CONES ET PYRAMIDES Corrigés 1/9

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1 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 9 Corrigé 01 Volume de la pyramide Aire ABCD 5 x 5 25 cm² Volume de la pyramide 25 x 6 Aire ABCD x SH 50 cm Corrigé 02 Corrigé 0

2 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 9 Corrigé 04 Dans le triangle ABC rectangle en B (ABCD est un carré), on a d après le théorème de Pythagore : AC² AB² + BC² AC² ² + ² AC² 18 AC ,24 cm La pyramide ABCDS est une pyramide régulière donc (SH) est perpendiculaire à (AC) et coupe le segment [ AC ] en son milieu H. SHC est un triangle rectangle en H. H est le milieu de [ AC ] donc CH 2 2 2,12 cm Dans le triangle SHC rectangle en H, on a d après le théorème de Pythagore : SC² SH² + HC² SH² SC² - HC² SH² 4,5² - ( 2 2)² SH² 4,5² - 4,5 SH,97 cm SH mesure,97 cm. Corrigé 05 Dans le triangle WYZ rectangle en Z (base carrée), on a d après le théorème de Pythagore : WY² WZ² + ZY² WY² 6² + 6² WY² 72 WY 72 WY 8,48 WO 1 WY 4,2 cm 2 La pyramide VWXYZ est une pyramide régulière donc [ VO ] est la hauteur de la pyramide qui coupe le segment [ WY ] en son milieu et VOW est un triangle rectangle. Dans le triangle VOW rectangle en O, on a : cos VWO α WO WV cos 55 4,24 WV 4,24 WV cos 55 WV 7,4 cm Les génératrices mesurent 7,4 cm.

3 CONES ET PYRAMIDES Corrigés /9 Dans le triangle VOW rectangle en O, on a d après le théorème de Pythagore : WV² WO² + OV² VO² WV² - WO² VO² 7,4² - 4,2² VO² 7,12 VO 6,1 cm Volume de la pyramide Base x hauteur Le volume de la pyramide est de 7,2 cm. 6 x 6 x 6,1 7,2 cm Corrigé 06 Le tétraèdre AHCF a pour base AHC et pour sommet F. Un tétraèdre a 4 faces identiques qui sont des triangles équilatéraux et ses 6 arêtes ont la même longueur. Corrigé 07 M, N et O sont les milieux respectifs de [ EH ], [ EF ] et [ ] EO EM EN 2 cm Volume de la pyramide Base x hauteur EA donc : 2 x 2 Aire EOM x hauteur EN 2 x 2 1, cm Volume d origine du cube 4 64 cm Volume du cube sectionné volume du cube volume de la pyramide 64 1, 61,4 cm Le volume du cube sectionné est de 62,67 cm.

4 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 4/9 Corrigé 08 La hauteur de la pyramide est l arête AE. Base x hauteur Volume de la pyramide 4 x 4 x4 21, cm Corrigé 09

5 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 5/9 Corrigé 10 Corrigé 11 Volume du cône π x OA² x SO π x 5² x cm Corrigé 12 AOS est donc rectangle en O. Dans le triangle AOS rectangle en O, on a d après le théorème de Pythagore : AS² SO² + OA² SO² AS² - OA² SO² 7² - ² SO² 40 SO 6,2 Volume du cône Le volume du cône est de 59,6 cm. π OA² x OS π x ² x 6,2 59,6 cm

6 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 6/9 Corrigé 1 Le secteur circulaire aura un angle de degré x proportionnel à la longueur de son arc de cercle. La longueur de l arc de cercle est égale à la longueur du périmètre du disque de rayon OA. Le périmètre du disque de rayon OA est de 2 π x OA soit 6 π. disque entier portion du disque (secteur circulaire) angle en degrés 60 x longueur de l arc de cercle 2 π x OS 16 π 6 π On va donc dessiner un secteur circulaire d angle x tel que x 60 x 6 π 16 π x 15 A ce secteur circulaire, on attache un disque de rayon cm. Corrigé 14 AB 5 cm, AO 4 cm. AOB est donc rectangle en O. Dans le triangle AOB rectangle en O, on a d après le théorème de Pythagore : AB² AO² + OB² OB² AB² - AO² OB² 5² - 4²

7 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 7/9 OB² OB cm Le rayon du disque de base mesure cm. Volume du cône Le volume du cône est de 12 π cm. π x OB² x OA π x ² x 4 12 π cm / Le volume du cône est de 7,69911 cm soit 7699,11 mm au centième près. Corrigé 15 AB AC 10cm, AO 6 cm. AOC est rectangle en O. Dans le triangle AOC rectangle en O, on a d après le théorème de Pythagore : AC² AO² + OC² OC² AC² - AO² OC² 10² - 6² OC² OC 8 cm Le rayon du disque de base mesure 8 cm. cos ACO α OC AC cos ACO α ,8 ACO α 6,87 La hauteur du cône partage l angle CAB α en deux angles de même valeur. CAB α CAO α + OAB α CAB α 6,87 x 2 CAB α 7,7 Corrigé 16 AOC est donc rectangle en O. AC² AO² + OC² OC² AC² - AO² OC² 20² - 5²

8 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 8/9 OC² OC 19,4 cm Volume du cône Le volume du cône ABC est de 162 π cm. Calculons O C. π x OA² x OC π x 5² x 19,4 162 π cm On sait que (OA) est perpendiculaire à (OC) et que (O G) est perpendiculaire à (OC) donc (OA) est parallèle (O G). OC et Dans le triangle, OAC, (OA) et (O G) sont deux droites parallèles et O appartient à [ ] G appartient à[ AC ]. AG 15 AC 20 OC 19,4 D après la propriété des triangles proportionnels, on a : AG AC OO OC OC x AG 19,4 x 15 OO 14,55 AC 20 OO mesure 14,55 cm. Calculons O G. O C OC OO O C 19,4 14,55 O C 4,85 GO C est donc rectangle en O. Dans le triangle GO C rectangle en O, on a d après le théorème de Pythagore : GC² O G² + O C O G² GC² - O C O G² 5² - 4,85² O G 1,21 cm Volume du cône Le volume du cône est de 2,7 π cm. 2 2 π x O G x O C π x 1,21 x 4,85 2,7 π cm / Volume du cylindre Base x hauteur π x OA² x AE π x 5² x π Le volume du cylindre est de 100 π cm.

9 CONES ET PYRAMIDES Corrigés 9/9 4/ Contenance totale Contenance du cône ABC contenance du cône FGC + contenance du cylindre Contenance totale 162 π cm - 2,7 π π 259,6 π La contenance totale du pluviomètre est de 259,6 π cm. La contenance totale du pluviomètre est de 815,66 cm soit 0,82 dm. 5/ 1l 1 dm On ne peut pas verser 1l d eau dans le pluviomètre.

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