un intervalle de confiance à l intérieur duquel on a un % de chance de trouver. On va y revenir plus tard

5 1..1 Erreurs de mesure (3) 48 Les causes de l incertitude Une des difficultés, c est d évaluer l incertitude car celle-ci n est pas simplement l erreur du capteur telle que spécifié par le fabriquant. Capteur Interface Liaison analogique A / D Ordinateur (CPU) Erreur du capteur + bruit du capteur Erreurs liées à la mise en œuvre du capteur Bruit dans la chaîne de mesure : bruit électronique intrinsèque bruit de numérisation ; couplage de bruits eternes + Erreurs lors du «déplacement» de l information

6 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Les causes d erreur statique d un capteur Plusieurs facteurs peuvent contribuer au erreurs d un capteur Tolérances de fabrication ; Variations des matériau ; Phénomène d hystérésis ; Non linéarité ; Incertitudes lors de l étalonnage 49

7 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Le gabarit d un capteur (1) Le gabaritd un capteur, c est l epression graphique sur la courbe de réponse des erreurs maimales de ce capteur. Ce sont deu courbes généralement parallèles à la courbe de réponse constructeur délimitant l erreur réelle pour toute valeur de à l intérieur de l étendue de mesure. 50 Vraie réponse, inconnue s Courbe «constructeur» Gabarit

8 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Le gabarit d un capteur () 51 s s s mes δ mes Erreur nominale du capteur : Véritable erreur (inconnue) : δ Spécifications de l erreur par le fabriquant : Ne pas confondre % FS et l incertitude d une mesure donnée en % de mes. - - % FS : / ( ma - min ) 100% - s

9 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Le gabarit d un capteur (3) Eemple : Tension (mv) Capteur de position Span: 10 mm Courbe de réponse : s= m avec m= 1 mv/mm 5 9,5 9 9,5 10 (mm) Précision de la mesure : (Accuracy) ± 0,5 mm ± 5 % du FS ± 0,5 mv

10 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Erreur d étalonnage L erreur d étalonnageest l erreur résultant de l écart entre la courbe mesurée par le constructeur et la courbe réelle à cause de incertitudes inhérentes à mais aussi à s. L erreur est systématique, mais pas nécessairement uniforme. s Vrai réponse Courbe constructeur 53 s δs s 1 δ s = m+b s = m +b 1

11 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Erreur d hystérésis L erreur d hystérésisest la déviation par rapport des courbes théoriques qui ne sont pas identiques selon le sens de variation de. 54 s s δs L erreur est systématique et non uniforme. Vrai réponse Courbe constructeur δ Causes physiques de l hystérésis: changement structurel des matériau; friction. s 1

12 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Erreur de non linéarité Intervient lorsque la réponse réelle du capteur est non linéaire mais que la réponse constructeur est considérée linéaire. L erreur est systématique et non uniforme. 55 s Courbe constructeur δs Vrai réponse s mes δ

13 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Comment linéariser un courbe? (1) Si on souhaite minimiser l erreur sur toute la plage : Méthode des moindres carrés. 56 s Courbe constructeur δs Vrai réponse Eemple : Thermomètre Canadien s mes δ -40 C à +40 C

14 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Comment linéariser un courbe? () Si on s intéresse à un point précis et à une petite région autour : tangente en ce point. 57 s s mes Vrai réponse Courbe constructeur δs δ Eemple : Thermomètre Corps humain 37 C int

15 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Erreur de la partie morte «Dead band» Cette erreur est l insensibilité du capteur dans une région spécifique, généralement pour = 0. L erreur est systématique et non uniforme. s 58 δ Eemples : Potentiomètre

16 1.. Erreurs du capteur, statique (1) Dérive temporelle lente : «Drift» La dérive temporelle de la réponse d un capteur («drift» en anglais), c est sa faible et lente modification dans le temps sans que ne varie. 59 Ce n est pas eactement une erreur statique, mais peut être incluse dedans. s Temps Ce type de variations est souvent dû à des petites fluctuations des caractéristiques des composants électroniques causées par de faibles variations de température.

17 1..3 Erreurs de finesse (1) 60 Erreurs liées à la mise en œuvre Une erreur de finesseest commise lorsque la présence du capteur modifie la quantité à mesurer. C est l utilisateur qui doit l évaluer (ou la faire évaluer par des eperts) pour son application particulière. Heureusement, on ne la rencontre pas toujours. Eemple : Capteur de température à contact dont les dimensions sont aussi ou plus importantes que celles de l objet considéré. Instrument Objet Chaleur T objet (ou )

18 1..4 Bruit (1) 61 Types de bruit L ensemble de la chaîne de mesure est soumis à des erreurs aléatoires. Ces erreurs aléatoires se manifestent par du bruit sur le signal électrique mesuré. Amplitude et signe sont aléatoires dans le temps. On distingue types de bruit selon leur provenance : bruit etrinsèque : provient de sources etérieures à la chaine de mesure ; On abordera sommairement des moyens de s en prémunir plus tard bruit intrinsèque : provient des divers éléments de la chaîne de mesure : bruit thermique (de Johnson) ; bruit de grenaille (de Schottky).

19 1..4 Bruit () 6 Bruit intrinsèque Dans l epérience suivante, même si nous avions une enceinte, une pile et des instruments de mesure parfaits, nous aurions une mesure bruitée : Enceinte contrôlée, T, P, humidité constantes Pile (V s ) R 1 R(T) V Tension (V) V 1 T V = T Vdt 0 V Temps T Valeur RMS de la fluctuation : 1 T ( V ) = ( V V ) T 0

20 1..4 Bruit (3) 63 Bruit thermique Bruit de Johnson (1) Le bruit thermique est dû, en partie, à la nature discrète des porteurs de charge. Ce bruit traduit le fait que l énergie thermique (i.e. cinétique) des électrons va créer un courant instantané non nul mais de moyenne nulle dans le temps. Eplication : électron f 1 f 0 f f 4 f 3 conducteur Sur une frontière quelconque nous avons un courant instantané non nul. i = 0 ( i) = 0 Les électrons oscillent à toutes les fréquences possibles (dans la gamme de fréquences habituelles).

21 1..4 Bruit (4) 64 Bruit thermique Bruit de Johnson () Modélisation : On montre par la physique statistique que la distribution spectrale du courant dépend de R, de T mais pas de f : k T σ 4 B i R (en A s) C est le carré du courant instantané dans la résistance R à la fréquence f. k B : constante de Boltzmann. k B = J/K Le carré du courant instantané total, soit la variance du courant, est donc : f ( ) ( ) i σ df σ f f σ f = i = i 1 = i f 1

22 1..4 Bruit (5) 65 Bruit thermique Bruit de Johnson (3) où : - f 1 est la fréquence de coupure basse du circuit - f la fréquence de coupure haute du circuit. - f est la bande passante du circuit. A retenir (du concret) : On limite le bruit en limitant la bande passante de la chaîne de mesure. ( ) k BT i = 4 f ( A k B T ) i J = f ( A ) R R A H z Toute résistance électrique, quelle que soit sa nature, se comporte comme un générateur de courant de moyenne i = 0, mais de valeur RMS donnée par la relation précédente. A H z

23 1..4 Bruit (6) 66 Bruit de grenaille (shot noise) Bruit de Schottky Le bruit de grenaille est aussi liée à la nature discrète des porteurs de charge. Celui-ci résulte de l injection aléatoire de porteurs de charge dans la zone de déplétion d une barrière de potentiel (jonction pn: diodes, transistors...). Eplication : électron Modélisation : On montre que : région intrinsèque ( i ) = e I f ( A ) = i = ei f ( A ) g A H z A H z

24 1..4 Bruit (7) 67 A retenir Le bruit intrinsèque (thermique et de grenaille) est proportionnel à la racine carrée de la bande passante du circuit de mesure. A Les unités sont : Hz V Par la formule classique : U = RI, on peut eprimer le bruit en Hz Egalement, on peut eprimer le bruit intrinsèque en puissance : U P = UI = Ri = R

25 1..4 Bruit (8) 68 Bruits des sources A cause des phénomènes que nous venons de voir, toutes les sources électroniques produiront du bruit dans la chaîne de mesure qui affectera la mesure. On aura parfois intérêt à modéliser une source comme suit : V s = V 0 + e b I s = I 0 + i b où :V 0 est une tension continue ou à une fréquence précise f 0 e b est une tension de bruit (i.e. de moyenne nulle) I 0 est un courant continu ou à une fréquence précise f 0 i b est un courant de bruit (i.e. de moyenne nulle) Eemple : source de courant Range : 0-00 ma Noise : < 1 µa rms, 10 MHz bandwith Resolution : 0.1 ma Drift : < 100 ppm/ C

26 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (1) Protection contre les camps électriques (1) Si un circuit électrique est placé près de la chaîne de mesure, il y aura couplage entre les deu. Le circuit eterne introduit alors du bruit dans la chaîne de mesure. 69 V L C p R c V s Zd C p V s es R c Z d

27 1..5 Bruit etrinsèque -Protection () Protection contre les camps électriques () On s en prémunit en plaçant les conducteurs à l intérieur d un blindage métallique. 70 V L C 1 C R c V s Zd C 1 C V s es R c Z d

28 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (3) Règles de blindage électrique (1) En cours de CEM, vous verrez le contraire! En fait, ici on est dans un cas particulier : basse f. 1 Le blindage doit être relié au potentiel de référence du circuit de mesure, au plus près du capteur. Blindage 71 R c Potentiel de référence Si le câble comporte des sections, on relie les segments adjacents ensemble et le premier au potentiel de référence du circuit de mesure. R d R c Blindage Blindage R d

29 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (4) Règles de blindage électrique () 3 Si le capteur lui-même est blindé, on relie ce blindage à celui du câble comme suit : Blindage Blindage 7 R c R d 4 On utilise un blindage pour chaque signal relié au «système de contrôle» Capteur 1 Potentiel de référence Capteur Système de contrôle Capteur 3

30 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (5) Protection contre les camps magnétiques (1) On sait qu un champ magnétique crée une force électromotrice (fem) dans une boucle. Ici, la boucle, c est la chaîne de mesure. Donc un champ magnétique va créer une source de bruit (la fem) dans le circuit de mesure. 73 R c B n B Rd R c em R d d( B na) e = Loi de Faraday : (en V) m dt B : vecteur d induction magnétique (champ magnétique) en T A : surface de la boucle du circuit; n : vecteur unitaire perpendiculaire à A

31 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (6) Protection contre les camps magnétiques (1) Comment s en prémunir? 1 Positionner le câble de telle sorte que A soit perpendiculaire au champ B. Impossible en pratique!!! Diminuer la surface A : utilisation de paires torsadées Utiliser un blindage métallique : ça dépend de f. B B B = B 0 ep δ profondeur de peau perméabilité du matériau µ = µ r µ 0 (µ 0 = 4π 10-7 Hm -1 ) δ = 1 π f µσ conductivité (Ω -1 cm -1 ) σ = 1 / ρ (ρ : résistivité) f : fréquence

32 1..5 Bruit etrinsèque -Protection (7) Protection contre les camps magnétiques (1) 75 Profondeurs de peau (δ)* pour divers métau (en mm) : 100 Hz 1 khz 100 khz 1MHz cuivre aluminium acier *Rappel : à = δ, B= 36,7% de B 0 Conclusion : un blindage métallique peut convenir à haute fréquence mais pas du tout à basse fréquence.

33 1..6 Propagation des erreurs (1) 76 Problématique Que faire lorsque que l on a plusieurs erreurs différentes? I.e., on mesure et on mesure y pour calculer z : z = f, y On va tenter de répondre à cette question. ( ) Cas à 1 dimension On effectue Nmesures de la grandeur. A cause de bruit, chaque mesure est différente, a priori. La meilleure estimation de cette valeur sera : ±. avec : 1 N i N i = 1 = σ N 1 = N 1 i= 1 ( ) i σ

34 1..6 Propagation des erreurs () 77 Cas à 1 dimension ( ) z = f z = f Supposons que l on calcule zà partir de :. ( ) La meilleure estimation de zsera :. Et l erreur? f z Valide pour petit Que vaut? En peut dire que : = σ. Ce n est pas un choi obligatoire, on peut aussi choisir une autre valeur pour avoir un intervalle de confiance plus grand ou plus petit. z z ± z ±

35 1..6 Propagation des erreurs (3) 78 Cas à dimensions Maintenant supposons que l on calcule zà partir de et y: z = f, y. Si et ysont des variables à distribution normale de moyenne et et de variance : et, alors : σ σ y La variance de zsera donnée par : σ z z = f (, y ) N 1 = N 1 i= 1 ( z z ) i ( ) Si nous considérons que et ysont petits, alors on peut calculer z z i comme suit : σ 1 f f N z = i + i N 1 i= 1 y ( ) ( y y ) y

36 1..6 Propagation des erreurs (4) 79 Cas à dimensions Développons : 1 N N N f f f f σ = + y y + y y N 1 i= 1 y i= 1 y i= 1 ( ) ( ) ( )( ) z i i i i Donc : σ variance (en ) σ y variance (en y) f f z y f = + + f y σ σ σ σ y y σ y Covariance (en y)

37 1..6 Propagation des erreurs (5) 80 Cas à dimensions Signification de la covariance : La covariance mesure la tendance d une variable à influencer l autre variable. Est-ce que les fluctuations d une variable causent des fluctuations de l autre variable? Par eemple : si σ y > 1 alors une déviation positive de a plus de chance de venir avec une déviation positive de y. si σ y <1, alors va entrainer une déviation positive de a plus de chance de venir avec une déviation négative de y. si σ y = 0, alors aucune tendance ne se démarque : les variables sont indépendantes. Dans ce cas : f f z y σ σ y σ = + C est le cas le plus courant!

38 1..6 Propagation des erreurs (6) 81 Généralisation à plusieurs variables La formule précédente se généralise facilement pour plus de deu variables : z = f ( 1,, 3... m ) m m f f σ z = σ avec : σ σ uu = σ u N 1 = ( )( ) uv u ui v vi N 1 i= 1 uv u= 1 v= 1 u v ui: échantillon #ide u L erreur : On utilise une incertitude, notée u, pour chaque variable qui peut différer de la variance statistique, σ u. Dans le cas très répandu de variables indépendantes : f f f f z = m 1 3 m

39 1..6 Propagation des erreurs (7) 8 Remarques 1.La formule précédente nous indique que la source d erreur prédominante est la plus importante et celle à minimiser en premier : Eemple : z = z = 5,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).En faisant ce que nous avons fait, nous admettons qu en moyenne des erreurs peuvent se compenser. On a donc une incertitude qui nous dit que la vraie valeur se situe dans l intervalle z ± z avec un % de confiance donné. 3.La vision du pire des cas donne une incertitude plus élevée et généralement surestime l erreur commise en moyenne. Cette valeur peut cependant être utile à regarder pour des applications critiques : f f f f z = m m

40 1..7 Quelques eercices 83 Voir le TD de la leçon 1.

41 1..8 Synthèse 84 Après cette leçon, vous devez : savoir eprimer une erreur de mesure ; savoir calculer l erreur sur une grandeur obtenue à partie de grandeurs mesurées ; connaître les principales sources d erreurs statiques d un capteur ; connaître les principales sources de bruit intrinsèques ; savoir comment on peut minimiser l influence d un champ électrique eterne et d un champ magnétique eterne.

42 1..9 Annee 1 Loi normale (1) 85 Loi normale distribution de Gauss Dans la très grande majorité des cas, la répartition des mesures en présence d erreurs aléatoires obéit à une distribution normale, représentée par une gaussienne : 1 ep π σ : moyenne σ : écart-type définit par : ( ) σ σ = ( ) i n n 1

43 1..9 Annee 1 Loi normale () 86 Représentation graphique intervalle de confiance La loi normale permet de localiser : - la valeur la plus probable : la mesure - ainsi que l intervalle de confiance désiré : l incertitude Distribution σ Confiance Incertitude 68 % ± σ 95 % ± σ 99,7 % ± 3 σ