6.1 Interférences multiples par division du front d onde

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Céline Dumouchel
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1 1 53 Chapitre 6 Interférence d ondes multiples 61 Interférences multiples par division du front d onde Un exemple d interférences multiples par division du front d onde est fourni par les spectromètres à réseaux d amplitude Ce sont des dispositifs qui imposent une variation périodique de l amplitude d une onde incidente On peut aussi réaliser des réseaux de phase qui donnent une variation périodique à la phase de l onde ainsi que des réseaux qui agissent sur l amplitude et la phase La caractéristique principale de ces réseaux est donc la périodicité Les autres caractéristiques sont la largeur du réseau et la largeur de son motif élémentaire 611 Diffraction de Fraunhofer par un réseau de fentes Le réseau le plus simple est constitué par un ensemble de fentes parallèles séparées de la distance, de largeur dans la direction et très larges dans la direction C est un réseau par transmittance A Amplitude complexe de l onde transmise D après les expressions de Fraunhofer on peut écrire : Pour une onde plane incidente selon un angle "! (61) par rapport à la perpendiculaire au plan du réseau et se propageant dans le plan # $, on a : %'& (62) où & ( est la fonction de transmittance du réseau Si les fentes sont des ouvertures rectangulaires de largeur on obtient après intégration : *)+ -, / : ; < =)>+ -, AB C', -? AB - (63)

2 D a D a a D b 54 CHAPITRE 6 INTERFÉRENCE D ONDES MULTIPLES où : et : EGFIH JK>L>MNH P JK>L O (64) QR SET@F D S D sinc EU T (65) donnant l amplitude de diffraction Fraunhoffer d une seule fente de largeur U BV Intensité de l onde diffractée On trouve à partir de (63) : W S ET@F D W S X T S D S \ D sincy EU T[Z H JK E]_^T ] S \ D H JK E^T ` S ET D donnée par : S ET@F D S \ D Z H JK E]_^T ] S \ D H JK E^T ` Y (66) La répartition de l intensité est donc donnée par le produit de la figure de diffraction d une fente par la fonction réseaua Y (67) CV Relation de Bragg S D La fonction réseau a sont donnés par la formule : ET est paire et périodique avec période b6c ^ Les pics de diffraction EGF=d c ^efdgf Xh6i h j j j (68) ce qui en utilisant (64) peut s écrire : ^ S H JK>L>MNH JK>L O T@F=d P (69) relation qui est connue dans le contexte de la diffraction de rayons-x par un crystal sous le nom de loi de Bragg On peut interpréter cette relation géométriquement en calculant la différence S k6\ de phase entre deux rayons passant par deux fentes successives La différence de phase est c P T ^ S H JK>LlM*H JK>L O T k \ et quand cette différence sera un nombre entier de il y aura interférence constructive On peut vérifier que pour le cas ]IF k S ET@F D W S X T S D sincy EU Tnm o S \ D H Y DV Largeur des pics de diffraction Autour d un pic EGF=d c ^>pq6r s avecq4r on trouve le résultat de l expérience de Young : E^T (610) st b c ^ on obtient : S ET/u D S \ Z H JK q s r ]_^T ] \ q6r s ^ ` Y (611)

3 62 INTERFÉRENCES MULTIPLES PAR DIVISION D AMPLITUDE 55 On obtient alorsvgw x y!z{} 6~ pour w 6 z ƒ n * ˆ 4Š4~ _Œ Pour g Ž : w 6 z ƒ ' = ˆ 4Š4~6 (612) ce qui correspond à une largeur angulaire : w z ƒ = ˆ 4Š4 ~ l (613) E Dispersion angulaire À partir de (69) : [ š š { œ Œn (614) F Pouvoir de résolution Deux longueurs d onde ƒn{} ž@ÿ š ~ et! '{ ž' š ~ pourront être séparées par le réseau si š { š (615) est supérieur à w z ƒ En utilisant (613) et (614) cette condition s écrit : œœ š _* ž ~ (616) On peut alors définir le pouvoir de résolution par : ˆv ˆ ž š { œ Œ { œ (617) 62 Interférences multiples par division d amplitude 621 Interféromètre de Fabry-Pérot Il s agit ici des interférences multiples par division d amplitude Très utilisé en spectrométrie il est aussi importante comme étalon de fréquence et comme cavité résonante dans les lasers Il est constitué de deux miroirs parallèles face à face à une distance

4 º ß» ß ã Ï ª ½ Á ± º ± ½ ³ 56 CHAPITRE 6 INTERFÉRENCE D ONDES MULTIPLES A Amplitude complexe de l onde transmise Soit l amplitude complexe de l onde incidente L amplitude totale de l onde transmise est : Nª ª}º!«±/²³n µ ª}» ' µ±! ± ' µ> ' = ¹ ª ½4¾ (618) où «± est le factor de transmission, µ ± celui de réflexion, et ¼ la phase accumulée pendant le trajet aller-retour d un miroir à l autre Comme la raison de cette progression géométrique est en valeur absolue inférieure à l unité, on obtient : ª B Intensité de l onde transmise!«à ± ³ (619) ³'ÁNµ Â ª Â «± ª Â ÆÇ È[É Ê ³/ µ ± Á µàã Ä4Å ¼ ¼(Ë (620) Â ÆÇ È ª É Ê Â _Ì «± (621) ³ÁÍµGÎ et ¼(Ë est la fonction d Airy : É Ê ª ¼(Ë ³ ³/ ÐÏÑÅ ÒÓ!± Ê (622) ¼(Ô Ë avec : ªÖÕ Ê µ (623) ³'ÁNµ Ë ± qu on appelle le facteur de finesse La fonction d Airy est une fonction paire, ª*½ symétrique, Ø constituée Øgª=ÚÛ d une Ü Û succession Ý Ý Ý de pics dont le profil es lorentzien En effet, pour¼ ŃÙ ¼ avec etù ¼_Þ, on a : avec une largeur à mi-hauteur : É Ê Ù ¼(Ë Ù ¼(ß ± ª ³ ³/ ÐÏÙ ¼ ± Ô Õ (624) ª ½ Ê ³ÁNµ Ë µ ß (625) ± ªàÕ Ï ß ± 622 Interférences dans les lames minces Lame mince d indice á, d épaisseur uniforme ± qui sépare deux milieux d indices áß et á ª á ß Á á á ß á ±»6â» ª ß ã á ± Á á (626) ± á ± á ª ½ á ß º â ª ½ á ß á ß á ± ª ½ ± á ± á ß ã á á ± (627) ± á Pour une incidence normale du milieu 1 vers la lame, on a pour les coefficients de réflexion : et pour les coefficients de transmission :

5 é ë é ò ç ç ë 62 INTERFÉRENCES MULTIPLES PAR DIVISION D AMPLITUDE 57 Aä Onde réflechie å æ ç å èéðê6ë(ìní ëí îë ê!ð èñ'ò ó ìnê ê îë ð èñ ì ò ê ê îë ð èñ4ô ì=õ õ õô On a : (628) avec La somme entre parenthèses est une progression géométrique avec une raison de valeur absolue inférieure à l unité On peut donc écrire : é* ò ø ð ô et donc (en utilisant ê îë é ù ê6ë et å æ å è é=ê ë ì í ëí îë ê!ð èñ ó'ù ê ê îë ð èñ í ëí îë é óù ê ë ) : å æ å è é ê ë ìnê ð èñ ó ìnê ê ë ð èñ é ê ë ìnê ì ø ó ê ë ê!ü ýþ ìnê ë ê ì ø ê ë ê!ü ýþ Le rapport des intensités de l onde réfléchie sur l onde incidente est alors : Si ê ë et ê ú æ ú û ú æ é=ê ë ìnê ì ø ê ë ê!ü ýþ (629) (630) (631) sont de l ordre de 0,1-0,4 (air - verre par exemple) : ú û (632) Bä Onde transmise et donc : å ÿ é í ëí!ð èñ ò ó û ìnê ê6îë ð èñ ì ò ê ê îë ð èñô ì=õ õ õô í ëí!ð èñ óù ê ê îë ð èñ å ÿ û é ó í ë í ìnê ë ê ì ø ê6ë ê ü ý4þ (633) (634) Le rapport des intensités transmises et incidentes n est pas donné par (634), sauf dans le cas En effet, l intensité d une onde lumineuse ú û étant inversement proportionnelle à la et On obtient alors : ú ÿ vitesse de phase, il s ensuit que ú ÿ é ò ú û En utilisant, å ÿ å ÿ ë ô ó í ë í ìnê ë ê ì ø ê6ë ê ü ýþ ë ô í ë í é ò óù ê ë ôò ó'ù ê ô (635) (636)

6 < " + " 58 CHAPITRE 6 INTERFÉRENCE D ONDES MULTIPLES on vérifie la relation de conservation de l énergie : Note : Une autre manière d aborder les problèmes avec des interfaces parallèles et incidence normale, est d écrire dans chaque milieu les ondes sous la forme : (637) pour le milieu 1,! #" $ (638) pour le milieu 2, et %! &" $ (639) pour l onde transmise dans le milieu 3 Les relations entre ces différentes amplitudes en '(*) sont alors données par : +,- /, 0,- /+, " (640) et en '1 0 En utilisant ces équations on en déduit : avec ,, 0+ 5 " (641) (642) Ce résultat permet d obtenir toutes les autres amplitudes, à savoir : 5 ; +, 5 2:3 (643), 5 ; +, (644), 5 +,#+, 5#=, 243 (645),

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