Logique de base L2 informatique

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1 Logique de base L2 informatique F. Belardinelli basé sur les notes de S. Cerrito 2015, Université d'evry

2 Plan du Cours 1. Introduction : rôle de la logique 2. Notions et outils préliminaires 3. Logique classique propositionnelle (booléenne) : 3.1 Syntaxe 3.2 Sémantique 3.3 Système de preuve des Tableaux 4. Logique classique des prédicats : 4.1 Syntaxe 4.2 Sémantique 4.3 Système de preuve des Tableaux 4.4 Système de preuve dit Résolution (si temps) 5. Ouverture sur d'autres logiques et applications

3 Plan du Cours Notes disponibles sur 1h30 de cours, suivi par 1h30 de TD on est à l'université...

4 Références les notes du cours disponibles sur mon site Mathematical Logic, I. Chiswell & W. Hodges, Oxford, 2007 (disponible sur mon site) Logic, W. Hodges, Penguin, 1977 Logic in computer science : modelling and reasoning about systems, M. Huth and M. Ryan, Cambridge University Press, 2000

5 Introduction : c'est quoi la logique? Dénition du Dictionnaire (Shorter Oxford Dictionary) : Logique, du grec logos (raisonnement, discours). La branche de la philosophie qui traite des formes de raisonnement et de la pensée, surtout de l'inférence et de la méthode scientique. Ainsi que, l'utilisation systématique de techniques symboliques et de méthodes mathématiques pour déterminer les formes valides du raisonnement déductif. A haut niveau, la Logique peut aider à comprendre les formes de la pensée - fondamentale pour l'ia.

6 Introduction Logique par rapport à l'informatique, 2 rôles : 1. rôle fondateur : la Logique est le calcul de l'informatique : une fondation mathématique pour traiter les informations, et le raisonnement sur le comportement des logiciels. Example : dénir proprement la notion de problème ayant une solution algorithmique cours Calculabilité et Complexité du L3, parcours CILS. elle fournit également une bonne formation dans le raisonnement correct et précis, la description sans ambiguïté. 2. rôle interne : modéliser, spécier, vérier, raisonner automatiquement.

7 Rôle interne : quelques exemples La logique est nécessaire dans des cours/domaine plus avancés base de la vérication et de l'inférence de type en programmation fonctionnelle (CAML) base de la façon de calculer des langages de programmation logique (PROLOG) fondement du langage de requêtes Calcul Relationnel dans les bases de données cours SGBD du L3, tout parcours base des systèmes de spécications formelles en génie logiciel, par exemple atélier B cours Spécications Formelles et Vérication du M1, parcours CILS outil pour la vérication automatique de systèmes reactifs (logique temporelle) base des certaines techniques de l'ia (en planication, en apprentissage automatique, etc.)

8 Donc, c'est quoi la logique? Un Système Logique se compose généralement de trois choses : 1. Syntaxe - un langage formel (tel qu'un langage de programmation) qui sera utilisés pour exprimer des concepts 2. Sémantique - fournit la signication du langage formel 3. Théorie de la preuve - mécanisme purement syntaxique d'obtenir ou d'identier les énoncés valides du langage. Elle fournit un moyen d'argumenter dans le langage formel

9 Introduction (suite) Beaucoup plus que cela peut être fait avec la logique. La Logique a maintenant atteint la profondeur et la sophistication des plus hautes sphères des mathématiques modernes. Mais ceci est un premier cours de Logique, et nous resterons ancrés au sol! La logique propositionnelle et la logique du premier ordre sont le plus fondamentales de tous systèmes logiques. Il faut commencer par celles la!

10 Préliminares

11 Préliminares Ensembles, Relations et Fonctions Dans un ensemble, ni l'ordre des élements ni les répetitions d'un élement comptent : {1, 2, 9} = {9, 1, 2} = {9, 1, 2, 1} Dans un multi-ensemble, l'ordre des élement ne compte pas mais les répétitions oui : {1, 2, 9} = {9, 1, 2} = {9, 1, 2, 1} Dans une liste, autant l'ordre des élements que les répetitions d'un élement comptent : [1, 2, 9] [9, 1, 2] [9, 1, 2, 1] Rappel des opérations sur les ensembles.

12 Préliminares Ensembles, Relations et Fonctions Denition (Relation) Une relation à n arguments sur un ensemble E est un ensembles de n-uplets sur E, c.à.d., R E n. Example Une relation R à 2 arguments sur N = {0, 1, 2,...} : l'ensemble des couples n, m t.q. m = 2n. 0, 0 r, 1, 2 r, 2, 4 r etc. Denition (Rélation d'équivalence) Une relation d'équivalence est une relation à 2 arguments qui est réexive, symétrique et transitive. Example La relation r ci-dessus n'est pas une équivalence, mais l'identité : oui. { n, n n N}

13 Préliminares Ensembles, Relations et Fonctions Denition (Fonction (totale)) Une fonction (totale) f : E 1 E 2 est une relation binaire f sur E 1 E 2 t.q., qque soit a E 1,! b E 2 t.q. a, b E 1 E 2. E 1 : domaine de f E 2 ensemble d'arrivé (ou co-domaine) de f On note f (a) l'unique b t.q. a, b f Example < n'est pas une fonction sur N N, mais oui. Denition (Fonctions) Une fonction f : E 1 E 2 est { n, 2n n N} injective si f (a) = f (a ) implique a = a surjective si, qque soit b E 2, a E 1 t.q. b = f (a) une bijection si f est injective et surjective (correspondence 1-1).

14 Préliminares Ensembles, Relations et Fonctions Denition Un ensemble E est denombrable s'il existe une bijection f : E E oú E N. Example tout ensemble ni est denombrable l'ensemble des nombres relatifs pairs est inni et denombrable l'ensemble des nombres réels n'est pas denombrable (Cantor) Intuition : on ne peut pas compter les éléments d'un ensemble non-denombrable de la façon : élément 0, élément 1, élément 2, etc.

15 Préliminares Dénition par récurrence d'un ensemble E 1. Base de la Dénition Récursive de E : à l'étape e 0 on dénit les éléments de E qui ont une structure élémentaire ; 2. Etape de Récurrence de la Dénition de E : en supposant que des objets o 0, o 1,... ont été déjà dénis en un nombre ni de pas à des étapes inférieures e 0,, e n, on dénit des nouveaux éléments de E - de structure plus complexe -, à partir des éléments anciens, à l'étape e n+1 immédiatement supérieure. 3. Finalement, on stipule que les seuls objets de E sont ceux ainsi engendrés (énoncé souvent implicit dans la suite).

16 Préliminares Dénition par récurrence d'un ensemble E (exemples) Example (Dénition par récurrence de N) 1. Base de la Dénition Récursive : on a un seul objet élémentaire de N, c.à.d., 0 N. 2. Etape de Récurrence de la Dénition Récursive : si n N, alors le successeur de n, que l'on note s(n) ou bien n + 1, est aussi dans N. 3. Fin de la Dénition Récursive : rien d'autre est un élément de N. NB : tout nombre n est généré en exactement n étapes.

17 Préliminares Dénition par récurrence d'un ensemble E (exemples) Example (Dénition par récurrence de AR, un sous-ensemble des expressions arithmétiques) 1. Base de la Dénition Récursive : tout numéral dans N = {0, 1, 2,...} est un élément de AR. 2. Etape de Récurrence de la Dénition Récursive : si e AR alors ( e) AR. si e1, e2 AR alors op (e1, e2) AR, pour op {+,, } 3. Fin de la Dénition Récursive : rien d'autre est un élément de AR Autre façon de présenter cette dénition : exp = num ( exp) op (exp, exp) où num N = {0, 1, 2,...} et op {+,, }.

18 Préliminares Démonstration par récurrence (structurelle) Pour prouver que tous les éléments d'un ensemble E déni par récurrence ont une propriété P : 1. On prouve que les objets élémentaires dénis dans la base de la dénition récursive de E ont bien la propriété P. Cette partie de la démonstration est dite Base (de la démonstration Récursive). 2. L'étape suivante est dite Cas de Récurrence (de la démonstration Récursive). On suppose que tous les objets construits (à partir des objets élémentaires) en un nombre quelconqueque d'étapes k, oú k p et p N ont la propriété P ; cette hypothèse est dite Hypothèse de Récurrence (notée HR). Puis, en utilisant HR, on montre que tous les nouveaux objets construits à l'étape p + 1 à partir des anciens ont encore la propriété P.

19 Préliminares Démonstration par récurrence (suite) Example On prouve la propriéte P suivante des éléments de N : Si n > 0, la somme (n) des n premiers éléments de N \ {0} est égale à : n (n+1) 2 1. Base Si n est généré en 0 étapes, alors n = 0. P est banalement vraie, car on suppose n > 0! 2. Cas de Récurrence. On veut prouver que P est valable si n est généré en plus que 0 étapes, c'est-à-dire que n > 0. Si n = 1, c'est banal, car s(n) = 1 = Sinon, n 2. Alors : HR : qque soit m N généré en un nombre d'étapes inférieur ou égal à n 1, c.à.d. qque soit m (n 1), si m > 0 alors s(m) = m (m+1) 2. Evidemment : (n) = (n 1) + n. Comme cas particulier de HR : (n 1) = (n 1) n 2. Donc : (n) = ( (n 1) n 2 ) + n = (n 1) n+2n 2 = n (n+1) 2, c.q.f.d.

20 Logique (classique) propositionnelle

21 Etude des tests conditionels Considérez l'instruction suivante : if count>0 and not found then decrement count; look for next entry; end if Caractéristiques : états de base (ou atomiques) - ici : count> 0, found - sont vrai ou faux selon les circonstances on peut utiliser des opérations booléennes - and, or, not, etc. - pour construire des énoncées de test plus complexes à partir des propositions atomiques l'énoncé complexe nal est vrai ou faux La logique propositionnelle est assez expressive, mais la logique des prédicats (plus tard) peut dire beaucoup plus. Par exemple, Chaque élève a un tuteur.

22 Etude des tests conditionels Pourquoi la logique propositionnelle? Toute personne qui a écrit des programmes impératifs connaît les tests conditionels. Pourquoi les étudier à nouveau? Toutes les logiques sont basées sur la logique propositionnelle dans une certaine mésure. On doit commencer par ici. Nous voulons gérer des tests conditionels arbitrairement compliqués et étudier leur caractéristiques générales Nous ne voulons pas seulement évaluer les tests. Nous voulons aussi savoir quand deux tests signient la même chose, quand un test implique un autre, si un test (ou un test de boucle) peut être jamais rendu vrai ou faux. La logique propositionnelle réprésente une classe importante de problèmes computationels. Comme ça, elle apparaît dans les algorithmes et dans la théorie de la complexité.

23 Syntaxe Le langage formel But : Spécier quelles expressions sont considérées bien formées, ou légales indépendamment de leur signication et de leur vérité. Ces expressions constitueront le langage formel de la logique propositionnelle. Le langage est constitué de trois ingrédients.

24 1er Ingrédient Les propositions atomiques Nous ne sommes pas concernés par quels faits atomiques (count>0, found) sont utilisés, tandis qu'ils peuvent avoir une valeur de vérité (vrai ou faux). Donc, nous xons une collection de symboles algébriques qui réprésentent ces énoncés atomiques. Les symboles sont appelés propositions atomiques, ou variables propositionnelles. Pour trancher, je vais les appeler atomes d'habitude. Ils ont la même fonction que des variables x, y, z en mathématiques. Mais comme ils sont propositionnels, nous utilisons d'habitude les lettres p, p, p 0, p 1, p 2,..., ainsi que q, r, s,....

25 2ème Ingrédient Les connecteurs booléens Nous sommes intéressés par les opérations booléennes suivantes, ou connecteurs : et : écrit comme (ou parfois &, et dans les livres les plus vieux, ' ') non : écrit comme (ou parfois ) ou : écrit comme (dans les livres les plus vieux, +) si alors, ou 'implique'. Ceci est écrit comme (ou parfois ), mais pas comme, qui est utilisé diéremment). si et seulement si : écrit comme (mais pas ni, qui sont utilisés diéremment) vrai et faux : écrit, Attention : 'implique' est juste une façon de dire! Nous discuterons de la signication de plus tard. Le mêmes considérations s'appliquent aux autres connecteurs.

26 3ème Ingrédient La ponctuation On a besoin des parenthèses pour éliminer l'ambiguïté de nos tests conditionels. C'est la même choses que les termes dans l'arithmétique : est ambigu, on peut le lire comme (1 2) + 3 ou 1 (2 + 3), et la diérence est importante. Par exemple, p q r peut être lu comme (p q) r p (q r) et la diérence compte. Donc, nous commençons par mettre tous les paranthèses dans les formulas, et après on supprime celles qui ne sont pas nécessaires.

27 Le langage formel Denition (Alphabet) Un alphabet A d'un langage propositionnel L P est l'union des ensembles suivants : Un ensemble dénombrable P = {p, q, r,...} de symboles dits lettres (ou variables) propositionnelles. Cet ensemble est aussi dit signature de L P. Un ensemble de symboles dits connecteurs logiques, contenant deux connecteurs à 0 arguments et, aussi dits constantes propositionnelles, un connecteur à un argument et quatre connecteurs binaires :,,,. Les parenthèses : une ouvrante, (, et une fermante, ).

28 Les Formules Une formule propositionnelle est une séquence de symboles construite à partir des atomes propositionnels, en utilisant les connecteurs booléens ci-dessus, et les parenthèses, selon la façon appropriée. Plus précisément : Denition (Formules) Les expressions bien formées ou formules d'un langage propositionnel L P sont les mots sur l'alphabet de L P qui sont éléments de l'ensemble déni par récurrence comme suit. Toute proposition atomique p P est une formule. Aussi, les constantes propositionnelles et sont des formules. si F est une formule, alors ( F ) est aussi une formule ; si F 1 et F 2 sont des formules, alors (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ), et (F 1 F 2 ) sont aussi des formules. Dit autrement : où p P et {,,, }. F := p ( F ) (F F )

29 Exemples de Formules Celles-ci sont des formules : p ( p) (( p) ) ( (( p) )) (( p) ( (( p) ))) On peut déjà voir qu'on a du mal avec les parenthèses. Nous avons besoin de conventions pour nous débarrasser (de certaines). Nous obtiendrons (à parler proprement) des abréviations de véritables formules. Mais la plupart des gens pense à elles comme des vraies formules. On peut toujours omettre les parenthèses les plus extérieures : p et ( p) ( (( p) )) ne sont pas ambigus.

30 Les Formules Exemple de démonstration par récurrence sur l'ensemble des formules d'un langage Propriété : une formule a un nombre pair de parenthèses. Preuve au tableau du fait que toute formule a cette propriété.

31 Conventions pour simplier l'écriture des formules Pas d'écriture des parenthèses les plus extérieures. Le connecteur s'applique à la plus petite formule le suivant immédiatement ; par ex. on pourra écrire p q à la place de ( p) q ; et sont prioritaires sur et ; par ex., on pourra écrire p q r p à la place de (p q) (r p) (analogie avec par rapport à + en arithmetique). si * est un connecteur binaire donné et A 1,..., A n, oú n 3, sont des formules, on pourra écrire A 1 A 2... A n à la place de (...(A 1 A 2 )...) A n (association à gauche).

32 Conventions pour simplier l'écriture des formules Pour eliminer plus de parenthèses, nous classons les connecteurs booléens selon leur force de liaison décroissante : (plus fort),,,, (plus faible) Il est comme dans l'arithmétique, où est plus forte que est généralement lu comme 2 + (3 4), pas comme (2 + 3) 4. Donc : p q r est lu comme p (q r), pas comme (p q) r p q est lu comme ( p) q, pas comme (p q) p q r est lu comme (p ( q)) r, plutôt que p ( (q r)) ou p (( q) r) Mais n'utilisez pas trop les conventions. Par exemple, p q r s t est un gâchis! Utilisez les parenthèses si elles aident la lisibilité, même si elles ne sont pas strictement nécessaire.

33 Arbre Syntaxique Nous avons montré comment lire une formule sans ambiguïté, comment l'analyser. Cette information peut être représentée comme un arbre : l'arbre syntaxique de la formule. Denition (Arbre Syntaxique) L'arbre syntaxique d'une formule A, noté Arbre A, est un arbre binaire G, R, D déni par récurrence sur la structure de A : Si A est atomique, son arbre syntaxique est, A,. Si A est ( A 1 ), alors son arbre syntaxique est Arbre A 1,,, où Arbre A1 est l'arbre syntaxique de A 1. Si A est (A 1 A 2 ) où est un connecteur binaire, alors son arbre syntaxique est Arbre A 1,, Arbre A2, où Arbre A1 est l'arbre syntaxique de A 1 et Arbre A 2 est l'arbre syntaxique de A 2.

34 Connecteur Principal Denition (Connecteur Principal) Si A contient au moins un connecteur, on appelle connecteur principal de A le connecteur qui se trouve à la racine de Arbre A Chaque formule non-atomique a un connecteur principal qui détermine sa forme logique globale. Vous devez apprendre à la reconnaître. p q r a connecteur principal. Sa forme logique globale est A B. (p q) a connecteur principal. Sa forme logique est A. p q r a connecteur principal ( le 2ème!). Sa forme logique est A B. p q r a connecteur principal. Sa forme logique est A B. Quels sont les arbres syntaxiques de ces formules?

35 Sous-formules L'arbre syntaxique permet d'expliquer la notion de sous-formule. Les sous-formules d'une formule A sont les formules construites dans les étapes de construction de A. Elles correspondent à des noeuds, ou à des sous-arbres, de l'arbre syntaxique de A. Denition (Sous-formules) Si A est une formule atomique, alors sousf (A) est {A} ; Si le connecteur principal de A est, c'est-à-dire que A a la forme A 1, alors sousf (A) est l'union ensembliste de { A 1 } et de sousf (A 1 ) Si le connecteur principal de A est un connecteur binaire *, c'est-à-dire que A a la forme A 1 A 2, alors sousf (A) est l'union ensembliste de {A 1 A 2 }, avec sousf (A) 1 et sousf (A) 2.

36 Termes techniques pour les formules logiques Pour lire de la Logique, vous aurez besoin d'un peu de jargon. Denition Une formule de la forme,, ou p, pour un atome p, est appelée atomique. Une formule dont la forme logique est A est appelée une formule niée. Une formule de la forme p,, ou est parfois appelé niée-atomique. Une formule de la forme A B est appelée une conjonction, et A, B sont ses conjoints. Une formule de la forme A B est appelée une disjonction, et A, B sont ses disjoints. Une formule de la forme A B s'appelle une implication. A est appelée l'antécédente, B est appelée conséquente.

37 Termes techniques pour les formules logiques (suite) Denition Une formule qui est soit atomique soit niée-atomique est appelée littéral (en mathématiques on l'appelle parfois une formule de base). Une clause est une disjonction ( ) d'un ou plusieurs littéraux. Par exemple, le formules p, r,, sont tous des littéraux. Quatre exemples de clauses p p p q r p p p q Certains considèrent la clause vide (la disjonction de zéro littéraux!), qui par convention est traitée de la même manière que.

38 Sémantique signication Nous savons comment lire et écrire les formulas. Mais quelle est leur signication? ou de manière plus chic : quelle est leur sémantique? Les conncteurs booléens (non, et, ou, si-alors, si et seulement si ) ont à peu près leur signication en français. Mais le français est un langage naturel, plein d'ambigüités, de subtilités, et de case particuliers. Traduire du français à la logique est dicile! Regardez le livre de Hodges pour quelques exemples. Nous sommes des informaticien(ne)s. On a besoin d'une idée précise de la signication des formules d'autant en plus qu'il en existe un nombre inni. Donc, on préfère donner une dénition formelle en style mathématique de la sémantique.

39 Sémantique de la logique propositionnelle But : donner une signication aux connecteurs logiques, et d'interpréter les variables propositionnelles, en leur attribuant une valeure booléenne (vraie ou fausse), an de permettre de déterminer la vérité d'une formule complexe à partir de celle des formules atomiques qui la composent.

40 Donner de la signication aux formules Une interprétation est simplement quelque chose qui détermine si chaque atome propositionnel est vrai ou faux. Denition (Interprétation) Une interprétation I pour un ensemble de variables propositionnelles P est une fonction I : P BOOL, ou BOOL = {V, F }. Pour les tests conditionnels une interprétation est un point dans l'execution d'un programme. les valeurs courantes du programme déterminent si chaque énoncé atomique d'un test conditionnel (par exemple, x > 0, x = y, etc.) est vrai ou faux. Pour si (il pleut)) alors (il est nuageux), une intreprétation est le temps atmosphérique. Pour des atomes p, q,..., une interprétation spécie juste quels atomes sont vrais et quels sont faux. N'oubliez pas : on peut avoir plusieurs interprétations diérentes. Dans une autre interprétation les valeurs de vérité peuvent être diérentes Evidemment, si on connait l'interprétation, on peut dériver la signication de chaque formule propositionnelle donnée c.à.d., si elle est vraie ou fausse dans l'interprétation. On procède des formules simples aux formules plus compléxes.

41 Déterminer la Valeur de Vérité La valeur de vérité d'une formule propositionnelle pour une interprétation donnée est dénie comme il suit : l'interprétation nous dit directement la valeur de vérité des atomes. est vrai et est faux. Supposez que A et B sont des formules et qu'on a déjà établi si elles sont vraies ou fausses pour l'interprétation donnée. Alors, pour cette interprétation : A est vraie si A est fausse, et fausse si A est vraie A B est vrai si A et B sont toutes les deux vraies, si non elle est fausse. A B est vrai si l'une des A ou B est vraie, si non elle est fausse (ou inclusif) A B est vrai si A est fausse ou B est vraie (ou les deux), si non elle est fausse (si A est vraie, alors B est vraie aussi) A B est vrai si A et B ont la même valeur de vérité (toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses), si non elle est fausse

42 Sémantique de la logique propositionnelle Notation : si E est un ensemble et n N, n > 0, on note E n l'ensemble de toutes les n-uplets de E. Denition (Fonction booléenne) Soit BOOL = {V, F } l'ensemble dont les éléments sont V (Vrai) et F (Faux)(ou 1 et 0). Une fonction booléenne à n arguments (dite aussi fonction de vérité) est une fonction f : BOOL n BOOL.

43 Fonction booléennes Denition Les fonctions booléennes f, f, f, f, f sont dénies par les tables suivantes, où l'argument de la fonction unaire f est indiqué dans la première colonne : Argument 1 Argument 2 f f f f f V V F V V V V V F F V F F F F V V V F V F F F V F F V V Quelle est la diérence entre un connecteur c et la fonction booléen f c?

44 Sémantique de la logique propositionnelle Denition (Valeur de vérité) La valeur de vérité d'une formule A par rapport à une interprétation I, notée [A] I, est dénie par récurrence sur la structure de A : Si A est une lettre propositionnelle, [A] I = I(A) ; de plus, [ ] I = V et [ ] I = F ; [ A 1 ] I = f ([A 1 ] I ) [A 1 A 2 ] I = f ([A 1 ] I, [A 2 ] I ) où est un connecteur binaire et f est la fonction booléenne associée.

45 Tables de vérité L' évaluation d'une formule par rapport à une interprétation I donnée peut être représentée sous la forme d'une ligne d'une table de vérité : p q q p q q (p q) ( q) V F V V F F Ici, les 2 premières colonnes indiquent l'interprétation I par rapport à laquelle on fait évaluation.

46 Sémantique de la logique propositionnelle Denition (Modèle) Une interprétation I est un modèle d'une formule A si [A] I = V. On dit que I est un modèle d'un ensemble de formules E si elle est modèle de tout élément de E. N.B. : si E est un ensemble ni {A 1,, A n}, alors I est un modèle de E ssi c'est un modèle de (... (A 1 A 2 )...) A n

47 Sémantique de la logique propositionnelle Denition (Satisabilité) Une formule A est satisable s'il existe au moins une interprétation I qui est modèle de A ; sinon, A est dite insatisable. Dénition semblable pour un ensemble E de formules. N.B. Une formule A est satisable ssi pour au moins une ligne de sa table de verité la valeur de A est V. Complexité dans le pire des cas du test de satisabilité pour A, en fonction du nombre de lettres propositionnelles de A?

48 Sémantique de la logique propositionnelle Denition (Validité) Une formule A est valide (ou est une tautologie) si, pour n'importe quelle interprétation I, I est un modèle de A. N.B. A est valide ssi toute ligne de sa table de verité donne V comme valeur de A. Complexité du test de validité de A, en fonction du nombre de lettres propositionnelles de A?

49 Sémantique de la logique propositionnelle N.B. Si A est une formule, p i une de ses lettres propositionnelles, et A la formule obtenue à partir de A en remplaçant systématiquement p i par une formule quelconque B, alors la validité de A implique celle de A. Attention : l'implication reciproque est fausse! Example A 1 est p p. En remplaçant p par q r on obtient A 1 : (q r) (q r). Puisque A est valide A l'est aussi. A 2 est p q. En remplaçant p par q on obtient A 2 : q q. A 2 est valide, mais A 2 ne l'est pas.

50 Sémantique de la logique propositionnelle Denition (Conséquence logique) Soit E un ensemble quelconque de formules, soit A une formule. On dit que A est conséquence logique de E, et on note E = A, si tout modèle de E est aussi un modèle de A. Et si E =?

51 Analyse d'un raisonnement en langage naturel I Je vous paierai pour votre réparation de mon PC seulement si mon PC marche. Or, mon PC ne marche pas. Donc, je ne vous paierai pas. La conclusion je ne vous paierai pas suit des premisses du raisonnement? Formalisons : p pour je vous paierai pour votre réparation de mon PC, m pour mon PC marche. Premisses : p m, m Conclusion : p Est-il vrai que p m, m = p?

52 Analyse d'un raisonnement en langage naturel I Je vous paierai pour votre réparation de mon PC seulement si mon PC marche. Or, mon PC ne marche pas. Donc, je ne vous paierai pas. La conclusion je ne vous paierai pas suit des premisses du raisonnement? Formalisons : p pour je vous paierai pour votre réparation de mon PC, m pour mon PC marche. Premisses : p m, m Conclusion : p Est-il vrai que p m, m = p? OUI La conclusion suit logiquement, raisonnement correct.

53 Analyse d'un raisonnement en langage naturel II S'il pleut, alors je prends mon parapluie. Mais, il ne pleut pas. Donc, je ne prends pas le parapluie. La conclusion je ne prends pas le parapluie suit des premisses du raisonnement? Formalisons : q pour il pleut, r pour je prends le parapluie. Premisses : q r, q Conclusion : r Est-il vrai que q r, q = r?

54 Analyse d'un raisonnement en langage naturel II S'il pleut, alors je prends mon parapluie. Mais, il ne pleut pas. Donc, je ne prends pas le parapluie. La conclusion je ne prends pas le parapluie suit des premisses du raisonnement? Formalisons : q pour il pleut, r pour je prends le parapluie. Premisses : q r, q Conclusion : r Est-il vrai que q r, q = r? NO La conclusion ne suit pas logiquement, raisonnement incorrect.

55 Résultats Fondamentaux 1. A 1,, A n = A si et seulement si la formule (A 1 A n) A est valide. 2. Si E est insatisable alors A est une conséquence logique de E. 3. Quel que soit E, si A est valide alors A est une conséquence logique de E. 4. E = A si et seulement si E { A} est insatisable. Donc, en considérant le cas où E est vide, A est valide si et seulement si A est insatisable. NB : Propriété 4 très utile dans la suite.

56 Formules Equivalentes Denition (Equivalence) Soient A 1 et A 2 deux formules. On dit que A 1 et A 2 sont logiquement équivalentes (et on note A 1 A 2 ) si A 1 est une conséquence logique de A 2 et A 2 est une conséquence logique de A 1, c.à.d., A 2 = A 1 et A 1 = A 2. N.B. A 1 A 2 si et seulement si la formule composée A 1 A 2 est valide, ou, de façon équivalente, si et seulement si A 1 et A 2 reçoivent la même valeur de vérité pour toute interprétation. quelle est la diérence entre et =? quelle est la diérence entre et? quel est le rapport entre la notion spécique d'équivalence logique et la notion générale de relation d'équivalence?

57 Equivalences utiles Qques soient les formules A 1, A 2 et A 3 : A A (loi du tiers exclus) A A 2 (A A 2 ) (A 2 A) (dénissabilité de par, ) A A 2 A A 2 (dénissabilité de par, ) (A A 2 ) A A 2 et (A A 2 ) A A 2 (lois de De Morgan) A A (loi de double négation) A (A 2 A 3 ) (A A 2 ) (A A 3 ) et A (A 2 A 3 ) (A A 2 ) (A A 3 ) (lois de distributivité) A A 2 A 2 A et A A 2 A 2 A (commutativité de, respectivement ) A (A 2 A 3 ) (A A 2 ) A 3 et A (A 2 A 3 ) (A A 2 ) A 3 (associativité de, respectivement ) A A et A A (éléments neutres) A et A (A B) A A et (A B) A A

58 Remplacement Theorem Soient A une formule, B une sous-formule de A, et C une formule telle que B C. Si on remplace une occurrence de B dans A par C, on obtient une formule A telle que A A. Exemple de l'utilité de ce théorème ((p (q p)) r) (p p) ( r) (p p) (r ) r Possibilité de récrire une formule en une autre logiquement équivalente mais + simple ou ayant une forme donnée (forme normale). r

59 Fonctions Booléennes Outre f, f, f et f, d'autres fonctions booléennes à 2 arguments existent. Combien? Des fonctions booléennes à + que 2 arguments existent, par exemple celle dénie par la table : Argument 1 Argument 2 Argument 3 Valeur V V V V V V F F V F V F V F F V F V V F F V F V F F V V F F F F

60 Fonctions Booléennes Est-il possible d'exprimer toute fonction booléenne à l'aide de,,,,,,? Denition Soit A une formule dont les lettres propositionnelles sont p 1,, p n. Soit f A la fonction booléenne à n arguments telle que, quelque soit v i Bool et I telle que I(p i ) = v i, on a f A (v 1,, v n) = [A] I. On dit alors que la fonction f A est réalisée par la formule A, ou, de façon équivalente, que A réalise f A. Example La formule A = p 1 réalise la fonction f. Pourquoi? Quelles autres formules réalisent f? Réformulation de la question : Est-il possible de réaliser toute fonction booléenne en utilisant des formules dont les seuls connecteurs sont :,,,,,,?

61 Fonctions Booléennes Est-il possible d'exprimer toute fonction booléenne à l'aide de,,,,,,? Denition Soit A une formule dont les lettres propositionnelles sont p 1,, p n. Soit f A la fonction booléenne à n arguments telle que, quelque soit v i Bool et I telle que I(p i ) = v i, on a f A (v 1,, v n) = [A] I. On dit alors que la fonction f A est réalisée par la formule A, ou, de façon équivalente, que A réalise f A. Example La formule A = p 1 réalise la fonction f. Pourquoi? Quelles autres formules réalisent f? Réformulation de la question : Est-il possible de réaliser toute fonction booléenne en utilisant des formules dont les seuls connecteurs sont :,,,,,,? OUI Si la fonction a au moins 1 argument, même,, susent.

62 Fonctions Booléennes Idée de la démonstration Argument 1 Argument 2 Argument 3 Valeur V V V V V V F F V F V F V F F V F V V F F V F V F F V V F F F F Les lignes avec résultat V guident la construction d'une formule réalisant la fonction. Cette formule est une disjonction de 4 sousformules : l 1, l 2, l 3 et l 4 : (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)

63 Récriture d'une formule dans une forme normale logiquement équivalente Conventions préliminaires. 1. Si n = 0, la notation A 1 A n, n'indique pas vraiment une formule, toutefois on pose qu'elle indique la formule. De même, si n = 0 la notation A 1 A n indiquera. 2. Quand on parlera de formes normales, on écrira A 1... A n pour indiquer une disjonction dont les composantes sont A 1,...A n, peu importe leur ordre et peu importe leur groupement par les (). Idem pour A 1 A n. Pourquoi ces conventions sont sémantiquement justiées? Utilité de la récriture en formes normales : les systèmes formels de preuve que nous verrons après la nécessitent.

64 Récriture d'une formule dans une forme normale logiquement équivalente Denition (Forme Normale de Négation) Une formule est dite en forme normale de négation (f.n.n.) si toute occurrence du connecteur s'applique à des sous-formules atomiques. Pour récrire A en une A t.q. A est en f.n.n. et A A utilisez : A B (A B) (B A) A B A B Les lois de De Morgan La loi de Double Négation

65 Récriture d'une formule dans une forme normale logiquement équivalente Denition rappel : un littéral est ou bien une formule atomique ou bien la négation d'une formule atomique. rappel : une clause (dite aussi : disjonction élémentaire) est une formule de la forme l 1 l 2 l m 1 l m, où m 0 et chaque l i est un littéral. Le littéral est dit clause vide. Une formule A est dite en forme normale conjonctive (f.n.c.) si elle est de la forme D 1 D k, où k 0 et chaque D i est une clause. une conjonction élémentaire est une formule de la forme l 1 l 2 l n 1 l n où n 0. Le littéral est dit conjonction élémentaire vide. une formule A est dite en forme normale disjonctive (f.n.d.) si elle est de la forme C 1 C q, où q 0 et chaque C i est une conjonction élémentaire. Rappell : puisque f et f sont commutatives et associatives, abus de syntaxe : nous identierons par exemple, les deux formules en f.n.c. ((p q) r) ((q r) (q r)) ((p (r q)) ( r q)) (r q)

66 Récriture d'une formule dans une forme normale logiquement équivalente Theorem Etant donnée une formule quelconque A : il existe une formule A qui est en f.n.c. et qui est logiquement équivalente à A ; il existe une formule A qui est en f.n.d. et qui est logiquement équivalente à A. Plusieurs façons de le prouver ; une en TD.

67 Dévinette (rédiger la solution pour le prochain TD) Un étranger arrive au pays Byzarre, où on a seulement 2 sortes d'habitants : les Hônnetes qui disent toujours la vérité et les Malhônnetes qui mentent toujours. Il se trouve à une bifurcation et s'interroge sur quelle route porte à la mairie : celle de droite ou celle de gauche? Un habitant de Byzarre est la, mais l'étranger ne sait pas á quelle sorte de personne il appartient. Quelle question (une seule!) l'étranger peut poser à l'habitant pour savoir à coûp sûr quelle rue prendre pour se rendre à la mairie? Indication : l'étranger pourra poser la question : A est vraie?, où A est une formule booléennes dont les 2 (sous)formules atomiques sont 1. la rue de gauche porte à la mairie 2. vous étes hônnete

68 Systèmes formels de preuve

69 Systèmes formels de preuve But : avoir des moyens purement syntaxiques, c'est-à-dire ne tenant compte que de la forme des formules, pour montrer qu'une formule donnée est valide. Une preuve (formelle) sera un arbre d'expressions.

70 Systèmes formels de preuve Plusieurs sortes de systèmes de preuve existent. Une classication partielle, selon les critéres : Direct? Automatisable? nécéssite une Forme Normale? Concis? Nom D? A? FN? C? Axiomatiques (Hilbert) Oui Non Non Oui Séquents (Gentzen) Oui Oui Non Non Déduction Naturelle (Gentzen) Oui en partie Non Non Tableaux (Beth, Gentzen) Non Oui! Oui et Non Non Résolution (Robinson) Non en partie Oui Oui! Dans ce cours : Tableaux, Résolution.

71 Tableaux propositionnels Les tableaux ne sont pas des systèmes de preuve directs, mais des systèmes de réfutation : pour prouver A, on prouve que l'hypothèse A mene à une contradiction. Il en existe de plusieurs sortes. Ici : Denition (Tableau) Un tableau est un arbre t.q. 1. Ses noeuds sont des ensembles de formules en f.n.n. ; 2. Les ls d'un noeud sont générés en lui appliquant une règle d'expansion. En principe, l'arbre peut être inni. Règle d'expansion =?

72 Tableaux propositionnels On suppose : langage sans, seul connecteurs :,,. Notation : E = ensemble de formules en f.n.n. ; A, B = formules f.n.n. ; si φ est une formule, E, φ = E {φ}. Denition (Règles d'expansion) La règle d'expansion α est : E, A B E, A, B (α) L'ensemble E, A B est dit ensemble développé et l'ensemble E, A, B est dit expansion de E, A B. La règle d'expansion β est : E, A B E, A E, B β L'ensemble E, A B est dit ensemble développé et les ensembles E, A et E, B sont dits, respectivement, expansion gauche et droite de E, A B.

73 Tableaux propositionnels Denition (Branche) Soit B une branche d'un tableau. 1. La branche B est dite complète si elle ne peut pas être étendue par une application d'une règle d'expansion. 2. Elle est dite close si un de ses noeuds contient p et p pour quelque lettre propositionnelle p, ouverte sinon. Si l'ensemble E est la racine d'un tableau T, on dit que T est un tableau pour E.

74 Tableaux propositionnels Exemple de tableau pour { p q, q r, p r} où une branche n'est ni complète ni close, et les autre deux branches sont closes : au tableau.

75 Tableaux propositionnels Exemple de tableau pour { p q, q r, p r} où une branche n'est ni complète ni close, et les autre deux branches sont closes : au tableau. p q, q r, p r p q, q r, p, r p, q r, p, r p, q, p, r p, r, p, r (β) q, q r, p, r (α) (β)

76 Tableaux propositionnels Intuition : le processus de construction d'un tableau pour E peut être vu comme un essai systématique de montrer que l'hypothèse que E est satisable conduit à une contradiction, en explorant les possibilités d'obtenir un modèle de E. Denition (Réfutation) Un tableau T pour E est dit réfutation (par tableaux) de E si toute branche de T est close. Exemple de réfutation de { p q, q r, p r} : suite de l'arbre précedent, au tableau. Exemple de tableau pour { p q, q r, p r} où toute branche est close ou complète et qui n'est pas une réfutation : au tableau.

77 Tableaux propositionnels Denition (Preuve) Soit A une formule. Une preuve de A est une réfutation du singleton contenant une f.n.n. de la négation de A. Denition (Théorème) S'il existe une preuve (par tableaux) de la formule A, A est dite alors théorème (du système des tableaux). Exemple au tableau : preuve de la formule p (q p), où p et q sont des lettres propositionnelles.

78 Tableaux propositionnels Denition Dans le formalisme des tableaux, on dit qu'une règle d'expansion r est correcte si la satisabilité de l'ensemble développé entraîne la satisabilité de son expansion quand r ne produit pas de branchements, et celle d'au moins une des ses expansions sinon. Les règles α et β sont correctes! (Pourquoi?) Ceci entraîne (pourquoi?) le résultat : Theorem (Correction du Système des Tableaux) Soit E un ensemble de formules (en f.n.n.). S'il existe une réfutation de E, alors E est insatiable. Si T est une preuve d'une formule A alors A est valide.

79 Tableaux propositionnels Le processus de construction d'un tableau (de la logique booléenne) termine toujours. Pourquoi?

80 Tableaux propositionnels Theorem (Complétude du système des tableaux) Soit E un ensemble ni de formules et soit E l'ensemble obtenu en réecrivant toute formule de E en f.n.n. (et en éliminant,, et ). 1. Si E est insatisable alors il existe une réfutation de E. 2. Si A est une formule valide, alors il existe une preuve de A. Pour prouver ce thm. : Lemma Soit B une branche d'un tableau compléte et ouverte. L'interprétation I telle que, qque soit la lettre propositionnelle p de E : est un modèle de E. I(p) = V ssi il existe un noud E de B avec p E

81 Tableaux propositionnels Le système des tableaux fournit un algorithme permettant de tester la satisabilité d'un ensemble de formules (ou d'une formule) et la validité d'une formule. Pourquoi? Advantages par rapport aux tables de verité?

82 Logique des prédicats (du 1 er ordre)

83 Limites de la Logique Propositionnelle Raisonnement correct en langage naturel Prémisses : 1. Tout nombre entier positif divisible par 8 est pair. 2. L'entier positif 16 est divisible par 8. Conclusion : l'entier positif 16 est pair. Formalisation adéquate en logique booléenne?

84 Syntaxe de la Logique des Prédicats But : Spécier quelles expressions (+ riches de celles propositionnelles) sont considérées bien formées, ou légales indépendamment de leur signication et de leur vérité.

85 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Alphabet) Un alphabet A d'un langage L de la logique des prédicats consiste des données suivantes : l'ensemble de connecteurs logiques, contenant le connecteur à un argument et les connecteurs binaires,,, les constantes logiques et les parenthèses (, ) et la virgule, le symbole, dit quanticateur universel et le symbole, dit quanticateur existentiel un ensemble inni dénombrable X de symboles, les variables individuelles un ensemble dénombrable F de symboles de fonction, chacun muni d'une arité (nombre d'arguments) supérieure ou égale à 0. un ensemble dénombrable R = {P, Q, R,...} de symboles de prédicats (ou relations), chacun muni d'une arité supérieure ou égale à 0.

86 Syntaxe de la Logique des Prédicats si l'aritè d'un symbole de fonction est 0, on dit qu'il est une constante (individuelle). si l'aritè d'un symbole de prédicats est 0, on dit qu'il est une lettre propositionnelle. F, R est la signature d'un langage L. la signature peut varier d'un langage à un autre.

87 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Terme (par récurrence)) Soit F un ensemble de symboles de fonctions. toute variable individuelle est un terme sur F ; si f F est un symbole de fonction, f est d'arité n, avec 0 n, et t 1,..., t n sont des termes sur F, alors l'expression f (t 1,..., t n) est un terme sur F. Si f est une constante individuelle on abrège l'écriture du terme f () en f.

88 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Formule (par récurrence)) Soit L un langage du calcul des prédicats ayant Σ = F, R comme signature. si R R est un symbol de prédicat, l'aritè de R est m, où 0 m et t 1,..., t m sont des termes sur F, alors l'expression R(t 1,..., t m) est une formule de L, dite formule atomique (ou atome) de L. si A 1 et A 2 sont des formules, alors ( A 1 ), (A 1 A 2 ), (A 1 A 2 ), (A 1 A 2 ), (A1 A 2 ) sont aussi des formules de L. si A est une formule et x une variable, alors ( xa) et ( xa) sont des formules de L. Si l'aritè d'un symbole R est 0 on abrège la notation de la formule atomique R() en R. Les symboles et sont aussi des formules atomiques. Dans ( xa) (resp. ( xa)), la formule A est dite portée de x (resp. ).

89 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Formule F (Backus-Naur)) Soit TE l'ensemble des termes, F := R(t 1,..., t n) ( F ) (F F ) ( xf ) ( xf ) avec x X, t i TE, R R, {,,, }.

90 Arbre syntaxique d'une formule A Même notion que dans le cas propositionnel, avec, en plus : si Q {, }, x X, et A est Qx A 1, alors son arbre est Arbre A = x, Q, Arbre A 1, c.à.d., le ls gauche du noeud Q est x et le ls droit est la racine de l'arbre syntaxique de A 1. Attention : une feuille n'est plus forcement une formule (x est une variable individuelle, pas une formule!).

91 Conventions pour éliminer des parentèses Celles de la logique propositionnelle + 1. Si Q, Q sont des quanticateurs, on peut écrire Qx Qy A à la place de (Qx (Qy A)). Par exemple, on pourra écrire à la place de z y x (R(x, y) P(z)) z ( y ( x (R(x, y) P(z)))) 2. Si A est une formule atomique, Q {, } et x X, l'écriture Qx A signiera que la portée de Q est A. Par exemple, on aura le droit d'écrire x P(x) R(x) à la place de ( x (P(x)) R(x)

92 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Variables Libres et Liées) Soit A une formule. L'ensemble VLB(A) des variables libres de A et l'ensemble VLE(A) des variables liées de A, sont dénis par récurrence sur les formules : Si A est un atome, VLB(A) est l'ensemble de toutes les variables qui apparaîssent au moins une fois dans A et VLE(A) =. A n'est pas atomique. On a 3 sous-cas : 1. si A est A 1, VLB(A) = VLB(A 1) et VLE(A) = VLE(A 1). 2. si A est A 1 A 2, où {,,, }, on a VLB(A) = VLB(A 1) VLB(A 2) et VLE(A) = VLE(A 1) VLE(A 2). 3. Si A est Qx A 1, où Q est un quanticateur, VLB(A) = VLB(A 1) \ {x} et VLE(A) = VLE(A 1) {x}. Un terme t est dit clos s'il ne contient pas de variables. Une formule A est dite close si elle ne contient pas de variables libres.

93 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition Un terme t est libre pour une variable x dans une formule A si l'on a un des cas suivants : 1. A est atomique ; 2. A est A 1 A 2 avec {,,, } et t est libre pour x dans A 1 et dans A 2 ; 3. A est A 1 et t est libre pour x dans A 1 ; 4. A est Qy A 1 avec Q {, } et x et y sont deux variables distinctes, y n'est pas une variable de t et t est libre pour x dans A 1. Example Si P R, f, g F et A est x (P(x) R(x, y, f (z))), alors le terme g(y, z) est libre pour y et pour z dans A mais f (x) n'est pas libre pour y (et pour z non plus). Intuition? Notation : Si A est une formule, x est une variable et t est un terme, alors A[x/t] indique la formule obtenue à partir de A en remplaçant toute occurrence libre de x dans A par t qui est bien libre pour x dans A (sinon, par déf. c'est A elle même).

94 Syntaxe de la Logique des Prédicats Denition (Sous-formule) L'ensemble sousf (A) des sous-formules d'une formule A d'un langage L de la logique des prédicats est déni récursivement par : si A est une formule atomique, alors sousf (A) est {A} ; si A a la forme A 1, alors sousf (A) est l'union ensembliste de { A 1 } et de sousf (A 1 ) si A a la forme A 1 A 2, ou est un connecteur binaire, alors sousf (A) est l'union ensembliste de {A 1 A 2 }, avec sousf (A) 1 et sousf (A) 2. Si Q est un quanticateur et A a la forme Qx A 1 alors sousf (A) est l'union ensembliste de {Qx A 1 } avec sousf (A 1 ).

95 Sémantique de la logique des prédicats But : étant donné un langage L, donner une signication aux symboles de sa signature, et préciser le domaine où les variables individuelles prennent une valeur, an de permettre de déterminer la vérité d'une formule complexe à partir de celle des formules atomiques qui la composent. La signication des connecteurs restera la même que pour le cas booléen, mais il faut xer la signication des quanticateurs (unique, qque soit L, comme pour les connecteurs).

96 Problème Soient les formules : A 1 : x y R(x, y) A 2 : y x R(x, y) A 3 où : x et y sont des variables (individuelles), R est un symbole de prédicat d'arité 2, a est une constante (individuelle) et f est un symbole de fonction d'arité 1. : x R(a, f (x)) Vraies ou fausses?

97 Sémantique de la logique des prédicats Denition (Interprétation) Une interprétation I d'un langage L de la logique des prédicats ayant une signature F, R est consituée par : Un ensemble ni ou inni mais non-vide D, appelé domaine de discours ou univers de I. Pour tout symbole de fonction f F d'arité n, une assignation d'une fonction (totale) à n arguments I(f ) : D n D à f. Dans le cas particulier où n = 0 (f est une constante), I(f ) est un élément distingué de D. Pour tout symbole de relation R R arité n tel que n 1, une assignation d'une relation à n arguments I(R), où I(R) D n, à R. Dans le cas où n = 0, on assigne à R une valeur booléenne, que l'on note toujours I(R). Exemples au tableau.

98 Sémantique de la logique des prédicats Problème Soient les termes : t 1 : g(a, f (a)) où : x et y sont des variables (individuelles), a est une constante (individuelle), f est un symbole de fonction d'arité 1 et g est un symbole de fonction d'arité 2. t 2 : g(x, f (y)) Quelles sont leur signications? C.-à-d : quels individus (objets) nomment-ils?

99 Sémantique de la logique des prédicats Denition (Choix de valeurs) Soient L un langage du calcul des prédicats X l'ensemble des variables individuelles soit I une interprétation pour L ayant domaine (de discours) D. Un choix de valeurs (où assignation de valeurs) s par rapport à I est une fonction ayant X comme domaine et D comme ensemble d'arrivée. Denition (Variante) Etant donné une choix de valeurs s, une variable x i, un objet d D, la notation s[x i := d] indique le choix de valeurs s tel que : s (x i ) = d s (y) = s(y) pur toute variable y distincte de x i. Le choix de valeurs s[x i := d] est dit aussi x i -variante de s. Exemples au tableau.

100 Sémantique de la logique des prédicats Denition (Valeur d'un terme) Soient t un terme d'un langage L de la logique des prédicats, I une interprétation de L ayant D comme domaine de discours, soit s un choix de valeurs par rapport à I. La valeur du terme t par rapport à I et au choix de valeurs s, notée [t] I,s, est dénie récursivement : Base : t = x i. [x i ] I,s = s(x i ) Etape de récurrence : t = f (t 1,, t k ), où k 0. Si k = 0, c.-à-d., t est une constante c, [c] I,s = I(c). Si k 1, alors [f (t 1,, t k )] I,s = I(f )([t 1] I,s,, [t k ] I,s ). Lemma Pour tout terme t, sa valeur [t] I,s appartient à D.

101 Sémantique de la logique des prédicats Denition (Valeur de verité (d'une formule)) Soient A une formule d'un langage L de la logique des prédicats, I une interprétation de L ayant D comme domaine de discours, s un choix de valeurs par rapport à I. La valeur de verité de A par rapport à I et au choix de valeurs s, notée [A] I,s, est dénie récursivement : Base : A = R(t 1,, t k ) est atomique. Si k = 0, alors [R] I,s = I(R). Si k 1, alors [R(t 1,, t k )] I,s = V si le n-uplet [t 1] I,s,..., [t k ] I,s d'éléments de D appartient à la relation I(R), F sinon. Si A est ou bien : [ ] I,s = V et [ ] I,s = F.

102 Sémantique de la logique des prédicats Denition (Valeur de verité (suite de la dénition)) Etape de récurrence. On doit considérer plusieurs sous-cas. A est A 1. On a [A] I,s = f ([A 1 ] I,s ). A est A 1 A 2, où est un connecteur binaire. On a [A] I,s = f ([A 1 ] I,s, [A 2 ] I,s ). A est x A 1. On a [A] I,s = V si, quelque soit d D, [A 1 ] I,s[x:=d] = V, [A] I,s = F sinon. A est x A 1. On a [A] I,s = V s'il existe au moins un d D tel que [A 1 ] I,s[x:=d] = V, [A] I,s = F sinon. Exemple : evaluation de x y(r(x, y) R(f (x), a) où R est un symbole de prédicat d'arité 2, f est un symbole de fonction d'arité 1 et a est une constante. Au tableau.

103 Sémantique de la logique des prédicats Denition Soient A une formule et I une interprétation. A est vraie par rapport à I si [A] I,s = V pour tout choix de valeur s. I est un modèle de la formule A si A est vraie par rapport à I. I est un modèle d'un ensemble de formules E si elle est modèle de tout élément de E.

104 Sémantique de la logique des prédicats Soit A la formule x y R(x, y), où R est un symbole de prédicat, soit I une interprétation et soit s un choix de valeurs pour les variables. Supposons que [A] I,s = V. Est-il forcement vrai que [ y R(x, y)] I,s = V? Est-il forcement vrai que [ y R(z, y)] I,s = V? Est-il forcement vrai que [ y R(y, y)] I,s = V? Quel est le lien intuitif avec la notion (syntaxique) de terme libre pour une variable?

105 Sémantique de la logique des prédicats Denition Soient A une formule et E un ensemble de formules. A est valide si, pour n'importe quelle interprétation I, I est modèle de A. Une formule A est satisable s'il existe au moins une interprétation I et au moins un choix de valeurs pour les variables s tels que [A] I,s = V. Un ensemble de formules E est satisable s'il existe au moins une interprétation I et au moins un choix de valeurs pour les variables s tels que, quelque soit la formule B de E, on a [B] I,s = V. Si A (resp. E) n'est pas satisable, alors c'est insatisable. Remarque : toute formule de la forme ( x A) x A est valide et toute formule de la forme ( x A) xa est insatisable. Lien avec le fait que, par déf., le domaine de toute interprétation est non-vide?

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