Peinture d une pièce. HSP est l abréviation de Hauteur Sous Plafond

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1 Automath Situations problèmes Bassin Un bassin de 70 m 3 n est rempli qu au quart de sa capacité. Pour compléter le niveau d eau, Ursule veut utiliser une pompe qui délivre 00 litres par minute. a) Combien de temps doit prévoir Ursule faire le plein du bassin? b) Soit t la durée, en heures, de fonctionnement de la pompe. On note V(t) le volume d eau dans le bassin, en m 3, au bout de t heures de fonctionnement de la pompe. Ecrire V(t) en fonction de t Peinture d une pièce HSP est l abréviation de Hauteur Sous Plafond ) Ursule repeint l intérieur de la pièce. Pour peindre 8 m, Ursule a utilisé,7 litres de peinture. Combien de litres de peinture devrait-il utiliser pour peindre tous les murs de la pièce.? ) On appelle x l aire déjà peinte exprimée en m. On appelle f la fonction qui à x associe le volume, en litres, de peinture déjà utilisé. Donner l ensemble de définition de f et exprimer f(x) en fonction de x.

2 Espace et fonctions économiques Pour aider à financer un voyage scolaire, la classe d Ursule fabrique des décorations pour Noël. Il s agit de pyramides à base rectangulaire de dimension 6 cm sur 4 cm. La hauteur des pyramides est de 8 cm. Voici le patron : ) O et N sont les milieux de deux arêtes (voir le patron). Une fois la pyramide montée, quelle est la longueur ON? ) Calculer l aire totale des faces de la pyramide. 3) Les pyramides sont construites avec du papier métallisé doré à 0 euros le m. Pour l achat de colle blanche et de petits matériels, la classe a investi 30 euros. Soit n le nombre de pyramides fabriquées. Sachant qu en comptant les découpes et les rabats pour pouvoir coller, il y a une perte de 40 % du papier acheté, estimer la fonction coût. 4) Les pyramides sont vendues 5 euros pièce (c est cher mais pour la «bonne» cause). Définir la fonction recette. 5) Estimer la fonction bénéfice. 6) Combien doit-on fabriquer de pyramides pour faire un bénéfice de 000 euros? est-ce raisonnable? Aire minimale ) Soit A(x) = (x 7) + 47 a) Développer A(x) b) Démontrer que pour tout x R, on a : A(x) 47 ) ABCD est un rectangle tel que AB = 6cm et AD = 8 cm. N est le point de [AD] tel que AN = AM. H est le point tel que AMHN soit un carré. P est le point d intersection de (AB) et de (BC). I est le point d intersection de (AB) et de (AD). On admet que HPCI, NHID et MBPH sont des rectangles. On pose t = AM. On considère la fonction f qui à t (en cm) associe l aire grisée (en cm ). a) Quelle est l ensemble de définition de f? b) Ecrire f(t) en fonction de t c) Où placer M pour que l aire grisée soit minimale? Variations d aires ) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 6 + x a) Prouver que f est décroissante sur ] ; 0 ] b) En admettant que f est croissante sur [ 0 ; + [, donner le tableau de variation de f

3 ) (O ; I ; J) est un repère orthonormé. On donne les points : D(8 ; 0) C(8 ; 8) B(0 ; 8) a) Démontrer que OBCD est un carré. b) Calculer les coordonnées de K le milieu de [OD] c) Soit g la fonction dont la droite (OC) est la représentation graphique. Déterminer g. d) Soit h la fonction dont la droite (BD) est la représentation graphique. Déterminer h. 3) On pose t = x M x K ABCD est un rectangle tel que AB = 6cm et AD = 8 cm. a) Quelles sont les valeurs possibles pour t? b) Soit N le point d abscisse x M et d ordonnée g(x M ). Ecrire les coordonnées de N en fonction de t. c) Soit P le point d abscisse x M et d ordonnée h(x M ). Ecrire les coordonnées de P en fonction de t. d) Montrer que : OM = MN = (t + 4) e) Montrer que : DM = PM = (t 4) f) On considère la proposition «pour tout t R, (t 4) = t 4» Cette proposition est-elle vraie ou fausse? Justifier. g) On considère la proposition «pour tout t R, (t 4) = (4 t)» Cette proposition est-elle vraie ou fausse? Justifier. 4) Soit p la fonction qui à t associe l aire grisée a) Donner l ensemble de définition de p b) Ecrire p(t) en fonction de t c) Décrire, par des phrases, les variations de l aire grisée lorsque t parcourt l ensemble de définition. Volume maximal Dans une feuille cartonnée de 0 cm de côté, on découpe un petit carré à chaque coin. Les quatre petits carrés obtenus sont superposables. On obtient ainsi le patron d une boite sans couvercle. Conjecturer, éventuellement à l aide de la calculatrice, comment obtenir un volume maximal. Bassin Question a L = dm 3 donc m 3 = 000 litres Pour se corriger Le volume d eau en m 3 présent actuellement dans le bassin : 70 = 7,5 m3 Il reste à remplir : 70 7,5 = 5,5 m 3 soit litres La pompe délivre 00 litres en par minute donc litres en 55 minutes. Ursule doit prévoir 55 minutes (soit 8 heures 45 minutes). 4 Autre fin : A débit constant, le volume délivré est proportionnel à la durée de pompage. Durée en minutes Volume en litres

4 Question b 00 litres = 0, m 3 En minute, le volume pompé est de 0, m 3 En 60 minutes, le volume pompé est de 0, 60 m 3 Le débit est de : 6 m 3 /h En t heures, le volume pompé est de 6 t m 3 Le volume total est de : 7,5 + 6 t m 3 V(t) = 6 t + 7,5 V est une fonction affine. V(t) est formée d une partie fixe (le volume de départ et d une partie proportionnelle à la durée de remplissage). On remarque que le débit donne le coefficient directeur. Vérification : V(0) = 7,5 m 3 quantité d eau au début du pompage 55 min = 8,75 h la durée du pompage est de 8,75 heures V(8,75) 7, ,75 = 70 m 3 volume total du bassin Peinture d une pièce Question Calcul de la surface à peindre Périmètre de la pièce : = 3050 Le périmètre de la pièce est de 3050 cm soit 30,5 m Aire totale des murs de la pièce (porte et fenêtres compris) : 30,5,7 = 8, 35 m Aire de la porte : 0,9,9 =, 7 m Aire totale des fenêtres :,,4 + 0,6,4 +,5,4 = 4, 48 m Aire totale à peindre : 8,35,7 4,48 = 76, 6 m Volume de peinture Pour peindre 8 m, Ursule a utilisé,7 litres de peinture Pour peindre m, Ursule utilisera,7 = 0,35 litres 8 Ursule consomme 0,35 litres par m Pour 76,6 m : 76,6 0,35 = 6,656 Ursule devrait utiliser environ proportionnel à l aire à peindre. 6,7 litres de peinture sous réserve que le volume utilisé soit bien Question L aire peinte va varier de 60 à 76,6 au fur et à mesure de l avancé du travail. L ensemble de définition de f est : [ 0 ; 76,6 ] Sous réserve que le volume utilisé soit bien proportionnel à l aire à peindre, Pour peindre m, Ursule utilise 0,35 litres Pour peindre x m, il doit prévoir 0,35 x litres. f(x) = 0,35 x

5 Remarque : les images ont été supposées proportionnelles aux antécédents donc f est une fonction linéaire (fonction affine très particulière). D ailleurs, f(x) est de la forme ax avec a = 0,6. Vérification : f(8) = 4,8 litres quantité déjà utilisée pour peindre les 8 premiers m f(7,6) = 6,656 6,7 litres soit la quantité prévue pour la pièce Espace et fonctions économiques Question Une fois la pyramide assemblée, les points S, S, S 3, S 4 du patron coïncident pour donner le sommet S de la pyramide. Lors du pliage du triangle rectangle S 3 AD autour de l axe (AD), l angle S 3 AD reste droit. Lors du pliage du triangle rectangle S 4 A autour de l axe (AB), l angle S 4 AB reste droit. Ainsi, une fois la pyramide montée, sa hauteur sera [AS]. Dans le triangle SAD (sur la pyramide assemblée), Les points S, N, D sont alignés dans cet ordre Les points S, O, A sont alignés dans cet ordre Comme O est le milieu de [AS] : Comme N est le milieu de [AD] : Donc OS = NS AS AD OS = AS NS AD = D après la réciproque du théorème de Thalès, (AD) // (ON) De plus, d après le théorème de Thalès (que l on peut appliquer maintenant que les parallèles NS ont été justifiées), = SO = NO = donc NO = AD = 4 = cm AD SA AD Question Aire de la base ABCD : 6 4 = 4 cm Aire de la face SAD : Aire de la face SAB : AD AS = 4 8 = 6 cm AB AS = 6 8 = 4 cm Aire de la face SCD Dans le triangle SAD, rectangle en A, d après le théorème de Pythagore : SD = SA + AD = = 80 donc SD = 80 = 6 5 = 6 5 = 4 5 cm L aire de SAD: SD CD = = 5 cm

6 Aire de la face SBC Dans le triangle SAB, rectangle en A, d après le théorème de Pythagore : SB = SA + AB = = 00 donc SB = 00 = 0 cm L aire de SBC: SD CB = 0 4 = 0 cm Aire totale de la pyramide = ,83 cm Augmenter une quantité de 40 % revient à la multiplier par,4 En effet : sans augmentation ou baisse, la quantité finale représenterait de 00 % de la quantité initiale. Mais il faut ajouter 40 % de la quantité initiale : = 40 =, Question 3 Aire de papier à prévoir pour une pyramide :,4 (84 + 5) 55,7 cm 0,055 m Dépense de papier pour n pyramides : 0,055 n 0 0,55 n euros Fonction coût : Prenons l ensemble des entiers naturels comme ensemble de définition. Le coût total : C(n) ,55 n euros. Question 4 Fonction recette Prenons l ensemble des entiers naturels comme ensemble de définition. La recette est de n pyramide à 5 euros pièce : R(n) = 5 n euros. Question 5 Fonction bénéfice Prenons l ensemble des entiers naturels comme ensemble de définition. Le bénéfice est : B(n) = R(n) C(n) 5 n (30 + 0,55 n) = 4,845 n 30 euros. Question 6 On résout B(n) 000 4,845 n ,845 n 030 n 030 4,845 n,59 La classe va devoir fabriquer et vendre environ 3 pyramides. Dans une classe peu nombreuse de 30 élèves, cela va faire environ 7 pyramides par élèves Le projet semble raisonnable Aire minimale Question A(x) = (x 7) + 47 = (4x 8x + 49) + 47 = x 4x = x 4x + 48

7 Question A(x) 47 Ainsi, montrer que A(x) 47 (x 7) (x 7) 0 revient à montrer que (x 7) 0 Le carré de x 7 est toujours positif donc (x 7) 0 En multipliant chaque membre par qui est positif (x 7) 0 Donc, pour tout x R, on a : A(x) 47 Question 3a On doit avoir 0 AM AB donc 0 t 6 Dans ce cas, on a bien aussi et aussi 0 AB AD L ensemble de définition de f est [0 ; 6] Question 3b Aire du carré AMHN : AM = t Comme M [AB], MB = AB AM = 6 t et comme MBHM est un rectangle, HP = MB = 6 t Comme N [AD], ND = AD AN = 8 t et comme NHID est un rectangle, IH = ND = 8 t L aire du rectangle HPCI : HP HI = (6 t)(8 t) f(t) = t + (6 t)(8 t) = t t 8t + t = t 4t + 48 Question 3c On reconnait que f(t) = A(t) pour t [0 ; 6] Donc, d après la question, f(t) 47 De plus, f ( 7 ) = ( 7 7) + 47 = = 47 Comme 7 est bien dans [ 0 ; 7 ], donc la plus petite image possible est f (7 ) L aire minimale est 47 cm et pour l obtenir on doit placer M sur [AB] tel que : AM = 7 cm Variations d aires Question a Première méthode : à partir de la définition Soit u et v dans ] ; 0 ] avec u v f(u) f(v) = 6 + u (6 + v ) = u v Seconde méthode : en utilisant la fonction carré Soit u et v dans ] ; 0] avec u v = (u + v)(u v) Comme u et v sont dans ] ; 0], u + v est la somme de deux nombres négatifs donc est de signe Comme la fonction carré x x est décroissante sur ] ; 0 ], elle inverse l ordre en passant aux images u et v sont bien dans ] ; 0 ] Comme u v, u v 0 donc u v de signe D après la règles des signes, (u + v) (u v) est de signe + Donc f(u) f(v) 0 Donc f(u) f(v) Donc f inverse l ordre sur ] ; 0 ] Donc f est croissante sur ] ; 0] u v En ajoutant 6 à chaque membre, u + 6 v + 6 f(u) f(v) Donc f inverse l ordre sur ] ; 0 ] Donc f est croissante sur ] ; 0]

8 Question b Valeurs de x 0 + Variations de f 6 Question a BC = (x C x B ) + (y C x C ) = (8 0) + (8 8) = 64 = 8 OD = (8 0) + (0 0) = 64 = 8 OB = (0 0) + (8 0) = 64 = 8 CD = (8 8) + (0 8) = 64 = 8 Donc BC = OD = OB = CD Or si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur alors c est un losange Donc OBCD est un losange (donc un parallélogramme particulier) De plus, le repère est orthonormé, l angle DOC est droit Or si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle Donc OBCD est un rectangle OBCD est à la fois un rectangle et un losange alors c est un carré. Question b K milieu de [OD] donc x K = 0+8 = 4 et y K = 0+0 = 0 donc K(4 ; 0) Question c (OC) est une droite non parallèle à l axe des ordonnées donc la fonction g, dont (OC) est la représentation graphique est une fonction affine : g(x) = mx + p Comme C(8 ; 8) C g on a : g(8) = 8 Comme O(0 ; 0) C g on a : g(0) = 0 m = Variation des images = g(8) g(0) = 8 = donc g(x) = x + p Variation des antécédents Comme C(8 ; 8) C g 8 + p = 8 donc p = 0 Ainsi g(x) = x Question d (BD) est une droite non parallèle à l axe des ordonnées donc la fonction h, dont (BD) est la représentation graphique est une fonction affine : h(x) = mx + p Comme B(8 ; 0) C h on a : h(8) = 0 Comme D(0 ; 8) C h on a : h(0) = 8 m = Variation des images = h(8) h(0) = 8 = donc h(x) = x + p Variation des antécédents Comme B(8 ; 0) C h 8 + p = 0 donc p = 8 Ainsi h(x) = x + 8

9 Question 3a Comme M [OD], 0 x M 8 Comme x K = 4, en enlevant 4 à chaque membre, 4 x M x K 4 Donc 4 t 4 Question 3b Comme t = x M x K = x M 4, x N = x M = t + 4 et y N = f(x M ) = f(t + 4) = t + 4 Donc N(t + 4 ; t + 4) Question 3c y P = h(x P ) = h(x M ) = h(t + 4) = (t + 4) + 8 = 4 t Donc P(t + 4 ; 4 t) Question 3d O(0 ; 0) M(t + 4 ; 0) N(t + 4 ; t + 4) OM = (x M x O ) + (y M y O ) = (t + 4 0) + (0 0) = (t + 4) MN = (x N x M ) + (y M y N ) = (t + 4 (t + 4)) + (t + 4 0) = (t + 4) Donc OM = MN = (t + 4) Question 3e M(t + 4 ; 0) P(t + 4 ; 4 t) D(8 ; 0) DM = (t + 4 8) + (0 0) = (t 4) PM = (t + 4 (t + 4)) + (0 (4 t)) = (t 4) Donc DM = PM = (t 4) Question 3f Contre-exemple pour t = 5 (t 4) = ( 5 4) = ( 9) = 8 = 9 mais t 4 = ( 5) 4 = 9 Il existe un contre-exemple, la proposition (qui porte sur toute valeur de x) est donc fausse. Propriétés des racines carrées Pour tout x positif, x = x Pour tout x positif, x = x Pour x strictement négatif, x x Question 3g (t 4) = t 8t + 6 et (4 t) = 6 8t + t» Les expressions (t 4) et (4 t) sont égales à une même troisième expression donc elles sont égales entre elles. La proposition est vraie. Question 4a L ensemble de définition de p est l ensemble des valeurs possibles pour t : [ 4 ; 4] Question 4b OM = (t + 4 0) + (0 0) = (t + 4) Attention (t + 4) t + 4 pour t < 4 MN = (t + 4 (t + 4)) + (t + 4 0) = (t + 4) donc l aire du triangle OMN : OM MN = (t + 4) (t + 4) = (t+4)

10 DM = (t + 4 8) + (0 0) = (t 4) Attention (t 4) t 4 pour t < 4 PM = (t + 4 (t + 4)) + (0 (4 t)) = (t 4) donc l aire du triangle OMN : DM PM = (t 4) (t 4) = (t 4) p(t) = (t+4) + (t 4) = t +8t+6+t 8t+6 = t +3 = t + 6 Question 4c On remarque que : p(t) = f(t) pour 4 t 4 En reprenant la question b, on obtient le tableau de variation de p Valeurs de x Variations de p 6 Quand t augmente de 4 à 0 p(t) diminue de 3 à 6 Quand t augmente de 0 à 4 p(t) augmente de 6 à 3 Volume maximal Soit x la longueur en centimètres des côtés des petits carrés. Le carré qui sert de fond à la boite a ses côtés qui ont pour longueur 0 x cm La hauteur de la boite est x cm Le volume de la boite : V(x) = l L h = x(0 x) cm Les valeurs possibles pour x sont : 0 x 5 A l aide de la calculatrice, on représente le volume de la boite en fonction de x x Min = x Max = 6 y Min = 0 y Max = 90 sont des valeurs qui conviennent pour la fenêtre graphique. Attention seule la portion de courbe pour 0 x 5 nous intéresse! En passant en mode trace, il semble que le volume maximal soit environ 74, cm 3 et qu on l obtiennent pour x,67 cm. Avec les outils de la classe de première, nous pourrons trouver la valeur exacte atteinte pour x = et montrer qu elle est