TRANSFERT CONDUCTION

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1 UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA FACULTE DES MATHEMATIQUES ET DES SCIENCES DE LA MATIERE DEPARTEMENT DES SCIENCES PHYSIQUES TRANSFERT CHALEUR DE PAR CONDUCTION Dr. Slimane BOUGHALI ANNEE UNIVERSITAIRE

2 SOMMAIRE 1..Notions Préliminaires sur les Transferts de Chaleur P4 1.1 Quelques définitions et concepts fondamentaux P4 1.2 Les différents modes de transfert de chaleur P5 1.3 Influence de la nature du matériau sur la conductivité thermique P8 1.4 Loi de FOURIER (1822) P9 1.5 Equation générale de la conduction dans un milieu immobile P Resistance thermique P Conditions limites P Méthode générale pour la résolution des problèmes de conduction P16 thermique Exercices d applications P17 2. Conduction de chaleur en Régime Stationnaire Unidimensionnel P Conduction morte P Conduction vive P Ailettes P28 Exercices d applications P32 3. Conduction de chaleur en Régime Stationnaire Multidimensionnel P Introduction P Méthode analytique de séparation de variable P Méthode du coefficient de forme P Méthodes numériques P40 Exercices d applications P42 4. Conduction thermique-régime variable P Introduction P Conduction en régime variable et unidimensionnel P44 Exercices d applications P50 2

3 PREFACE La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l univers, ses rayons occupent toutes les parties de l espace et concourt à tous les phénomènes de l univers. Ses phénomènes de transfert de chaleur, on les trouve quotidiennement dans notre vie courante qui vont du chauffage central du domicile à l aide des échangeurs à eau, du chauffe bain pour prendre sa petite douche, au simple geste de souffler de bon matin sur sa tasse de café chaude pour qu elle se refroidisse; jusqu aux multiples procédés complexes utilisés dans le milieu industriel. Ce transfert de chaleur peut être perçu positivement ou négativement, tout dépend de notre objectif. Si le but recherché est par exemple de transférer le maximum de chaleur on peut augmenter les surfaces d échange en leur ajoutant des ailettes ou on choisit un matériau thermiquement très conductif. Si notre objectif est de diminuer le transfert de chaleur alors on doit choisir des matériaux isolants avec des coefficients de conduction thermique très faible. La plupart des phénomènes de transfert de chaleur font apparaître l intervention des trois modes de transmission en même temps; conduction, convection et rayonnement. Des connaissances de base du mode conductif sont développées dans ce cours afin d asseoir aux étudiants en cycle de graduation, techniciens et ingénieurs une base théorique de la compréhension des phénomènes de transferts de chaleur par conduction. Ce qui leur permet de comprendre et d expliquer les différents phénomènes physiques de transfert d énergie par conduction. Mettant en lumière l intérêt des approches simples qui peuvent mener les étudiants à des résultats simples et rapides, néanmoins cette approche simpliste marque aussi les limites de la démarche et la nécessité de l utilisation des logiciels de calculs, pour les cas complexes. 3

4 CHAPITRE I: Notions Préliminaires sur les Transferts de Chaleur 1. Préambule : La chaleur est une forme d énergie qui s écoule sous l effet d une différence de température des hautes vers les basses températures. La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l univers et concourt à tous ses phénomènes. L unité de la chaleur dans le système international est le joule(j). Le transfert de chaleur représente l un des modes les plus communs d échange d énergie. C est un phénomène que l on trouve dans de nombreux secteurs de l indutrie et dans notre vie quotidienne. Les ingénieurs et les techniciens se trouvent confrontés à ce genre de problème ; et essayent de maximiser ou de minimiser ce phénomène selon les besoins de l industrie et dans le souci d économiser cette énergie qui revient chère. De ce fait, les transferts thermiques ont, aussi bien dans le domaine des sciences pures que dans celui des applications technologiques, un rôle souvent essentiel. Ce rôle devient même déterminant lorsqu il est à l origine des techniques utilisées, exemple : (échangeurs, moteurs thermiques, calorifugeage, isolation thermique etc.). La connaissance des lois physiques qui régissent ces modes de transferts thermiques est une chose essentielle et très importante, car elles nous permettent de maitriser la façon et la qualité de cet écoulement de chaleur suivant notre désir. Des connaissances de base de quelques notions préliminaires citées ci-dessous sont nécessaires pour la compréhension du cours., 1.1 Quelques définitions et concepts fondamentaux: Flux et densité de flux thermique : Soit un plancher chauffé de manière uniforme sur toute sa surface S. Soit dq la quantité de chaleur échangée entre ce planché chauffant et l air ambiant pendant le temps (dt). On appelle : Flux thermique : La puissance échangée par la surface S Ø= dq / dt [Ø] = J/ s ou Watt. Densité de flux thermique: La puissance échangée par une surface unité de ce planché Lignes et tube de courant : ϕ = dø / ds = dq/ Sdt [ϕ] = Watt / m 2 Les lignes de courants sont représentées par des courbes tangentes au vecteur densité de flux ϕ. L ensemble des lignes de courant s appuyant sur un contour fermé constitue un tube de courant. 4

5 1.1.3 Surfaces isothermes : Le lieu des points ayant à chaque instant la même température est appelé surfaces isothermes. T(x,y,z,t) = constante Gradient de température : Le gradient de température représente le taux de variation de la température suivant la direction normale à l isotherme Champ de température ou Profil de température : Les transferts d énergie sont déterminés à partir de l évolution dans l espace et dans le temps de la température : T = f (x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l espace est un scalaire appelé champ de température. Nous distinguerons deux cas : - Champ de température indépendant du temps : le régime est dit permanent ou stationnaire. - Evolution du champ de température avec le temps : le régime est dit variable ou transitoire Source interne : Une source interne est définie par la puissance thermique p qu elle produit par unité de volume du milieu. Dans le cas général, p est fonction de la position du point, de la température est du temps : p(m,t,t). Les cas particuliers les plus fréquents sont : * p= A 0 e -αt où A 0 et α désignent des constantes c est le cas des réactions chimiques. *p=a(m,t) + B(M,t) où p est une fonction linéaire de la température T. Ce dernier cas correspond à une production de chaleur par effet joule. 1.2 Les différents modes de transfert de chaleur : Si un solide est à température uniforme on dit qu il est en équilibre thermique et aucun transfert de chaleur ne peut se produire. Dés qu il existe entre deux corps, ou entre deux parties d un même corps une différence de température ; cette dernière tend à disparaître spontanément par échange de chaleur qui peut se faire par trois modes différents : Conduction, Convection et Rayonnement Conduction : C est le transfert de chaleur au sein d un milieu opaque, sans déplacement de matière, sous l influence d une différence de température. Ce mode de transfert s applique aux solides aux liquides et également aux gaz, tant que ceux-ci peuvent être considérés comme immobiles exemple (air emprisonné dans un double vitrage ou dans un matériau poreux,.). 5

6 . Ce mode de transport de la chaleur est le seul à exister au sein d un solide opaque, aussi la conduction concerne essentiellement les solides. Dans les liquides et les gaz 1e transport de la chaleur par conduction est très souvent négligeable devant les deux autres types de transfert. La théorie de la conduction repose sur l hypothèse de Fourier: la densité du flux est proportionnelle au gradient de température : Avec : ϕ = Densité du flux thermique (W.m -2 ) = Conductivité thermique du milieu (W m -1.C -1 ) T = Température ( 0 C) Convection : Dans un liquide et dans un gaz, les différences de températures produisent des différences de densité, ce qui engendrent des mouvements du fluide appelé mouvement de convection qui ont pour effet d égaliser les températures. On distingue la convection forcée, dans laquelle le mouvement du fluide est produit par une action extérieur ex : (pompe, ventilateur, vent ) et la convection libre ou naturelle dans laquelle ce mouvement résulte seulement de la différence de densité entre les parties chaudes et froides du fluide, ex : le convecteur ou le radiateur de chauffage central élève la température de l air au contact de ses ailettes. La convection thermique désigne aussi les échanges entre une paroi et un fluide en mouvement lorsque leurs températures sont différentes. L enfant qui souffle sur son café accélère son refroidissement en forçant la convection. Une modélisation simplificatrice de ce phénomène peut être trouvée dans la loi de Newton citée cidessous.. ϕ= h(t p -T f ) Où T P = Température de la paroi T f = Température du fluide. ϕ = Densité du flux thermique (W.m -2 ) h = Coefficient d échange superficiel Rayonnement : Les corps émettent de l énergie par leur surface sous forme de radiation visibles ou non. Inversement, quand un corps reçoit un rayonnement, il en absorbe une partie qui se transforme en chaleur. 6

7 Ce mode de transfert de chaleur est induit par l échange d ondes électromagnétiques entre un corps émetteur et un corps récepteur Le rayonnement se transmet à travers le vide mieux que dans tout autre milieu qui est plus ou moins absorbant. La relation de base du rayonnement est celle de STEFAN- BOLTZMAN selon laquelle la puissance M o du rayonnement thermique émis par unité de surface d un corps noir est directement proportionnelle à T 4. M o = σ T 4 [M o = W.m -2 ] σ = constante de STEFAN-BOLTZMAN =5.67*10-8 Wm -2 K -4 Cette formule se déduit par intégration sur l ensemble des longueurs d onde de la relation fondamentale obtenue par PLANK dans sa théorie de quanta REMARQUE : Généralement, tous les modes de propagation de la chaleur agissent simultanément, mais selon les cas, ces trois modes de transfert sont d importances relatives différentes ; ce qui fait qu on peut négliger l un des modes par rapport aux autres ou on néglige les deux modes par rapport à l un. Exemple : pour les corps plonges dans l air, c est l effet de convection qui est le plus important (ex: radiateur). Si la température s élève considérablement c est le rayonnement qui est le plus important. A l intérieur d un solide, seule la conduction intervient. 7

8 1.3 Influence de la nature du matériau sur la conductivité thermique Le tableau ci-dessous représente la Conductivité thermique en (W. m -1 C -1 ) de différents matériaux à la température ambiante. Dans le tableau ci-dessus, sont reportées les conductivités de quelques corps solides, liquides et gazeux. D une façon générale, les métaux sont beaucoup plus conducteurs de la chaleur que les substances non métalliques, à l exception du graphite (utilisé dans certains échangeurs de chaleur), ce qui explique par exemple l utilisation de sels de 8

9 sodium comme fluide caloporteur pour le refroidissement des réacteurs nucléaires. L acier inoxydable est moins conducteur que la plupart des autres métaux et alliages. Les gaz sont plutôt mauvais conducteurs : le caractère isolant de la laine de verre est dû à la présence de l air emprisonné entre les fibres. Parmi les liquides : -le mercure se détache nettement. λ des gaz < λ des liquides < λ des solides Chaleur sensible : On parle de chaleur sensible lorsqu un corps qui reçoit ou cède de la chaleur s échauffe ou se refroidit sans changer d état. La variation de température ΔT= (T 2 -T 1 ) que va subir un corps de masse m est reliée à la quantité de chaleur Q par le coefficient de proportionnalité C p appelé chaleur spécifique ou capacité calorifique Chaleur latente : Q = m C p ΔT On parle de chaleur latente lorsqu un corps qui reçoit ou cède de la chaleur l utilise pour changer d état, sans que sa température ne varie. La quantité de chaleur qu il faut fournir à un matériau de masse m donnée pour que, à température constante, celui-ci change d état (solide---liquide---gaz) est donnée par : latente. Q = m.l ou L représente le coefficient de chaleur La température reste constante pendant tout le processus de changement d état, dans ce cas, on a une transformation isotherme. 1.4 Loi de FOURIER (1822). Cette loi a été établie expérimentalement par FOURIER en Soit une baguette cylindrique de section S, de longueur isolée latéralement soumise a un gradient de température sur ses extrémités T 1, T 2 (tel quet1 T2). Baguette homogène et isotrope T1>T2 Régime permanent établi (T1 et T2 indépendant du temps) 9

10 T1 q x T2 x 0 x FOURIER a pu mesurer le taux de transfert de chaleur q x et a voulu voir comment influe q x sur les paramètres suivants : S (surface de la section), (longueur de la baguette) T (différence de température (T1-T2). FOURIER a fixe et x et fait varier la section S : il a remarqué que la quantité de chaleur transmise est proportionnelle à S. De même il a fixé T et S et fait varier x : q x est inversement proportionnelle à x Fixé S et x et fait varier : quantité de chaleur est proportionnelle à FOURIER a déduit que q x S Il a refait la même expérience mais avec un autre produit, exemple du métal au plastique, il a remarqué que pour les mêmes dimensions de surface, de longueur et de temperature ; la quantité de chaleur transmise q x pour le plastique est moindre que celle du métal. Ce qui l a amené à ajouter un coefficient de conductivité qui est proportionnel à q x. q x = S On introduit le signe () pour avoir un flux de chaleur toujours positif car le gradient de temperature ( ) étant toujours négatif. Par conséquent, FOURIER a déduit sa fameuse formule de transfert de chaleur par conduction, stipulée comme suit : Le flux de chaleur s écoulant dans la matière est égale à : On peut généraliser la loi de FOURIER en écrivant : = 10

11 (M,T) : tenseur des conductivités thermiques (on peut parler ici d une matrice des conductivités). Le plus souvent, on se trouve dans un milieu homogène du moins à l échelle macroscopique (exemple : acier, brique, béton.etc.) donc (M,T) est indépendant du point M considéré. De plus le milieu est souvent isotrope (même propriété thermophysique dans toutes les directions). Dans ces conditions, la loi de FOURIER se réduira à : En général la conductivité thermique varie avec la temperature = (T) Lorsque les variations de temperature sont suffisamment faibles pour un problème donné, on admet que la conductivité thermique prend une valeur moyenne. Si les températures varient d une manière plus notable, on peut considérer que varie avec la temperature T. = 0 (1+aT) avec 0 = valeur de pour T= 0 C a : est une constante appelée coefficient de température du solide considéré. a < 0 pour de nombreux matériaux isolants. a>0 pour la plupart des métaux et alliages (à l exception de l aluminium et du laiton). Pour les liquides : la conductivité thermique diminue quand la température augmente (à l exception de l eau et du glycérol). Pour les gaz : la conductivité thermique croît avec la température. La conductivité thermique des matériaux poreux augmente avec leur densité et avec la Température Remarques : La conductivité thermique d un mélange ne varie pas linéairement avec la composition du mélange. Il est donc impossible de prévoir la conductivité thermique d un alliage en connaissant sa composition et la conductivité des différents éléments constituant cet alliage. Il faut donc mesurer expérimentalement cette conductivité. 11

12 1.5 Equation générale de la conduction dans un milieu immobile: q z+dz q y z q x q x+dx q y+dy q z x y Soit un élément matériel de volume élémentaire dv= dxdydz. Nous devons appliquer à ce système élémentaire le bilan d énergie en régime transitoire. Le milieu solide étant soumis à des gradients de température, l énergie interne du point matériel va varier. Le système étant immobile, son énergie cinétique est nulle, et les variations d énergie potentielle sont négligeables. En fait, on se limite aux variations d énergie interne. du=dq. - Considérons le milieu isotrope, la température (T) dans le solide est fonction des coordonnées (x,y,z) et d autre part augmente de (dt) pendant l intervalle de temps (dt). - La conductivité thermique dans le solide élémentaire peut être considérée comme constante (=cste). - Ecrivons le bilan thermique relatif au volume dv=dx dy dz, pendant le temps dt. - Soit la direction parallèle à ox : - * La quantité de chaleur qui rentre : - * La quantité de chaleur qui sorte : Le flux net dans la direction ox est de : 12

13 On obtient des expressions analogues en considérant les directions oy oz. Lorsque la température augmente de dt le changement de l énergie interne par rapport à l unité de temps est de :. L équation du bilan thermique se traduit par : Dans un milieu anisotrope, dépend de la direction considérée. Si les valeurs sont,, dans les trois directions rectangulaires, l expression cidessus s écrira : Si dans le volume élémentaire, se trouve une source d énergie fournissant é é é L équation générale relative au régime transitoire sera :, représente la vitesse de propagation du flux de chaleur dans un milieu Si l état stationnaire est réalisé, c'est-à-dire si la température en un point ne varie pas avec le temps, tout en restant bien entendu différente d un point à l autre du milieu, on a alors : 0. Lorsque 0 13

14 1.5.1 Expression de LAPLACIEN de la température dans les différents repères. Coordonnées cartésiennes,, : Coordonnées cylindriques,, : 1 1 Dans le cas d une symétrie cylindrique T=f(r,t). Le Laplacien de la température sera : : 1 1 Coordonnées sphériques,, : 1 1 sin sin 1 sin Dans le cas d une symétrie sphérique T=f(r,t). Le Laplacien de la température sera : Resistance thermique : Supposons que la chaleur se déplace à travers une surface (S) dans la direction par exemple d une matière dont la conductivité thermique est. 14

15 Selon la loi de FOURIER, 1 2 Remarque : Cette résistance thermique est égale à la résistance électrique par analogie : De la même façon on peut définir la résistance convective (cas d un fluide qui embrasse une surface solide). En utilisant la relation de NEWTON : Conditions limites : Apres avoir étudié la propagation de la chaleur dans la matière, il est indispensable d envisager les conditions thermiques qui existent aux limites du milieu solide. On classifie les conditions limites comme suit : 1) Conditions temporelles initiales : La distribution de la temperature à l intérieur et a la surface du corps est déterminée (connue) à l instant t=0,,, 0,, 2) Conditions spatiales : Parmi les conditions spatiales qu on peut trouver on cite : Condition de DIRICHLET (temperature imposée sur la surface): Cette condition stipule que la temperature à la surface du corps doit être connue T P =f(m p, t). Dans le cas du régime stationnaire T p =f(m p ) Parfois la temperature de la surface est maintenue constante à cause d une source de chaleur appliquée à la paroi. On aura dans ce cas T p = constante Condition de NEUMANN (densité de flux imposée en surface): Le flux de chaleur circulant dans un solide est impose par la production d une source de chaleur. Par exemple : une résistance électrique placée dans un matériau produit une quantité de chaleur uniquement fonction des conditions électriques. 15

16 , ù é à. -On peut avoir une densité de flux constante. -On peut aussi avoir: 0, é Condition de FOURIER : C est la condition la plus complexe, mais aussi la plus courante. Elle intervient notamment lorsqu une surface est en contact avec un fluide. A la surface de contact (solide-fluide) on écrit : n= représente la dimension dans la direction normale à la surface. Resistance de contact : Si l on considère la surface de séparation entre deux matériaux solides, on devrait avoir en théorie, continuité des températures à la surface. En réalité on constate une discontinuité plus ou moins accentuée. En effet à cause des rugosités, il s interpose entre les solides une couche intermédiaire de fluide. Dans le domaine du bâtiment, elle est en général constituée d air et matérialise un troisième milieu de transfert d épaisseur très faible. On peut schématiser son action par une résistance de contact par analogie avec les mêmes phénomènes connus en électricité. Le flux traversant la surface de séparation entre les deux milieux solides s exprime par : 1 2 à R= résistance de contact, elle est mesurée expérimentalement. Sa valeur dépend de l état de surface. 1.8 Méthode générale pour la résolution des problèmes de conduction thermique : La solution de l équation générale de la conduction avec la connaissance des conditions aux limites, nous donne la distribution de la température à l intérieur du corps étudié et de même la quantité de chaleur échangée à travers sa surface. Pour arriver à cette solution il faut : - Connaître la forme géométrique du corps. - Ecrire l equation générale de la conduction (conduction permanente ou stationnaire, non stationnaire, l existence de source interne ou pas..etc.) - Ecrire les conditions aux limites. - Ecrire le profil de température à l intérieur du corps. 16

17 EXERCICES D APPLICATIONS : 1.1 On veut chauffer 1,2kg d eau de 15ºC à 95ºC dans une bouilloire avec une puissance électrique de 1200W. La mase de la bouilloire est de 0,5kg et a un C p = 0,7kJ/kg ºC. En ne tenant pas compte des pertes thermiques Déterminez : Le temps qu il faut pour que l eau se chauffe. Réponse : La quantité d énergie qu il faut pour élever la température de 15 a 95ºC est de : = (1,2) (4,18)(95-15)+ (0,5)(0,7)(95-15) = 429,3kJ La puissance électrique fournie de 1200W (c'est-à-dire 1200J/s/=1,2kJ/s). Pour atteindre les 429,3kJ il faut :,., 1.2 Une conduite cylindrique en acier = 46 W/m.ºC, de diamètre intérieur ø 1 =22 mm et extérieur ø 2 =27mm, transporte un fluide chaud. Calculez le flux de chaleur perdu par mètre de longueur pour un écart de température de 1ºC entre les surfaces internes et externes de la canalisation. Réponse : ,,, 17

18 1.3 Un ballon utilisé en laboratoire et contenant une huile moteur est soumis à une source de chaleur. Le ballon en verre (=0,8W/mºC) est assimilé à une sphère dont les diamètres intérieurs et extérieurs sont respectivement égaux à 20 et 21cm. L huile et l air environnant possèdent des coefficients de convection respectivement égaux à 15W/m 2 ºC et 10W/m 2 ºC. Il est demandé de calculer le flux thermique que doit fournir la source de chaleur afin de garder la température de l huile constante à 80ºC. La température ambiante égale à 20 ºC et on négligera les pertes par le haut du ballon. Réponse : avec 0, ,722 0,520 et T ext - T int = 80-20= 60ºC Ø= 46W 1.4 Q & Une résistance électrique de forme cylindrique, de longueur 1,5cm et de diamètre 0,4cm, est utilisée dans un circuit électrique. Cette résistance dissipe une puissance de 0,6W. On suppose que le transfert de chaleur est uniforme dans toute la résistance. -Déterminez la quantité de chaleur dissipée par cette résistance en 24h. De même la densité de ce flux de chaleur. 18

19 -Calculez la fraction de chaleur dissipée des deux bases du cylindre. - Réponse: -La quantité de chaleur dissipée par cette résistance en 24h est de: Q = Q & Δt = (0.6 W)(24 h) = 14.4 Wh = kj avec (1Wh=3,6kJ). -La densité du flux de chaleur est: A s q& s 2 2 πd π (0.4 cm) = 2 + πdl = 2 + π (0.4 cm)(1.5 cm) = = cm 4 4 Q& = A s = 0.60 W cm 2 = W/cm -La fraction de chaleur dissipée des deux bases du cylindre est : Q Q - top base total Atop base = = = A total or (11.8%) Le plafond d une maison, chauffée électriquement, est de dimension: (Longueur: 6m, Largeur 8m et d épaisseur 0,25m). Ce plafond en béton a une conductivité thermique = 0,8W/m. C. Les températures internes et externes du plafond en une nuit d hiver sont respectivement 15 C et 4 C pour une période de 10h. Déterminez : Le flux de chaleur perdu à travers le toit de la maison. Le prix de cette chaleur perdue aux occupants de cette maison, sachant que le prix du kwh électrique Algérien est de : 4Da. Réponse : 0, , 0,25 Prix de revient de cette quantité de chaleur perdue par le toit de la maison : Le prix de revient : 1, ,9. 16,9 4, 19

20 W φ Soit une ampoule électrique de forme sphérique de diamètre 8cm, contenant un filament incandescent de longueur 5cm et de diamètre 0,5mm délivrant une puissance de 150W. Déterminez la densité du flux thermique au niveau de la surface du filament et au niveau de la surface de la lampe. Calculez le prix de revient annuel de l électricité consommée par la lampe, sachant que la lampe est allumée 8h par jour. Réponse:. La densité du flux thermique au niveau de la surface du filament et au niveau de la surface de la lampe est: -Au niveau de la surface du filament : A s = πdl = π( 0.05 cm)(5 cm) = 0.785cm 2 φ 150 W ϕ = = = 191 W/cm 2 A s cm -Au niveau de la surface de la lampe: A s 2 = πd = π( 8cm) = 201.1cm = W/m 2 φ 150 W 2 2 ϕ = = = 0.75 W/cm = 7500 W/m 2 A s 201.1cm Le prix de revient annuel de l électricité consommée par la lampe Consommation électrique annuelle = 0, / 438/ Prix de revient=438/4/ 20

21 1.7 Une résistance électrique est placée dans une chambre, pour élever la température de cette dernière de 7 à 25 C en 20 min. Déterminez la puissance nécessaire de la résistance m 3 W e 7 C Hypothèse : 1) L air est considéré comme étant un gas parfait. 2) La variation de l énergie cinétique et de l énergie potentielle de l air est négligeable 3) Les fuites thermiques dans la chambre sont négligeables. Propriétés: L a constant de l air est : R = kpa.m 3 /kg. K. La chaleur spécifique de l air est : C p = kj/kg K à la température de la chambre. Réponse : or, Ein Eout = ΔE system W W e, in e, in = ΔU, = ΔH = m( h2 h1 ) mc p ( T2 T1 ) W& Δ t = mc ( T T ) ein, p, ave 2 1 La masse de l air est de: V = 4 5 6= 120 m3 m = PV 1 (100 kpa)(120 m 3) = = kg RT (0.287 kpa m 3 / kg K)(280 K) 1 Utilisant C P à la température de la chambre, la puissance nécessaire de la résistance est: & e, in W o = (149.3 kg)(1.007 kj/kg C)(25 7) C/(15 60 s) = 3.01 kw o 21

22 Département de Physique Transfert de Chaleur S.BOUGHALI Chap. II CONDUCTION DE CHALEUR EN REGIME STATIONNAIRE UNIDIMENSIONNEL Dans la conduction thermique il existe 2 cas : Conduction avec une source de chaleur interne 0. Conduction sans source de chaleur interne Conduction morte : Si on suppose une conduction morte et stationnaire 0, 0 de même est constante. On aura l équation générale de la conduction qui s écrira sous la forme :. 1) Cas d une plaque d épaisseur (e) T 1 T 2 0 x e La chaleur se propage perpendiculairement à la plaque (suivant ox) On aura : 0 Pour déterminer A et B il faut connaître les conditions aux limites : 0, ù On peut déterminer le flux thermique traversant la plaque a l aide de la loi de FOURIER. 22

23 2) Plaque dont les surfaces sont juxtaposées à un fluide h 1 T 1 T 2 h 2 T f1 0 T f2 x T f1 = Température du fluide N 1 T f2 = Température du fluide N 2 T 1, T 2 = Température des surfaces séparant les fluides du corps solides Fluide N 1 Corps solide Fluide N Pour déterminer la valeur de la température à une distance x de la paroi on a : ù En remplaçant à On tire : 3) Cas d un tube cylindrique (cylindre creux) R int (Ti) R ext (T ext ) 23

24 On suppose que la chaleur se déplace suivant le rayon (radial). Surface du plan à une distance r du centre est A(r) tel que La résistance de la conduction de chaleur d un cylindre creux est donnée par : Lorsque le cylindre creux est constitué de plusieurs couches cylindriques de différentes conductivités et de différentes épaisseurs. Un calcul analogue a celui du cylindre creux peut être appliqué pour la détermination de la résistance thermique. On aura alors : 4) Cas d une sphère creuse: R 2 R 1 rr T2 T1 R 1 = rayon interne R 2 = rayon externe T1 = température de surface interne T2 = température de surface externe A une distance r du centre la chaleur se déplace a travers la surface A(r) tel que : 4 ù

25 En intégrant l équation (1) en considérant = constant entre les points (1) et (2), on aura : La résistance de la conduction thermique est égale dans ce cas à : 5) Cylindre creux à surface latérale isotherme: L équation générale de la conduction Régime permanent 0 Conduction morte 0 On aura en coordonnées cylindriques Si on suppose que le transfert est unidimensionnel et radial (suivant le rayon du cylindre), on aura l équation de la conduction de la forme: 1 0 La résolution de cette équation différentielle du second ordre nous donne : Le flux thermique traversant la surface cylindrique S de longueur L On remarque que est constant et ne dépend pas de r 0 à. 0 à. 6) Sphère creuse à surface isotherme: Sphère creuse de rayon intérieur et extérieur à ses surfaces limitées à des températures limites T 1 et T sin. sin 1 Puisque le transfert est unidimensionnel (radial) on aura :

26 La solution de cette équation différentielle nous donne : On en déduit le flux thermique remarque que est constante et ne dépend pas de r. De même on déduit la résistance thermique On 2.2 Conduction morte : Ce phénomène peut être présenté dans les différents cas suivants : Fil conducteur traverse par un courant électrique. Plaque chauffante. Réacteur nucléaire. Cette chaleur dégagée de la source peut être uniforme ou non uniforme (lié au temps, à l espace, etc.) Dans notre cas on étudie la conduction vive avec une source de chaleur par unité de volume uniforme. 1) Plaque plane : T 1 q T 2 0 x e 0 L équation de conduction de chaleur régime permanent, avec source de chaleur. 0 : On remarque que l allure de T(x) est parabolique, contrairement à l allure linéaire dans le cas d une conduite morte. Des conditions aux limites, on calcule les constantes A et B. 26

27 ù D après l allure de T(x) qui est parabolique, on peut avoir une valeur de température maximale ou minimale suivant qu on a une source de chaleur 0 ou un puit 0. La température est maximale pour pour la position x m tel que Le flux thermique traversant la plaque est égale à : On remarque que le flux varie linéairement avec x. 2) Cylindre plein On suppose que, régime permanent et que le transfert de chaleur est radial. L équation de chaleur s écrira alors 0 et puisque le transfert est radial seulement on aura : D où 3) Sphère pleine Si le transfert est radial et le régime est permanent avec une source de chaleur constante, l équation de la conduction s écrira 0 Sa solution s écrit comme suit :.(2) Température au centre de la sphère (r=0) 6 De (2) Le flux thermique à travers une surface S(r) de la sphère. 27

28 2.3 Ailettes : On remarque parfois que le flux thermique échangé entre un corps et le milieu extérieur est faible. Si on veut augmenter cet échange ; on a d après la Loi de Newton Soit l augmentation de h (choisir un fluide à h élevé). Soit augmenter la surface d échange S. Généralement on procède à l augmentation de la surface d échange en ajoutant des surfaces à la surface du corps initiale. Ces surfaces ajoutées sont appelées ailettes. Ces ailettes sont utilisées, en particulier dans les échangeurs industriels, les radiateurs de véhicule, de chauffage centrale et pour le refroidissement des montages électroniques. Elles permettent d augmenter l échange thermique entre un corps solide et le milieu environnant. Il existe des ailettes de section uniforme (rectangulaire, circulaire) et des ailettes de section non uniforme (triangulaire, conique..). Avant de commencer l étude des ailettes un certain nombre d hypothèse sont établies dans le but de simplifier l analyse. L épaisseur de l ailette (e) très petite devant sa longueur(l), ce qui nous permet de dire que la température est constante dans n importe quelle section de l ailette. (La température change suivant la longueur de l ailette seulement). Le transfert de chaleur est unidimensionnel L ailette est constituée d une matière isotrope. Le coefficient de convection, La température de contact entre la base de l ailette et la surface initiale est égale à T 0. Régime stationnaire. 28

29 2.3.1 Ailette longitudinale uniforme (section uniforme) Ailette longitudinale de forme rectangulaire d épaisseur(e), de longueur(l) et de largeur l. Surface de la section de l ailette A=l*e Température de la base de l ailette T 0 La surface libre de l ailette est en contact avec un fluide de coefficient convectif h et de température T f 29

30 On prend un volume élémentaire situé entre x et x+dx et on écrit le bilan thermique de ce volume. -Le flux thermique qui rentre dans le volume élémentaire à l abscisse x est : -Le flux thermique sortant du volume élémentaire à l abscisse x+dx est : -Le flux thermique sortant par convection de la surface latérale est :. 2 -Le bilan thermique de ce volume élémentaire est : -En développant on aura : -En réalité, l équation ci-dessus représente l équation de transfert de chaleur stationnaire à l intérieur de l ailette de section uniforme ou non uniforme. -De l équation ci-dessus on a : en posant: : La solution de cette equation differentielle de second ordre sans second membre est de la forme : -On détermine les constantes A 1, A 2,B 1, B 2 des conditions aux limites Ailette longitudinale non uniforme: dx x ds A(x) 30

31 -Régime stationnaire -A(x) Surface de section variable en fonction de x -ds(x) Surface latérale du volume élémentaire -Le bilan thermique applique au volume élémentaire (dv) compris entre x et x+dx nous donne : =Flux thermique entrant dans le volume élémentaire (dv) a une distance x. = // sortant du // // x+dx = // // // // par convection En remplaçant dans l équation ci-dessus du bilan thermique, après avoir fait un développement de Taylor, on obtient :. On peut retrouver l équation de l ailette de section uniforme en posant: A(x) =contant et ds= Pdx on aura : Rendement de l ailette : Pour préciser la qualité et le rendement de l ailette, on compare sa performance effective à celle d une ailette idéale de température uniforme égale à la température de sa base. Une telle ailette devrait être réalisée en un matériau de conductivité thermique infini. éé é 31

32 EXERCICES D APPLICATIONS : 2.1 Soit un mur plan d épaisseur e=0.2m, conductivité =1.2W/m. C et de surface S=15m 2. Les deux faces du mur sont maintenues à des températures de T 1 =120 C et T 2 = 50 C (voir figure). 1) Déterminer le profil de température dans le mur et la valeur de température à x=0.1m 2) Calculer le flux de chaleur à travers le mur dans les conditions stationnaires. Mur plan T 1 =120 C e=0.2m T 2= 50 C o L x Réponse : 1) T(x)= -350X +120 T(0.1)=85 C 2) Φ=6300W 32

33 2.2 Soit un mur d épaisseur 40cm dont la température de sa face intérieur est de 80 0 C et sa face extérieur est juxtaposée à un fluide de température 15 0 C (voir figure). La conductivité thermique est constante 2,3, regime stationnaire, conduction unidimensionnelle et pas de source interne. Déterminez le profil de température dans le mur ainsi que le flux thermique. T 1 =80 C 2 k L=0.4 m T =15 C h 24 W/ 2 C x Réponse : Le profil de température est: T(x) = -131, Le flux de chaleur traversant le mur est de : 2.3 Un air comprime circulant dans un pipe enveloppé à sa surface par une résistance chauffante de 300W (voir figure). Le transfert de chaleur se fait par conduction vers la surface extérieure de rayon r 2 et par convection au niveau de la surface intérieur de rayon r 1. Le rayon extérieur du pipe r 2 est égale à 0,04 m.on note que 85% des 300 W délivrées par la résistance est transféré au pipe c'est-à-dire à l air comprimé. On suppose que le transfert est radial et stationnaire et que la conductivité est constante et égale à 14 W/m C. -Déterminez le profil de température T(r). -La température de la surface intérieur (r 1 ) et extérieur (r 2 ) du pipe. r 2 r Heater Air, 10 C r 1 L=6 m 33

34 Réponse: r -T(r)= ln r 1 Température de surface : Pour r=r 1 T=-3,91 C Pour r=r 2 T=-3,87 C 2.4 Le profil de température à travers un mur de 1m d'épaisseur à un certain temps t est donné par : T(x) = a + bx + cx 2 où T est donnée en degré Celcius, x en mètre, a =900 0 C, b= C/m et c= C/m 2. Une source de chaleur uniforme q. =1000 W/m 3 se trouve á l'intérieur du mur de surface 10 m 2 3 dont les propriétés sont ρ = 1600kg / m, λ = 40 W et m. K KJ c = 4.1) Calculer le taux de transfert de chaleur entrant dans le mur (x=0) p kg. K et sortant du mur (x=1m) 2) Calculer le taux de change de l'énergie stockée dans le mur. 3) Déterminer le taux de changement temporelle de la température pour x=0, x=0.25, et x=0.5m. (c.a.d. calculer T ). t Réponse : 1), 2) 3),. / 2.5 Des ailettes sont attachées sur l une des faces d une plaque chauffante, afin de dégager le maximum de chaleur vers le milieu extérieur (voir figure). On suppose qu on est dans un régime stationnaire, transfert unidimensionnel (normal à la plaque), propriétés thermiques de la plaque et des ailettes sont constantes et la conductivité thermique est égale à = 237 W/m C. -Déterminez le flux de chaleur transféré par une plaque de 1mx1m, ainsi que 3 cm l efficacité des ailettes. D=0.25 cm Réponse :,, 0.6 cm 34

35 CHAP III CONDUCTION DE CHALEUR EN REGIME STATIONNAIRE MULTIDIMENSIONNEL 3.1 Introduction Dans le chapitre précédant on a étudié le transfert de chaleur unidimensionnel, mais en réalité et d une façon générale le transfert de chaleur peut se faire dans 2 ou 3 directions, selon les conditions spécifiques. On peut rencontrer ces cas comme par exemple : Mur épais Chauffage ou refroidissement non uniforme Ailette d épaisseur non négligeable devant la longueur et la largeur. 3.2 Méthode analytique de séparation de variable : Pour un corps isotrope et homogène, en régime permanent et sans sources de chaleur, l équation générale de la conduction se réduit à 0 Soit la plaque rectangulaire illustrée ci-dessous. On essaye de déterminer la distribution de la température dans cette plaque en fonction de x et y. Y 1 T=O T=0 O T=0 L x 35

36 Posons,. 0 λ 1 1 λ 0 λ 0 Dont la solution générale s exprime par : Soit l expression de la température : λ λ λ λ λ T,.λ λ λ λ Les conditions limites permettront d évaluer les constantes : 0λ λ 0 0 λ λ λ λ 00 0 λ λ λ 2λλ 0 La solution de cette dernière équation impose que sin (λ L) soit nul c'est-à-dire que λ L λ 1,2,3, ou l existence d une infinité de solution dont la somme est aussi solution de cette équation. Cette dernière s exprime par :,. La dernière condition aux limites permet l évaluation de la constante, 1.1 et impose que seule la constante C 1 est nécessaire. Elle s exprime par : et la distribution de la température s exprime finalement par :. 36

37 ,. 3.3 Méthode du coefficient de forme : Souvent les différentes formes des objets sont non homogènes et complexes, ce qui rend la résolution analytiques du transfert de chaleur de ces corps très compliquée et presque impossible. A cet effet d autres méthodes graphiques et numériques sont susceptibles de nous donner des solutions approchées. Pour la méthode graphique, il faut être très habile pour bien découper l objet à analyser en plusieurs petit carré de coté droit ou curviligne, épousant la forme générale de l objet ; en traçant les lignes isothermes et les lignes du flux thermique. Les lignes isothermes doivent être perpendiculaires aux lignes des flux thermiques. Les cotés curvilignes des carrés doivent être plus ou moins égaux. Q 1 Q 2 A B Ligne du flux thermique Q 3 Isothermes T 1 T 2 Q 4 C D T i T i+1 Q 3 Soit une enceinte tridimensionnelle, après la découpe de cette dernière en différents éléments, on obtient un réseau de petit carré et on calcule le flux traversant chacun d eux (voir figure ci-dessus). On remarque que le transfert de chaleur se fait suivant 4 37

38 canaux qui sont délimités par les lignes du flux thermique. On peut calculer cette chaleur transmise par : L élément de carré ci-dessus représente l un des carrés qui sont balayés par le flux Q 3 En appliquant l équation de Fourier,( en supposant que l unité de longueur est dans la direction perpendiculaire au plan de la feuille), sur ce élément on obtient : λ λ On remarque que est constant par rapport au canal du flux thermique où circule la λ chaleur, par conséquent les différences de température entre 2 isothermes consécutives quelconques tout le long du canal sont égaux, ce qui fait qu on peut écrire : Avec M représentant le nombre de classe égale en différence de température entre 2 isothermes consécutives, en comparant les 2 dernières équations on a : λ En faisant le même raisonnement avec les 3 autres canaux on aura : λ D où le transfert de chaleur moyen par unité de longueur de l enceinte est : 4λ Si on symbolise par N le nombre de canaux relatifs aux flux thermiques, l équation cidessus s écrit d une façon générale: λ La validité de cette équation est corollée avec la condition Finalement on peut écrire l équation de transfert de chaleur comme suit : λ Où F est appelé le facteur de forme de conduction. Ce dernier est lié à la forme, aux dimensions et aux surfaces isothermes. On a vu utile de citer ci-dessous le facteur de forme de quelques configurations usuelles: (Frank P. INCROPERA and David P. Dewitt. Fundamentals of heat and mass transfer.) 38

39 39

40 3.4 Méthodes numériques Les méthodes de résolution numériques sont des méthodes approximatives qu on utilise très souvent pour solutionner les différents problèmes physiques. Ces méthodes sont basées sur les techniques des différences finies qui consiste à discrétiser le domaine à étudier en une série d éléments finis. On considère que la température au niveau de chaque élément est constante et égale à celle de son centre. Soit un domaine plan ou on applique un maillage uniforme de pas Δx et Δy (voir figure ci-dessous). Appliquons l équation de transfert de chaleur par conduction pour ce domaine. 40

41 0 Calculons les dérivées partielles en fonction de cette discrétisation.,,,,,,,,,,,,, 1 2, 1 2, 1, 1, 2,, 1 2, 1 2,, 1, 1 2, L équation de Laplace sera de la forme : 1, 1, 2,, 1, 1 2, 0 Si on aura:,,,,, La résolution de l équation de chaleur se fera d après la méthode itérative de Gauss Seidel qui s annonce comme suit Maillage du système à analyser avec généralement un pas Affectation à chaque nœud du maillage une certaine température arbitraire, plus ou moins réaliste (voir par exemple les températures imposées aux contours et choisir des grandeurs de même ordre). Calcul des nouvelles valeurs de température au niveau de chaque nœud, en utilisant l équation aux différences finies qui lui est associés. Les valeurs recalculées sont immédiatement prises en compte pour le calcul de la valeur de la température T aux points d ordre supérieur (droite, gauche, dessus et dessous). Poursuite des calculs jusqu'à ce que la différence entre les valeurs des températures aux étapes n et n-1 soit négligeable (inferieur à une valeur é) 41

42 EXERCICES D APPLICATIONS : 3.1 Déterminez la distribution de température T(x,y)dans la longue barre rectangulaire, dont la section est représentée ci-dessous. T=0 b T=0 T=0 T=100 a Réponse:, 3.2 Une eau chaude et une eau froide circulant parallèlement dans 2 pipes en béton, de conductivité constante =0.75 W/m C.comme illustrée ci-dessous. Déterminez le taux de transfert de chaleur entre ces 2 pipes ; en supposant qu on est dans des conditions stationnaires et que le transfert est bidimensionnel (pas de changement dans la direction axiale). T 1 = 60 C T 2 = 15 C Réponse : z = 40 cm L = 8 m D = 5 cm Le taux de transfert entre ces 2 pipes est égal a : 3.3. Les surfaces intérieures et extérieures d une canalisation en béton, de conductivité constante = 0.75 W/m C, sont maintenues à des températures respectives de 100 et de 15 C (voir figure ci-dessous). En supposant qu on est dans le régime stationnaire et que le transfert est en bidimensionnel. Calculez le taux de transfert de chaleur à travers les murs de la canalisation. 42

43 15 C 100 C 16 cm Réponse : 20 cm Le transfert de chaleur à travers les murs de la canalisation est égale à:. 3.4 Une cuve contenant du matériel radioactif est enterrée sous sol. La cuve et la surface de la terre sont maintenues à des températures spécifiques (voir figure). La conductivité thermique du sol est constante et égale a : =1.4 W/m C. Régime stationnaire et transfert bidimensionnel. Déterminez le taux de transfert de chaleur de la cuve. T 2 =15 C z = 5.5 m T 1 = 140 C D = 3 m Réponse: Le taux de transfert de chaleur de la cuve est : 3.5 Une plaque en aluminium de largeur L=8cm, initialement à une température uniforme est soumise à une isolation dans une face et à une convection dans l autre face. La conductivité thermique = 28 W/m C et la diffusivité α = m /s.on suppose que le transfert de chaleur est unidimensionnel vu que l épaisseur de la plaque est négligeable devant sa largeur ; de même que le transfert de chaleur par rayonnement de la plaque est négligeable. La formulation du problème transitoire en différences finies doit être formulée et la température des nœuds après 5min en régime permanent doit être déterminée, sachant que l espace nodal estδx = 0.02 m. Réponse: T 0 =2420 C, T 1 =2413 C, T 2 =2391 C, T 3 =2356 C, et T 4 =2306 C 43

44 Chap4. CONDUCTION THERMIQUE-REGIME VARIABLE 4.1 Introduction Dans les chapitres précédents, on a suppose que la température à l intérieur du corps ne varie pas avec le temps. En réalité, la température à l intérieur des corps généralement change avec le temps. D après les expériences, on remarque généralement que le régime permanent représente l état final du régime variable. Lorsque après un temps relativement long, la température du corps tend vers une valeur finale. Pour l étude de la conduction en régime variable, il faut connaître les conditions aux limites spatiales et temporelles. 4.2 Conduction en régime variable et unidimensionnel : Pour simplifier on suppose que la conduction en régime variable est unidimensionnelle, On remarque les cas suivants : a) Corps minces Dans ce cas la température dépend uniquement du temps (t) et est indépendante de la dimension x, la température peut y être considérée comme uniforme. b) Corps épais Pour les systèmes épais, la temperature est fonction du point considéré et du temps. c) Nombre sans dimensions: On utilise les nombres adimensionnels de Biot et de Fourier, pour pouvoir comparer les différents problèmes correspondants aux différentes valeurs des paramètres géométriques et thermiques. 1) Nombre de Biot Le nombre de Biot est le rapport de la résistance thermique interne d un corps (conduction), à sa résistance thermique de surface (convection+rayonnement), dans la direction de propagation de la chaleur. On le note B i. λ 1 λ λ. Systèmes minces : : 0,1 λ Systèmes épais :, : 0,1 44

45 Corps minces: résistance thermique interne de conduction négligeable, et cela si : épaisseur très petite, conduction très grande. Corps épais : résistance thermique convective négligeable et cela si h très grand. Généralement, on détermine la longueur caractéristique d un corps par :, Exemple de quelque longueur caractéristique Forme géométrique Longueur caractéristique (L c ) Plaque d épaisseur 2L L Cylindre long de rayon r r/2 Sphère de rayon r r/3 Cube d arrêt a a/6 2) Nombre de Fourier : Le nombre de Fourier est le rapport d un terme at, de dimension L 2,correspondant au carré de la profondeur de pénétration d une perturbation thermique dans un corps au bout du temps t, au carré d une longueur caractéristique du corps. λ éé. * L utilisation des nombres Bi et F 0 permet de résoudre certains problèmes pratiques par simple lecture d abaque. * à titre d exemple on va appliquer le critère de Biot au cas de refroidissement d une billette d acier, de forme cubique dans l air ou dans un liquide de trempe. *les valeurs des coefficients d échange ont été déterminés pour les conditions suivantes : Acier :L c = 0,05m, λ acier = 46W/m 0 K. Refroidissement de la billette au cours de la trempe de C à 50 0 C *On pose la billette d acier a l air libre (fluide-air), on détermine, d après les tableaux spécifiques, le coefficient de convection h de l air qui est égale à h 10. On suppose que le fluide soit un liquide, on détermine d après les tableaux 45

46 h liq REMARQUE : Pour déterminer h du fluide, on prend la valeur moyenne de la température du film en contact avec la paroi de la billette Soit 375 D après les tableaux pour T f =375, on tire h, 0,010,1., 0,01 On peut en conclure que l hypothèse du corps mince de température T uniforme au cours du temps est légitime pour le refroidissement dans l air, mais ne l est pas dans le cas du liquide. d) Système de corps minces : Soit un corps métallique, préalablement chauffé à température T i, puis brusquement immergé dans un fluide froid de température T f. La distribution interne des températures va dépendre des propriétés thermiques du matériau et des échanges avec le fluide, c'est-à-dire du coefficient h Si la résistance thermique interne (conduction dans le corps) est faible devant la résistance externe (convection à la surface) on peut admettre raisonnablement une distribution de température uniforme dans le corps à tout instant. Le transfert de chaleur résulte alors de l écart de temperature existant dans le film fluide en contact avec la paroi. Cette hypothèse est d autant plus exacte que le corps est petit et que sa conductivité est grande. La quantité de chaleur transmise au fluide par convection pendant le temps dt est égal à la diminution d énergie interne du corps. 1 Ln En intégrant l équation (1) et en utilisant les conditions aux limites on aura : 46

47 ..2 L équation (2) est analogue à celle décrivant la décharge d un condensateur électrique qui est de la forme exp On peut remarquer que est sans dimension et qu on peut alors l écrire en fonction de Bi etf 0 e) Chaleur échangée entre le corps et le fluide : A l instant (dt) cette quantité de chaleur est égale à: En intégrant entre 0 et t on aura : 1 1 é éé : f) Cas général de solide Dans le cas général où la résistance thermique interne du corps et la résistance thermique surfacique de convection ne sont pas négligeables alors la temperature sera fonction de temps et de l espace. Cas d un corps homogène (λ =cste) et sans source interne ()=0 L équation de chaleur sera de la forme : 1- Cas d une plaque d épaisseur 2L: X 2L -On suppose que la conduction thermique est variable en fonction du temps et unidimensionnelle. T = T(x,t) 47

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