Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

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1 Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction partout non nulle (resp. partout positive). La 2-forme dα ξ est elle aussi bien définie au même facteur près. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que ne dépend que de ξ. α(p) ( dα(p) ) k 0, Une sous-variété intégrale S de ξ passant par p est au plus de dimension m 1 k. En effet, T p S ξ p est (totalement) isotrope pour dα ξ.

2 Formes et structures de contact Une forme de contact sur une variété V 2n+1 est une 1-forme différentielle α dont le produit avec (dα) n ne s annule pas. Une structure de contact sur V est un champ d hyperplans ξ qui est le noyau d une forme de contact α. Une variété de contact est une variété munie d une structure de contact. La géométrie d une forme de contact a deux composantes : la structure de contact ξ = ker α ; le noyau de dα, qui est un champ de droites tranversal à ξ. L unique champ de vecteurs α dans ker dα tel que α( α ) = 1 est appelé champ de Reeb de α.

3 Modèle local Sur R 2n+1, la structure de contact standard ξ 0 est le noyau de la forme α 0 donnée (au choix) par dz + 1 n x 2 i dy i y i dx i, dz + 1 n x i dy i, (x, y, z) R n R n R. 1 Le champ de Reeb de α 0 est α0 = z. Pour voir que ξ 0 n admet aucune hypersurface intégrale : aucune fonction z = f(x, y) ne peut vérifier xi f = 0 et yi f = x i. Théorème (Darboux). Toute forme (resp. toute structure) de contact en dimension 2n + 1 est localement modelée sur α 0 (resp. sur ξ 0 ).

4 Sous-variétés legendriennes Une sous-variété legendrienne dans une variété de contact (V 2n+1, ξ) est une sous-variété intégrale de dimension maximale, à savoir n. Tout point de (V, ξ) a un voisinage U R n R n+1 dans lequel chaque tranche est legendrienne. L = R n {.} La projection π : T L V T L V/T L R n+1 induit une application L P n (R), p π(ξ p ), qui est un difféomorphisme local d après la condition de contact. Chaque feuille L a donc une structure projective.

5 Formes/structures symplectiques Une forme (ou structure) symplectique sur une variété F 2n est une 2-forme différentielle ω qui est non dégénérée (ω n ne s annule pas) et fermée (dω = 0). Sur une variété symplectique (W, ω), le produit intérieur τ τ ω définit une bijection (dualité) entre les champs de vecteurs et les 1-formes. De plus, τ ω = d(τ ω) donc τ préserve ω ssi τ ω est fermée ; τ dilate ω exponentiellement (i.e. τ ω = ω) ssi ω est exacte et a pour primitive τ ω.

6 Symplectisation Soit α une forme de contact sur V. Sur R V, la 2-forme ω = dλ où λ = e t α, t R, est une forme symplectique (exacte) appelée symplectisation de α. Le champ de vecteurs ω-dual de λ = e t α est t. Plus intrinsèquement, tout champ d hyperplans ξ sur V a un annulateur ξ T V, ξ = { β p T V ξ p = ker β p } et ξ est une structure de contact ssi ξ est une sous-variété symplectique de T V.

7 Convexité symplectique (W 2n, ω) : variété symplectique ; V W : hypersurface coorientée. On dit que V est ω-convexe si ω admet (près de V ) une primitive λ qui induit une forme de contact positive sur V, c est-à-dire si le champ de vecteurs τ dual de λ pointe transversalement du côté positif de V. Équivalence des conditions : λ (dλ) n 1 = τ ω n. Le champ de Reeb de la forme induite par λ sur V est hamiltonien : il dirige les caractéristiques de V (courbes intégrales du noyau de ω = dλ sur V ).

8 Exemples d hypersurfaces ω-convexes Dans R 2n, λ 0 = 1 2 n x i dy i y i dx i 1 est une primitive de la forme symplectique standard n ω 0 = dx i dy i et a pour champ dual le champ radial n x i xi + y i yi. 1 1 Toute hypersurface transversale à ce champ (par exemple la sphère) est donc ω 0 -convexe. Dans un cotangent T M, le champ dual de la forme canonique de Liouville est le champ radial dans les fibres. Toute hypersurface transversale à ce champ (par exemple le fibré unitaire d une métrique riemannienne sur M ) est donc ω-convexe.

9 Pseudoconvexité W : variété complexe ; V W : hypersurface réelle coorientée. Les hyperplans complexes de T W tangents à V forment un champ ξ d hyperplans coorientés sur V. Si la forme (bilinéaire symétrique) de Levi β = dα(., 1.) ξ, où ξ = ker α, est non dégénérée, ξ est une structure de contact. C est notamment le cas lorsque V est strictement pseudoconvexe, c est-à-dire lorsque β est définie positive. Exemple. La structure de contact de la sphère S 2n+1 est formée des hyperplans complexes tangents au bord de la boule unité dans C n+1.

10 Domaines et variétés de Liouville Une variété symplectique compacte (W, ω = dλ) (donc exacte) est un domaine de Liouville si λ induit une forme de contact positive sur W ou, autrement dit, si le champ de vecteurs ω-dual de λ sort transversalement le long de W. On appelle λ forme de Liouville et le champ de vecteurs dual champ de Liouville. La complétion du domaine (W, ω = dλ) est la variété ( W, ω = d λ) où W = W ( W [0, ) ) et λ(p, t) = e t λ(p), (p, t) W [0, ). Le champ de Liouville sur W est complet. Une variété de Liouville est la complétion d un domaine de Liouville. Exemple : le cotangent d une variété close.

11 Domaines et variétés de Weinstein Un domaine de Liouville (W, ω = dλ) est un domaine de Weinstein si son champ de Liouville est de type gradient pour une fonction de Morse f : W R qui admet le bord W comme niveau régulier. Une variété de Weinstein est la complétion d un domaine de Weinstein. Exemple : le cotangent d une variété close. Théorème (Lefschetz). Un domaine de Weinstein de dimension 2n a le type d homotopie d un complexe cellulaire de dimension n. Preuve. Les variétés stables du champ de Liouville sont isotropes donc les points critiques de f sont au plus d indice n.

12 Domaines et variétés de Stein (W, J) : variété complexe compacte à bord. Une fonction f : W R est strictement plurisous-harmonique si la 2-forme ω f = dd C f, où d C f = (df J), vérifie ω f (v, Jv) > 0 pour tout v 0. (W, J) est un domaine de Stein s il existe dessus une fonction spsh positive pour laquelle W est un niveau régulier. Exemple : toute sous-variété analytique complexe propre de C n est une variété de Stein. Son intersection avec une boule générique est un domaine de Stein.

13 Stein / Weinstein Tout domaine de Stein est un domaine de Weinstein : ω f = dd C f est une forme symplectique exacte et le champ dual de d C f pour cette forme symplectique est le gradient de f pour la métrique riemannienne Inversement : ω f (., J.). Théorème (Eliashberg). Chaque domaine de Weinstein est symplectiquement difféomorphe à un domaine de Stein. Théorème (Gromov-Eliashberg). Soit W un domaine de Stein et ω f = dd C f pour une fonction spsh positive f constante sur W. Alors (W, ω f ) est un domaine de Weinstein et la classe d isotopie de ω f sur F ne dépend pas de f.

14 Stabilité des structures de contact Théorème (Gray). Sur V une variété close et ξ t, t [0, 1], un chemin de structures de contact sur V. Il existe une isotopie φ t de V telle que φ 0 = id et φ t ξ 0 = ξ t pour tout t [0, 1]. Corollaire. Sur une variété close, les structures de contact forment au plus une infinité dénombrable de classes d isotopie. Preuve de la stabilité. Si ξ t = ker α t, l isotopie φ t s obtient en intégrant par exemple l unique champ de vecteurs τ t vérifiant τ t α t = 0 et (τ t dα t ) ξt = α t ξt.

15 Flots et isotopies de contact Théorème (Libermann). Pour toute structure de contact ξ sur une variété V, la projection T V T V/ξ induit une bijection entre les champs de vecteurs qui préservent ξ et les sections de T V/ξ. Autrement dit, si ξ = ker α, il y a une bijection u α u entre les fonctions et les champs de vecteurs de contact. Remarques. α u est un champ de Reeb ssi u ne s annule pas (c est celui de α/u). L ensemble {u = 0} est le lieu des points p où le vecteur α u(p) est dans ξ p. Il est invariant par le champ et c est une hypersurface lisse si les singularités de α u sont non dégénérées.

16 Hypersurfaces des variétés de contact F (V, ξ) : hypersurface orientée. L intersection η = ξ T F est un champ d hyperplans sur F avec des singularités aux points p où ξ p = T p F. L orthogonal symplectique de η dans ξ est un champ de droites tangent à F ayant les mêmes points singuliers que η. Ce champ de droites s intègre en un feuilletage singulier de F appelé feuilletage caractéristique de F, noté ξf et qui est transversalement de contact. Ce feuilletage, avec sa structure de contact transverse invariante, détermine le germe de ξ au voisinage de F.

17 Hypersurfaces ξ-convexes F (V, ξ) : hypersurface close. λ : forme induite sur F par une forme de contact α. On dit que F est ξ-convexe si elle est transversale à un flot de contact. Lemme. Le champ α u est transversal à F ssi la 2n-forme (u dλ + nλ du) (dλ) n 1 est une forme volume sur F. Interprétation. Comme la forme ci-dessu vaut u n 1( d(λ/u) ) n, la condition signifie que, dans F : l hypersurface u = 0 est transversale au feuilletage caractéristique ξf ; l ouvert u 0 muni de la forme d(λ/u) est une union de variétés de Liouville, le champ de Liouville dirigeant le feuilletage caractéristique ξf.

18 Construction de variétés de contact (F, ω = dλ) : domaine de Liouville ; φ : difféomorphisme symplectique de (F, ω) égal à l identité près du bord K = F ; Σ(F, φ) : suspension de φ, à savoir Σ(F, φ) = ( F [0, 1] )/, (p, 1) (φ(p), 0). Σ(F, φ) = K S 1 car φ K = id donc Σ(F, φ) = Σ(F, φ) (K D 2 ) est une variété close. Proposition. La variété close Σ(F, φ) admet une structure de contact.

19 Contactisation de l identité β : forme de contact induite par λ sur K = F. Si φ = id, la suspension Σ(F, φ) est le produit F S 1 donc Σ(F, φ) = (F S 1 ) ( F D 2 ). La forme α = { λ + dθ sur F S 1, β + r 2 dθ sur K D 2, est une forme de contact sur Σ(F, φ).

20 Contactisation d un difféomorphisme φ : difféomorphisme symplectique de (F, ω) égal à l identité près de K = F. φ ω = ω donc φ λ λ est fermée. On suppose que φ λ λ = dh est exacte. La 1-forme α = λ + dt est une forme de contact sur Ṽ = F R invariante par la transformation (x, t) ( φ(x), t h(x) ). Le quotient de Ṽ par cette transformation est la suspension Σ(F, φ). Puisque φ est l identité près de K, on peut coller K D 2 comme avant.

21 Lemme d isotopie φ : difféomorphisme symplectique de F égal à l identité près de K = F. Lemme. On peut déformer φ parmi les difféomorphismes du même type en un difféomorphisme φ 1 tel que φ 1λ λ soit une forme exacte. Preuve. soit µ la forme φ λ λ et η le champ de vecteurs donné par η ω = µ. Comme µ est fermée,, η préserve ω : η ω = d(η ω) = dµ = 0. Soit ψ t le flot de η. Toutes les applications φ ψ t sont des difféomorphismes symplectiques égaux à l identité près du bord et φ 1 = φ ψ 1 convient.