Différentiabilité. Chapitre 1. Conventions, notations et rappels

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1 Chapire 1 Différeniabilié Le principal obje du calcul différeniel es d évaluer la différence f (x + h) f (x), accroissemen d une applicaion f définie au voisinage d un poin x d un espace normé E, à valeurs dans un espace normé F. Si l applicaion f éai la resricion d une applicaion linéaire, l accroissemen f (x + h) f (x) vaudrai f (h), e ou serai di! De ce fai, la grande idée du calcul différeniel es de déerminer s il es possible de rouver, en chaque poin x où l applicaion f es définie, une applicaion linéaire L x elle que l accroissemen f (x + h) f (x) soi «à peu près» l accroissemen de L x, c es à dire L x (h). En fai on exige que l applicaion linéaire L x soi coninue, de manière à ce que «différeniabilié» enraine «coninuié». Il es bon de préciser l expression «à peu près» employée ci-dessus, selon un poin de vue déjà adopé pour les foncions réelles d une variable réelle, qu on pourrai exprimer ainsi : au voisinage «rès proche» d un poin, une «bonne» courbe es «à peu près» confondue avec la droie angene en ce poin (du lain angere : oucher) ; en quelque sore l applicaion linéaire L x mesure la dose de proporionnalié dans l accroissemen de l applicaion f. Souven cerains préconisen de choisir les espaces normés de dimension finie, mais cee hypohèse n appore aucune simplicaion significaive, e peu même masquer l essence d un concep ou d un résula. Aussi, dans ce ouvrage es développé le calcul différeniel dans le cadre des espaces normés, ou espaces de Banach, selon le cas. Cependan, il es parfois précisé que el ou el espace normé es de dimension finie lorsque cela es perinen. Convenions, noaions e rappels Ce qui sui concerne ous les chapires. 1. Tous les espaces normés considérés son réels (sauf menion expresse du conraire). Rappelons qu un espace normé réel es un espace vecoriel sur le corps R des nombres réels, muni d une norme. Noons que le corps C des nombres complexes es un espace 9

2 10 DIFFÉRENTIABILITÉ normé réel de dimension 2, la norme éan le module ; e plus généralemen ou espace normé complexe es aussi un espace normé réel. Dans un espace normé on dispose des noions classiques de opologie : ouver, fermé, inérieur, adhérence, suie convergene, coninuié des applicaions enre paries d espaces normés, parie compace, parie connexe, ec. On dispose aussi des noions classiques de srucure uniforme : suie de Cauchy, parie complèe, uniforme coninuié enre paries d espaces normés. Un espace de Banach es un espace normé comple. Rappelons qu un espace normé de dimension finie es comple e que sur un el espace oues les normes son équivalenes. Sur un espace normé on dispose d une noion uile de parie bornée, desuie bornée. Enfin on rappelle que dans un espace de Banach, ou série absolumen convergene es convergene, e que la norme de la somme d une elle série es inférieure ou égale à la somme de la série des normes. 2. Ean donnés deux espaces normés désignés par E e F on noe L ( E,F ) l espace vecoriel normé formé des applicaions linéaires coninues de E dans F. Lorsque l espace normé de dépar E es de dimension finie, oue applicaion linéaire de E dans un espace normé F es coninue. { } Lorsque l espace normé ( de ) dépar E n es pas { de } dimension finie e F n es pas 0, l espace vecoriel L E,F n es pas rédui à 0, e loin de là, car pour ou x de E, x 0, il exise une forme linéaire coninue ϕ sur E vérifian ϕ (x) 0 : c es un fai que nous admeons, qui relève du héorème de Hahn-Banach. Un isomorphisme de l espace normé E sur l espace normé F es un isomorphisme linéaire bi-coninu. La norme sur L ( E,F ), die norme subordonnée (à celles de E e F), es définie comme sui : L(x) L = sup = sup L(x) = sup L(x) x 0 x x =1 x 1 Si K apparien à L ( E,F ) e L à L ( F,G ), alors L K, souven noé LK, apparien à L ( E,G ) e on a l inégalié : LK L K 3. La noion de produi carésien fini d espaces normés es supposée connue, ainsi M que la noion d applicaion n-linéaire coninue E 1 E 2 E n F enre espaces normés, e sa norme, die norme subordonnée (à celles de E 1,..., E n e F), es définie comme sui : M = sup x 1 0,...,x n 0 M (x 1, x n ) x 1... x n = sup M (x 1, x n ) = x 1 =1,..., x n =1 = sup M (x 1, x n ) x 1 1,..., x n 1 Lorsque les espaces normés E j son de dimension finie, oue applicaion n-linéaire du produi E 1 E n dans un espace normé F es coninue.

3 1.1. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Une applicaion f d un ensemble X dans un ensemble Y pourra êre noée indifféremen : X f Y ou f : X Y 5. Enfin, lorsqu une applicaion f, à valeurs dans un espace normé F, es définie sur un ouver époiné U \ { a } d un espace normé E, où le poin a apparien à U, e possède une ie en a, le symbole x a f (x) désigne cee ie, sans qu il soi besoin de préciser dans le symbole que «x end vers a en resan disinc de a». 1.1 Applicaions différeniables Premières définiions Définiion Soien deux espaces normés E e F, une applicaion Ω f F définie sur un ouver non vide Ω de E, e un poin x de Ω. On di que l applicaion f es différeniable en x s il exise une applicaion linéaire coninue L x de E dans F elle qu on ai : h 0 condiion qui peu s écrire aussi : 1 ( f (x + h) f (x) Lx (h) ) = 0 h f (x + h) f (x)=l x (h)+ h ε x (h) où l applicaion ε x es définie dans l ouver ( x + Ω ) \ {0}, e possède la propriéé : h 0 ε x (h)=0 Propriéé d unicié. Si l applicaion f es, dans les condiions ci-dessus, différeniable en x relaivemen aux applicaions linéaires coninues L 1 e L 2, alors L 1 = L 2. Soi u, u E ; par différence on a : 1( L1 (u) L 2 (u) ) = 0 ; c es-à-dire 0 l égalié : (L 1 L 2 )(u) =0, parce que les applicaions linéaires L 1 e L 2 son homogènes ; e cela pour ou veceur u, donc L 1 = L 2.

4 12 DIFFÉRENTIABILITÉ Le cas pariculier E = R Dans ce cas on a L x (h)=hl x (1), e la condiion de différeniabilié s écri : 1( ) f (x + h) f (x) = Lx (1)+ h h h ε x (h) c es à dire : h 0 1( ) f (x + h) f (x) = Lx (1) h condiion qui exprime que l applicaion f es dérivable en x, dedérivée L x (1), qui es un veceur de F qu on noe f (x), parfois même f (x) en Mécanique. Dans ce cas pariculier E = R, il es commode d inroduire les conceps de dérivéeà-gauche e de dérivée-à-droie, don les définiions von d elles-même. f Mais ces noions se renconren le plus souven pour une applicaion J F définie sur un inervalle non vide J non nécessairemen ouver, à valeurs dans un espace normé F ; il s agi alors de la dérivée-à-gauche en l exrémié droie de J, ou de la dérivée-àdroie en l exrémié gauche de J Définiions, noaions e remarques diverses. La définiion généralise donc un concep déjà connu. C es pourquoi l applicaion linéaire coninue L x, es appelée applicaion linéaire angene en x, ou pluô différenielle de f en x ; cerains s obsinen à l appeler «dérivée de f en x», ce que nous ne faisons pas, eu égard au concep de dérivée direcionnelle, présené plus loin. La différenielle es dorénavan noée Df(x), e on préfèrera écrire Df(x) h au lieu de Df(x)(h). Dans le cas pariculier E = R on a donc : f (x)=df(x) 1, e on confond souven, sans que cela soi nécessaire, la dérivée f (x) e la différenielle Df(x). Cela es légiimé par le fai que l applicaion L L(1) es une isomérie surjecive de l espace normé L ( R,F ) sur l espace normé F. Si l espace de dépar E es de dimension finie, il n es pas nécessaire de supposer dans la définiion que L x = Df(x) es coninue, car la coninuié es, dans ce cas, auomaique.

5 1.1. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES 13 L énoncé «l applicaion f es différeniable en x e de différenielle D f (x) =L», dépend a priori des normes don son munis les espaces vecoriels E e F, mais en réalié ne dépend que de la classe d équivalence de chaque norme pour la relaion «équivalence des normes» ; auremen di l énoncé ci-dessus ne change pas lorsqu on remplace les normes de E e F par des normes équivalenes. Qui plus es, si les espaces vecoriels E e F son de dimension finie, l énoncé «l applicaion f es différeniable en x e de différenielle Df(x) =L» ne dépend que des srucures vecorielles de E e F, car dans ce cas pariculier oues les normes son équivalenes. Proposiion Dans les condiions de la définiion , l applicaion f es coninue au poin x. On a l inégalié : f (x + h) f (x) h ( Df(x) + ε x (h) ) Lorsque le veceur h end vers 0, le membre de droie de cee inégalié end vers 0. Exercice. Si dans la définiion on ne suppose pas l applicaion linéaire L x coninue, mais qu on suppose l applicaion f coninue en x, alors l applicaion linéaire L x es coninue Aures définiions, noaions e remarques diverses Supposan l applicaion f différeniable en x comme dans la définiion 1.1.1, on dispose des «objes» : le veceur D f (x) h apparenan àl espace norméf le veceur D f (x) apparenan àl espace normé L ( E,F ) Si l applicaion f es différeniable en ou poin x de l ouver Ω, on di que l applicaion f es différeniable dans Ω, e apparai alors la nouvelle applicaion : Ω Df L ( E,F ) C es l applicaion différenielle de f ; cerains s obsinen à l appeler «applicaion dérivée de f». Lorsque Df es coninue sur Ω on di que l applicaion f es de classe C 1 sur Ω. On veillera à ne pas confondre Df, Df(x) e Df(x) h

6 14 DIFFÉRENTIABILITÉ Déerminer Df revien à déerminer ous les Df(x), e déerminer Df(x) revien à déerminer ous les Df(x) h. C es pourquoi le fai suivan a oue son imporance. Fai Lorsque l applicaion f es différeniable en x on a : Df(x) h = 0 1( ) f (x +h) f (x) L expression 1 ( ) f (x +h) f (x) = Df(x) h + h ε x (h), end vers le veceur Df(x) h lorsque end vers 0. Ce fai perme de calculer D f (x) si l on sai déjà que l applicaion f es différeniable en x, ou bien de conjecurer ce que doi êre Df(x) si l on cherche à prouver que l applicaion f es différeniable en x. Néanmoins la ie ci-dessus peu exiser sans que l applicaion f soi différeniable. Aussi, lorsque cee ie : 0 1 ( f (x +h) f (x)) exise, on l appelle dérivée de f en x dans la direcion h, e on la désigne par h f (x). On emploie parfois l expresssion «dérivée direcionnelle». Cependan, il arrive que oues les dérivées direcionnelles de f en x exisen, sans que l applicaion f soi différeniable en x, ni même que l applicaion h h f (x) soi linéaire ; mais la linéarié de l applicaion h h f (x) n implique pas non plus la différeniabilié de f au poin x. L exemple ci-dessous illusre ces phénomènes. Fai Lorsque l applicaion f es différeniable en a e que l espace normé E es de dimension finie, muni d une base ( ) e 1,...,e n, pour ou h = h j e j de E on a la formule : L égalié Df(a) h = 1 j n h j Df(a) e j résume la preuve, compe enu de la définiion des dérivées direcionnelles. Df(a) h = 1 j n 1 j n h j e j f (a)

7 1.1. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES 15 Exemple E = R 2 e : f (x,y)= x 2 y x 2 + y 2 si (x,y) (0,0) 0 si (x,y)=(0,0) Les dérivées direcionnelles (u,v) f (0,0) exisen oues, mais (u,v) (u,v) f (0,0) n es pas linéaire. Noons que l applicaion f es coninue en (0,0). 2. E = R 2 e : f (x,y)= x 3 y x 4 + y 2 si (x,y) (0,0) 0 si (x,y)=(0,0) Les dérivées direcionnelles (u,v) f (0,0) son oues nulles, ainsi (u,v) (u,v) f (0,0) es linéaire, mais l applicaion f n es pas différeniable en ( 0,0 ). Noons que l applicaion f es coninue en (0,0). Proposiion Soi une foncion réelle Ω f R différeniable dans un ouver Ω d un espace normé E. Si la foncion f adme au poin a de Ω un maximum ou un minimum, alors D f (a)=0. Elle repose sur le fai , car le signe de la quanié : 1 ( ) f (a +h) f (a) ne dépend que du signe de. Donc le signe du nombre réel Df(a) h ne dépend pas de h, ce qui impose à la forme linéaire Df(a) d êre nulle. Corollaire Théorème de Darboux f Soi une foncion réelle J R dérivable dans un inervalle non vide J de R. Alors le sous-ensemble f ( J ) es un inervalle. Soien u e v apparenan à f ( J ) vérifian u < v, ew apparenan à ] u,v [. Il exise a e b dans J els qu on ai u = f ( a ) e v = f ( b ). Quie à changer f en f on peu supposer a < b. Considérons la foncion g définie sur J par g(x)= f (x) wx On a g (a) = f (a) w < 0eg (b) = f (b) w > 0. Pour ou accroissemen h, h > 0, assez pei : g(a + h) g(a)=h ( g (a)+o(1) ) g(b h) g(b)=h ( g (b)+o(1) )

8 16 DIFFÉRENTIABILITÉ D où l on ire que pour ou accroissemen h, h > 0, assez pei : g(a + h) < g(a) e g(b h) < g(b) Ainsi on obien que le minimum de la foncion coninue g resreine au segmen [ a,b ] es sricemen inférieur e à g(a) e à g(b), minimum aein en un poin c apparenan donc à ] a,b [. Mais alors on a g (c)=0, c es à dire f (c)=w. Exercice. 1. La foncion «norme» d un espace normé n es pas différeniable à l origine. 2. Examiner en quels poins de R 2 les normes suivanes son différeniables : max ( x, y ) ; x 2 + y 2 ; x + y Démonrer que la norme d un espace préhilberien es différeniable en dehors de l origine, que sa différenielle au poin x es la forme linéaire h 1 x x,h. Lorsque le nombre réel p vérifie 1 < p < +, examiner le cas de la norme ( x p = xn p n=1 ) 1 p de l espace de Banach l p formé des suies réelles (x n ) n 1 saisfaisan la propriéé : xn p < +. n=1 3. Si la foncion «norme» d un espace normé es différeniable en ou poin disinc de l origine, e si l applicaion différenielle es bornée sur la sphère unié de l espace, alors la foncion «carré de la norme» es différeniable en ou poin. 4. Pour ous x e y d un espace normé, la ie : s 0 1 ( ) x + sy x s exise e celle-ci es, en valeur absolue, inférieure ou égale à y. Cee ie serai en quelque sore la dérivée au poin x de la norme dans la direcion orienée y. Indicaion : considérer la foncion ψ définie par : ψ (s) = 1 ( x + sy x ) ; pour ous s e s s vérifian 0 < s < s, grâce à l inégalié riangulaire on peu écrire : ψ (s) ψ ( s ) = 1 ( ss s x + sy s x s x + s y ) + s x 1 ( (s ss s ) x ( s s ) ) x = 0