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1 1> Généralités sur les suites numériques Définition Une suite numérique est une fonction définie sur 0 ou sur une partie de 0 Sens de variation d une suite La suite ( est une suite croissante si et seulement si, pour tout entier n, + 1 La suite ( est une suite décroissante si et seulement si, pour tout entier n, + 1 La suite ( est une suite constante si et seulement si, pour tout entier n, + 1 = > Suites arithmétiques Définitions Une suite u est la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison a si et seulement si : pour tout entier n, + 1 = + a pour tout entier n, + na pour tout entier n et tout entier p avec 0 p n, = u p + (n pa Propriété caractéristique 1, et + 1 sont trois termes consécutifs d une suite arithmétique si et seulement si : = 1 + u n + 1 Somme des (n + 1 premiers termes d une suite arithmétique n(n + 1 (n + 1(u n = et S n + u 1 + u + + = 0 + Nombre de termes (Premier terme + Dernier terme S n = 3> Suites géométriques Définitions Une suite u est la suite géométrique de premier terme u 0 (u 0 > 0 et de raison b (b > 0 si et seulement si : pour tout entier n, + 1 = b pour tout entier n, = b n u 0 pour tout entier n et tout entier p avec 0 p n, = b n p u p Propriété caractéristique 1, et + 1 sont trois termes consécutifs d une suite géométrique si et seulement si : ( = Somme des termes Si b b + b + + b n = bn b 1 Si b 1 S n + u = bn b 1 u Si b =1 S = u + u + + u = (n + 1u 0 n 0 1 n 0 Plus généralement : b Si b 1 S n = u p + u p = n p b u p = Nombre de termes 1 Premier terme b 1 b 1 Sens de variation et limites Si 0 < b < 1, alors la suite ( est décroissante et lim Si b > 1, alors la suite ( est croissante et lim n Æ + Si b = 1, la suite est constante b n = 0 (d où lim u n Æ + n Æ + n = 0 b n = + (d où lim = + n Æ + l essentiel 117

2 calculatrice = f(n + 1 = f( Exemple : u 0 = + 1 = + 1 Attention, les calculatrices TI donnent en fonction de 1 On tape : u 0 = = TI 8-8Stat-83-83plus On procède comme pour une fonction Puis on consulte la table de valeurs après l avoir paramétrée On peut utiliser la touche Taper : Enter + 1 Enter Enter Taper Y = etc Utiliser les lettres u (ou v qu on obtient en tapant de 7 (ou de 8 ANS Ans nmin : le rang du premier terme ; u(nmin : la valeur du premier terme Casio Graph qui reprend une chaîne de calculs Taper : EXE Ans + 1 EXE EXE etc Utilisation du mode «Seq» Utilisation du mode «Recur» Pour obtenir a n, taper sur F4 puis sur F Taper sur F5 (Rang pour paramétrer la table On lit les valeurs des termes de la suite dans la table de valeurs 118 Les suites numériques

3 Comment utiliser une suite annexe dont on connaît la nature? 1 Madame Dumont décide de verser, tous les 31 décembre, sur un compte en assurance-vie, rémunéré à 5 % à intérêts composés Elle a effectué le 1 er versement le 31 décembre 000 On note, pour tout entier naturel n, C n le capital, exprimé en euros, dont Mme Dumont dispose sur son compte assurance-vie le 1 er janvier de l année n 1 a Préciser la valeur de C 0 b Calculer C 1 c Écrire C n + 1 en fonction de C n On pose, pour tout entier n, a Montrer que ( est une suite géométrique de raison 1,05 dont on déterminera le premier terme b En déduire, puis C n en fonction de n c De quel capital disposera Mme Durand sur son compte assurance-vie le 1 er janvier 00? C 0 correspond au versement initial Le capital de chaque 1 er janvier est composé du capital précédent augmenté des intérêts et douveau versement effectué le 31 décembre 1 a C 0 est le montant du capital le 1 er janvier 001, donc C 0 = b Puisque les intérêts sont de 5 %, le coefficient multiplicateur est 1,05 C 1 = , = c C n + 1 1, La suite (C n n est ni géométrique, ni arithmétique On utilise alors une suite annexe dont on connaît la nature et qui permet de faire les calculs On utilise la définition fonctionnelle d une suite géométrique On remarque que : 00 = On n oublie pas de rédiger la réponse a , on en déduit Ce qui équivaut à : + 1 1, , = 1,05(C n (en effet = 1, = 1,05 La suite ( est donc la suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme u 0 = C = b = ,05 n équivaut à C n = On en conclut C n = ,05 n c Le capital dont Mme Dumont disposera le 1 er janvier 00 correspond à C 19 C 19 = , = ,93 à 0,01 près Mme Dumont disposera donc le 1 er janvier 00 d un capital d un montant de ,93 119

4 Comment utiliser la somme des termes d une suite? Nous allons voir qu il existe plusieurs possibilités de démonstration pour résoudre un même problème Reprenons les données de l exercice précédent, concernant le compte assurance-vie de Mme Dumont On considère la suite géométrique (v n de raison 1,05 et de premier terme a Calculer v 1, puis v b Écrire v n en fonction de n c On note S n + v v n Écrire S n en fonction de n d Calculer S 19 e Expliquer pourquoi S 19 = C 19 On utilise les définitions des suites géométriques a v 1 1,05 = 1 575, v = v 1 1,05 = 1 653,75 b v n 1,05 n La somme des termes d une suite géométrique de raison b 1 est donnée par la formule : S n + u = bn u b 1 0 c S n + v v n 1,05 = n , = n ,05 1 0,05 = (1,05 n d On en déduit : S 19 = (1, = ,93 à 0,01 près e Le terme v n correspond à un montant de placé sur un compte rémunéré à 5 % à intérêts composés pendant n années v ; v ; v 017 ; etc v Le capital dont Mme Dumont disposera le 1 er janvier 00 est le capital acquis par la somme de tous ses versements Donc S 19 = C 19 Comment utiliser un tableur? On aurait pu aussi utiliser une calculatrice graphique 3 Reprenons à nouveau le même énoncé et utilisons les feuilles de calcul d un tableur a Rappeler la relation liant C n + 1 et C n b Ouvrir une feuille de calcul c Faire apparaître l évolution du capital sur le compte assurance-vie d À partir de quelle année le capital acquis dépasse-t-il ? 10 Les suites numériques

5 On construit une feuille de calcul qui peut évoluer, c est-à-dire une feuille où il est possible de changer le montant des versements et le taux d intérêt Dans la cellule B8, on tape : =D3 Dans la cellule B9, on utilise un adressage absolu pour le taux et le montant annuel des versements On étend la formule sur la colonne B On fait afficher les résultats sous la forme correcte en euros en allant dans format-nombre et en choisissant l option monétaire a On a vu dans l exercice 1 : C n + 1 1, b Les calculs effectués par le tableur permettent de donner directement les résultats cherchés On retrouve le résultat précédent : Le 1 er janvier 00, Mme Dumont disposera d un capital d un montant de ,93 On remarque aussi sur la feuille de calcul que le capital aura dépassé pour n = 14, soit le 1 er janvier

6 Comment gérer un emprunt et comment utiliser un tableur? 4 Sylvain a emprunté sur 6 ans la somme de au taux annuel de 6 % Il décide de rembourser chaque année pendant 5 ans et le solde à la fin de la sixième année On note C n le capital, exprimé en euros, restant à rembourser après la n-ième échéance On appelle (A n 1 n 10 la suite des amortissements du capital et (I n 1 n 10 la suite des intérêts versés a Préciser C 0 b Déterminer le montant des intérêts payés à la première échéance et en déduire C 1 c Trouver une relation liant C n + 1 et C n d Sur une feuille de calcul d un tableur, faire apparaître les différents montants I n, A n et C n e Quel sera le montant de la sixième échéance? f Sylvain trouve la dernière échéance trop élevée et décide de verser les 5 premières années Quel sera alors le montant de la dernière échéance? Les intérêts versés à la n-ième échéance sont les intérêts portant sur le capital restant dû après la (n 1-ième échéance, soit C n 1 Le montant du remboursement annuel de effectué l année n comprend les intérêts portant sur le capital restant dû et un amortissement du capital Le capital restant dû après la n-ième échéance est égal au capital restant dû l année précédente diminué de l amortissement de l année n a C 0 correspond au capital restant à rembourser sans qu il y ait eu de remboursement, donc au capital emprunté Donc C 0 = b Appelons I n le montant des intérêts versés l année n, pour n 1 On en déduit I n = 0,06 C n 1 Au cours de la première échéance, le montant des intérêts est donc : I 1 = 0, = 480 Notons I n l amortissement du capital effectué à la n-ième échéance On sait que I n + A n = 1 500, donc A n = I n On peut ainsi calculer l amortissement du capital à la première échéance : A 1 = 1 00 On en conclut C 1 = = c C n 1 A n 1 (1 500 I n 1 (1500 0,06 C n ,06 C n 1 = 1,06 C n Les suites numériques

7 La cellule C4 est un adressage absolu La cellule C6 est aussi un adressage absolu En effet le taux et le montant des échéances sont fixes d Construisons une feuille de calcul dans un tableur Dans la cellule D9 : =$C$6-C9 Dans la cellule E9 : =$C$6 Dans la cellule C9 : =B9*$C$4 Dans le cellule B10 : =F9 Dans la cellule F9 : =B9-D9 On a ensuite étendu les formules sur les lignes de 10 à 13 e Pour compléter la dernière ligne, on remplit les cellules B14, C14, D14 et F14 en étendant toujours la même formule Mais il faut changer la formule de la cellule E14 En effet le montant de la dernière cellule est la somme du capital restant dû et des intérêts dus sur ce capital restant Le tableau a été construit de façon à ce qu il puisse évoluer, c est-à-dire de façon à pouvoir changer les montants de l emprunt, du taux ou des annuités La dernière échéance sera donc de 385,18 f Changeons le montant des échéances La dernière échéance sera alors de 1787,64 13

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