ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

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1 CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I Année 2002 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document : l utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l utilisation d une règle graduée est autorisée. Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. On considère une fonction réelle f de classe C sur [ ; ], et on note I(f) l intégrale : Pour tout entier naturel k non nul, on pose : R f(x)dx. M k (f) = sup f (k) (x); où f (k) désigne la dérivée d ordre k de f: x2[ ;] Les polynômes considérés sont à coe cients réels, et on confond polynôme et fonction polynomiale associée. Pour tout entier naturel m, on note R m [X] le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à m. On rappelle que si r ; r 2 ; : : : ; r p sont des racines réelles distinctes d un polynôme P, avec des multiplicités respectives k ; k 2 ; : : : ; k p, alors il existe un polynôme Q tel que P = Q (X r i ) k i pq. En n, a ; a 2 ; : : : ; a n désignent n réels deux à deux distincts de [ ; ], et on note A n le polynôme : A n = ny (X a i ) L objet de ce problème est l approximation de I(f) par des intégrales de fonctions polynomiales. Préliminaire. Énoncer le théorème de Rolle. 2. Soit g une fonction de classe C n sur [ ; ], s annulant en n + points distincts de [ ; ]. (a) Montrer que la dérivée de g s annule en au moins n points distincts de ] ; [. (b) Montrer qu il existe un réel c de ] ; [ tel que g (n) (c) = 0. i= i= /5

2 Partie I Dans cette partie, on va proposer comme valeur approchée de I(f) la valeur de l intégrale obtenue en remplaçant la fonction f par la fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n, introduite ci-dessous, qui coïncide avec f sur chacun des points a i. Pour tout entier i de f; 2; : : : ; ng, on note L i le polynôme : L i = Q (X a k ). k2f;:::;ng k6=i Par exemple, si n = 3, a =, a 2 = 0, et a 3 =, alors : L = X(X ), L 2 = (X )(X + ), L 3 = X(X + ).. (a) Véri er que, pour tous entiers i et j de f; 2; : : : ; ng, le réel L i (a j ) est nul lorsque i est di érent de j, et est non nul lorsque i est égal à j. (b) Montrer qu il existe un unique polynôme, que l on note P f, de degré inférieur ou égal à n, tel que, pour tout entier j de f; 2; : : : ; ng, on a l égalité P f (a j ) = f(a j ), et que ce polynôme est donné par la formule : nx f(a i ) P = L i (a i ) L i 2. Pour tout entier i de f; 2; : : : ; ng, on pose : i = L i (a i ) R P Montrer que : P f (x)dx = n i f(a i ). i= Dans toute la suite, on note : J n (f) = R i= R L i (x)dx. P P f (x)dx = n i f(a i ). 3. Que peut-on dire de I(f) et J n (f) lorsque f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n? 4. Soit x un élément xé de [ ; ], distinct de chacun des réels a i. (a) Justi er l existence d un réel véri ant l égalité : f(x) P f (x) A n (x) = 0. On note maintenant g l application qui à tout réel t de [ ; ] associe : i= g (t) = f(t) P f (t) A n (t) (b) Calculer g (a i ) pour chaque entier i de f; 2; : : : ; ng. (c) Montrer qu il existe un réel c de ] ; [ tel que g (n) (c) = 0, puis établir l égalité : = f (n) (c) 5. En déduire que, pour tout réel x de [ ; ], jf(x) P f (x)j 6 M n(f) ja n (x)j. puis établir l inégalité : J n (f)j 6 M n(f) Z ja n (x)j dx 6. Dans cette question, on suppose que a =, a n = et que a ; a 2 ; : : : ; a n sont répartis régulièrement, 2(i ) c est-à-dire que, pour tout entier i de f; 2; : : : ; ng, on a : a i = + n. (a) Soit k un entier tel que 6 k 6 n et soit x un réel de [a k ; a k+ ]. Justi er l inégalité : 2 ja n (x)j 6 ( n )n k!(n k)! 2/5

3 2 n (b) En déduire que, pour tout réel x de [ ; ], on a : ja n (x)j 6 (n )!. n (c) On admet que, quand l entier naturel p tend vers l in ni, on a l équivalence suivante : p! p p p 2p. e p!+ Partie II Montrer que, si l entier n est assez grand, on a, pour tout réel x de [ ; ], la majoration : 2 n ja n (x)j 6 e Dans cette partie, on va proposer comme valeur approchée de I(f) la valeur de l intégrale obtenue en remplaçant la fonction f par une certaine fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2n, qui réalise une approximation de f plus ne que la fonction polynomiale de la partie précédente. Pour tout polynôme Q, on note Q 0 le polynôme dérivé de Q.. On considère l application T de R 2n [X] dans R 2n dé nie par : 8Q 2 R 2n [X]; T (Q) = (Q(a ); Q(a 2 ); : : : ; Q(a n ); Q 0 (a ); Q 0 (a 2 ); : : : ; Q 0 (a n )) (a) Montrer que T est une application linéaire de R 2n [X] dans R 2n. (b) Montrer que T est injective (on rappelle qu un réel a est racine au moins double d un polynôme Q si et seulement si Q(a) = Q 0 (a) = 0). En déduire que T est bijective. (c) Utiliser la question précédente pour montrer qu il existe un unique polynôme, noté Q f, de degré inférieur ou égal à 2n, tel que, pour tout entier j de f; 2; : : : ; ng : (on ne demande pas d expliciter Q f ) Dans toute la suite, on note : K n (f) = Q f (a j ) = f(a j ) et Q 0 f (a j) = f 0 (a j ) R Q f (x)dx. 2. Que peut-on dire de I(f) et K n (f) lorsque f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2n? 3. Par une méthode analogue à celle de la partie précédente, on pourrait démontrer, et on admettra, la majoration : K n (f)j 6 M 2n(f) (2n)! Z A 2 n(x)dx Que vaut le polynôme Q f lorsque f est la fonction polynomiale x 7! A 2 n(x)? Montrer que, dans ce cas, l inégalité précédente est une égalité. 4. Soit l application dé nie sur R n [X] R n [X] par : Montrer que est un produit scalaire. 8(P; Q) 2 R n [X] R n [X]; (P; Q) = 5. L espace vectoriel R n [X] est maintenant muni de ce produit scalaire. Z P (x)q(x)dx (a) Justi er l existence d un polynôme V de degré au plus n véri ant : Q f P f = A n V. En déduire que si le polynôme A n est orthogonal à tout polynôme de R n [X], alors K n (f) = J n (f). (b) Inversement, si le polynôme A n n est pas orthogonal à tout polynôme de R n [X], montrer qu il existe une fonction f telle que K n (f) 6= J n (f). 3/5

4 Partie III Dans cette partie, l espace vectoriel R n [X] est toujours muni du produit scalaire introduit dans II.4): On note R n l image du polynôme X n par la projection orthogonale sur le sous espace-vectoriel R n [X], et on pose : S n = X n R n. Ainsi, S n est orthogonal à tout polynôme de R n [X], et X n = R n + S n.. En se plaçant dans le cas particulier où n = 3, déterminer S On revient désormais au cas général. (a) Déterminer le degré et le coe cient dominant de S n. (b) Justi er l égalité : R S n (x)dx = 0. En déduire que le polynôme S n admet au moins une racine dans ] ; [. 3. On se propose de montrer que S n admet exactement n racines réelles distinctes dans l intervalle ] ; [. (a) On suppose qu il existe un réel et un polynôme Q tels que S n = (X ) 2 Q. Aboutir à une contradiction en considérant le signe de S n Q et la valeur de (S n ; Q). En déduire que toutes les racines réelles de S n sont simples. (b) Soit p le nombre de racines distinctes de S n qui appartiennent à ] racines. On dé nit le polynôme : py U = (X i ) i= ; [, et soient ; 2 ; : : : ; p ces Montrer que le polynôme S n U est de signe constant sur [ ; ], et en déduire, en considérant (S n ; U), que p n est pas inférieur ou égal à n. Conclure que S n admet exactement n racines réelles distinctes ; 2 ; : : : ; n dans ] ; [, et que : S n = ny (X j ) j= Dans toute la suite du problème, on suppose que (a ; a 2 ; : : : ; a n ) = ( ; 2 ; : : : ; n ), et on conserve toutes les notations précédentes. En particulier, on a maintenant A n = S n, et, avec les réels ; 2 ; : : : ; n introduits dans la partie I, (et qui sont indépendants de f), on note toujours J n (f) = np i f( i ). i= 4. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que : R P f (x)dx = J n (f)j 6 M 2n(f) (2n)! Z S 2 n(x)dx 5. En se plaçant à nouveau dans le cas particulier où n = 3, montrer que : J 3 (f) = r r! 3 3 5f( ) + 8f(0) + 5f( ) 6. Étude des réels ; 2 ; : : : ; n et ; 2 ; : : : ; n (a) En considérant J n (f) lorsque f est constante égale à, donner la valeur de n. 4/5

5 (b) Pour chaque entier j de f; 2; : : : ; ng, montrer, en considérant la valeur de J n (f) lorsque f est la fonction polynomiale x 7! L 2 j (x), que j est positif. (c) On suppose dans cette question que les racines de S n sont numérotées par ordre croissant, c est-à-dire : < 2 < < n Justi er que S n ( X) = ( ) n S n (X). En déduire que les réels ; 2 ; : : : ; n sont répartis symétriquement par rapport à 0, autrement dit que pour tout entier i de f; 2; : : : ; ng, on a l égalité : n+ i = i. En conclure que, pour tout entier j de f; 2; : : : ; ng, on a l égalité : n+ j = j. 7. Majoration de R S 2 n(x)dx (a) Montrer que pour tout polynôme P de degré n et de coe cient dominant, on a l inégalité : Z S 2 n(x)dx 6 Z P 2 (x)dx (b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme T k de degré k et de coe cient dominant tel que, pour tout réel : cos(k) = 2 k T k (cos ). En déduire la majoration : Z S 2 n(x)dx 6 2 2n 2 5/5

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