MATHÉMATIQUES I. Partie I - Calcul de la somme d une série

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1 MATHÉMATIQUES I Avertissement Les trois parties sont indépendantes Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III Partie I - Calcul de la somme d une série IA - IA) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction 2π -périodique impaire f : IR IR, nulle en et π, et égale à sur ],π[ Pour tout entier n, expliciter la somme partielle de Fourier S n f de f IA2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ( S n f )? En déduire la valeur de ( ) n S = n + IA3) Calculer S = ( 2n + ) 2 n = IB - IB) Préciser le domaine d existence dans IR de Lx ( ) = n + n = Exprimer Lx ( ) à l aide de fonctions usuelles IB2) Calculer l intégrale ln( x 2 ) I = dx IB3) n = x 2 x 2n En déduire la valeur de S 2 = n = ( 2n + ) ( n + ) Concours Centrale-Supélec 24 /5

2 IB4) Exprimer S 3 = n n n = en fonction de S et S 2 En déduire la valeur de S 3 * * * Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent : Pour tout réel t >, lnt désigne le logarithme népérien de t Si t est un réel strictement positif et si z = x+ iy, où ( x, y) IR 2, est un complexe, on note t z = exp( z lnt) On définit la fonction p : ],[ IR par lnt ln( t) pt () = t Pour tout z complexe tel que la fonction ta t z pt () est intégrable sur ], [, on pose F( z) = t z pt () dt On définit ainsi une fonction F de la variable complexe z ; on notera encore, par extension, F la fonction de deux variables réelles associée Ainsi, pour ( x, y) IR 2, F( x, y) = F( x+ iy) Le but du problème est d étudier la fonction F Partie II - Étude locale de F IIA - Montrer que le domaine de définition de F est Ω = { z/z IC, Re( z) < } On pose I = Ω IR = ], [ IIB - Déterminer la limite de F( z) quand la partie réelle de z tend vers Concours Centrale-Supélec 24 2/5

3 IIC - IIC) Déterminer la limite de F( x) quand le réel x I tend vers IIC2) Pour tout x I, on pose Gx ( ) = t x lnt dt Calculer Gx ( ) IIC3) Prouver que la limite de F( x) Gx ( ), quand x I tend vers, existe et est finie IIC4) F( x) En déduire la limite de Gx ( ) quand x I tend vers IID - Montrer que la restriction de F à I est C Pour tout x I, donner l expression de la dérivée k ième F k) ( x) sous forme intégrale IIE - IIE) Établir que F est de classe C sur Ω Si k et l sont deux entiers et si z Ω, exprimer la dérivée partielle k+ l F x k y l ( z) sous la forme d une intégrale IIE2) F F Comparer et x y IIE3) 2 F 2 F Évaluer x y 2 IIF - IIF) Soient z Ω et ( z n ) une suite de points de Ω, distincts de z, qui converge vers z Prouver l existence de F( z n ) F( z) lim n z n z F F On pourra utiliser la continuité de et de , ainsi que le résultat de IIE2 x y On observera que cette limite ne dépend que de z, et non de la suite ( z n ) Par la suite, on note DF( z) cette limite On définit ainsi une application DF : Ω IC IIF2) Pour tout entier k 2, démontrer l existence de l application D k F = D( D k F) : Ω IC On convient que D F = DF Concours Centrale-Supélec 24 3/5

4 IIG - IIG) Pour tout réel t >, développer en série entière de u la fonction u IC t u Préciser le rayon de convergence IIG2) Établir qu au voisinage de, F( z) c k z k = où c k = ---- ( lnt) k () k! pt ()dt k = IIG3) Quel est le rayon de convergence R de la série entière ()? IIH - IIH) Déterminer un équivalent de c k quand k IIH2) Quelle est la nature de la série () quand z = R? Partie III - Développements en série IIIA - IIIA) Développer en série entière de t IR la fonction ln( t) t Préciser le rayon de convergence t IIIA2) Pour tout entier n et tout z Ω, calculer u n ( z) = t n z lnt dt IIIA3) Démontrer que F( z) = nn ( z) 2 n = IIIB - H( y) dy IIIB) Pour tout x I, exprimer x φ( x) = Fu ( ) du sous forme d une série ne faisant plus intervenir d intégrale Préciser φ( ) IIIB2) Déterminer un équivalent de φ( x) quand x I tend vers IIIC - IIIC) Si y IR, on pose H( y) = Fiy ( ) Les fonctions H et H 2 sont-elles intégrables sur IR? Préciser la valeur de Concours Centrale-Supélec 24 4/5

5 IIIC2) Pour quelles valeurs des réels α et β, la somme S( αβ, ) = ( mn) α ( m+ n) β est-elle finie? IIIC3) Si mn, K mn, = ( y+ im) 2 ( y in) 2 dy où m et n sont des entiers, calculer En déduire la valeur de H( y) 2 dy 4π sous la forme S( αβ, ), K mn, IIID - IIID) Démontrer que la série de fonctions obtenue en IIIA3 converge sur un domaine Ω de IC que l on précisera On note encore F le prolongement de F à Ω Prouver que F est de classe C sur Ω IIID2) Soient p un réel, n un entier >, z et z deux complexes dont les parties réelles sont majorées par n Pour tout entier n> n, majorer ( z n) p ( z n) p en fonction de n, n, p et z z IIID3) Avec les notations de IIF et IIF2, pour tout entier k et tout z Ω, établir l existence de D k F( z) qu on exprimera sous forme de somme d une série IIIE - IIIE) Pour tout entier k, évaluer c k, défini en IIG2, sous forme de somme d une série numérique IIIE2) Retrouver, à l aide du IIIE, le résultat obtenu en IIH FIN Concours Centrale-Supélec 24 5/5