Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions"

Transcription

1 Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison + b Comme la suite P n est géométrique de raison + alors : P n est croissante si + > d où si > 0 ; P n est constante si + = c est à dire = 0 ; P n est décroissante si 0 < + < d où < < 0 c Comme P 0 > 0 et la suite P n est géométrique de raison + alors on a : si + > d où > 0, lim P n = + ; n + si + = d où = 0, lim P n = P 0 ; n si 0 < + < d où < < 0, lim P n = 0 n + d Interpréter les résultats des questions b et c en termes d évolution de population On déduit des questions précédentes que suivant le modèle de althus discret, alors : si > 0, la population croit, que cette croissance ne ralentit jamais et que la population augmente indéfiniment; si = 0, la population n évolue pas ; si < < 0, la population décroît et finit par s éteindre 2 odèle continu a La fonction P est solution de l équation différentielle y = y donc on sait que Pt = Ce t pour tout t [0 ; + [ De plus comme P0 = P 0, on en déduit C = P 0 d où Pt = P 0 e t pour tout t [0;+ [ b Comme pour tout t [0 ; + [, P t = Pt et que Pt 0, alors P t est du signe de Ainsi : si > 0, la fonction P est croissante sur [0 ; + [ ; si = 0, la fonction P est constante égale à P 0 sur [0;+ [ ; si < 0, la fonction P est décroissante sur [0 ; + [

2 c On a λ défini par Pλ = 2P 0 d où P 0 e λ = 2P 0 On obtient donc λ = ln2 d où λ = ln2 La population double en 50 ans donc λ = 50ans ainsi = ln2 50 Par suite l instant t tel que Pt = 3P 0 est solution de l équation P 0 e ln2 50 t = 3P 0 On obtient donc ln2 50 t = ln3 d où t = 50ln3 ln2 79,2ans On peut remarquer que P 0 n intervient pas dans le résultat Ainsi quel que soit le moment, la population aura doublé en 50 ans et triplé en 79,2ans d Soit > 0 On a µ = T T 0 0 P [ 0e t dt d où µ = T et] T 0 = P0 T e T On a λ tel que e λ = 2 et λ = ln2 donc la population moyenne sur [0;λ] est donnée par µ = P0 2 = P0 ln2 ln2,44p 0 3 Comparaison des deux modèles On a montré que pour le modèle discret, P n est une suite géométrique de raison + =, et de premier terme P 0 = 000 donc pour tout entier naturel n, P n = 000, n Par suite P individus et P 00 = individus Pour le modèle continu, on obtientp0 = 278 individus etp00 = individus Le modèle continu augmente plus vite que le modèle discret Pour 0 années écoulées, les 2 résultats obtenus sont presque du même ordre de grandeur mais pour 00 ans le modèle continu donne une population pas loin du double de celle obtenue avec le modèle discret Partie 2 : odèle de Verhulst discret Pour tout entier naturel n, on appelle P n l effectif de la population à l année n exprimé en milliers d individus D après l hypothèse sur l accroissement de la population, il existe une constante > et une constante strictement positive telles que, pour tout entier naturel n, P n+ P n = P n P n Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n P n d où Pn+ = +P n P n 2 = fp n avec fx = +x x2 La fonction f est continue sur R donc si la suite P n converge vers l, on sait que l est solution de l équation fx = x Or l équation fx = x revient à +x x2 = x d où x x = 0 Cette équation admet donc 2 solutions : x = 0 et x = Par conséquent si la suite P n converge, elle converge vers 0 ou vers 2 On pose r = + et pour tout entier naturel n, u n = r P n Soit n N On a u n+ = r P [ n+ = r +Pn P 2] n = P n r ru n r ru n 2 = ru n u n 3a Préliminaires : P 2 n = 2

3 On définit la fonction g,8 par g,8 x =,8x x La fonction g est une fonction du second degré dont les racines sont 0 et et le coefficient des x 2 est,8 < 0 Par suite on sait que la fonction g,8 admet un maximum atteint en x 0 =,8 2,8 = 2 égal à g,8 2 =,8 2 sur [ 0; 2] On raisonne par récurrence sur n N On définit la proposition Qn : 0 u n u n+ 2 On sait que u 0 = 0,8 d où u = 0,288 [ 0; 2] On a alors u 2 = 0, [ 0; 2] et de plus u u 2 2 = 0,45 et que g est croissante La proposition Q : 0 u u 2 2 est donc vraie Soit n un entier naturel non nul On fait l hypothèse de récurrenceqn est vraie On a donc 0 u n u n+ 2 Alors comme par hypothèse de récurrence, u n [ 0; 2], un+ [ 0; 2] et un u n+ et comme la fonction g,8 est croissante sur [ 0; 2], on obtient g,8 0 g,8 u n g,8 u n+ g,8 2 d où 0 u n+ u n+2 2 La proposition Qn+ est vraie, la proposition Qn est donc héréditaire D après le principe de récurrence, la proposition Qn étant vraie pour n = et héréditaire pour n, est vraie pour tout entier naturel n Par suite pour tout entier naturel n, 0 u n u n+ 2 On en déduit que : pour tout entier naturel n, u n 2 donc la suite u nn est majorée par 2 ; pour tout entier naturel n, u n u n+ donc la suite u n est croissante b La suite u n est croissante et majorée Elle est donc convergente Alors comme on sait que pour tout entier naturel n, u n+ = g,8 u n avec g,8 fonction continue sur R, la limite l de la suite u n est solution de l équation x = g,8 x Résolvons cette équation L équation x = g,8 x s écrit x =,8x x d où,8x 2 0,8x = 0 et donc x,8x 0,8 = 0 L équation admet donc deux solutions x = 0 et x = 0,8,8 = 4 9 On en déduit que l = 0 ou l = 4 9 Néanmoins comme u = 0,228 > 0 et que la suite u n n est croissante, pour tout entier naturel n, u n 0,288 d où l 0,288 > 0 Par conséquent l = 4 9 c On a montré que lim u n = 4 n + 9 et pour tout entier naturel n, P n = r u n =,8,8 u n = 9 4 u n Par suite lim P n = 9 n = À long terme, la population a tendance à se stabiliser vers la constante On peut considérer que suivant ce modèle représente la capacité d accueil du milieu dans lequel cette population vit 4 Dans cette question 4, on suppose que r = 3,2 et u 0 = 0,8 3

4 4a On obtient :,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 b La suite semble osciller entre 2 valeurs : 0,8 et 0,5 c On obtient : u 0 u u 2 u 3 u 4 u 5 0, , , , , ,53090 Les résultats montrent que les valeurs obtenus diffèrent légèrement La sous-suite des termes de rang pairs décroît légèrement à partir de 0,8 et la sous-suite des termes de rang impairs croît légèrement à partir de 0,52 Remarque : On peut montrer qu en fait la suite converge vers la solution non nulle de l équation 3, 2x x = x, c est dire 0,687 5 Néanmoins la convergence dans ce cas est très lente 5a Pour tout entier n, on a u n+ = g 5 u n avec g 2 : x5x x 4

5 La fonction g 2 est une fonction du second degré dont le coefficient des x 2 est 5 < 0 Elle est donc strictement décroissante sur [ 2 ; + [ et strictement croissante sur ] ;0] Par suite si u p > > 2, g 5u p < g 5 d où u p+ < 0 Démontrons par récurrence sur n p+ que u n < 0 On a montré que u p+ < 0 : la proposition est vraie au rang p+ Soit alors un entier n p+ On fait l hypothèse de récurrence u n < 0 Alors comme u n ] ; 0[, et commeg 5 est strictement croissante sur] ; 0], on obtient g 5 u n < g 5 0 d où u n+ < 0 La proposition est héréditaire D après l axiome de récurrence, elle est donc vraie pour tout entier n p+ Par suite pour tout entier n p+, u n < 0 b On définit la fonction h par hx = 5x x x pour x appartenant à l intervalle ] ;0] On a donc hx = 5x 2 +4x pour tout réel x 0 Il est clair que pour tout réel x 0, 5x 2 0 et de plus 4x 0 donc hx 0 Remarquons alors que pour tout entier n p +, comme d après la question précédente, u n ] ;0[, alors hu n 0 Or hu n = g 5 u n u n = u n+ u n Par suite pour tout n p+,u n+ u n 0 : la suite u n est donc décroissante c On raisonne par l absurde On suppose la suite minorée Alors elle est décroissante minorée et donc convergente Comme pour tout entier n, u n+ = g 5 u n et que g 5 est continue sur R, on sait donc que la limite l de la suite est une solution de l équation g 5 x = x Donc de l équation 5x 2 4x = 0 c est à dire x5x 4 = 0 Par suite l = 0 ou l = 4 5 Or pour tout entier n p+, u n u p+ < 0 donc l u p+ < 0 : contradiction Par conséquent le suite u n n est pas minorée d La suite u n n p+ est décroissante non minorée donc elle diverge vers En effet, quel que soit le réel, il existe un entier N tel que u N < De plus comme la suite est décroissante, alors pour tout entier n N, u n u N < Donc lim u n = n + e Si u 0 = 0,8, on remarque que u = 0,8 ontrons par récurrence que u n est constante égale à 0,8 La propriété est vraie au rang n = 0 Soit n un entier Supposons que u n = 0,8 Alors u n+ = 5 0,8 0,8 = 5 0,8 0,2 = 0,8 La proposition est donc héréditaire Elle est donc vraie pour tout entier naturel n f Pour u 0 = 0,5, on obtient u = 5 0,5 0,5 =,25 > donc l entier p = convient 5

6 Siu 0 = 0,, alorsu = 5 0, 0,= 0,45 d oùu 2 = 5 0,45 0,45=,2375> donc l entier p = 2 convient En programmant le calcul des termes de la suite à l aide de la calculatrice, démontrer que si u 0 = 0,799999, alors il existe un entier p, dont on donnera la valeur, tel que u p > On obtient u 7,3374> et u 6 0,34755< donc p = 7 convient Un exemple de programme, en langage naturel : Variables : Initialisation u, n 0, >u 0->n Tant que u< faire Traitement 5u-u->u n+->n Fin Tant que Sortie Afficher n Les 3 exemples étudiés montre que la validité du modèle de Verhulst discret dépend fortemment de la valeur de Dans le premier cas, on obtient un modèle raisonnable Dans le deuxième cas, le modèle correspond moins bien à ce que l on pourrait penser La population oscille entre 2 valeurs autour de la capacité d acceuil Dans le dernier cas, ou la population n évolue pas, ou elle disparaît Partie 3 : odèle de Verhulst continu a On suppose que P est solution de E On a donc P t = Pt Pt D autre part comme Pt > 0 pour tout t [0 ; + [ donc la fonction Q = P est dérivable sur [0;+ [ et pour tout t [0 ; + [, Q t = P t Par suite Q t = Pt Pt Pt 2 = Pt + = Qt+ Pt 2 Donc Q est solution de E Réciproquement, soit Q une solution de E : on a donc Q t = Qt+ d où comme Q = P et donc Q = P P, on obtient P t 2 Pt = 2 Pt + d où P t = Pt+ Pt2 = Pt Pt d où P est solution de E b L équation E est une équation différentielle linéaire d ordre à coefficients constants donc on sait que les solutions de l équation E sont les fonctions de la forme Q : tqt = Ce t +,C R 6

7 D autre part on sait que P0 = P 0 d où Q0 = P0 = P 0 et donc la constante C vérifie C + = P 0 d où C = P 0 Ainsi l équation E admet pour unique solution la fonction Q : tqt = P 0 e t + Pour tout t [0;+ [, Qt = P 0 e t + e t Or pour tout t 0, e t d où e t 0 d où comme P 0 e t > 0, Qt > 0 Donc les fonctions obtenues sont strictement positives sur [0 ; + [ quelle que soit la valeur de la population initiale P 0 c On sait que P est solution de E si et seulement si Q = P est solution de E Par suite comme les solutions dee sont les fonctionsq : t P 0 e t + avec Qt > 0 pour tout t [0;+ [, on en déduit que les solutions de l équation E sont les fonctions P définies par Pt = P 0 = e t + + P e t 0 pour tout t [0 ; + [ 2a On a P 0 = +C d où +CP 0 = et donc C = P0 P 0 = P 0 On en déduit donc que C > 0 si P 0 > d où > P 0, C = 0 si = P 0 et C < 0 si < P 0 Le signe de C dépend donc de la position de P 0 par rapport à b Pour tout réel t [0;+ [, Pt = d où P t = Ce t = +Ce t +Ce t 2 C e t +Ce t 2 On sait que e t > 0, +Ce t 2 > 0, > 0, > 0 donc P t est du signe de C Donc : si C > 0, P est strictement croissante sur [0; + [ ; si C = 0, P est constante égale à = P 0 sur [0;+ [ ; si C < 0, P est strictement décroissante sur [0; + [ c On a lim t = car > 0 et on sait que lim t + X ex = 0 d où lim t + e t = 0 Par suite lim t + +Ce t = 0 et ainsi lim Pt = lim t + t + +Ce = t d D après l étude précédente, on déduit donc : si P 0 <, la population croît et se rapproche de ; si P 0 =, la population est constante égale à ; si P 0 >, la population décroît et se rapproche de On peut donc dire que représente la population d équilibre du milieu considéré et que dans tous les cas, la population tend vers cette population d équilibre 3a On a µ T = T T 0 0 Ptdt = T T 0 +Ce dt = T t T 0 T ln e T +C ln+c b Pour tout T [0;+ [, on a µ T = T ln e T +C ln+c = T ln e T +ln +Ce T +ln+c = + ln+ce T +ln+c T 7 e t e t +C dt = T ln e t +C ] T = 0

8 Or lim T + +Ce T = d où lim ln +Ce T +ln+c = ln+c et T + comme Finalement lim T = + alors lim T + lim µ T = T + 4 On se place dans un repère T + O; i; j ln+ce T +ln+c T = 0 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I etc f sa courbe représentative, on appelle point d inflexion de la courbe C f un point où la tangente à la ocurbe C f traverse la courbe C f 4a La tangente à la courbe représentative de la fonction cube au point O a pour équation y = x = 0 De plus pour x < 0, x 3 y = x 3 < 0 et pour x > 0, x 3 y = x 3 > 0 donc la courbe représentative de la fonction cube est en-dessous de sa tangente au point O sur ] ; 0] et au-dessus sur [0 ; + [ La tangente au point O de la courbe représentative de la fonction cube traverse donc cette courbe Le point O est un point d inflexion pour la courbe représentative de la fonction cube b On a montré que P t = Ce t donc +Ce t 2 P t = 2 Ce t +Ce t 2 Ce t 2 Ce t +Ce t +Ce t 4 d ou P t = 2 Ce t +Ce t +Ce t +Ce t +2Ce t = 4 Ce t +Ce t +Ce t Ce t 4 On sait que : e t > 0 +Ce t > 0 Donc Ce t +Ce t > 0 +Ce t 4 Par suite P t = 0 si et seulement si Ce t = 0 Si C < 0, alors Ce t < 0 d où Ce t < < 0 : l équation Ce t = 0 n admet pas de solution Si C = 0, l équation devient = 0 et donc n admet pas de solution Finalement si C > 0, alors e t = C > 0 d où t = ln C et donc t = lnc Par suite l équation P t = 0 admet une unique solution, notée t 0, si et seulement si C > 0 et t 0 = lnc c Comme C > 0, t 0 est bien défini On a alors P t 0 = lnc = = = +Ce +Ce lnc + C 2 C Donc quelles que soient les valeurs des constantes strictement positives, C et, le point At 0 ;P t 0 appartient à la droite d équation y = 2 d L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction P au point A 0 est donnée par y = P t 0 x t 0 +P t 0 lnc lnc +Ce OrP t 0 = 2 question précédente etp t 0 = Ce 4 2 = C C +C C 2 = 8

9 Par suite l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction P au point A 0 est y = 4 x lnc + 2 = 2 x+ 4 2 lnc On a donc gt = 4 t+ 4 2 lnc pour tout t [0;+ [ e étudier la position relative de la courbe représentant la fonction P et de sa tangente au point A 0 Soit la fonction ϕ définie sur [0; + [ par ϕt = Pt gt La fonction ϕ est dérivable et pour tout t [0;+ [, ϕ t = P t g t = P t 2 et ϕ t = P t On a montré quep t = Ce t +Ce t +Ce t Ce t avec Ce t +Ce t 4 0 Donc le signe de P t est donné par celui de Ce t Or Ce t > 0 si e t > C d où si t > ln C et donc si t < t0 défini à la question 4b On en déduit que ϕ est croissante sur [0;t 0 ] et décroissante sur [t 0 ;+ [ Or ϕ t 0 = P t 0 2 = 0 donc on obtient que ϕ t 0 pour tout t [0;+ [ La fonction ϕ est donc décroissante sur [0 ;+ [ Or ϕt 0 = 0 donc pour tout t [0;t 0 ], ϕt 0 et pour tout t [t 0 ;+ [, ϕt 0 On en déduit que la courbe représentative de P est au-dessus de sa tangente sur [0;t 0 ] et en dessous sur [t 0 ;+ [ Par suite la courbe représentative de P traverse sa tangente en A 0 Le point A 0 est donc un point d inflexion 5a L inéquation dt < 0, revient à 0,5e,5t +e,5t 6 +e < 0, d où comme,5t +e,5t > 0, il faut 0,5e,5t 0,5 < 0,+,e,5t On en déduit 0,5e,5t 2 0,6e,5t, e < 0 d où comme e,5t > 0, 0,5 e,5t 2,5t 0,6e,5t, < 0 On pose X = e,5t et l équation revient donc à 0,5X 2 0,6X, < 0 Le discriminant de cette équation du second degré est = 0, ,5, = 2,56 > 0 Donc le trinôme du second degré 0,5X 2,5X admet deux racines : X = 0,6,6 2 0,5 = et X 2 = 2,2 par suite comme de plus le coefficient des X 2 est 0,5 > 0 alors on sait que 0,5X 2 0,6X, < 0 pour X ] ;2,2[ Enfin comme X = e,5t alors il faut t tel que e,5t ] ] [ ;2,2[ d où t ; ln2, 2,5 +Ce t 4 > On a ln2,2,5 0,52 donc d après la résolution précédente, pour tout réel x < 0,52, les points de chaque courbe d abscisse x sont à une distance strictement inférieure à 0, Les deux courbes sont donc presque confondues au voisinage de 0 b On étudie donc l évolution de la population lorsque l effectif est au voisinage de la moitié de la capacité d accueil, c est à dire lorsque l on est au voisinage du point A 0 sur la courbe 9

10 La courbe admet un changement de concavité, le point A 0 étant un point d inflexion La croissance de la population change de rythme On passe d une croissance toujours plus rapide jusqu à t 0 à une croissance qui va être de moins en moins rapide après t 0 La rapidité de croissance de la population atteint son point culminant en t y = 2 2 O t Partie 4 : odèle de Gompertz a Soit P une solution strictement positive de l équation différentielle y = yln y Alors Q = lnp est dérivable et l on a Q = P P Par suite Q = P ln P P = ln lnp = Q+ln Donc Q est solution de l équation différentielle y = y +ln Réciproquement supposons que Q est solution de l équation différentielle y = y+ln Alors comme Q = lnp, Q = P P P d où P = lnp +ln d où comme P > 0, P = Pln lnp = P ln P Partant une fonction P est une solution de l équation différentielley = yln si et seulement si Q est solution de l équation différentielle y = y+ln b L équation différentielle y = y +ln est une équation différentielle linéaire d ordre à coefficients constants donc ses solutions sont les fonctions Q définies par Qt = Ce t ln avec C R y 0

11 c D après la question a, on déduit du résultat précédent que toute solution P de l équation différentielle y = yln y est telle que lnpt = Ce t ln avec C R et t [0;+ [ D où Pt = e Ce t ln = e Ce t 2 Déterminer la limite de la fonction P en + en fonction du signe des constantes C et Si > 0 alors lim t = et donc lim t + t + e t = 0 = Par suite lim ece t t + Si = 0, alors Pt = e C pour tout t [0;+ [ d où lim Si < 0, alors lim t = + donc lim t + t + e t = + Par suite si de plus C > 0, alors lim t + Ce t = + d où lim et si C < 0, alors lim t + Ce t = d où lim ece t = 0 t + si > 0, C R En résumé lim Pt = e C si = 0 t + + si < 0etC > 0 0si < 0etC < 0 3 On a P 0 = P0 d où P 0 = e Ce 0 t + Pt = ec t + ece t = + Par suite e C = P0 P0 d où comme > 0, C = ln P 0 = lnp0 ln Rappelons que lnx < 0 si et seulement si x ]0;[, ln = 0 et lnx > 0 si et seulement si x > Par suite C < 0 si et seulement si P0 < d où P 0 <, C = 0 si P 0 = et C > 0 si P 0 > Le signe de C dépend donc de la position de la population initiale par rapport à la capacité d accueil 4a La population étudiée est donc modélisée par la fonctionpt = 20e ln 20e 20 t 20e ln20e 20 t La fonction te t 20 est strictement croissante sur [0;+ [ donc, comme ln20 < 0, la fonction t ln20e t 20 est strictement décroissante sur [0; + [ et donc par composition, te ln20e 20 t est strictement décroissante sur [0 ; + [ La population diminue De plus d après la question 2, comme < 0 etc < 0, on sait que lim Pt = 0 t + donc la population décroît vers 0 Elle est donc en voie d extinction puisque si elle continue à suivre le modèle de Gompertz, alors au bout d un certain temps son effectif est proche de 0 b On résout l équation Pt 0,0 0 individus correspondent à 0,0 milliers On obtient 20e ln20e 20 t 0,0 d où : e ln20e 20 t ln20e t ln2000 =

12 e t 20 ln2000 ln20 t 20 ln ln2000 ln20 t 20ln ln2000 ln20 ln2000 ln20 8,62, il faudra 9 années pour que la popula- Alors comme 20ln tion devienne inférieure à 0 individus 2

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h A. P. M. E. P. Le problème se compose de 4 parties. La dernière page sera à rendre avec

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS Extrait Bac. ES - 2008 1) Une baisse de 25 % est compensée par une hausse, arrondie à l unité, de :

Plus en détail

2. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8.

2. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8. EXERCICE 1 (u n ) est une suite arithmétique de raison a, déterminer l entier k dans chacun des cas suivants : 1. u 21 = 34, a=1,5 et u k = 1 2. u 10 = 64, u 5 = 14 et u k = 114. EXERCICE 2 (u n ) est

Plus en détail

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire 00-004 Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements,

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Suites : Calcul et comportement asymptotique.

Suites : Calcul et comportement asymptotique. 4 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014 orrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 6 points ommun à tous les candidats Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015 Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 015 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l intervalle [1,5 ; 6] par : f (x)=(5x )e x On note C la courbe représentative

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011

Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Christian CYRILLE A quoi servent les mathématiques? : C est pour l honneur de l esprit humain? Jacobi 1 Exercice 1-5 points - Commun à tous les candidats

Plus en détail

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014

T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Sauf mention du contraire, tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. La précision et la clarté de

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n + 3 3 u n est le n ième nombre premier

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2012, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2012, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polycopié conforme au programme 01, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année. CERTAINS CHAPITRES DU PROGRAMME NE SONT PAS TRAITÉS Année 013-014

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig.

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig. Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

Corrigé, bac S, mathématiques

Corrigé, bac S, mathématiques Corrigé, bac S, mathématiques jeudi juin 0 Eercice 4 points Le plan est muni d un repère orthonormé (O; ı ; j) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ 3; ] On dispose des informations

Plus en détail

1ES Février 2013 Corrigé

1ES Février 2013 Corrigé 1ES Février 213 Corrigé Exercice 1 Le tableau ci-dessous renseigne sur les besoins en eau dans le monde : Population mondiale (Milliards d habitants) Volume moyen par habitant ( ) 195 2,5 4 1 197 3,6 5

Plus en détail

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 1 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc Terminale ES Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc EXERCICE ( points). Commun à tous les candidats On considère une fonction f : définie, continue et doublement dérivable sur l

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices.

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés Chapitre 1 - Suites I Suites géométriques I.1 Définition et propriétés TD 1 : Évolutions de populations Le premier janvier 2011, une ville A compte 350 000 habitants. A la même date, une ville B compte

Plus en détail