Cours de mathématiques ECT 2ème année. Chapitre 1. Matrices

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1 ECT 2ème année Chapitre 1 Matrices Adrien Fontaine Année scolaire

2 1 GÉNÉRALITÉS Définition 1 : Soient n et p dans N On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans R tout tableau de nombres de la forme : a 1,1 a 1,2 a 1, j a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2, j a 2,p A= a i,1 a i,2 a i, j a i,p a n,1 a n,2 a n, j a n,p avec a i, j R pour tout i 1;n et j 1; p : ce sont les coefficients de la matrice A De manière plus compacte, on peut écrire : A=(a i, j ) 1 i n L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes se note M n,p (R) Exemples : Remarque : Le premier indice i désigne le numéro de la ligne et le second indice j désigne le numéro de la colonne Deux matrices sont égales, si et seulement si, elles ont le même nombre de lignes et de colonnes et les mêmes coefficients : n= m (a i,j ) 1 i n = (b i,j ) 1 i m p = q 1 j p 1 j q i 1;n j 1; p a i,j = b i,j ( ) ( ) 2x Exemple : On donne : E= et F= 3 2y Déterminer x et y pour que les deux matrices E et F soient égales Définition 2 : Une matrice qui possède le même nombre de lignes et de colonnes est appelée ue matrice carrée L ensemble des matrices à n lignes et n colonnes se note M n (R) au lieu de M n,n (R) Une matrice qui n a qu une seule colonne est appelée une matrice colonne Une matrice qui n a qu une seule ligne est appelée une matrice ligne Exemples : 2

3 Définition 3 : On appelle matrice nulle à n lignes et p colonnes et on note 0 n,p la matrice à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls Lorsque n = p, on écrira simplement 0 n au lieu de 0 n,n On appelle matrice identité d ordre n et on note I n la matrice carrée dont les coefficients de la diagonale sont égaux à 1 et tous les autres spnt égaux à 0 Autrement dit : I n = Exemple : 2 OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 21 Multiplication d une matrice par un réel Définition 4 : Pour toute matrice A=(a i, j ) 1 i n ) et pour tout réel λ, on pose : λa=λ(a i, j ) 1 i n = (λa i, j ) 1 i n Autrement dit, pour multiplier une matrice par un réel λ, on multiplie tous ses coefficients par λ Exemple : Définition 5 : Pour toute matrice A, la matrice ( 1)A est notée A et s appelle la matrice opposée de la matrice A Remarque : L opposée A d une matrice A s obtient donc en remplaçant chaque coefficient de A par son opposé Exemple : 3

4 22 Somme de deux matrices Définition 6 : Soient deux matrices A=(a i, j ) 1 i n et B=(b i, j ) 1 i n de même taille On pose : A+B=(a i, j + b i, j ) 1 i n Autrement dit, la somme des matrices A et B est la matrice de même taille que A et B, dont chaque élément est la somme des éléments correspondants de A et B ATTENTION! L addition de deux matrices n est possible que si elles ont le même nombre de lignes et de colonnes! Exemple : Remarque : De même, on définit la soustraction de deux matrices A et B par : A B = A+ ( 1)B= A+( B) Proposition 1 : Soient A,B et C des matrices de M n,p (R) et λ et µ des réels On a : A+B=B+ A On dit que l addition dans M n,p (R) est commutative (A+B)+C=A+(B+C) On dit que l addition dans M n,p (R) est associative λ(a+b)=λa+λb (λ+µ)a=λa+µa λ(µa)=(λµ)a Exemple : ( ) ( ) On donne A= et B= Soit X une matrice de taille 2 2 telle que 2X + 3A = B Déterminer la matrice X Soient x, y et z dans R Calculer la matrice : x 2 + y 5 + z Déterminer alors l ensemble des triplets (x, y, z) vérifiant : x 2 + y 5 + z 8 =

5 23 Multiplication de deux matrices Définition 7 : Produit d une matrice par une matrice colonne Soient A=(a i, j ) 1 i n M n,p (R) une matrice quelconque et B=(b i,1 ) 1 i p M p,1 (R) une matrice colonne On appelle produit de la matrice A par la matrice B, la matrice de M n,1 (R) notée A B ou AB, définie par : AB=(c i,1 ) 1 i n où c i,1 = a i,1 b 1,1 + a i,2 b 2,1 + +a i,p bp,1= Autrement dit, a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p a n,1 a n,2 a n,p b 1,1 b 2,1 b p,1 p a i,k b k,1 k=1 a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 + +a 1,p b p,1 = a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 + +a 2,p b p,1 a n,1 b 1,1 + a n,2 b 2,1 + +a n,p b p,1 Exemple : Définition 8 : Produit de deux matrices, cas général Soient A=(a i, j ) 1 i n M n,p (R) et B=(b i, j ) 1 i p M p,q (R) deux matrices On appelle produit de la matrice A par la matrice B, la matrice de M n,q (R) notée A B ou AB définie par : AB=(c i, j ) 1 i n 1 j q où c i, j = ai,1b 1, j + a i,2 b 2, j + +a i,p b p, j = p a i,k b k, j k=1 ATTENTION! Pour pouvoir effectuer le produit AB, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de colonnes de B, sinon le produit n est pas défini! 5

6 Illustration du produit matriciel : B : p lignes q colonnes a i 1 b 1j a i k b k j b 11 b 1j b 1q b k1 b k j b kq b p1 b p j b pq a i p b p j a 11 a 1k a 1p a i 1 a i k a i p a n1 a nk a np c 11 c 1j c 1q c i 1 c i j c i q c n1 c nk c nq A : n lignes p colonnes C=A B : n lignes q colonnes Exemple : Calculer les produits matriciels suivants : A= ( ) ( ) B= ( )( ) C= ( )( ) D= E= 4 ( ) 6 6

7 ( )( ) a b 1 0 F= c d 0 1 ( )( ) G= x H= y z ATTENTION! En général, le produit AB (sil existe) n est pas égal au produit BA (s il existe) : la multiplication matricielle n est pas commutative! Un produit de deux matrices peut être égal à la matrice nulle sans qu aucune de ces deux matrices ne soit égale à la matrice nulle! Proposition 2 : Pour toutes matrices A M n,p (R), B M p,q (R) et C M q,r (R) : (AB)C = A(BC) Ainsi, la multiplication matricielle est associative Pour toute matrice A M n (R) et pour toute matrice colonne U M n,1 (R) : AI n = I n A=A et I n U= U Pour toutes matrices A M n,p (R), B M p,q (R) et C M p,q (R) : A(B+C)= AB+ AC Pour toutes matrices A M n,p (R), B M n,p (R) et C M p,q (R) : (A+B)C=AC+ BC Remarque : On pourra retenir que les règles de calcul sont les mêmes qu avec les réels si ce n est que la commutativité n est en général pas vraie pour les matrices 24 Transposée d une matrice Définition 9 : Soit A=(a i, j ) 1 i n M n,p (R) une matrice de M n,p (R) On appelle transposée de A et on note t A la matrice définie par : t A=(a j,i ) M p,n (R) 1 i n Autrement dit, la matrice t A est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice A Exemple : 7

8 Proposition 3 : Pour toute matrice A M n,p (R) : t ( t A)=A Pour tout réel λ et pour toute matrice A M n,p (R) : t (λa)= λ t A Pour toutes matrices A et B de M n,p (R) : t (A+B)= t A+ t B Pour toutes matrices A M n,p (R) et B M p,q (R) : t (AB)= t B t A 25 Lien avec les systèmes d équations linéaires Proposition 4 : On considère les matrices : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1 x 1 a 2,1 a 2,2 a 2,p A= M n,p (R) X= x 2 b 2 M p,1 (R) et B= M n,1(r) x p a n,1 a n,2 a n,p b n Alors, on a l équivalence suivante : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p =b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p =b 2 AX=B = a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p =b n ( ) Autrement dit, le p-uplet (x 1, x 2,, x p ) est solution du système à n équations et p inconnues ( ), si et seulement si, le vecteur X est solution de l équation matricielle AX= B Remarque : Les matrices permettent donc une écriture beaucoup plus succincte d un système d équations linéaires Par ailleurs, nous verrons dans un autre chapitre des outils matriciels permettant la résolution d un tel système Définition 10 : Étant donné un système linéaire à n équations et p inconnues (S) : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p =b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p =b 2 (S) = a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p =b n la matrice A=(a i, j ) 1 i n s appelle la matrice associée au système (S) Exemples : 8

9 Considérons le système linéaire : { 2x + y= 1 (S) x y= 4 Considérons le système linéaire : (S) 3x + y + z + 2t= 1 y 2z + t = 3 4z t = 2 2t= 4 3 PUISSANCE D UNE MATRICE CARRÉE 31 Définition et premiers exemples Définition 11 : Soit A M n (R) une matrice carrée On pose : A 0 = I n et pour tout k dans N : A k = A A A }{{} k fois ATTENTION! Le calcul de A 2, par exemple, ne consiste pas à élever les éléments de A au carré! Exemple : Soit A la matrice A= A 2 = ( ) 1 2 Alors : 3 4 9

10 Proposition 5 : Pour toute matrice A de M n (R) et pour tout entier r et s dans N : A r A s = A r+s Pour toute matrice A de M n (R) et pour tout entier r et s dans N : (A r ) s = A r s ATTENTION! Les autres règles usuelles sur les puissances dans R ne sont pas vraies dans M n (R) Par exemple, en général, (AB) 2 A 2 B 2 Exemple : On considère les matrices : A= ( ) 0 1 et B= 1 0 ( 0 ) Calculer (AB) 2 et A 2 B 2 Conclure Les matrices AB et BA sont-elles égales? Exemples : Calculer la puissance n-ème de chacune des matrices suivantes : ( ) 2 0 A= 0 1 B= ( ) C= ( )

11 32 Cas d une matrice diagonale Proposition 6 : d d 2 Soit D= une matrice diagonale de M n (R) Alors, pour tout k dans N, on a : d n (d 1 ) k 0 0 D k 0 (d 2 ) k = (d n ) k Preuve Exemple : n N n = 11

12 Proposition 7 : Soit A une matrice de M n (R) On suppose qu il existe P et Q deux matrices de M n (R) et D = d d 2 M n (R) une matrice diagonale, telles que : d n A=PDQ et PQ=QP= I n Alors, pour tout entier k de N, on a : (d 1 ) k 0 0 A k = PD k 0 (d 2 ) k Q=P Q (d n ) k Preuve 33 Formule du binôme de Newton Définition 12 : Soient A et B deux matrices de M n (R) On dit que A et B commutent si AB=BA 12

13 Proposition 8 : Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices de M n (R) telles que A et B commutent (ie AB=BA) Alors, pour tout p N, on a : ( ) p (A+B) p p = A k B p k k k=0 Remarque : La formule du binôme de Newton n est efficace que pour calculer les puissances d une matrice que lorsque l on peut écrire celle-ci comme la somme de deux matrices qui commutent et dont on sait expliciter les puissances Le cas le plus fréquent est celui pour lequel on peut écrire la matrice considérée comme la somme de deux matrices qui commutent : une diagonale et une dont les puissances sont nulles à partir d un certain rang Exemple : On considère les matrices suivantes : A= ( ) D= ( ) et J= ( ) Justifier que A=D+J 2 Calculer J 2 En déduire J n pour tout n N 3 Calculer D n pour tout n N 4 À l aide de la formule du binôme de Newton, montrer que pour tout n N, ( ) A n = D n n + D n 1 J 1 5 En déduire l expression de A n pour tout n N 13

14 4 EXERCICES Sommes et produits de matrices, transposée 11 On considère les matrices A= Calculer A+B, 2A B, AB et BA ( ) 1 3 et B= On considère la matrice : X= Déterminer les matrices : X 2I 3 (X 2I 3 ) I 3 2X 4(I 3 X) ( ) On considère les matrices : A= ( ) et B= ( ) Calculer et comparer A 2 + 2AB+B 2 et (A+B) 2 14 Effectuer les produits suivants lorsque c est possible, et dans ce cas donner la dimension de la matrice produit Lorsque c est impossible, dire pourquoi 2 5 ( ) ( ) ( ) Compléter les égalités suivantes : 2 1 ( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( ) =

15 16 On considère la matrice A définie par A= ( ) Déterminer x pour que A = Soit A la matrice : A= ( ) x 1 où x est un réel 2 3 Soient E 1, E 2 et E 3 les matrices définies par : E 1 = 0 E 2 = 1 E 3 = Calculer AE 1, AE 2 et AE 3 2 Calculer t E 1 A, t E 2 A et t E 3 A 18 On considère la matrice : Calculer A t A puis t AA A= ( 1 1 ) Systèmes linéaires x 5 1 On considère 3 réels x, y et z et les matrices A= 4 5 1, X= y et U= z 2 À quel système d équations l égalité matricielle AX= U est-elle équivalente? 2 On considère le système (S) suivant : 2x y + 3z= 1 5x + y = 3 x + y z = 4 À quelle égalité matricielle le système (S) est-il équivalent? On considère les matrices A= et B= a Calculer AB b Montrer que, pour toutes matrices U et V de M 3,1 (R), on a l équivalence : AU= V U= BV Indication : raisonner par double implication c Résoudre le système (T) suivant : 2x + y =2 3x + 2y + z =1 3y + 5z=3 15

16 110 Résoudre les équations suivantes, d inconnue X M 3,1 (R) : AX= B avec A= et B= AX= B avec A= et B= AX= 3X avec A= Puissance d une matrice carrée 111 Dans chacun des cas suivants, calculer A 2, A 3, A 4 puis A n pour tout n N A= ( ) A= A= On considère les matrices : 1 Calculer B et B A= et B= A 2I Rappeler la formule du binôme de Newton 3 Montrer que : Problèmes n N, A n = 2 n I 3 + n2 n 1 B 113 On considère les suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N définies par leurs premiers termes u 0 et v 0 et par les relations de récurrence : n N, { un+1 =4u n v n v n+1 = u n + 2v n 1 Déterminer la matrice A M 2 (R) telle que : n N, 16 ( un+1 v n+1 ) = A ( un v n )

17 2 Montrer que A s écrit sous la forme A=3I 2 + J, où J est une matrice à déterminer 3 Vérifier que J 2 = 0, puis à l aide de la formule du binôme de Newton, en déduire l expression de A n pour tout n dans N 4 Montrer que, pour tout n dans N, ( un v n ) ( ) = A n u0 v 0 5 En déduire les expressions de u n et de v n en fonction de n, u 0 et v Partie I : Calcul matriciel On considère les trois matrices : 1 1/2 1/ M= 0 1/2 1/2, Q= et D=QMQ 0 0 1/ Calculer Q Q 2 Calculer D (on vérifiera que D est une matrice diagonale) Justifier que M = QDQ 3 Démontrer par récurrence que : n N, M n = QD n Q 4 Expliciter les neuf coefficients de la matrice M n Partie II : Étude d une expérience On dispose de deux pièces de monnaie équilibrées, c est-à-dire que la probabilité d avoir Pile en lançant l une des deux pièces vaut 1 2 On effectue des lancers selon le protocole suivant : à l étape 1, on lance les deux pièces, à l étape 2, on lance les pièces ayant amené Pile à l étape 1 (s il en existe), à l étape 3, on lance les pièces ayant amené Pile à l étape 2 (s il en existe), et ainsi de suite On suppose que les lancers successifs éventuels d une même pièce sont indépendants et que les deux pièces sont indépendantes l une de l autre On considère, pour tout entier naturel n non nul, les évènements : A n : «obtenir 0 Pile à l étape n», B n : «obtenir 1 Pile à l étape n», C n : «obtenir 2 Pile à l étape n», et on note a n = P(A n ), b n = P(B n ) et c n = P(C n ) 1 Calculer a 1, b 1 et c 1 2 Soit n un entier naturel non nul Calculer les probabilités conditionnelles P An (A n+1 ), P Bn (A n+1 ) et P Cn (A n+1 ) Un argumentaire est attendu pour expliquer les valeurs de chacune de ces probabilités 3 À l aide de la formule des probabilités totales, prouver que : a n+1 = a n b n c n n 1, b n+1 = 1 2 b n c n c n+1 17 = 1 4 c n

18 4 a Vérifier que : n 1, a n+1 où la matrice M a été définie dans la partie I b Démontrer, par récurrence, que : 5 a En déduire que : n 1, a n b n+1 =M b n c n+1 c n a n a 1 b n =M n 1 b 1 c n c 1 n 1, P(A n )= n 2 2 n, P(B n)= 2 2 n, P(C n)= 1 4 n b Vérifier que la somme de ces trois probabilités est égale à 1 et donner la limite de chacune d elles 18

19 5 TABLE DES MATIÈRES 1 Généralités 2 2 Opérations sur les matrices 3 21 Multiplication d une matrice par un réel 3 22 Somme de deux matrices 4 23 Multiplication de deux matrices 5 24 Transposée d une matrice 7 25 Lien avec les systèmes d équations linéaires 8 3 Puissance d une matrice carrée 9 31 Définition et premiers exemples 9 32 Cas d une matrice diagonale Formule du binôme de Newton 12 4 Exercices Sommes et produits de matrices, transposée Systèmes linéaires Puissance d une matrice carrée Problèmes 16

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