1, 2, 3... Sciences. Année académique Mathématiques générales A : corrigé du test 11

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "1, 2, 3... Sciences. Année académique Mathématiques générales A : corrigé du test 11"

Judith Pothier
il y a 5 ans
Total affichages :

1 1,, 3... Sciences Année académique 11-1 Mathématiques générales A : corrigé du test 11 Version 1 er décembre 11

2 Test 11 du Soit a >. Démontrer et interpréter graphiquement que si f est une fonction continue et impaire sur [, a], alors =. Solution. Comme f est continue sur le borné fermé [, a], f est intégrable sur [, a] et on a = + Procédons par changement de variables pour transformer le premier terme de cette somme. Comme la fonction g : x x est continûment dérivable sur [, a] et que on a lim g(x) = et lim x a g(x) =, x = = a = f( x).( 1)dx f( x)dx puisque f est impaire. = = = + +. Calculer (si c'est possible) l'intégrale suivante. 1/ 3x e x+1 dx Solution. La fonction f : x 3x e x+1 est continue sur R donc sur [, 1/], ensemble borné fermé. La fonction f est donc intégrable sur [, 1/] et on a 1/ ] 1/ [3x ex+1 3x e x+1 dx = + 3 = [ e x+1 = e e = 4 1/ ] 1/ e x+1 dx Formule A : 4 euros par jour, premiers km gratuits et,5 euro par km parcouru Formule B : 3 euros par jour et,15 euro par km parcouru

3 Combien de km doit-on parcourir pour que la formule B coûte moins cher que la formule A si on veut louer une voiture pour jours? kilomètres parcourus. En deux jours, la formule B coûte. 3+,15x. 4 euros si x <. 4+,5(x-) si x. - si x <, la formule B est plus avantageuse si 6 +, 15x < 8, 15x < - si x, la formule B est plus avantageuse si x < 133, , 15x < 8 +, 5(x ) 6 +, 15x < 8 +, 5x 5 3 <, 1x 3 < x Au total, la formule B coûte moins cher si on parcourt moins de 133,33 km ou plus de 3 km.

4 Test 11 du Quand dit-on qu'une fonction est intégrable sur [, 3[? Solution. Soit f une fonction continue sur [, 3[. Si lim intégrable sur [, 3[. t 3 t f(x) dx est ni, on dit que f est Que devient cette dénition si la fonction considérée est négative sur [, 3[? Solution. Soit f une fonction continue et négative sur [, 3[. Si lim que f est intégrable sur [, 3[.. Calculer (si c'est possible) l'intégrale suivante. π (x + ) cos(3x)dx t est ni, on dit t 3 Solution. La fonction f : x (x + ) cos(3x) est continue sur R donc sur [, π], ensemble borné fermé. La fonction f est donc intégrable sur [, π] et on a π [ (x + ) cos(3x)dx = (x + ) sin(3x) 3 [ ] π cos(3x) = + 9 = ] π π sin(3x) dx 3 = 9 Formule A : 5 euros par jour, 15 premiers km gratuits et, euro par km parcouru Formule B : euros par jour et,1 euro par km parcouru Combien de km doit-on parcourir pour que la formule B coûte moins cher que la formule A si on veut louer une voiture pour jours? kilomètres parcourus. En deux jours, la formule B coûte. +,1x. 5 euros si x < ,(x-15) si x si x < 15, la formule B est plus avantageuse si 4 +, 1x < 5 - si x 15, la formule B est plus avantageuse si, 1x < 1 x < 1 4 +, 1x < 5 +, (x 15) 4 +, 1x < 5 +, x 3 <, 1x < x Au total, la formule B coûte moins cher si on parcourt moins de 1 km ou plus de km.

5 Test 11 du Quand dit-on qu'une fonction est intégrable sur ], 4]? Solution. Soit f une fonction continue sur ], 4]. Si lim intégrable sur ], 4]. 4 t t f(x) dx est ni, on dit que f est Que devient cette dénition si la fonction considérée est positive sur ], 4]? Solution. Soit f une fonction continue et positive sur ], 4]. Si lim f est intégrable sur ], 4].. Calculer (si c'est possible) l'intégrale suivante. 1 (x + 1) ln( 3x)dx 4 est ni, on dit que t t Solution. La fonction f : x (x + 1) ln( 3x) est continue sur ], [ donc sur [, 1], ensemble borné fermé. La fonction f est donc intégrable sur [, 1] et on a 1 (x + 1) ln( 3x)dx = [( ) x + x ] 1 ln( 3x) = 1 ln(3) 1 = 1 ln(3) [ x ] x 1 ( x + 1 ) dx ( ) x 1 + x x dx = 1 ln(3) 1 4 Formule A : 45 euros par jour, 5 premiers km gratuits et,5 euro par km parcouru Formule B : 4 euros par jour et, euro par km parcouru Combien de km doit-on parcourir pour que la formule B coûte moins cher que la formule A si on veut louer une voiture pour jours? kilomètres parcourus. En deux jours, la formule B coûte. 4+,x. 45 euros si x < ,5(x-5) si x 5. - si x < 5, la formule B est plus avantageuse si - si x 5, la formule B est plus avantageuse si 8 +, x < 9, x < 1 x < 5 8 +, x < 9 +, 5(x 5) 8 +, x < 9 +, 5x 1, 5, 5 <, 5x 5 < x Au total, la formule B coûte moins cher quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

6 Test 11 du Quand dit-on qu'une fonction est intégrable sur ] 1, ]? Solution. Soit f une fonction continue sur ] 1, ]. Si intégrable sur ] 1, ]. lim t 1 f(x) dx est ni, on dit que f est t Que devient cette dénition si la fonction considérée est négative sur ] 1, ]? Solution. Soit f une fonction continue et négative sur ] 1, ]. Si que f est intégrable sur ] 1, ].. Calculer (si c'est possible) l'intégrale suivante. π/4 x sin(x)dx lim t 1 est ni, on dit t Solution. La fonction f : x x sin(x) est continue sur R donc sur [, π/4], ensemble borné fermé. La fonction f est donc intégrable sur [, π/4] et on a π/4 [ x sin(x)dx = x cos(x) = [ sin(x) + 4 = 1 4 ] π/4 ] π/4 π/4 + cos(x) dx Formule A : 4 euros par jour, 1 premiers km gratuits et,3 euro par km parcouru Formule B : 3 euros par jour et, euro par km parcouru Combien de km doit-on parcourir pour que la formule B coûte moins cher que la formule A si on veut louer une voiture pour jours? kilomètres parcourus. En deux jours, la formule B coûte. 3+,x. 4 euros si x < 1. 4+,3(x-1) si x 1. - si x < 1, la formule B est plus avantageuse si 6 +, x < 8 - si x 1, la formule B est plus avantageuse si, x < x < 1 6 +, x < 8 +, 3(x 1) 6 +, x < 8 +, 3x 3 1 <, 1x 1 < x Au total, la formule B coûte moins cher quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

Documents pareils

FORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12

FORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30