Chapitre 5. Calculs de sommes et produits. 5.1 Un peu de dénombrement. (n + 2)! =

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1 Chapitre 5 Calculs de sommes et produits 5.1 U peu de déombremet Nous découvriros plus tard u chapitre etier dédié au déombremet, ous allos dès maiteat itroduire ou rappeler quelques otios. Défiitio Soit N. O défiit la factorielle de par récurrece :! O a doc, iformellemet,! O a par exemple 4!, 10!. De plus, pour tout N, ( + 2)!! EXERCICE Simplifier autat que possible pour tout 1 la quatité (!) 2 (+1)!( 1)!. O verra plus tard que! représete le ombre de faços de rager élémets disticts das boîtes. Défiitio Soiet, p N. O appelle coefficiet biomial 73

2 74 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS De faço équivalete, si p, o a ( ) C p p et ( p ) sio. O a ( 4 2 ). Quelques valeurs de coefficiets biomiaux doivet être coues : Propositio Soit N. Alors ( ) ( ), 0 ( ) ( ), 1 1 ( ) ( ) 2 2 Les coefficiets biomiaux vérifiet u grad ombre de propriétés, dot voici quelquesues : Propositio Soiet N et p [0, ]. Alors Démostratio. Il est clair que choisir élémets parmi. Blaise Pascal, , Fraçais

3 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS 75 O a ( ) + ( ) + 1 De faço combiatoire : Choisir élémets, puis e choisir le chef doe possibilités. De faço équivalete, o peut choisir le chef parmi les, puis 1 parmi les 1 restates; cela doe possibilités. E exercice. Reveos sur le triagle de Pascal : il ous permet de costruire par récurrece tous les coefficiets biomiaux de la faço suivate. Chaque élémet est obteu comme somme des deux élémets au-dessus Calcul de sommes Défiitio Soiet a p,..., a des ombres. O ote leur somme a p + + a Das tout ce chapitre, o fera bie attetio : o e parle que de sommes fiies. Les sommes avec ue ifiité de termes e serot étudiées qu e deuxième aée.

4 76 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS Das toute la suite, o éocera les résultats pour des sommes qui commecet à 1. O fait doc appel à l itelligece du lecteur pour adapter les éocés si la somme commece à 0, ou après 2. Le qui apparaît das la défiitio est ue variable muette : so om importe pas. O aura doc directemet a a j a 1 j1 1 O predra d ailleurs garde, lorsque plusieurs sommes apparaisset, à utiliser des idices différets si elles doivet se recotrer Propriétés de la somme Propositio La somme est liéaire, i.e. pour tous ombres a 1,..., a, b 1,..., b, λ, 1 (λa + b ) Attetio, c est évidemmet faux pour le produit et le quotiet. Par associativité de l additio, o peut séparer des sommes avec la relatio de Chasles. Propositio : Relatio de Chasles Soiet N, p [1, 1] et a 1,..., a des ombres. Alors a 1 C est souvet utile das l autre ses, pour simplifier des sommes : +1 a a 0 1 O ote que par commutativité et associativité de la somme, o peut séparer les sommes de plei de faços différetes. O a a 1

5 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS 77 Tout ceci ous emmèe à la trasformatio suivate : le chagemet d idice. Propositio Soiet (a i ) i I ue suite de ombre idexés par u esemble I N fii. Soit f ue foctio ijective ( i.e. telle que chaque élémet de l esemble d arrivée admette qu au plus u atécédet) de I das N. Alors e posat J { f (i) i I}, o a a j j J Cette propositio état géérale, mais assez compliquée, ous allos voir séparémet les quelques maières usuelles de l appliquer. Propositio : Glissemet d idice Soiet a 1,..., a des ombres. Alors a j 1 1 i+2 l+r S il est pas obligé de chager le om de la variable de sommatio, c est fortemet coseillé, au mois au début, de le faire. O a par exemple ( ( 1 1 ) Or par chagemet d idice, o a j+1

6 78 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS O a doc 1 ( ( 1 1 ) + 1 La somme de l exemple précédet retre das le cas plus gééral des sommes téléscopiques : Propositio Soiet a 1,..., a +1 des ombres. Alors 1 (u u +1 ) Par commutativité de la somme, o peut aussi calculer les sommes à l evers, e faisat ue iversio d idice. Propositio Soiet a 1,..., a des ombres. Alors a i Sommes usuelles Doos maiteat quelques résultats de sommes usuelles à coaître : Propositio Soiet N et p [0, ]. Alors 1 p Cela reviet e fait juste à (bie) compter le ombre de termes de la somme. Attetio, il y a + 1 termes etre 0 et. Propositio 5.2.9

7 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS 79 O a pour tout : Démostratio. Ue simple récurrece permet de motrer toutes les formules. Doos ue autre preuve pour la première formule : otos S la somme à calculer. Alors par iversio d idice, o a S O a doc 2S S + S et o retrouve le résultat. O peut gééraliser le calcul de la somme des etiers à p Propositio : Sommes géométriques Soit x u ombre différet de 1. Alors x 0

8 80 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS Plus gééralemet, si p, x p Si x 1, o retrouve ue somme déjà coue. Théorème : Formule du biôme de Newto Soiet a, b C et N. Alors (a + b) E preat 2, 3, o retrouve les idetités remarquables coues. E preat a b 1, o obtiet ( ) 0 Démostratio. Par récurrece sur : si 1, c est trivial. Sio, supposos l égalité vérifiée pour u N. Alors (a + b) +1 l+1

9 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS 81 EXERCICE Calculer 1 ( ) et 0 ( 1) ( ). Propositio : Idetité remarquable Soiet a, b C et N. Alors a b 1 (a b) 0 a b 1. E preat 2 ou 3, o retrouve les idetités remaquables coues. Démostratio. Si b 0, c est évidet. Si a b, aussi. Sio, o a 1 a b 1 0 O retrouve bie le résultat. Propositio : Formule de Vadermode Pour tous p,, m N, p 0 ( )( ) m p Démostratio. O veut choisir p objets e tout das deux boîtes coteat respectivemet et m objets. O peut choisir De faço équivalete, o peut se fixer u ombre d objets à predre das la première boîte, et p das la secode, ce qui doe. Tous les etre 0 et r état possibles, o retrouve bie le résultat.. Alexadre-Théophile Vadermode, , Fraçais

10 82 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS E particulier, si p m, o a 0 ( ) Sommes doubles O appellera somme double toute somme dot le terme gééral est lui-même ue somme, du type O veut calculer la somme S 1 i i0 j0 m l1 a,l. ij. O a S Il e reste plus qu à utiliser les résultats cous : S Il arrive qu o écrive ue somme double avec u seul symbole. Das ce cas, o écrit sous la somme les idices, par exemple : 1 i 1 j i a i,j, ou a i,j. i I j J La méthode la plus évidete pour le calcul d ue somme double est de calculer d abord la somme itérieure, puis de calculer la somme du résultat trouvé. Il arrive parfois que le calcul de la somme itérieure ou de la somme extérieure soit trop compliqué. Das ce cas, o peut essayer d itervertir les deux sommes. Das le cas de sommes fiies, cette iterversio est toujours valide (c est simplemet la commutativité de la somme). Das le cas d idices idépedats, i.e. si les bores de la deuxième somme e dépedet pas de l idice de la première, o itervertit simplemet : m i0 j0 a i,j m j0 i0 a i,j.

11 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS 83 Das le cas d idices liés, il faut faire attetio, et évetuellemet dessier le domaie des idices. Recosidéros la somme S i0 i j0 ij. Les idices variet das le domaie suivat : (0, 0) i j Dessier le domaie, puis retourer le dessi permet de voir commet doivet varier les idices das l autre ses. Toujours pour la même somme, e retourat le dessi : (0, 0) j i

12 84 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS j est doc compris etre 0 et, et i etre j et. O aura doc S i0 i j0 ij j0 ij ij. EXERCICE Calculer la somme j j1 i1 x j e itervertissat les sommes. 5.3 Calculs de produits Défiitio Soiet a p,..., a des ombres. O ote leur produit a p a O peut alors adapter, e remplaçat l additio par la multiplicatio (et doc la soustractio par le quotiet), tous les résultats sur les sommes pour les produits. O aura doc : i1 i1 (a p i b i) a i.

13 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS Exercices Exercice 1. Soit N. Calculer la somme S de toutes les racies -ièmes de l uité. Exercice 2. E utilisat les ombres complexes, calculer pour tout x 2π S si(x). 0 O pourra poser C 0 cos(x) et calculer C + is. Exercice 3. Calculer pour tout S 0 ( ) ( 1). Exercice 4. Soiet p, q N. E calculat de deux faços (1 + x) p (1 + x) q et e idetifiat les coefficiets de x, retrouver la formule de Vadermode. Exercice 5. Soiet α, β R et N. Calculer C 0 ( ) cos(α + β) et S Exercice 6. Soit N. Calculer la somme Exercice 7. Calculer la somme Exercice 8. Calculer les produits! ( 1 1 ) et 0 1 ( + 1). (1 1 ) 2 2 ( ) si(α + β). Exercice 9. Pour tout réel strictemet positif x, o cosidère la somme f (x) 0 Le but de l exercice est de calculer cette somme. x (i) Motrer que quelque soit x > 0, la somme est e fait fiie. (ii) Motrer que pour tout x ]0, 1[, f (x) 0. (iii) Motrer que pour tout x R +, f (2x) f (x) +. x

14 86 CHAPITRE 5. CALCULS DE SOMMES ET PRODUITS (iv) Motrer que pour tout x R +, x + x + 1 2x. 2 (v) E déduire que pour tout x ]0, 2[, f (x) x. (vi) Par récurrece, motrer que pour tout et pour tout x ]0, 2 [, f (x) x. (vii) Coclure. Exercice 10. E remarquat que calculer cette somme. Exercice 11. Calculer la somme Exercice 12.! i1 (i) Soiet, p, N tels que p. Motrer que ( )( ) ( )( ) p. p p (ii) E déduire les sommes p0 ( p )( ) p et Exercice 13. O défiit les sommes P et I par P 0 ( ) 2 et I 2 2, p( 1) ( 1 ( ) E calculat P + I et P I, doer les valeurs de P et I. )( ). p