République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

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1 République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Universite Kasdi Merbah Ouargla Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Electrique Option : Electrotechnique Niveau : 3 ème Licence Module : Traitement du Signal et Asservissement 2 : TSA2 Chapitre 05 : Stabilité des Systèmes Asservis L enseignante : Soraya ZEHANI zehani.so@univ-ouargla.dz Année Universitaire : 2014/ 2015

2 Introduction La stabilité des systèmes asservis bouclés est une issue importante pour l ingénieur de contrôle. Un système bouclé instable est généralement non pratique. D où le besoin de chercher des méthodes d analyse et de conception des systèmes stables. Conclusion: pour obtenir une réponse bornée, s k et a m doivent être >0, i.e. les pôles du système bouclé doivent être dans la moitié gauche du plan P, donc les pôles de la FT du système doivent avoir des parties réelles négatives. Condition nécessaire et suffisante. Définitions de la stabilité. Un système est stable si et seulement si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Un système est stable si et seulement si la réponse libre (en l absence de toute consigne) du système tend vers zéro à l infini. Un système est stable si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermée n a que des pôles à partie réelle négative. La dernière définition est équivalente aux deux autres. C est elle qui sert de point de départ à toute étude sur la stabilité d un système, quelle que soit la méthode utilisée. On citera ici trois méthodes : Méthode mathématique : calcul les pôles de la fonction de transfert H(p). Cette méthode, autrefois longue par manque de moyens de calcul, est à éviter. Méthode algébrique : utilisation du critère analytique ou critère de Routh. Méthode graphique : utilisation du critère graphique ou critère du revers avec applications dans le plan de Black, de Nyquist ou sur le diagramme de Bode. Critère de Routh-Hurwitz.. On considère une fonction de transfert Le dénominateur, équation caractéristique de H(p), se met sous la forme suivante : ; avec n>0 Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer la stabilité du système à partir des coefficients ai. On étudie pour cela les polynômes d Hurwitz en formant le tableau suivant : La première ligne regroupe les termes en p n-2k La deuxième ligne regroupe les termes en p n-2k+1 Enseignante : S.ZEHANI Page 2

3 Les coefficients b i et c i sont définis de la facon suivante : Chapitre 05 : Stabilité des Systèmes Asservis Enoncé du critère Le système est stable si et selement si tous les termes de la première colonne (dite colonne des pivots) sont strictement positifs. Dans le cas contraire, le nombre de changements de signes correspond au nombre de racines à partie réelle positive. Exemples d applications 1. On considère le système d équation caractéristique : Appliquons le critère de Routh-Hurwitz pour ce système. On remarque qu il n y a pas de changement de signe dans la première colonne. Par conséquent, toutes les racines sont à partie réelle négative et le système est strictement stable. 2. Soit l équation caractéristique d un système asservi : Appliquons le critère de Routh-Hurwitz pour ce système. Il y a deux changements de signe au niveau de la première colonne de la table. Il existe, donc, deux racines à partie réelle positivent et le système est instable. Exemples Etudier la stabilité des systèmes d équation caractéristique suivants: Où K est un paramètre réel variable (discuté la stabilité selon les valeurs de K). Enseignante : S.ZEHANI Page 3

4 Critère de revers (critère graphique) On considère un système modélisé par le schéma-bloc suivant : De fonction de transfert en boucle ouverte FTBO=G(P), et à retour unitaire. La fonction de transfert en boucle fermée FTBF est donc : L équation caractéristique est :. Les zeros de «l équation caractéristique» correspond aux poles de la FTBF, ils doivent etre à partie réele négative. Elle peut etre modifiée : G(p)=-1 Cela veut dire que dans le plan complexe, lorsque le lieu de transfert G(p) passe par le point (-1,0), dit «point critique», le système est à la limite de la stabilité. On passe en notation complexe : Dans les lieux de transfert, FTBO( jw)=g(jw) = -1, correspond au point :, et (w) = On démontre (et on admettra) que la stabilité en boucle fermée d un système dépend de la façon dont se comporte la FTBO dans ses représentations en lieux de transfert vis-à-vis du point critique (A(w) =1, (w) = -180 ) ou (-1, 0). La condition de stabilité ou d instabilité déduite de l utilisation du critère du revers est vraie tant en temporel qu en fréquentiel. Le critère du revers, appelé aussi critère graphique car il s appuie sur la représentation graphique de la fonction de transfert en boucle ouverte dans les lieux de transfert, admet des énoncés différents, suivant que l on considère la représentation dans le plan de Black ou de Nyquist, ou bien dans le diagramme de Bode. Enoncé du critère dans le plan de Nyquist. Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à gauche du lieu. Dans le cas contraire, il est instable. Le plan de Nyquist est le plan complexe où la partie réelle de FTBO(jw) est représentée en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. Le point critique est le point (-1,0). Enseignante : S.ZEHANI Page 4

5 Enoncé du critère dans le plan de Black. Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à droite du lieu. Dans le cas contraire, il est instable. Le plan de Black est le plan où apparaît en abscisse et en ordonnée Adb(w)= 20log(A(w)). Le point critique correspondant à (-180, 0dB) Application du critère dans les diagrammes de Bode. Pour les diagrammes de Bode de la FTBO, les tracés sont tels que : Pour w1, pulsation pour laquelle, Et Pour w2, pulsation pour laquelle Alors, Le système est stable en boucle fermée. Enseignante : S.ZEHANI Page 5

6 Si pour les diagrammes de Bode de la (FTBO), les tracés sont tels que : Ou Pour w1, pulsation pour laquelle Pour w2, pulsation pour laquelle, Alors, Le système est instable en boucle fermée. Critère simplifié : Un système est stable en boucle fermée, si le gain est inférieur à 1 ( Adb <0dB) lorsque la phase vaut 180. On définit la pulsation critique wc telle que. Notion de marge de stabilité La notion de marge de stabilité peut être vue comme une «marge de sécurité» par rapport au point critique : pour être suffisamment stable, il faut suffisamment s éloigner du point critique. Marges de stabilité : On définit la marge de phase par : Où wc est telle que GH(jwc) db = 0 db, et la marge de gain par : Où w est tel que. Ces deux grandeurs sont appelées marges de stabilité et caractérisent le système en boucle ouverte. L intérêt est qu elles permettent de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée, d après le théorème suivant : Théorème : Le système est stable en boucle fermée si la marge de phase ou la marge de gain du système en boucle ouverte est positive. Ce critère peut très bien s appliquer dans l un ou l autre des diagrammes harmoniques. On l applique fréquemment dans le diagramme de Bode, mais les marges de stabilité sont aussi faciles à observer dans le diagramme de Black. Enseignante : S.ZEHANI Page 6

7 Marge de gain et marge de phase (en BO) Diagramme de Bode Lieu de Nyquist Valeurs courantes Marge de phase : Marge de gain : Dans les calculs, on privilégie l utilisation de la marge de phase Enseignante : S.ZEHANI Page 7